直线与圆的方程

第七章 直线和圆的方程

●知识梳理

1.直线方程的五种形式

2.直线的倾斜角、斜率及直线的方向向量及位置关系:

（1）直线的倾斜角

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.

直线和x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°,直线倾斜角取值范围0°≤α＜180°. （2）直线的斜率

倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα（α≠90°）.

倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）.

（4）求直线斜率的方法

①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα.

②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=

y2y1

.

x2x1

平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率. 对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°；当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0时，α=arctank，k＜0时，α=π+arctank.

（5）到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。若记到角为θ，夹角为α，则tanθ=

kk1k2k1

,tanα=2.

1k1k21k1k2

（6）平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。且两者不重合，则l1//l2的充要

条件是k1=k2；l1l2的充要条件是k1k2=-1。

22

（7）两点P1(x1, y1)与P2(x2, y2)间的距离公式：|P1P2|=(x1x2)(y1y2)。

（8）点P(x0, y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：d

|Ax0By0C|

AB

2

2

。

3．直线系的方程：

若已知两直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0， 则过l1, l2交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0； 与l2平行的直线方程为A1x+B1y+C=0(CC1).

4．简单的线性规划问题:

若直线l方程为Ax+By+C=0. 若B>0，则Ax+By+C>0表示的区域为l上方(或称右方)的部分，Ax+By+C

注:解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x和y表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。

直线系与对称问题

（一） 主要知识及方法：

1.点Pa,b关于x轴的对称点的坐标为；

关于y轴的对称点的坐标为 ； 关于yx的对称点的坐标为 ； 关于yx的对称点的坐标为 .

2.点Pa,b关于直线axbyc0的对称点的坐标的求法：

1设所求的对称点P的坐标为x0,y0，

'

则PP的中点

'

ax0by0

,一定在直线axbyc0上. 22

2直线PP'与直线axbyc0的斜率互为负倒数，即

y0ba

1 x0ab

3.直线a1xb1yc10关于直线axbyc0的对称直线方程的求法：

① 到角相等； ② 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，

再求过这两点的直线方程； ③ 轨迹法(相关点法)； ④ 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…

4.点x,y关于定点a,b的对称点为2ax,2by，曲线C：fx,y0关于定点

a,b的对称曲线方程为f2ax,2by0.

5.直线系方程：

1直线ykxb（k为常数，b参数；k为参数，b位常数）. 2过定点Mx0,y0的直线系方程为yy0kxx0及xx0

3与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByC10（CC1） 4与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAym0 5过直线l1：a1x

