高考专题复习:数形结合法
专题一：两点间的距离公式
1.
函数y =2.
函数y =
______. 的最大值为______.
2
2
2
3. 函数f (x ) =(x -a ) +(lnx -2a ) 的最小值为______.
222
4. 若a >0, 则(a -b ) +(a -ln a +2-b ) 的最小值为______.
5. 若a >
122
, 则(a -b ) +(ln(2a -1) -2b -3) 的最小值为______. 2
n
的取值范围为______. m
n -1
的取值范围为______. m -2
专题二：两点间的斜率公式
1. 若点P (m , n ) 在线段y =8-2x (1≤x ≤3) 上, 则2. 若点P (m , n ) 在线段y =8-2x (1≤x ≤3) 上, 则
3. 若点P (m , n ) 在函数y =x 2-2x +1的图象上, 则4. 若点P (m , n ) 在函数y =x 2-2x +1的图象上, 则2x -1
5. 函数y =x 的值域为______.
2+12x -1
6. 函数y =x +1的值域为______.
2+1
n
的取值范围为______. m
n +1
的取值范围为______. m -2
3x -1
7. 函数y =x 的值域为______.
3-3
8. 函数y =9. 函数y =
sin x
的值域为______.
2+cos x
3-sin x
在区间(0,π) 上的值域为______.
4-cos x
10. 若函数y =f (x ) 的图象如右图, 且在区间[a , b ]上存在n (n ≥2) 个互不相等的实数x 1, x 2, , x n , 使得
f (x n ) f (x 1) f (x 2)
== =, 则正整数n 的取值集合为______. x 1x 2x n 专题三：绝对值函数的图像
1. 若方程x -4|x |+5=m 有四个不等实根, 则m 的取值范围为______. 2. 若方程|x -2x -3|=m +2有四个不等实根, 则m 的取值范围为______. 3. 若方程|x -2x -3|=x +m 有四个不等实根, 则m 的取值范围为______.
22
2
4. 若方程|x -2|+1=kx 有两个不等实根, 则k 的取值范围为______.
5. 若关于x 的方程|2x -3|+m =8有两个不等实根, 则实数m 的取值范围为________．
6. 若函数f (x ) =||x |-1|, 则关于x 的方程f 2(x ) -f (x ) -k =0的四个命题中真命题为①存在k 值使方程恰有2个不同的实根； ②存在k 值使方程恰有4个不同的实根； ③存在k 值使方程恰有5个不同的实根； ④存在k 值使方程恰有8个不同的实根. 7. 若函数f (x ) =|x 2-1|, 且方程f 2(x ) +b ⋅f (x ) +c =0有7个不相等的实数根, 则必有( ).
A. b -c -1=0 B.b +c -1=0 C.b -c +1=0 D.b +c +1=0 8. 设函数f (x ) =
|x |
, 若关于x 的方程f 2(x ) -mf (x ) +m -1=0恰有4个不相等的实数根, 则实数m 的x e
1e
1e
1e
取值范围【 】.
A. (, 2) (2,e) B.(,1) C.(1,+1) D.(, e )
1e
专题四：分段函数的图像
1⎧
|x +|,x ≠0⎪1. 若函数f (x ) =⎨, 则方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有五个不等实根的充要条件是【 】. x ⎪x =0⎩0,
A.b 0 B.b >-2, 且c -2, 且c =0
x -1⎧⎪5-1, x ≥022
2. 设函数f (x ) =⎨, 若方程f (x ) -(2m +1) f (x ) +m =0有五个不等实根, 则实数m 2
⎪⎩x +4x +4, x
的值为【 】.
A.2 B.6 C.2或6 D.4或6
⎧e x (x ≥0) 2
3. 若函数f (x ) =⎨, 则“t ≤-2”是“关于x 的方程f (x ) +f (x ) +t =0有三个不同实
⎩lg(-x ) (x
数根”的____________条件.
⎧3x (x ≥0) 2
4. 若函数f (x ) =⎨, 函数g (x ) =f (x ) +f (x ) +t , 则关于函数g (x ) 的零点, 下列判断
⎩log 3(-x ) (x
不正确的是【 】. ．．． A.若t =
11
, g (x ) 有一个零点 B.若-2
C.若t =-2, g (x ) 有三个零点 D.若t
专题1：两点间的距离公式【参考答案】
1. 解:
由于y =
= 因此
P (x ,0), A (1,1)两点之间的距离
P (x ,0), B (3,3)两点之间的距离.
故, 函数的最小值就等价于在x 轴上的点P (x ,0) 到点A (1,1),B (3,3)的距离之和的最小值.
设点A (1,1)关于x 轴对称的点为A '(1,-1) ,
则由PA +PB =PA ' +PB ≥A ' B =可知PA +PB 的
最小值为也就是说,
函数的最小值为2. 解:
由于y =
=,
因此
P (x ,0), A (-1,4) 两点之间的距离
P (x ,0), B (3,2)两点之间的距离.
