[***********]2000103
2．计算行列式:D=.
5分，共10分）
⎡010⎤⎡100⎤⎡200⎤
⎥. B=⎢001⎥.C=⎢030⎥ 若AX B=C. 求X. 1001. 设A=⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎢⎢⎣001⎥⎦⎣014⎥⎦⎣010⎥⎦
⎡1⎤
⎥. 求A T B T +BA. 2 2. 已知A=(1 2 3). B=⎢⎢⎥⎢⎣1⎥⎦
五、解答题（本题15分）
给定向量组A ：α=(2, 0, -1, 3) T , β=(1, 7, 4, -2) T , γ=(0, 1, 0, 1) T ,. (1)判定向量组A 的线性相关性;(2)求向量组A 的一个最大线性无关组. （3）若3α-β+5γ+2x =0. 求向量x .
.
>试卷答案及评分标准 一、填空题（每题3分，共15分）.
1. 0. 2. 0. 3. 5. 4. 6.
5. ±1
二、单项选择题（每题3分，共15分）. 1．A 2B . 3. C 4. A . 5. D
三、求解下列各题（每题5分，共10分）
9111591151
.1. 解:D=91511 (3分)
9511191111
004-4040-4
=.9 =36⨯43=2304 (2分).
400-4
000-4
12003400
2. 解:D=5
0020
0003
=-60. (2分).
5002
. 020= - 60 另法: D=
34
03
(3分)
四．求解下列各题（每题5分，共10分） .1. 解： =-1≠0
B =-1≠0∴A 、B 可逆
(2分). 00B -1=001
010
(2分).
(4分)
(2分）
∴X =A -1CB -1⎡01
A -1=⎢⎢10
⎢⎣00⎡0
∴X =⎢⎢2
⎢⎣0
04
0⎤0⎥⎥1⎥⎦3⎤0⎥⎥1⎥⎦
2. 解:
⎡1⎤⎡1⎤
⎥[121]+⎢2⎥[123]. A T B T +BA =⎢2⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣3⎥⎦⎣1⎥⎦⎡244⎤⎥=⎢488⎢⎥
⎢⎣486⎥⎦
(3分)
(2分）
五、（15分）。
⎡2
⎢0
A =(αβγ) =⎢解：⎢-1
⎢⎣2
.
174-2
⎤⎡-1
⎢01⎥⎥→⎢⎢00⎥⎥⎢1⎦⎣040⎤
10⎥⎥. 01⎥
⎥00⎦
(2分).
（1） r (a ) =3=n ∴向量组线性无关 （3分） （2）向量组自身为它的最大无关组 （2分）.
157
, -8) T . （3分）. （3）x =(-3α+β-5γ) =(-, 1,
222
六、(15分)
⎡12
解:A =⎢⎢21
⎢⎣33⎡1
A →⎢⎢0
⎢⎣0
2
1
-2-11
012
⎤⎥
⎥ （2分） ⎥⎦
λ
-3-4
00
⎤⎥0⎥ (3分). λ-3⎥⎦
r (A ) =r (A b ). ∴λ-3=0. ∴λ=3 （4分）
r=2 ∴基础解系含有一个解向量
5⎡
10-⎢3⎢
4
A →⎢01
⎢3⎢
⎢000⎢⎣
⎤
1⎥⎥
0⎥ (4分). ⎥⎥0⎥⎥⎦
⎡5⎤⎢3⎥
⎢⎥⎡1⎤4⎥ k ∈R (2分). 0∴通解为:X=k ⎢-⎥+⎢⎢3⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣0⎥⎦1⎢⎥⎢⎣⎥⎦
七、（15分）。
22
解：（1）f (x ) =x 12+2x 2+3x 3+2x 1x 2 （5分）.
(2)λE -A =(λ-3)(λ2-3λ+1) =0. ∴λ1=3. λ2=
∴.
3-3+5
（6分）. ., λ3=
22
(3) λi 0. i =1, 2, 3. ∴二次型为正定二次型. (4分).
附加题：
八．（5分）
若A 是正定的, 则存在实可逆矩阵C 使A=CTC ∴A-1 = (CTC) -1 = C-1 (C-1) T ∵C 可逆 ∴C-1也是实可逆矩阵 ∴有A-1也是正定矩阵.