bc1y10和l2：a2xb2yc20的交点的直线系的方程为：

axbycaxbyc0（不含l）

1

1

1

2

2

2

2

（二）典例分析：

例1 （1）求点A(1,2)关于直线xy20的对称点

（2）求A(3,4)关于直线y2x3的对称点

（3）一张坐标纸，对折后，点A(0，4)与点B（8，0）重叠，若点C(6，8)与D（m，

n）重叠，求m+n；

例2：试求直线l1:xy10关于直线l2:3xy30对称的直线l的方程。

练习： （2）求直线3x4y50关于直线x=3对称的直线方程；

（3）求直线3x4y50关于直线2x2y30对称的直线方程；

例3 （1）已知A(1,2),B(2,0)，在直线yx1上找一点P，使|PA||PB|最小，并求最小值；

（2 ）已知A(1,2),B(4,2)，在直线yx1上找一点P，使||PA||PB||最大，并求最大值；

例4 光线由点A(2，3)射到直线xy10反射，反射光线经过点B（1，1）求反射光线所在直线方程。

练习：

1、 光线从A(1,2)射出，被x轴反射后经过点B（3，2），求入射光线所在直线方程；

2、 光线沿着直线l1:x2y50射向直线l2:2x2y70，求反射光线所在直线方

程。

3、 直线l关于直线x2的对称直线方程是3x2y10，求直线l的倾斜角；

4、 直线2xy30和直线2xy10关于直线l对称，求直线l的方程；

5、一张坐标纸对折后，点A(0，2)与点B（4，0）重叠，若点C(2，3)与D（m，n）重叠，求m+n；

6、求直线2xy20关于点A（2，3）对车的直线方程

7、l1:xy20与l2:7xy40关于直线l对称，求直线l的方程；

8（选）、入射光线沿直线l1:2xy30射到x轴后反射，这时又沿着直线l2射到y轴，由y轴再反射沿着直线l3射出，求直线l3的方程；

二、圆的方程及有关问题

（一）、圆及圆的一般方程

1.圆的一般方程 ：x2y2DxEyF0(D2E24F0) 2．推导：圆心为(a，b)，半径为的圆的标准方程为 ．．．C．．．．．．．．．．r．．．．．．．．．

222．．．(x－a)+(y－b)=r. ① ．．．．．．．．．．．．．．．

展开整理得：x2y22ax2bya2b2r20 令D2a,E2b,Fa2b2r2,则得

x2y2DxEyF0 ②

D2E2D2E24F将方程②左边配方得：(x)(y)。

224

（1）当DE4F0时，方程②表示以(径的圆。

（2）当DE4F0时，由方程②得x

2

2

2

2

2

2

DE,

)为半22DEDE,y,它表示一个点(,)。 2222

（3）当DE4F0时，方程②没有实数解，因而它不表示任何图形。 因此，当DE4F0时，方程②表示一个圆，方程②叫做圆的一般方程。

3 圆的一般方程的特点

（1）x2,y2的系数相同且不等于零； （2）不含xy的项。

具有以上两个特点的二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0仅符合方程②的形式，还需要满足DE4F0的条件，才能表示圆，因此，上述两个特点是二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的必要条件，不是充分条件。

