九年级数学导学案
课题
2.4.2 用十字相乘法 课型 新授 课时 22 教师 解一元二次方程（ 解一元二次方程（补） 教学 1． 理解什么是十字相乘法，会用十字相乘法分解因式。 理解什么是十字相乘法，会用十字相乘法分解因式。 目标 2． 在分解因式的基础上进行解一元二次方程。 在分解因式的基础上进行解一元二次方程。
重点 难点 教法 学法 二、 讲授 新课
用十字相乘法解一元二次方程 用十字相乘法解一元二次方程 合作探究 合作交流 时间 2009 年 9 月 24 日 学习困惑记 录 反过来， 我们知道 ( x + 2 )( x + 3) = x 2 + 5 x + 6 ， 反过来 ， 就得到 二 次 三 项 式 x2 + 5x + 6 的 因 式 分 解 形 式 ， 即
x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2 )( x + 3) ，其中常数项 6 分解成 2,3 两个
因数的积， 因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数 5，即 6=2× 2+3=5。 6=2×3，且 2+3=5。 一 般 地 ， 由 多 项 式 乘 法 ， 反过来， ( x + a )( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + ab ，反过来，就得到
x 2 + ( a + b ) x + ab = ( x + a )( x + b )
这就是说， 这就是说，对于二次三项式 x 2 + px + q ，如果能够把常 分解成两个因数 的积， 等于一次项的 数项 q 分解成两个因数 a、b 的积，并且 a+b 等于一次项的 那么它就可以分解因式， 系数 p，那么它就可以分解因式，即
x 2 + px + q = x 2 + ( a + b ) x + ab = ( x + a )( x + b ) 。 运用这个公
的二次三项式分解因式。 式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式。 分解因式时： 把 x 2 + px + q 分解因式时： 是正数， 那么把它分解成两个同号因数， 如果常数项 q 是正数， 那么把它分解成两个同号因数， 的符号相同。 它们的符号与一次项系数 p 的符号相同。 是负数， 那么把它分解成两个异号因数， 如果常数项 q 是负数， 那么把它分解成两个异号因数， 的符号相同。 其中绝对值较大的因数与一次项系数 p 的符号相同。 对于分解的两个因数， 对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一 次项的系 由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式
ax 2 + bx + c 进行因式分解。 进行因式分解。
我们知道， 我们知道，
( a1 x + c1 )( a2 x + c2 )
= a1a2 x 2 + a1c2 x + a2 c1 x + c1c2 = a1a2 x 2 + ( a1c2 + a2 c1 ) x + c1c2
反过来， 反过来，就得到
= ( a1 x + c1 )( a2 x + c2 ) a1a2 x 2 + ( a1c2 + a2 c1 ) x + c1c2
我们发现， 我们发现，二次项的系数 a 分解成 a1a2 ，常数项 c 分解 排列如下： 成 c1c2 ，并且把 a1 ， a2 ， c1 ， c2 排列如下： a1 a2 c1 c2
这里按斜线交叉相乘，再相加， 这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1 c2 + a2 c1 ，如果它 那么 ax 2 + bx + c 就 们正好等于 ax 2 + bx + c 的一次项系数 b ， 可以分解成
位于上图的上一行， ( a1 x + c1 )( a2 x + c2 ) ，其中 a1 ，c1 位于上图的上一行，a2 ，c2 位于下一行。 位于下一行。 像这种借助画十字交叉分解系数， 像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二 次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 一般地我们也可以用这种方法进行解一元二次方程。 一般地我们也可以用这种方法进行解一元二次方程。 例 1 （1） x 2 + 3 x + 2 =0 （1） x 2 − 4x − 21 =0
三、 应用 深化
1、解方程 (1) 2 x 2 − 7 x + 3 =0 (2) 6 x 2 − 7 x − 5 =0
随时纠错
2 (3) 2 x − 5 x − 3 = 0
(4) 2 x 2 + 15 x + 7 =0
(5) 3a 2 − 8a + 4 =0
(6) 5 x 2 + 7 x − 6 =0
(7) 6 y 2 − 11 y − 10 =0
2 (8) x − 2 5 x + 5 = 0
(9)
2x 2 − 5x + 2 = 0
(10)
x 2 − 5x − 6 = 0
(11)
x 2 + 8 x + 16 = 0
2 (12) 6 x + x − 2 = 0
(13)
x 2 + (1 + 3 ) x + 3 = 0
三、 小结 反馈
本节课你学到了什么？ 节课你学到了什么？
课后 反思