[***********]2000103
2．计算行列式:D=.
5分，共10分）
⎡010⎤⎡100⎤⎡200⎤
⎥. B=⎢001⎥.C=⎢030⎥ 若AX B=C. 求X. 1001. 设A=⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎢⎢⎣001⎥⎦⎣014⎥⎦⎣010⎥⎦
⎡1⎤
⎥. 求A T B T +BA. 2 2. 已知A=(1 2 3). B=⎢⎢⎥⎢⎣1⎥⎦
五、解答题（本题15分）
给定向量组A ：α=(2, 0, -1, 3) T , β=(1, 7, 4, -2) T , γ=(0, 1, 0, 1) T ,. (1)判定向量组A 的线性相关性;(2)求向量组A 的一个最大线性无关组. （3）若3α-β+5γ+2x =0. 求向量x .
.
>试卷答案及评分标准 一、填空题（每题3分，共15分）.
1. 0. 2. 0. 3. 5. 4. 6.
5. ±1
二、单项选择题（每题3分，共15分）. 1．A 2B . 3. C 4. A . 5. D
三、求解下列各题（每题5分，共10分）
9111591151
.1. 解:D=91511 (3分)
9511191111
004-4040-4
=.9 =36⨯43=2304 (2分).
400-4
000-4
12003400
2. 解:D=5
0020
0003
=-60. (2分).
5002
. 020= - 60 另法: D=
34
03
(3分)
四．求解下列各题（每题5分，共10分） .1. 解： =-1≠0
B =-1≠0∴A 、B 可逆
(2分). 00B -1=001
010
(2分).
(4分)
(2分）
∴X =A -1CB -1⎡01
A -1=⎢⎢10
⎢⎣00⎡0
∴X =⎢⎢2
⎢⎣0
04
0⎤0⎥⎥1⎥⎦3⎤0⎥⎥1⎥⎦
2. 解:
⎡1⎤⎡1⎤
⎥[121]+⎢2⎥[123]. A T B T +BA =⎢2⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣3⎥⎦⎣1⎥⎦⎡244⎤⎥=⎢488⎢⎥
⎢⎣486⎥⎦
(3分)
(2分）
五、（15分）。
⎡2
⎢0
A =(αβγ) =⎢解：⎢-1
⎢⎣2
.
174-2
⎤⎡-1
⎢01⎥⎥→⎢⎢00⎥⎥⎢1⎦⎣040⎤
10⎥⎥. 01⎥
⎥00⎦
(2分).
（1） r (a ) =3=n ∴向量组线性无关 （3分） （2）向量组自身为它的最大无关组 （2分）.
157
, -8) T . （3分）. （3）x =(-3α+β-5γ) =(-, 1,
222
六、(15分)
⎡12
解:A =⎢⎢21
⎢⎣33⎡1
A →⎢⎢0
⎢⎣0
2
1
-2-11
012
⎤⎥
⎥ （2分） ⎥⎦
λ
-3-4
00
⎤⎥0⎥ (3分). λ-3⎥⎦
r (A ) =r (A b ). ∴λ-3=0. ∴λ=3 （4分）
r=2 ∴基础解系含有一个解向量
5⎡
10-⎢3⎢
4
A →⎢01
⎢3⎢
⎢000⎢⎣
⎤
1⎥⎥
0⎥ (4分). ⎥⎥0⎥⎥⎦
⎡5⎤⎢3⎥
⎢⎥⎡1⎤4⎥ k ∈R (2分). 0∴通解为:X=k ⎢-⎥+⎢⎢3⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣0⎥⎦1⎢⎥⎢⎣⎥⎦
七、（15分）。
22
解：（1）f (x ) =x 12+2x 2+3x 3+2x 1x 2 （5分）.
(2)λE -A =(λ-3)(λ2-3λ+1) =0. ∴λ1=3. λ2=
∴.
3-3+5
（6分）. ., λ3=
22
(3) λi 0. i =1, 2, 3. ∴二次型为正定二次型. (4分).
附加题：
八．（5分）
若A 是正定的, 则存在实可逆矩阵C 使A=CTC ∴A-1 = (CTC) -1 = C-1 (C-1) T ∵C 可逆 ∴C-1也是实可逆矩阵 ∴有A-1也是正定矩阵.