4、圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其参

2

2

2

2

xarcos

数方程为（θ为参数）。

ybrsin

（二）、直线与圆

直线和圆的位置关系，制定直线和圆的位置关系主要有两种方法，方法： 1、方法一:利用判别式来讨论位置关系 方法二:圆心到直线的距离d和半

径r的大小加以比较 0直线和园相交

dr直线和园相交0直线和园相切

0直线和园相离dr直线和园相切 

dr直线和园相离

2．圆的弦长的求法：

（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，根据垂径定理，l

()2d2r2

则有：2；

（2）代数法：设l的斜率为k，l与圆交点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

|AB|k2|xAxB|

1

|yAyB|k2

注意：求直线被圆截得的弦长问题一般用几何法。

3．直线与圆相切

2222

P(x,y)xxyyrxyr0000（1）若点在圆；则过点P点的切线方程为：； 2222

xyrykxrkk（2）已知斜率为且与圆相切的切线方程为：；

已知斜率为k且与圆(xa)(yb)r 相切的切线方程的求法，可设切线为

222

ykxm，然后利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m；

（3）当点

P(x0,y0)在圆外面时，可设切方程为yy0k(xx0)，利用圆心到直线之距

等于半径即dr，求出k即可，或利用0，求出k，若求得k只有一值，则还应该有一条斜率不存在的直线

xx0，此时应补上。

（4）当直线l和圆C相切时，切点的坐标为l的方程和圆C的方程联立的方程组的解，或过圆心与切线l垂直的直线与切线l联立的方程组的解。

222

P(x,y)xyr00（5）若点在圆外一点；则过点P点的切线的切点弦方程为：

xx0yy0r2；

222

P(x,y)(xa)(yb)r00若点在圆；则过点P点的切线的切点弦方程为：

(xa)(x0a)(yb)(y0b)r2；

题型二：圆的方程的综合应用

例2： 已知方程x2y2ax2ay2a2a10

（1）若此方程表示圆，求实数a的范围；

（2）求此方程表示的圆的面积最大时a的值及此时圆的方程。

【变式与拓展】：已知方程xy2(t3)x2(14t)y16t90(tR)表示的图形是圆。

（1）求t的取值范围；（2）其中面积最大的圆的方程。

2

2

2

4

题型三：与圆有关的最值问题

例3 已知圆的方程为(x2)2(y1)22，求圆上的点到直线x-y-8=0的距离的最大值

和最小值。

【变式与拓展】已知圆C：(x3)(y4)1,点A（-1，0），B（1，0），点P在圆上运动，求dPAPB的最值及相应的点P的坐标。

2

2

22

（二）、直线与圆

（例：已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线的方程。

2.求圆的方程

例：求圆的圆心在直线y=-4x上，并且与直线

a：x+y－1＝0 相切， 求切于点p(3、-2)的圆的方程。

解：求圆的方程存在下列两种思路

思路1：

思路2：

4.求字母参数取值范围

例：已知圆的方程为 x2+ y2+ ax+ 2y+ a2=0，一定点为A(1、2)，要使过定点(1、2)，作圆的切线有两条，求a的取值范围。

㈡直线与圆相交

一条直线与圆相交可以求相交弦长

例：已知圆的方程为：x2 + y2 =9,直线y=x+1与圆相交于A、B，求相交弦的长。

㈢直线与圆相离

已知圆的方程 x2 －2x+ y2 + 6y = 6，求圆与直线4x-3y+12=0的距离的最大值和最小值。

三、圆与圆

1．、两圆的位置关系：

（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，

则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆

相离。

（2）几何法：设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2

①两圆外离|O1O2|r1r2； ②两圆外切|O1O2|r1r2；

③两圆相交|r2r1||O1O2|r1r2；④两圆内切|O1O2||r2r1|；

⑤两圆内含|O1O2||r2r1|；

注意：判断两圆的位置关系多用几何法。

2．两圆相切时，两圆心所在直线经过切点，外切时有3条公切线，内切时有1条公切线。

3．两圆外离时，有4条公切线，两圆相交时，有2条公切线，两圆连心线垂直平分公共弦。 注意：两圆相交时，相交弦的方程是将两圆方程相减，消去x和y2后得到的直线方程。

4．圆系方程：

2222（1）经过两个圆C1：xyD1xE1yF10与圆C2：xyD2xE2yF20 的交点的2

圆系方程是x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0（不含圆C2，1）；当1时，表示过两个圆交点的直线；

（2）经过直线l：AxByC0与圆xyDxEyF0的交点的圆系方程是 x2y2DxEyF(AxByC)0（1）； 22

灵活使用圆系方程解题，可以起到简化计算的目的，避免求交点坐标。

题型一 圆与圆位置关系的判断

判断下列两圆的位置关系。

（1）C1：xy2x30，C2：xy4x2y30；

（2）C1：xy2y0，C

2：x2y260。

222222

题型二 两圆相交

例2 已知两圆x2y225和x2y24x2y200相交于A、B两点。

（1） 求弦AB所在直线方程；

（2） 求A、B两点坐标；

（3） 求弦长AB。

22【变式与拓展】：若两圆x2y2r2和（x2）（y2）R2相交，其中一个交

点为(1,3)，求另一个交点坐标。

题型三 圆系方程的综合应用

例5 已知圆的方程为xy2ax2(a2)y20，其中a0且aR。

（1）求证：当a为不等于1的实数时，上述圆过定点。

（2）求圆心的轨迹方程。

（3）求恒与圆相切的直线方程。 22

直线和圆的方程测试题

一、选择题（4分×12=48分）

1、过定点P(2,1)，且倾斜角是直线l：x－y－1=0的倾斜角两倍的直线方程为……………………（ ）

（A）x－2y－1=0 （B）2x－y－1=0 （C）y－1=2(x－2) （D）x=2

2、下列四个命题中的真命题是…………………………………（ ）

（A）经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y－y0=k(x－x0)表示

（B）经过两个任意不同的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)=(x－x1)(y2－y1)表示

（C）不经过原点的直线都可以用方程xy1表示 ab

（D）经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示

3、直线l与两直线y=1,x－y－7=0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点是(1，－1)，则直线l的斜率是………………………………………………………………（ ）

（A）2323 （B） （C）－ （D）－ 3232

4、已知两条直线l1:y=x；l2:ax－y=0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在(0,

12)内变

动时，a的取值范围是………………………………………………………（ ）

（A）(0,1) （B）(

5、已知3x6,3,) （C）(,1)(1,) （D）(1,) 331xy2x，则x+y的最大值和最小值分别是………………（ ） 3

（A）4,18 （B）4,8 （C）18,4 （D）8,4

6、直线y=x绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆(x－2)2+y2=3的位置关系是3

（ ）

（A）直线过圆心 （B）直线与圆相交，但不过圆心

（C）直线与圆相切 （D）直线与圆没有公共点

7、圆x2+y2－4x+2y+c=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=90°，则c的值为（ ）

（A）－3 （B）3 （C）8 （D）－22

8、圆x2+y2－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于………………………（ ）

（A） （B）52 （C）1 （D）5 2

9、若直线：ax+by=4与圆C：x2+y2=4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆C的位置关系是（ ）