故, 函数的最大值就等价于在x 轴上的点P (x ,0) 到点A (-1,4), B (3,2)的距离之差的最大值.
由PA -PB ≤AB =可知PA -
PB 的最大值为也就是说,
函数的最大值为a ) 表示P (x , 2ln x ), A (a , 2a ) 两点之间的距3. 解:由于(x -a ) +(lnx -2a ) =(x -a ) +(2lnx -2
离的平方, 因此函数f (x ) 的最小值即为|PA |2的最小值.
由于点A (a ,2a ) 在直线y =2x 上, 因此|PA |2的最小值即点P (x ,2ln x ) 到直线y =2x 的距离d 的平
方d =2
22222
24
=(x -ln x ) 2.
5 令函数g (x ) =x -ln x , 则由g '(x ) =1-
1x -1
=知函数g (x ) 在(0,1)上递减, 在(1,+∞) 上递增, x x
2
故函数g (x ) 的最小值为g (x ) =g (1)=1. 从而d = 综上可知, 函数f (x ) 的最小值为
2
2
444
(x -ln x ) 2=(g (x )) 2≥. 555
4
. 5
2
2
4. 解:由于(a -b ) +(a -ln a +2-b ) 表示P (a , a -ln a +2), Q (b , b ) 两点之间的距离的平方, 因此所
2
求式子的最小值即为|PQ |的最小值.
22
由于点Q (b , b ) 在直线y =x 上, 因此|PQ |的最小值即点P (a , a -ln a +2) 到直线y =x 的距离d 的
2212
=(a -a -ln a +2) 2. 平方d =22
令函数g (x ) =x -x -ln x +2, 则由g '(x ) =2x -1-
2
11
=(2x +1)(x -1) 知函数g (x ) 在(0,1)x x
2
上递减, 在(1,+∞) 上递增, 故函数g (x ) 的最小值为g (x ) =g (1)=2. 从而d ≥2.
综上可知, 所求的最小值为2.
5. 解:由于(a -b ) +(ln(2a -1) -2b -3) 表示P (a ,ln(2a -1)), Q (b ,2b +3) 两点之间的距离的平方, 因此所求式子的最小值即为|PQ |2的最小值.
由于点Q (b ,2b +3) 在直线y =2x +3上, 因此|PQ |2的最小值即点P (a ,ln(2a -1)) 到直线y =2x +3的距离d
的平方d =2
22
21
=(2a -ln(2a -1) +3) 2.
5 令函数g (x ) =2x -ln(2x -1) +3, 则由g '(x ) =2-
24x -41
=知函数g (x ) 在(,1) 上递减,
2x -12x -12
2
在(1,+∞) 上递增, 故函数g (x ) 的最小值为g (x ) =g (1)=5. 从而d ≥ 综上可知, 所求的最小值为5.
12
⋅5=5. 5
专题2：两点间的斜率公式【参考答案】
6), B (3，2) , 且1. 解:由于点P (m , n ) 在线段AB 上, 其中端点为A (1，
n n -0
表示直=
m m -0
线OP 的斜率, 因此直线OP 的斜率介于直线OB 的斜率与直线OA 的斜率之间, 而
2-026-02n
直线OB 的斜率为=, 直线OA 的斜率=6, 所以≤≤6.
1-03m 3-036), B (3，2) , 且2. 解:由于点P (m , n ) 在线段AB 上, 其中端点为A (1，
n -1
表示直线m -2
1) , 而当点P 为直线x =2与线段AB 的交点时, 直线CP 的CP 的斜率, 其中点C (2，
倾斜角为90︒, 此时直线CP 的斜率不存在, 因此直线CP 的斜率不小于直线CB 的斜率或不大于直线CA 的斜率, 而直线CB 的斜率为n 6-1n n
=-5, 所以的取值范围为≤-5, 或≥1.
m 1-2m m
2-1
=1, 直线CA 的斜率3-2
3. 解:由于点P (m , n ) 在抛物线上, 且
n n -0
表示直线OP 的斜率, 而当点P 为=
m m -0
直线x =0与抛物线的交点时, 直线OP 的倾斜角为90︒, 此时直线OP 的斜率不存在, 因此直线OP 的斜率不小于抛物线的切线OA 的斜率, 或不大于抛物线的切线OB 的斜率.
设抛物线的切线的方程为y =kx , 则联立方程组y =kx 与y =x 2-2x +1可得x 2-(k +2) x +1=0, 令∆=(k +2) 2-4⨯1⨯1=0可得k =0, 或k =-4.
所以,
n n n
的取值范围为≤-4, 或≥0.
m m m
n +1
表示直线CP 的斜率, 其中点C (2,-1) , m -2
4. 解:由于点P (m , n ) 在抛物线上, 且
而当点P 为直线x =2与抛物线的交点时, 直线CP 的倾斜角为90︒, 此时直线CP 的斜率不存在, 因此直线CP 的斜率不小于抛物线的切线CE 的斜率, 或不
大于抛物线的切线CF 的斜率.
