高二数学人教版（理）期末试卷及试卷分析
（答题时间：90分钟）
一. 选择题：（4×10=40分）
1. x ，y ∈R 且xy
A. x +y ≥x -y C. 2xy ≤x +y
B. x +y
x y
+
2. m =-2是直线(2-m ) x +my +3=0与直线x -my -3=0垂直的（ ）
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件
D. 即非充分也非必要条件
3. 已知a >b >0，设p =a -b ，q =a -b 则有（ ） A. p >q B. p ≥q C. p
4. 直线y =k (x -2) +4与曲线y =1+4-x 2有两个交点，则实数k 取值范围是（ ） A.
⎛5
, 12⎝3⎤
B. 4⎥⎦
⎛5⎫
, +∞⎪ C. ⎝12⎭⎛1
, ⎝33⎤5⎫⎛ D. 0, ⎪ 4⎥12⎦⎝⎭
5. 设f (x ) =log x ，若0f (c ) >f (b ) ，则有（ ） A. ac +1
C. ac +1=a +c 则P 点坐标为（ ） A. 2, 22 B.
B. ac +1>a +c D. ac
6. 在抛物线y 2=4x 上找一点P ，使其到焦点F 的距离与到A （2，1）的距离之和最小，
()
⎛1⎫
, 1⎪ C. ⎝4⎭
⎛1⎫
, 1⎪ D. (1, 1) ⎝2⎭
B. y =
7. 下列命题中正确的是（ ）
1
A. y =x +，最小值为2
x
C. y =
x 2+3x +2
2
，最小值为2
x 2+5x 2+4
，最小值为
5
2
D. y =2-3x -
4
，最小值为2-43 x
22
8. 不论b 为何实数，直线y =kx +b 与双曲线x -2y =1总有公共点，则K 的取值范
围（ ） A. ⎢-
⎛22⎤22⎫ ⎪ C. [-2, 2] D. (-2, 2) , -, B. ⎥ 2⎦2⎪⎣2⎝2⎭
9. 设x 1
⎡
个子集，则n 是（ ）
A. 偶数 B. 奇数 C. 奇数偶数均有可能 D. 可能不存在
10. 若椭圆E 的焦点为F 1，F 2，若E 上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则E 的离心率e 的取值范围是（ ）
A. [
1323
, 1) B. (, 1) C. (, 1) D. (0, )
2222
二. 填空题：（4×4=16分）
11. 设x ，y ∈R 满足2x -+y -≤1，则x +y 的最大值为。
b 2
=1，则a +b 2的最大值为。 12. 已知a +2
2
13. 若不等式4-x 2≥kx 的解集的长度为3，则k 的值为 14. 在以F 1（-3，0）、F 2（3，0）为焦点的双曲线中，与直线x -2y +1=0有公共点的双曲线离心率e 的最小值为 。
三. 解答题：
15. 已知a >b >c >0
求证：(a +c )(b +c ) +(a -c )(b -c )
a (x -1)
>1（12分）
x -2
17. 椭圆中心在原点，焦点F 在x 轴上，过F 作倾斜角为60︒的直线l ，交椭圆于A ，B 。若AB =
15
，=-2，求椭圆方程。（10分） 4x 2
-y 2=1，P （1，0）18. 设，在x 轴上是否存在定点Q ，使当过P 的直线交双曲线于4
A 、B 两点时，即有QA 、QB 的倾斜角互补？若Q 存在，求出其坐标，若不存在，说明理由。（12分）
【试题答案】
一.
1. B 2. A 3. C 4. A 5. A 6. B 7. C 8. B 9. B 10. B 二. 11. 三.
15.
22
证明：⇐ab +ac +bc +c +ab -ac -bc +c +2a +c )(b +c )(a -c )(b -c )
533
2 13. ±3 14. 12.