（A）在圆外 （B）在圆上 （C）在圆内 （D）不确定

10、过圆x2+y2=4外一点M(4,－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为………（ ）

（A）4x－y－4=0 （B）4x＋y－4=0 （C）4x＋y＋4=0 （D）4x－y＋4=0

11、动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点轨迹方程是………………（ ）

（A）(x＋3)2＋y2=4 （B）(x－3)2＋y2=1 （C）(2x－3)2＋4y2=1 （D）(x＋3221)＋y= 22

12、曲线y=1+4x2(x[－2,2])与直线y=k(x－2)+4有两个公共点时，实数k的取值范围是（ ）

（A）(0,513553) （B）(,) （C）(,) （D）, 123412124

二、填空题（3分×4=12分）

13、若直线l1：2x－y－10=0，l2：4x+3y－10=0，l3：ax+2y+8=0，相交于一点，则a= ；

14、以点(－2,3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是；

15、一个以原点为圆心的圆与圆x2+y2+8x－4y=0关于直线l对称，则直线l的方程 ；

16、过点P(1,2)的直线l把圆x2+y2－4x－5=0分成两个弓形，当其中较小弓形面积最小时，直线l的方程是 。

三、解答题（12分×4=48分）

17、（本题8分）三角形的两条高所在直线方程为：2x－3y+1=0和x+y=0，点A(1,2)是它的一个项点，求：（1）BC边所在直线方程.

（2）三个内角的大小.

18、（本题10分）某校食堂长期以面粉和大米为主食，面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元；米每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才即科学又费用最少？

19、（本题10分）已知直线l：kx－y－3k=0，圆M：x2＋y2－8x－2y＋9=0

（1）求证：直线l与圆M必相交；

（2）当圆M截l所得弦最短时，求k的值，并求l的直线方程。

20、（本题12分）已知与曲线C：x2＋y2－2x－2y＋1=0相切的直线l交x，y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b（a>2,b>2）.

（1）求证：(a－2)(b－2)=2；

（2）求线段AB中点的轨迹方程；

（3）求△AOB面积最小值。

第七章 直线和圆的方程

●知识梳理

1.直线方程的五种形式

2.直线的倾斜角、斜率及直线的方向向量及位置关系:

（1）直线的倾斜角

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.

直线和x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°,直线倾斜角取值范围0°≤α＜180°. （2）直线的斜率

倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα（α≠90°）.

倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）.

（4）求直线斜率的方法

①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα.

②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=

y2y1

.

x2x1

平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率. 对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°；当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0时，α=arctank，k＜0时，α=π+arctank.

（5）到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。若记到角为θ，夹角为α，则tanθ=

kk1k2k1

,tanα=2.

1k1k21k1k2

（6）平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。且两者不重合，则l1//l2的充要

条件是k1=k2；l1l2的充要条件是k1k2=-1。

22

（7）两点P1(x1, y1)与P2(x2, y2)间的距离公式：|P1P2|=(x1x2)(y1y2)。

（8）点P(x0, y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：d

|Ax0By0C|

AB

2

2

。

3．直线系的方程：

若已知两直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0， 则过l1, l2交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0； 与l2平行的直线方程为A1x+B1y+C=0(CC1).

4．简单的线性规划问题:

若直线l方程为Ax+By+C=0. 若B>0，则Ax+By+C>0表示的区域为l上方(或称右方)的部分，Ax+By+C

注:解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x和y表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。

直线系与对称问题

（一） 主要知识及方法：

1.点Pa,b关于x轴的对称点的坐标为；

关于y轴的对称点的坐标为 ； 关于yx的对称点的坐标为 ； 关于yx的对称点的坐标为 .

2.点Pa,b关于直线axbyc0的对称点的坐标的求法：

1设所求的对称点P的坐标为x0,y0，

'

则PP的中点

'

ax0by0

,一定在直线axbyc0上. 22

2直线PP'与直线axbyc0的斜率互为负倒数，即

y0ba

1 x0ab

3.直线a1xb1yc10关于直线axbyc0的对称直线方程的求法：

① 到角相等； ② 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，

再求过这两点的直线方程； ③ 轨迹法(相关点法)； ④ 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…

4.点x,y关于定点a,b的对称点为2ax,2by，曲线C：fx,y0关于定点

a,b的对称曲线方程为f2ax,2by0.