设抛物线的切线为y =k (x -2) -1, 则联立y =k (x -2) -1与y =x 2-2x +1可
得x 2-(k +2) x +2k +2=0, 令∆=(k +2) 2-8(k +1) =
0可得k =2±所以,
n n n
的取值范围为≤2-
或≥2+m m m
2-1
2x ), Q (-11) ，所确定直线PQ 的斜率, 而点P (2x ，2x ) 在表示两点P (2x ，x
2+1
x
5. 解:由于y =
射线y =x (x >0) 上, 因此结合图形(参见右图) 分析知直线PQ 的斜率介于直线OQ 的斜率(k OQ =
1-0
=-1) 与直线QR 的斜率(k QR =1) 之间. 所以函数的值域为(-1,1) . -1-0
2x -1
2x ), Q (-11) ，所确定直线PQ 的斜率, 而点P (2x +1，2x ) 6. 解:由于y =x +1表示点P (2x +1，
2+1
1
在射线y =x (x >0) 上, 因此结合图形(见右图) 分析知直线PQ 的斜率介于直线OQ
2
的斜率(k OQ =7. 解:由于y =
1-011
=-1) 与直线QR 的斜率(k QR =) 之间. 所以函数的值域为(-1, ) . -1-022
3-1
3x ), Q (31)，所确定直线PQ 的斜率, 而点P (3x ，3x ) 在射表示两点P (3x ，x
3-3
x
线y =x (x >0) 上, 因此结合图形(见右图) 分析知:当点P 为直线x =3与射线的交点时, 直线PQ 的倾斜角为90︒, 其斜率不存在, 所以PQ 的斜率小于OQ 的斜率k OQ =
1-01
=,
3-03
或大于QR 的斜率k QR =1. 所以函数的值域为(-∞, ) (1,+∞) . 8. 解:由于y =
sin x sin x -0
sin x ), Q (-2，0) 所确定表示两点P (cosx ，=
2+cos x cos x -(-2)
13
sin x ) 在单位圆上, 因此结合图形(参见右图) 直线PQ 的斜率, 而点P (cosx ，
分析知直线PQ 的斜率介于单位圆的切线AQ 的斜率与BQ 的斜率之间.
0) 作单位圆的两切线的斜率为k AQ 由于过点Q (-2，
, k BQ 所
=
以函数的值域为[9. 解:由于y =
. 3-sin x
sin x ), Q (4，3) 所确定直线PQ 的斜率, 表示两点P (cosx ，
4-cos x
sin x ) 在单位圆的上半圆(因为x ∈(0,π) ) 上, 因此结合图形(参而点P (cosx ，
见右图) 分析知直线PQ 的斜率介于单位圆的切线AQ 的斜率与边界直线BQ
的斜率之间.
, 直线BQ 的斜率为k BQ =1,
所以函数的值域为. f (x 1) f (x 1) -0f (x 2) f (x 2) -0
，f (x 1)), O (0，0) 所确定直线OP 1的斜率, 10. 解:由于表示两点P 表示两==1(x 1
x 1x 1-0x 2x 2-0
因为切线的斜率为k AQ 0) 所确定直线OP 2的斜率, „„, 点P 2(x 2，f (x 2)), O (0，
f (x n ) f (x n ) -0
=，0) 所确定表示两点P n (x n ，f (x n )), O (0x n x n -0
直线OP n 的斜率.
因此n 的值即为过原点O 的直线与函数图像的交点个数, 即n 的取值集合为{2,3,4}.
专题3：绝对值函数的图像【参考答案】
2
1. 解:设函数f (x ) =x -4|x |+5, 则f (x ) 是偶函数. 首先, 画
2
出当x ≥0时的函数f (x ) =x -4x +5的图像；其次, 根据偶函数的性质可得当x
由图像可知, 方程f (x ) =m 有四个不等实根时, 实数m 的取值范围为1
2. 解:设函数f (x ) =|x 2-2x -3|. 首先画出函数f (x ) =x 2-2x -3的图像；其次, 将x 轴下方的图像对称到x 轴上方就可以得到函数f (x ) 在定义域内的图像如右图所示.
由图像可知, 方程f (x ) =m +2有四个不等实根时, 实数m 应满足的条件为0
故实数m 的取值范围为-2
首先, 当x -2x -3≥0, 即x ≤-1或x ≥3时, f (x ) =x 2-3x -3；
当x -2x -3
22
由函数f (x ) 的图像可知, 方程f (x ) =m 有四个不等实根时, 实数m
的取值范围为1
13. 4
4. 解:首先, 画出函数f (x ) =|x -2|+1的图像, 如右图的折线部分； 其次, 由于函数g (x ) =kx 的图像是过坐标原点的一条直线.
因此方程f (x ) =g (x ) 有两个不等实根, 即是直线g (x ) =kx 与折
线f (x ) =|x -2|+1有两个不同的交点.