2374
(a 2-c 2)(b 2-c 2)
2
2
2
2
2
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
⇐a b -a c -b c +c 2abc
22222
∵ a >b >c >0 ∴ a c +b c >2ac ⋅bc =2abc 显然成立 16. 解：
a (x -1) (a -1) x +(2-a )
-1>0 >0
x -2x -2(x -2) ⋅[(a -1) x +(2-a )]>0 （1）a =1，x >2
2-a a -2
) >0 (x -2)(x -) >0 （2）a >1 (x -2) ⋅(x +
a -1a -1
a -2x 2
a -1
a -2
)
a -1a -2
① 0
a -1
② a =0 φ
a
-2
a -1
17. 解：
2x x
AC AM e =如图，设AF =x ∵ ∴ =e
2x 2x BC BN
+3x e e
212
= ∴ e = 设a =3m ，c =2m （m >0）则b =m ∴
2+3e 23x 2y 2222
+=1椭：即 5x +9y =45m 22
9m 5m 222⎧⎪5x +9y =45m
⇒5x 2+27(x -2m ) 2=45m 2 ⎨
⎪⎩y =(x -2m )
10827
m =m 32x 2-108mx +63m 2=0 x 1+x 2=328
=AF +BF =a -ex 1+a -ex 2
2271515
m =m = =2a -e (x 1+x 2) =6m -⋅3844
x
2y 2
+=1 ∴ m =1 ∴ 95
18. 解：
⎧y =k (x -1)
设l AB ：y =k (x -1) ⎨2⇒x 2-4k 2(x -1) 2=4 2
⎩x -4y =4
(1-4k 2) x 2+8k 2x -4(k 2+1) =0
⎧1-4k 2≠0⎪422
⎪∆=64k +16(1-4k )(k +1) >0
2⎪8k ⎨x 1+x 2=2
4k -1⎪
⎪-4(k 2+1) ⎪x 1x 2=
1-4k 2⎩
311113, -) ⋃(-, ) ⋃(, ) 322223
y 1y 2
若αQ A +αQ B =π 则k 1+k 2=0 +=0
x 1-x 0x 2-x 0
y x +y 2x 1
y 1(x 2-x 0) +y 2(x 1-x 0) =0 x 0=12
y 1+y 2
∴ k ∈(-
8(k 2+1) 8k 2
-2
2k (x 1-1) x 2+k (x 2-1) x 12x 1x 2-(x 1+x 2)
=2 x 0==
8k k (x 1+x 2-2) x 1+x 2-2
-22
4k -1
8
==4
2
∴ Q （4，0）
【试卷分析】
一. 考查内容：
高二年级数学第六、七、八章内容
二. 考查重点：
1. 含参不等式解法。 2. 简单不等式证明。 3. 利用不等式求最值。
4. 直线与圆锥曲线位置关系，弦长。 5. 利用曲线方程解函数问题。
三. 试卷难度： 约为0.7
高二数学人教版（理）期末试卷及试卷分析
（答题时间：90分钟）
一. 选择题：（4×10=40分）
1. x ，y ∈R 且xy
A. x +y ≥x -y C. 2xy ≤x +y
B. x +y
x y
+
2. m =-2是直线(2-m ) x +my +3=0与直线x -my -3=0垂直的（ ）
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件
D. 即非充分也非必要条件
3. 已知a >b >0，设p =a -b ，q =a -b 则有（ ） A. p >q B. p ≥q C. p
4. 直线y =k (x -2) +4与曲线y =1+4-x 2有两个交点，则实数k 取值范围是（ ） A.