5.直线系方程：

1直线ykxb（k为常数，b参数；k为参数，b位常数）. 2过定点Mx0,y0的直线系方程为yy0kxx0及xx0

3与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByC10（CC1） 4与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAym0 5过直线l1：a1x

bc1y10和l2：a2xb2yc20的交点的直线系的方程为：

axbycaxbyc0（不含l）

1

1

1

2

2

2

2

（二）典例分析：

例1 （1）求点A(1,2)关于直线xy20的对称点

（2）求A(3,4)关于直线y2x3的对称点

（3）一张坐标纸，对折后，点A(0，4)与点B（8，0）重叠，若点C(6，8)与D（m，

n）重叠，求m+n；

例2：试求直线l1:xy10关于直线l2:3xy30对称的直线l的方程。

练习： （2）求直线3x4y50关于直线x=3对称的直线方程；

（3）求直线3x4y50关于直线2x2y30对称的直线方程；

例3 （1）已知A(1,2),B(2,0)，在直线yx1上找一点P，使|PA||PB|最小，并求最小值；

（2 ）已知A(1,2),B(4,2)，在直线yx1上找一点P，使||PA||PB||最大，并求最大值；

例4 光线由点A(2，3)射到直线xy10反射，反射光线经过点B（1，1）求反射光线所在直线方程。

练习：

1、 光线从A(1,2)射出，被x轴反射后经过点B（3，2），求入射光线所在直线方程；

2、 光线沿着直线l1:x2y50射向直线l2:2x2y70，求反射光线所在直线方

程。

3、 直线l关于直线x2的对称直线方程是3x2y10，求直线l的倾斜角；

4、 直线2xy30和直线2xy10关于直线l对称，求直线l的方程；

5、一张坐标纸对折后，点A(0，2)与点B（4，0）重叠，若点C(2，3)与D（m，n）重叠，求m+n；

6、求直线2xy20关于点A（2，3）对车的直线方程

7、l1:xy20与l2:7xy40关于直线l对称，求直线l的方程；

8（选）、入射光线沿直线l1:2xy30射到x轴后反射，这时又沿着直线l2射到y轴，由y轴再反射沿着直线l3射出，求直线l3的方程；

二、圆的方程及有关问题

（一）、圆及圆的一般方程

1.圆的一般方程 ：x2y2DxEyF0(D2E24F0) 2．推导：圆心为(a，b)，半径为的圆的标准方程为 ．．．C．．．．．．．．．．r．．．．．．．．．

222．．．(x－a)+(y－b)=r. ① ．．．．．．．．．．．．．．．

展开整理得：x2y22ax2bya2b2r20 令D2a,E2b,Fa2b2r2,则得

x2y2DxEyF0 ②

D2E2D2E24F将方程②左边配方得：(x)(y)。

224

（1）当DE4F0时，方程②表示以(径的圆。

（2）当DE4F0时，由方程②得x

2

2

2

2

2

2

DE,

)为半22DEDE,y,它表示一个点(,)。 2222

（3）当DE4F0时，方程②没有实数解，因而它不表示任何图形。 因此，当DE4F0时，方程②表示一个圆，方程②叫做圆的一般方程。

3 圆的一般方程的特点

（1）x2,y2的系数相同且不等于零； （2）不含xy的项。

具有以上两个特点的二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0仅符合方程②的形式，还需要满足DE4F0的条件，才能表示圆，因此，上述两个特点是二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的必要条件，不是充分条件。