由图像可知, 直线g (x ) =kx 的斜率介于直线OA 的斜率与直线OB 的斜率之间, 故
x
x
1
5. 解:方程|2-3|+m =8的实根个数等价于函数y =|2-3|的图像与直线y =8-m 的交点的个数. 由于函数y =|2-3|的图像可以先将函数y =
2三个单位得到函数y =2-3的图像, 再将函数y =2-3的图像在x 下方的部分关于x 轴对称, 得到函数y =|2-3|的图像如右图所示.
x
所以, 当0
x
x
x
x
x
线y =8-m 有两个交点, 即方程|2-3|+m =8有两个不等实根.
6. 解:首先, 画出函数f (x ) =||x |-1|的图像如右图所示.
其次, 令f (x ) =t , 并设方程t 2-t -k =0的根为t 1, t 2, 则由韦达定理可知t 1+t 2=1, t 1t 2=-k . 由于当k =2时, t 1=-1, t 2=2, 因此方程f (x ) =t 1=-1无实根, 方程f (x ) =t 2=2有两个实根, 此时原方程共有两个不同实根；
由于当k =0时, t 1=0, t 2=1, 因此方程f (x ) =t 1=0有两个实根,
方程f (x ) =t 2=1有三个实根, 此时原方程共有五个不同实根； 由于当k =-
21212
时, t 1=, t 2=, 因此方程f (x ) =t 1=有四个实根, 方程f (x ) =t 2=有四个实93333
根, 此时原方程共有八个不同实根；
由t 1+t 2=1可知t 1, t 2不能同时大于1, 也不能一个为0, 另一个大于1, 故不可能恰有四个不同实根. 综上可知, 答案为①③④.
7. 解:首先, 我们可以画出函数f (x ) =|x 2-1|的图象如下, 因此, 由图象可知: (1)当m 1时, 函数y =f (x ) 的图象与直线y =m 有两个交点.
2
其次, 设f (x ) =t , 则要使方程f 2(x ) +b ⋅f (x ) +c =0有7个不等实根, 方程t +b ⋅t +c =0必有两个2
实根t 1, t 2, 且满足0
8. 解:首先, 画出函数f (x ) =
2
|x |
的图像如右图所示. e x
其次, 由方程f (x ) -mf (x ) +m -1=0得f (x ) =1或f (x ) =m -1. 由于方程f (x ) =1有且只有一个实数根, 因此要使原方程有恰有4个不相等的实数根, 只需方程f (x ) =m -1恰有3个不相等的实数根,
故0
11
⇒1
说明:本题的关键在于画函数f (x ) 的图像, 尤其是应关注函数图像的特征点, 比如极值点！
其次, 设f (x ) =t , 则要使方程f 2(x ) +b ⋅f (x ) +c =0有5个不等实根, 方程t 2+b ⋅t +c =0必有两个实根t 1, t 2, 且满足t 1=0, t 2>2. 从而可知, 必有c =0, 且-b >2⇒b
(1)当m
(3)当04时, 函数y =f (x ) 的图象与直线y =m 有两个交点.
其次, 设f (x ) =t , 则要使f 2(x ) -(2m +1) f (x ) +m 2=0有5个不等实根, t 2-(2m +1) t +m 2=0必有两个实根t 1, t 2, 且满足f (x ) =t 1有两个实根, f (x ) =t 2有三个实根.
故必有t 2=4, 从而16-4(2m +1) +m =0, 解得m =2, 或m =6.
而当m =2时, 方程t 2-5t +4=0的根为t =1, 或t =4. 此时f (x ) =1有四个实根, f (x ) =4有三个实根, 共七个实根, 不合题意. 当m =6时, 符合题意.
综上可知, 答案为B.
3. 解:首先, 画出函数f (x ) 的图像如右图所示.
其次, 若设f (x ) =t , 则f (x ) +f (x ) +a =02
2
t 2+t +a =0. 当a ≤-2时, 方程t 2+t +a =
0的两根为t 1=
-1--1+≥1.
或t 2=
22
从而可知f (x ) =t 1有一个实根, f (x ) =t 2有两个实根. 所以, 关于x 的方程f 2(x ) +f (x ) +t =0有三个不同实根.
若方程f 2(x ) +f (x ) +t =0有三个不同实根, 则需要f (x ) =t 1有一个实根, 且f (x ) =t 2有两个实根. 从而需要方程t 2+t +a =0的两根t 1, t 2满足t 1
综上可知, “a ≤-2”是“关于x 的方程f 2(x ) +f (x ) +a =
04. 解:首先, 画出函数f (x ) 的图像如右图所示. 其次, 当a =而方程f (x ) =-
112
时, 由g (x ) =f (x ) +f (x ) +=0可得f (x ) =441
有一个零点, 故函数g (x ) 有一个零点. 故A 是正确的2
当a =-2时, 由g (x ) =f 2(x ) +f (x ) -2=0可得f (x ) =-f (x ) =1, 而方程f (x ) =-2有一个零点, f (x ) =1有两个零点, .
当-2
1时, 由g (x ) =0得f (x ) =
当a
1有
两个零点, 故函数g (x ) 有三个零点. 故D 是不正确的.