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2.4.2 用十字相乘法 课型 新授 课时 22 教师 解一元二次方程（ 解一元二次方程（补） 教学 1． 理解什么是十字相乘法，会用十字相乘法分解因式。 理解什么是十字相乘法，会用十字相乘法分解因式。 目标 2． 在分解因式的基础上进行解一元二次方程。 在分解因式的基础上进行解一元二次方程。
重点 难点 教法 学法 二、 讲授 新课
用十字相乘法解一元二次方程 用十字相乘法解一元二次方程 合作探究 合作交流 时间 2009 年 9 月 24 日 学习困惑记 录 反过来， 我们知道 ( x + 2 )( x + 3) = x 2 + 5 x + 6 ， 反过来 ， 就得到 二 次 三 项 式 x2 + 5x + 6 的 因 式 分 解 形 式 ， 即
x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2 )( x + 3) ，其中常数项 6 分解成 2,3 两个
因数的积， 因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数 5，即 6=2× 2+3=5。 6=2×3，且 2+3=5。 一 般 地 ， 由 多 项 式 乘 法 ， 反过来， ( x + a )( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + ab ，反过来，就得到
x 2 + ( a + b ) x + ab = ( x + a )( x + b )
这就是说， 这就是说，对于二次三项式 x 2 + px + q ，如果能够把常 分解成两个因数 的积， 等于一次项的 数项 q 分解成两个因数 a、b 的积，并且 a+b 等于一次项的 那么它就可以分解因式， 系数 p，那么它就可以分解因式，即
x 2 + px + q = x 2 + ( a + b ) x + ab = ( x + a )( x + b ) 。 运用这个公
的二次三项式分解因式。 式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式。 分解因式时： 把 x 2 + px + q 分解因式时： 是正数， 那么把它分解成两个同号因数， 如果常数项 q 是正数， 那么把它分解成两个同号因数， 的符号相同。 它们的符号与一次项系数 p 的符号相同。 是负数， 那么把它分解成两个异号因数， 如果常数项 q 是负数， 那么把它分解成两个异号因数， 的符号相同。 其中绝对值较大的因数与一次项系数 p 的符号相同。 对于分解的两个因数， 对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一 次项的系 由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式
ax 2 + bx + c 进行因式分解。 进行因式分解。
我们知道， 我们知道，
( a1 x + c1 )( a2 x + c2 )
= a1a2 x 2 + a1c2 x + a2 c1 x + c1c2 = a1a2 x 2 + ( a1c2 + a2 c1 ) x + c1c2
反过来， 反过来，就得到
= ( a1 x + c1 )( a2 x + c2 ) a1a2 x 2 + ( a1c2 + a2 c1 ) x + c1c2
我们发现， 我们发现，二次项的系数 a 分解成 a1a2 ，常数项 c 分解 排列如下： 成 c1c2 ，并且把 a1 ， a2 ， c1 ， c2 排列如下： a1 a2 c1 c2
这里按斜线交叉相乘，再相加， 这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1 c2 + a2 c1 ，如果它 那么 ax 2 + bx + c 就 们正好等于 ax 2 + bx + c 的一次项系数 b ， 可以分解成
位于上图的上一行， ( a1 x + c1 )( a2 x + c2 ) ，其中 a1 ，c1 位于上图的上一行，a2 ，c2 位于下一行。 位于下一行。 像这种借助画十字交叉分解系数， 像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二 次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 一般地我们也可以用这种方法进行解一元二次方程。 一般地我们也可以用这种方法进行解一元二次方程。 例 1 （1） x 2 + 3 x + 2 =0 （1） x 2 − 4x − 21 =0
三、 应用 深化
1、解方程 (1) 2 x 2 − 7 x + 3 =0 (2) 6 x 2 − 7 x − 5 =0
随时纠错
2 (3) 2 x − 5 x − 3 = 0
(4) 2 x 2 + 15 x + 7 =0
(5) 3a 2 − 8a + 4 =0
(6) 5 x 2 + 7 x − 6 =0
(7) 6 y 2 − 11 y − 10 =0
2 (8) x − 2 5 x + 5 = 0
(9)
2x 2 − 5x + 2 = 0
(10)
x 2 − 5x − 6 = 0
(11)
x 2 + 8 x + 16 = 0
2 (12) 6 x + x − 2 = 0
(13)
x 2 + (1 + 3 ) x + 3 = 0
三、 小结 反馈
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