⎛5
, 12⎝3⎤
B. 4⎥⎦
⎛5⎫
, +∞⎪ C. ⎝12⎭⎛1
, ⎝33⎤5⎫⎛ D. 0, ⎪ 4⎥12⎦⎝⎭
5. 设f (x ) =log x ，若0f (c ) >f (b ) ，则有（ ） A. ac +1
C. ac +1=a +c 则P 点坐标为（ ） A. 2, 22 B.
B. ac +1>a +c D. ac
6. 在抛物线y 2=4x 上找一点P ，使其到焦点F 的距离与到A （2，1）的距离之和最小，
()
⎛1⎫
, 1⎪ C. ⎝4⎭
⎛1⎫
, 1⎪ D. (1, 1) ⎝2⎭
B. y =
7. 下列命题中正确的是（ ）
1
A. y =x +，最小值为2
x
C. y =
x 2+3x +2
2
，最小值为2
x 2+5x 2+4
，最小值为
5
2
D. y =2-3x -
4
，最小值为2-43 x
22
8. 不论b 为何实数，直线y =kx +b 与双曲线x -2y =1总有公共点，则K 的取值范
围（ ） A. ⎢-
⎛22⎤22⎫ ⎪ C. [-2, 2] D. (-2, 2) , -, B. ⎥ 2⎦2⎪⎣2⎝2⎭
9. 设x 1
⎡
个子集，则n 是（ ）
A. 偶数 B. 奇数 C. 奇数偶数均有可能 D. 可能不存在
10. 若椭圆E 的焦点为F 1，F 2，若E 上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则E 的离心率e 的取值范围是（ ）
A. [
1323
, 1) B. (, 1) C. (, 1) D. (0, )
2222
二. 填空题：（4×4=16分）
11. 设x ，y ∈R 满足2x -+y -≤1，则x +y 的最大值为。
b 2
=1，则a +b 2的最大值为。 12. 已知a +2
2
13. 若不等式4-x 2≥kx 的解集的长度为3，则k 的值为 14. 在以F 1（-3，0）、F 2（3，0）为焦点的双曲线中，与直线x -2y +1=0有公共点的双曲线离心率e 的最小值为 。
三. 解答题：
15. 已知a >b >c >0
求证：(a +c )(b +c ) +(a -c )(b -c )
a (x -1)
>1（12分）
x -2
17. 椭圆中心在原点，焦点F 在x 轴上，过F 作倾斜角为60︒的直线l ，交椭圆于A ，B 。若AB =
15
，=-2，求椭圆方程。（10分） 4x 2
-y 2=1，P （1，0）18. 设，在x 轴上是否存在定点Q ，使当过P 的直线交双曲线于4
A 、B 两点时，即有QA 、QB 的倾斜角互补？若Q 存在，求出其坐标，若不存在，说明理由。（12分）
【试题答案】
一.
1. B 2. A 3. C 4. A 5. A 6. B 7. C 8. B 9. B 10. B 二. 11. 三.
15.
22
证明：⇐ab +ac +bc +c +ab -ac -bc +c +2a +c )(b +c )(a -c )(b -c )
533
2 13. ±3 14. 12.
2374
(a 2-c 2)(b 2-c 2)
2
2
2
2
2
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
⇐a b -a c -b c +c 2abc
22222
∵ a >b >c >0 ∴ a c +b c >2ac ⋅bc =2abc 显然成立 16. 解：
a (x -1) (a -1) x +(2-a )
-1>0 >0
x -2x -2(x -2) ⋅[(a -1) x +(2-a )]>0 （1）a =1，x >2
2-a a -2
) >0 (x -2)(x -) >0 （2）a >1 (x -2) ⋅(x +
a -1a -1
a -2x 2
a -1
a -2
)
a -1a -2
① 0
a -1
② a =0 φ
a
-2
a -1
17. 解：
2x x
AC AM e =如图，设AF =x ∵ ∴ =e
2x 2x BC BN
+3x e e
212
= ∴ e = 设a =3m ，c =2m （m >0）则b =m ∴
2+3e 23x 2y 2222
+=1椭：即 5x +9y =45m 22
9m 5m 222⎧⎪5x +9y =45m
⇒5x 2+27(x -2m ) 2=45m 2 ⎨
⎪⎩y =(x -2m )
10827
m =m 32x 2-108mx +63m 2=0 x 1+x 2=328
=AF +BF =a -ex 1+a -ex 2
2271515
m =m = =2a -e (x 1+x 2) =6m -⋅3844
x
2y 2
+=1 ∴ m =1 ∴ 95
18. 解：
⎧y =k (x -1)
设l AB ：y =k (x -1) ⎨2⇒x 2-4k 2(x -1) 2=4 2
⎩x -4y =4
(1-4k 2) x 2+8k 2x -4(k 2+1) =0
⎧1-4k 2≠0⎪422
⎪∆=64k +16(1-4k )(k +1) >0
2⎪8k ⎨x 1+x 2=2
4k -1⎪
⎪-4(k 2+1) ⎪x 1x 2=
1-4k 2⎩
311113, -) ⋃(-, ) ⋃(, ) 322223
y 1y 2
若αQ A +αQ B =π 则k 1+k 2=0 +=0
x 1-x 0x 2-x 0
y x +y 2x 1
y 1(x 2-x 0) +y 2(x 1-x 0) =0 x 0=12
y 1+y 2
∴ k ∈(-
8(k 2+1) 8k 2
-2
2k (x 1-1) x 2+k (x 2-1) x 12x 1x 2-(x 1+x 2)
=2 x 0==
8k k (x 1+x 2-2) x 1+x 2-2
-22
4k -1
8
==4
2
∴ Q （4，0）
【试卷分析】
一. 考查内容：
高二年级数学第六、七、八章内容
二. 考查重点：
1. 含参不等式解法。 2. 简单不等式证明。 3. 利用不等式求最值。
4. 直线与圆锥曲线位置关系，弦长。 5. 利用曲线方程解函数问题。
三. 试卷难度： 约为0.7