高考专题复习:数形结合法
专题一：两点间的距离公式
1.
函数y =2.
函数y =
______. 的最大值为______.
2
2
2
3. 函数f (x ) =(x -a ) +(lnx -2a ) 的最小值为______.
222
4. 若a >0, 则(a -b ) +(a -ln a +2-b ) 的最小值为______.
5. 若a >
122
, 则(a -b ) +(ln(2a -1) -2b -3) 的最小值为______. 2
n
的取值范围为______. m
n -1
的取值范围为______. m -2
专题二：两点间的斜率公式
1. 若点P (m , n ) 在线段y =8-2x (1≤x ≤3) 上, 则2. 若点P (m , n ) 在线段y =8-2x (1≤x ≤3) 上, 则
3. 若点P (m , n ) 在函数y =x 2-2x +1的图象上, 则4. 若点P (m , n ) 在函数y =x 2-2x +1的图象上, 则2x -1
5. 函数y =x 的值域为______.
2+12x -1
6. 函数y =x +1的值域为______.
2+1
n
的取值范围为______. m
n +1
的取值范围为______. m -2
3x -1
7. 函数y =x 的值域为______.
3-3
8. 函数y =9. 函数y =
sin x
的值域为______.
2+cos x
3-sin x
在区间(0,π) 上的值域为______.
4-cos x
10. 若函数y =f (x ) 的图象如右图, 且在区间[a , b ]上存在n (n ≥2) 个互不相等的实数x 1, x 2, , x n , 使得
f (x n ) f (x 1) f (x 2)
== =, 则正整数n 的取值集合为______. x 1x 2x n 专题三：绝对值函数的图像
1. 若方程x -4|x |+5=m 有四个不等实根, 则m 的取值范围为______. 2. 若方程|x -2x -3|=m +2有四个不等实根, 则m 的取值范围为______. 3. 若方程|x -2x -3|=x +m 有四个不等实根, 则m 的取值范围为______.
22
2
4. 若方程|x -2|+1=kx 有两个不等实根, 则k 的取值范围为______.
5. 若关于x 的方程|2x -3|+m =8有两个不等实根, 则实数m 的取值范围为________．
6. 若函数f (x ) =||x |-1|, 则关于x 的方程f 2(x ) -f (x ) -k =0的四个命题中真命题为①存在k 值使方程恰有2个不同的实根； ②存在k 值使方程恰有4个不同的实根； ③存在k 值使方程恰有5个不同的实根； ④存在k 值使方程恰有8个不同的实根. 7. 若函数f (x ) =|x 2-1|, 且方程f 2(x ) +b ⋅f (x ) +c =0有7个不相等的实数根, 则必有( ).
A. b -c -1=0 B.b +c -1=0 C.b -c +1=0 D.b +c +1=0 8. 设函数f (x ) =
|x |
, 若关于x 的方程f 2(x ) -mf (x ) +m -1=0恰有4个不相等的实数根, 则实数m 的x e
1e
1e
1e
取值范围【 】.
A. (, 2) (2,e) B.(,1) C.(1,+1) D.(, e )
1e
专题四：分段函数的图像
1⎧
|x +|,x ≠0⎪1. 若函数f (x ) =⎨, 则方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有五个不等实根的充要条件是【 】. x ⎪x =0⎩0,
A.b 0 B.b >-2, 且c -2, 且c =0
x -1⎧⎪5-1, x ≥022
2. 设函数f (x ) =⎨, 若方程f (x ) -(2m +1) f (x ) +m =0有五个不等实根, 则实数m 2
⎪⎩x +4x +4, x
的值为【 】.
A.2 B.6 C.2或6 D.4或6
⎧e x (x ≥0) 2
3. 若函数f (x ) =⎨, 则“t ≤-2”是“关于x 的方程f (x ) +f (x ) +t =0有三个不同实
⎩lg(-x ) (x
数根”的____________条件.
⎧3x (x ≥0) 2
4. 若函数f (x ) =⎨, 函数g (x ) =f (x ) +f (x ) +t , 则关于函数g (x ) 的零点, 下列判断
⎩log 3(-x ) (x
不正确的是【 】. ．．． A.若t =
11
, g (x ) 有一个零点 B.若-2
C.若t =-2, g (x ) 有三个零点 D.若t
专题1：两点间的距离公式【参考答案】
1. 解:
由于y =
= 因此
P (x ,0), A (1,1)两点之间的距离
P (x ,0), B (3,3)两点之间的距离.
故, 函数的最小值就等价于在x 轴上的点P (x ,0) 到点A (1,1),B (3,3)的距离之和的最小值.
设点A (1,1)关于x 轴对称的点为A '(1,-1) ,
则由PA +PB =PA ' +PB ≥A ' B =可知PA +PB 的
最小值为也就是说,
函数的最小值为2. 解:
由于y =
=,
因此
P (x ,0), A (-1,4) 两点之间的距离
P (x ,0), B (3,2)两点之间的距离.