4、圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其参

2

2

2

2

xarcos

数方程为（θ为参数）。

ybrsin

（二）、直线与圆

直线和圆的位置关系，制定直线和圆的位置关系主要有两种方法，方法： 1、方法一:利用判别式来讨论位置关系 方法二:圆心到直线的距离d和半

径r的大小加以比较 0直线和园相交

dr直线和园相交0直线和园相切

0直线和园相离dr直线和园相切 

dr直线和园相离

2．圆的弦长的求法：

（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，根据垂径定理，l

()2d2r2

则有：2；

（2）代数法：设l的斜率为k，l与圆交点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

|AB|k2|xAxB|

1

|yAyB|k2

注意：求直线被圆截得的弦长问题一般用几何法。

3．直线与圆相切

2222

P(x,y)xxyyrxyr0000（1）若点在圆；则过点P点的切线方程为：； 2222

xyrykxrkk（2）已知斜率为且与圆相切的切线方程为：；

已知斜率为k且与圆(xa)(yb)r 相切的切线方程的求法，可设切线为

222

ykxm，然后利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m；

（3）当点

P(x0,y0)在圆外面时，可设切方程为yy0k(xx0)，利用圆心到直线之距

等于半径即dr，求出k即可，或利用0，求出k，若求得k只有一值，则还应该有一条斜率不存在的直线

xx0，此时应补上。

（4）当直线l和圆C相切时，切点的坐标为l的方程和圆C的方程联立的方程组的解，或过圆心与切线l垂直的直线与切线l联立的方程组的解。

222

P(x,y)xyr00（5）若点在圆外一点；则过点P点的切线的切点弦方程为：

xx0yy0r2；

222

P(x,y)(xa)(yb)r00若点在圆；则过点P点的切线的切点弦方程为：

(xa)(x0a)(yb)(y0b)r2；

题型二：圆的方程的综合应用

例2： 已知方程x2y2ax2ay2a2a10

（1）若此方程表示圆，求实数a的范围；

（2）求此方程表示的圆的面积最大时a的值及此时圆的方程。

【变式与拓展】：已知方程xy2(t3)x2(14t)y16t90(tR)表示的图形是圆。

（1）求t的取值范围；（2）其中面积最大的圆的方程。

2

2

2

4

题型三：与圆有关的最值问题

例3 已知圆的方程为(x2)2(y1)22，求圆上的点到直线x-y-8=0的距离的最大值

和最小值。

【变式与拓展】已知圆C：(x3)(y4)1,点A（-1，0），B（1，0），点P在圆上运动，求dPAPB的最值及相应的点P的坐标。

2

2

22

（二）、直线与圆

（例：已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线的方程。

2.求圆的方程

例：求圆的圆心在直线y=-4x上，并且与直线

a：x+y－1＝0 相切， 求切于点p(3、-2)的圆的方程。

解：求圆的方程存在下列两种思路

思路1：

思路2：

4.求字母参数取值范围

例：已知圆的方程为 x2+ y2+ ax+ 2y+ a2=0，一定点为A(1、2)，要使过定点(1、2)，作圆的切线有两条，求a的取值范围。

㈡直线与圆相交

一条直线与圆相交可以求相交弦长

例：已知圆的方程为：x2 + y2 =9,直线y=x+1与圆相交于A、B，求相交弦的长。

㈢直线与圆相离

已知圆的方程 x2 －2x+ y2 + 6y = 6，求圆与直线4x-3y+12=0的距离的最大值和最小值。

三、圆与圆

1．、两圆的位置关系：

（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，

则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆

相离。

（2）几何法：设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2

①两圆外离|O1O2|r1r2； ②两圆外切|O1O2|r1r2；

③两圆相交|r2r1||O1O2|r1r2；④两圆内切|O1O2||r2r1|；

⑤两圆内含|O1O2||r2r1|；

注意：判断两圆的位置关系多用几何法。

2．两圆相切时，两圆心所在直线经过切点，外切时有3条公切线，内切时有1条公切线。

3．两圆外离时，有4条公切线，两圆相交时，有2条公切线，两圆连心线垂直平分公共弦。 注意：两圆相交时，相交弦的方程是将两圆方程相减，消去x和y2后得到的直线方程。

4．圆系方程：

2222（1）经过两个圆C1：xyD1xE1yF10与圆C2：xyD2xE2yF20 的交点的2

圆系方程是x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0（不含圆C2，1）；当1时，表示过两个圆交点的直线；