故, 函数的最大值就等价于在x 轴上的点P (x ,0) 到点A (-1,4), B (3,2)的距离之差的最大值.
由PA -PB ≤AB =可知PA -
PB 的最大值为也就是说,
函数的最大值为a ) 表示P (x , 2ln x ), A (a , 2a ) 两点之间的距3. 解:由于(x -a ) +(lnx -2a ) =(x -a ) +(2lnx -2
离的平方, 因此函数f (x ) 的最小值即为|PA |2的最小值.
由于点A (a ,2a ) 在直线y =2x 上, 因此|PA |2的最小值即点P (x ,2ln x ) 到直线y =2x 的距离d 的平
方d =2
22222
24
=(x -ln x ) 2.
5 令函数g (x ) =x -ln x , 则由g '(x ) =1-
1x -1
=知函数g (x ) 在(0,1)上递减, 在(1,+∞) 上递增, x x
2
故函数g (x ) 的最小值为g (x ) =g (1)=1. 从而d = 综上可知, 函数f (x ) 的最小值为
2
2
444
(x -ln x ) 2=(g (x )) 2≥. 555
4
. 5
2
2
4. 解:由于(a -b ) +(a -ln a +2-b ) 表示P (a , a -ln a +2), Q (b , b ) 两点之间的距离的平方, 因此所
2
求式子的最小值即为|PQ |的最小值.
22
由于点Q (b , b ) 在直线y =x 上, 因此|PQ |的最小值即点P (a , a -ln a +2) 到直线y =x 的距离d 的
2212
=(a -a -ln a +2) 2. 平方d =22
令函数g (x ) =x -x -ln x +2, 则由g '(x ) =2x -1-
2
11
=(2x +1)(x -1) 知函数g (x ) 在(0,1)x x
2
上递减, 在(1,+∞) 上递增, 故函数g (x ) 的最小值为g (x ) =g (1)=2. 从而d ≥2.
综上可知, 所求的最小值为2.
5. 解:由于(a -b ) +(ln(2a -1) -2b -3) 表示P (a ,ln(2a -1)), Q (b ,2b +3) 两点之间的距离的平方, 因此所求式子的最小值即为|PQ |2的最小值.
由于点Q (b ,2b +3) 在直线y =2x +3上, 因此|PQ |2的最小值即点P (a ,ln(2a -1)) 到直线y =2x +3的距离d
的平方d =2
22
21
=(2a -ln(2a -1) +3) 2.
5 令函数g (x ) =2x -ln(2x -1) +3, 则由g '(x ) =2-
24x -41
=知函数g (x ) 在(,1) 上递减,
2x -12x -12
2
在(1,+∞) 上递增, 故函数g (x ) 的最小值为g (x ) =g (1)=5. 从而d ≥ 综上可知, 所求的最小值为5.
12
⋅5=5. 5
专题2：两点间的斜率公式【参考答案】
6), B (3，2) , 且1. 解:由于点P (m , n ) 在线段AB 上, 其中端点为A (1，
n n -0
表示直=
m m -0
线OP 的斜率, 因此直线OP 的斜率介于直线OB 的斜率与直线OA 的斜率之间, 而
2-026-02n
直线OB 的斜率为=, 直线OA 的斜率=6, 所以≤≤6.
1-03m 3-036), B (3，2) , 且2. 解:由于点P (m , n ) 在线段AB 上, 其中端点为A (1，
n -1
表示直线m -2
1) , 而当点P 为直线x =2与线段AB 的交点时, 直线CP 的CP 的斜率, 其中点C (2，
倾斜角为90︒, 此时直线CP 的斜率不存在, 因此直线CP 的斜率不小于直线CB 的斜率或不大于直线CA 的斜率, 而直线CB 的斜率为n 6-1n n
=-5, 所以的取值范围为≤-5, 或≥1.
m 1-2m m
2-1
=1, 直线CA 的斜率3-2
3. 解:由于点P (m , n ) 在抛物线上, 且
n n -0
表示直线OP 的斜率, 而当点P 为=
m m -0
直线x =0与抛物线的交点时, 直线OP 的倾斜角为90︒, 此时直线OP 的斜率不存在, 因此直线OP 的斜率不小于抛物线的切线OA 的斜率, 或不大于抛物线的切线OB 的斜率.
设抛物线的切线的方程为y =kx , 则联立方程组y =kx 与y =x 2-2x +1可得x 2-(k +2) x +1=0, 令∆=(k +2) 2-4⨯1⨯1=0可得k =0, 或k =-4.
所以,
n n n
的取值范围为≤-4, 或≥0.
m m m
n +1
表示直线CP 的斜率, 其中点C (2,-1) , m -2
4. 解:由于点P (m , n ) 在抛物线上, 且
而当点P 为直线x =2与抛物线的交点时, 直线CP 的倾斜角为90︒, 此时直线CP 的斜率不存在, 因此直线CP 的斜率不小于抛物线的切线CE 的斜率, 或不
大于抛物线的切线CF 的斜率.