（2）经过直线l：AxByC0与圆xyDxEyF0的交点的圆系方程是 x2y2DxEyF(AxByC)0（1）； 22

灵活使用圆系方程解题，可以起到简化计算的目的，避免求交点坐标。

题型一 圆与圆位置关系的判断

判断下列两圆的位置关系。

（1）C1：xy2x30，C2：xy4x2y30；

（2）C1：xy2y0，C

2：x2y260。

222222

题型二 两圆相交

例2 已知两圆x2y225和x2y24x2y200相交于A、B两点。

（1） 求弦AB所在直线方程；

（2） 求A、B两点坐标；

（3） 求弦长AB。

22【变式与拓展】：若两圆x2y2r2和（x2）（y2）R2相交，其中一个交

点为(1,3)，求另一个交点坐标。

题型三 圆系方程的综合应用

例5 已知圆的方程为xy2ax2(a2)y20，其中a0且aR。

（1）求证：当a为不等于1的实数时，上述圆过定点。

（2）求圆心的轨迹方程。

（3）求恒与圆相切的直线方程。 22

直线和圆的方程测试题

一、选择题（4分×12=48分）

1、过定点P(2,1)，且倾斜角是直线l：x－y－1=0的倾斜角两倍的直线方程为……………………（ ）

（A）x－2y－1=0 （B）2x－y－1=0 （C）y－1=2(x－2) （D）x=2

2、下列四个命题中的真命题是…………………………………（ ）

（A）经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y－y0=k(x－x0)表示

（B）经过两个任意不同的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)=(x－x1)(y2－y1)表示

（C）不经过原点的直线都可以用方程xy1表示 ab

（D）经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示

3、直线l与两直线y=1,x－y－7=0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点是(1，－1)，则直线l的斜率是………………………………………………………………（ ）

（A）2323 （B） （C）－ （D）－ 3232

4、已知两条直线l1:y=x；l2:ax－y=0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在(0,

12)内变

动时，a的取值范围是………………………………………………………（ ）

（A）(0,1) （B）(

5、已知3x6,3,) （C）(,1)(1,) （D）(1,) 331xy2x，则x+y的最大值和最小值分别是………………（ ） 3

（A）4,18 （B）4,8 （C）18,4 （D）8,4

6、直线y=x绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆(x－2)2+y2=3的位置关系是3

（ ）

（A）直线过圆心 （B）直线与圆相交，但不过圆心

（C）直线与圆相切 （D）直线与圆没有公共点

7、圆x2+y2－4x+2y+c=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=90°，则c的值为（ ）

（A）－3 （B）3 （C）8 （D）－22

8、圆x2+y2－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于………………………（ ）

（A） （B）52 （C）1 （D）5 2

9、若直线：ax+by=4与圆C：x2+y2=4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆C的位置关系是（ ）

（A）在圆外 （B）在圆上 （C）在圆内 （D）不确定

10、过圆x2+y2=4外一点M(4,－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为………（ ）

（A）4x－y－4=0 （B）4x＋y－4=0 （C）4x＋y＋4=0 （D）4x－y＋4=0

11、动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点轨迹方程是………………（ ）

（A）(x＋3)2＋y2=4 （B）(x－3)2＋y2=1 （C）(2x－3)2＋4y2=1 （D）(x＋3221)＋y= 22

12、曲线y=1+4x2(x[－2,2])与直线y=k(x－2)+4有两个公共点时，实数k的取值范围是（ ）

（A）(0,513553) （B）(,) （C）(,) （D）, 123412124

二、填空题（3分×4=12分）

13、若直线l1：2x－y－10=0，l2：4x+3y－10=0，l3：ax+2y+8=0，相交于一点，则a= ；

14、以点(－2,3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是；

15、一个以原点为圆心的圆与圆x2+y2+8x－4y=0关于直线l对称，则直线l的方程 ；

16、过点P(1,2)的直线l把圆x2+y2－4x－5=0分成两个弓形，当其中较小弓形面积最小时，直线l的方程是 。

三、解答题（12分×4=48分）

17、（本题8分）三角形的两条高所在直线方程为：2x－3y+1=0和x+y=0，点A(1,2)是它的一个项点，求：（1）BC边所在直线方程.

（2）三个内角的大小.

18、（本题10分）某校食堂长期以面粉和大米为主食，面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元；米每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才即科学又费用最少？

19、（本题10分）已知直线l：kx－y－3k=0，圆M：x2＋y2－8x－2y＋9=0

（1）求证：直线l与圆M必相交；

（2）当圆M截l所得弦最短时，求k的值，并求l的直线方程。

20、（本题12分）已知与曲线C：x2＋y2－2x－2y＋1=0相切的直线l交x，y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b（a>2,b>2）.

（1）求证：(a－2)(b－2)=2；

（2）求线段AB中点的轨迹方程；

（3）求△AOB面积最小值。