设抛物线的切线为y =k (x -2) -1, 则联立y =k (x -2) -1与y =x 2-2x +1可
得x 2-(k +2) x +2k +2=0, 令∆=(k +2) 2-8(k +1) =
0可得k =2±所以,
n n n
的取值范围为≤2-
或≥2+m m m
2-1
2x ), Q (-11) ，所确定直线PQ 的斜率, 而点P (2x ，2x ) 在表示两点P (2x ，x
2+1
x
5. 解:由于y =
射线y =x (x >0) 上, 因此结合图形(参见右图) 分析知直线PQ 的斜率介于直线OQ 的斜率(k OQ =
1-0
=-1) 与直线QR 的斜率(k QR =1) 之间. 所以函数的值域为(-1,1) . -1-0
2x -1
2x ), Q (-11) ，所确定直线PQ 的斜率, 而点P (2x +1，2x ) 6. 解:由于y =x +1表示点P (2x +1，
2+1
1
在射线y =x (x >0) 上, 因此结合图形(见右图) 分析知直线PQ 的斜率介于直线OQ
2
的斜率(k OQ =7. 解:由于y =
1-011
=-1) 与直线QR 的斜率(k QR =) 之间. 所以函数的值域为(-1, ) . -1-022
3-1
3x ), Q (31)，所确定直线PQ 的斜率, 而点P (3x ，3x ) 在射表示两点P (3x ，x
3-3
x
线y =x (x >0) 上, 因此结合图形(见右图) 分析知:当点P 为直线x =3与射线的交点时, 直线PQ 的倾斜角为90︒, 其斜率不存在, 所以PQ 的斜率小于OQ 的斜率k OQ =
1-01
=,
3-03
或大于QR 的斜率k QR =1. 所以函数的值域为(-∞, ) (1,+∞) . 8. 解:由于y =
sin x sin x -0
sin x ), Q (-2，0) 所确定表示两点P (cosx ，=
2+cos x cos x -(-2)
13
sin x ) 在单位圆上, 因此结合图形(参见右图) 直线PQ 的斜率, 而点P (cosx ，
分析知直线PQ 的斜率介于单位圆的切线AQ 的斜率与BQ 的斜率之间.
0) 作单位圆的两切线的斜率为k AQ 由于过点Q (-2，
, k BQ 所
=
以函数的值域为[9. 解:由于y =
. 3-sin x
sin x ), Q (4，3) 所确定直线PQ 的斜率, 表示两点P (cosx ，
4-cos x
sin x ) 在单位圆的上半圆(因为x ∈(0,π) ) 上, 因此结合图形(参而点P (cosx ，
见右图) 分析知直线PQ 的斜率介于单位圆的切线AQ 的斜率与边界直线BQ
的斜率之间.
, 直线BQ 的斜率为k BQ =1,
所以函数的值域为. f (x 1) f (x 1) -0f (x 2) f (x 2) -0
，f (x 1)), O (0，0) 所确定直线OP 1的斜率, 10. 解:由于表示两点P 表示两==1(x 1
x 1x 1-0x 2x 2-0
因为切线的斜率为k AQ 0) 所确定直线OP 2的斜率, „„, 点P 2(x 2，f (x 2)), O (0，
f (x n ) f (x n ) -0
=，0) 所确定表示两点P n (x n ，f (x n )), O (0x n x n -0
直线OP n 的斜率.
因此n 的值即为过原点O 的直线与函数图像的交点个数, 即n 的取值集合为{2,3,4}.
专题3：绝对值函数的图像【参考答案】
2
1. 解:设函数f (x ) =x -4|x |+5, 则f (x ) 是偶函数. 首先, 画
2
出当x ≥0时的函数f (x ) =x -4x +5的图像；其次, 根据偶函数的性质可得当x
由图像可知, 方程f (x ) =m 有四个不等实根时, 实数m 的取值范围为1
2. 解:设函数f (x ) =|x 2-2x -3|. 首先画出函数f (x ) =x 2-2x -3的图像；其次, 将x 轴下方的图像对称到x 轴上方就可以得到函数f (x ) 在定义域内的图像如右图所示.
由图像可知, 方程f (x ) =m +2有四个不等实根时, 实数m 应满足的条件为0
故实数m 的取值范围为-2
首先, 当x -2x -3≥0, 即x ≤-1或x ≥3时, f (x ) =x 2-3x -3；
当x -2x -3
22
由函数f (x ) 的图像可知, 方程f (x ) =m 有四个不等实根时, 实数m
的取值范围为1
13. 4
4. 解:首先, 画出函数f (x ) =|x -2|+1的图像, 如右图的折线部分； 其次, 由于函数g (x ) =kx 的图像是过坐标原点的一条直线.
因此方程f (x ) =g (x ) 有两个不等实根, 即是直线g (x ) =kx 与折
线f (x ) =|x -2|+1有两个不同的交点.
由图像可知, 直线g (x ) =kx 的斜率介于直线OA 的斜率与直线OB 的斜率之间, 故
x
x
1
5. 解:方程|2-3|+m =8的实根个数等价于函数y =|2-3|的图像与直线y =8-m 的交点的个数. 由于函数y =|2-3|的图像可以先将函数y =
2三个单位得到函数y =2-3的图像, 再将函数y =2-3的图像在x 下方的部分关于x 轴对称, 得到函数y =|2-3|的图像如右图所示.
x
所以, 当0
x
x
x
x
x
线y =8-m 有两个交点, 即方程|2-3|+m =8有两个不等实根.
6. 解:首先, 画出函数f (x ) =||x |-1|的图像如右图所示.
其次, 令f (x ) =t , 并设方程t 2-t -k =0的根为t 1, t 2, 则由韦达定理可知t 1+t 2=1, t 1t 2=-k . 由于当k =2时, t 1=-1, t 2=2, 因此方程f (x ) =t 1=-1无实根, 方程f (x ) =t 2=2有两个实根, 此时原方程共有两个不同实根；
由于当k =0时, t 1=0, t 2=1, 因此方程f (x ) =t 1=0有两个实根,
方程f (x ) =t 2=1有三个实根, 此时原方程共有五个不同实根； 由于当k =-
21212
时, t 1=, t 2=, 因此方程f (x ) =t 1=有四个实根, 方程f (x ) =t 2=有四个实93333
根, 此时原方程共有八个不同实根；
由t 1+t 2=1可知t 1, t 2不能同时大于1, 也不能一个为0, 另一个大于1, 故不可能恰有四个不同实根. 综上可知, 答案为①③④.
7. 解:首先, 我们可以画出函数f (x ) =|x 2-1|的图象如下, 因此, 由图象可知: (1)当m 1时, 函数y =f (x ) 的图象与直线y =m 有两个交点.
2
其次, 设f (x ) =t , 则要使方程f 2(x ) +b ⋅f (x ) +c =0有7个不等实根, 方程t +b ⋅t +c =0必有两个2
实根t 1, t 2, 且满足0
8. 解:首先, 画出函数f (x ) =
2
|x |
的图像如右图所示. e x
其次, 由方程f (x ) -mf (x ) +m -1=0得f (x ) =1或f (x ) =m -1. 由于方程f (x ) =1有且只有一个实数根, 因此要使原方程有恰有4个不相等的实数根, 只需方程f (x ) =m -1恰有3个不相等的实数根,
故0
11
⇒1
说明:本题的关键在于画函数f (x ) 的图像, 尤其是应关注函数图像的特征点, 比如极值点！
其次, 设f (x ) =t , 则要使方程f 2(x ) +b ⋅f (x ) +c =0有5个不等实根, 方程t 2+b ⋅t +c =0必有两个实根t 1, t 2, 且满足t 1=0, t 2>2. 从而可知, 必有c =0, 且-b >2⇒b
(1)当m
(3)当04时, 函数y =f (x ) 的图象与直线y =m 有两个交点.
其次, 设f (x ) =t , 则要使f 2(x ) -(2m +1) f (x ) +m 2=0有5个不等实根, t 2-(2m +1) t +m 2=0必有两个实根t 1, t 2, 且满足f (x ) =t 1有两个实根, f (x ) =t 2有三个实根.
故必有t 2=4, 从而16-4(2m +1) +m =0, 解得m =2, 或m =6.
而当m =2时, 方程t 2-5t +4=0的根为t =1, 或t =4. 此时f (x ) =1有四个实根, f (x ) =4有三个实根, 共七个实根, 不合题意. 当m =6时, 符合题意.
综上可知, 答案为B.
3. 解:首先, 画出函数f (x ) 的图像如右图所示.
其次, 若设f (x ) =t , 则f (x ) +f (x ) +a =02
2
t 2+t +a =0. 当a ≤-2时, 方程t 2+t +a =
0的两根为t 1=
-1--1+≥1.
或t 2=
22
从而可知f (x ) =t 1有一个实根, f (x ) =t 2有两个实根. 所以, 关于x 的方程f 2(x ) +f (x ) +t =0有三个不同实根.
若方程f 2(x ) +f (x ) +t =0有三个不同实根, 则需要f (x ) =t 1有一个实根, 且f (x ) =t 2有两个实根. 从而需要方程t 2+t +a =0的两根t 1, t 2满足t 1
综上可知, “a ≤-2”是“关于x 的方程f 2(x ) +f (x ) +a =
04. 解:首先, 画出函数f (x ) 的图像如右图所示. 其次, 当a =而方程f (x ) =-
112
时, 由g (x ) =f (x ) +f (x ) +=0可得f (x ) =441
有一个零点, 故函数g (x ) 有一个零点. 故A 是正确的2
当a =-2时, 由g (x ) =f 2(x ) +f (x ) -2=0可得f (x ) =-f (x ) =1, 而方程f (x ) =-2有一个零点, f (x ) =1有两个零点, .
当-2
1时, 由g (x ) =0得f (x ) =
当a
1有
两个零点, 故函数g (x ) 有三个零点. 故D 是不正确的.