风险管理中的风险分配问题_夏路

2008年8月系统工程理论与实践第8期

文章编号:1000-6788(2008) 08-0107-11

风险管理中的风险分配问题

夏路, 魏先华

2, 3

, 姜铁军, 程兵

(11中国科学院数学与系统科学研究院, 北京100190; 21中国科学院研究生院管理学院, 北京100190;

31中国科学院路透金融风险管理联合实验室, 北京100190; 41新华资产管理股份有限公司, 北京100022) 摘要: 为了进一步明晰风险管理实践中选择风险分配函数的问题, 通过引入风险度量定义, 分析了无组合效应风险与可互换风险这两种具有特殊性质的个体风险特征, 并在此基础上讨论了风险分配应该满足的原则, 继而证明并比较了标准差风险度量下, 协方差风险分配函数与相对风险分配函数性质上的差异, 并得到如下结论:1) 风险预算也是一种特殊形式的风险分配函数; 2) 在标准差风险度量下, 协方差风险分配函数是可行的风险分配函数; 3) 在标准差风险度量下, 相对风险分配函数不是可行的风险分配函数; 4) 在一定条件下, 风险分配函数之间具有等价性. 关键词: 风险度量; 风险分配; 风险预算

中图分类号: F830 文献标志码: A

Risk allocation in risk management

XIA Lu , WEI Xian -hua , JIANG Tie -jun , CHENG Bing

2, 3

(11Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China; 21Managemen t School, Graduate

Universi ty of Chinese Academy of Sciences, Beiji ng 100190, China; 31CAS -Reuters Risklab, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China; 41Risk Management Department, New China Asset Management Company, Beijing 100022, China)

Abstract : To thoroughly understand the problems of risk allocating function selection, the concept of risk measure is introduced and the characters of redundant risk and interchangeable risk are discussed in detail. The financial meanings of the risk allocation principles are fully explained. The different properties between covariance risk allocation function and relati ve risk allocation function are also discussed, and the com monly used risk budgeting model is proved to be a special form of risk allocation function. There are some conclusions in this paper :1) risk budget is a risk allocation function wi th special form; 2) using a standard deviation risk measure, covariance risk allocation function is feasible; 3) using a standard deviation function, relative risk allocation function is unfeasible; 4) with some condition, differen t risk allocation functions are interchangeable. Key words : risk measure; risk allocation; risk budgetin g

1 引言

通常一个基金公司拥有多个基金经理, 并同时管理多个不同风格的资产组合. 基金公司希望对基金的整体风险进行监控和预警, 必然面临着如何衡量各基金经理所管理的风险资产组合对基金整体风险的贡献多少的问题. 在资产配置阶段, 基金公司面临的问题则是如何有效的对各个基金经理管理的组合分配适度规模的风险资本. 为此很多基金公司引入了风险预算管理模型.

Litterman

[1]

, Pearson , Rahl , Scherer

[5]

[2][3][4]

详细介绍了基于风险预算的风险管理模式, 并把它作为现代投

资理论中不可缺少的一部分. Sharpe 在均值-方差效用函数下, 给出了风险预算与传统组合优化理论之间的联系. 尽管风险预算在实际中已经被广泛应用, 但是不同的管理者站在各自不同的角度上, 对风险预算这一概念有不同的理解, 目前还缺少一个统一的、准确的定义. 见Chow 和Kritzman .

风险预算是一种风险管理驱动下的投资及监控过程, 它包含了风险识别、风险度量、风险分配、风险或

收稿日期:2007-03-01

资助项目:国家自然科学基金重点项目/金融风险的测量与建模0(70331001) ; 中国科学院研究生院启动基金作者简介:通讯作者:魏先华, E -mail:weixh@gucas. ac. cn.

[6]

108

系统工程理论与实践2008年8月

风险资本的配置、风险的监控和调整等一系列的流程. 基于上述文献下面我们尝试给出风险预算的定义.

定义1 风险预算(Risk B udgeting) :它是基于对未来一段时期内的事前风险(Exante Risk) 的充分识别, 选择适当的风险度量指标来确定组合风险水平, 并基于同样的风险度量给出一种有效的风险分配方式, 以便将组合风险分配到组合中的不同部分上(例如资产类或个体资产) ; 最后根据不同部分对组合的风险贡献以及隐含预期收益贡献之间的差异, 来确定当前组合偏离有效组合的程度.

(定义1) 表明:1) 风险预算是一种有效的风险分配方式; 2) 风险预算要衡量出个体资产对组合的风险贡献大小; 3) 当与个体资产对组合的隐含预期收益贡献结合在一起时, 风险预算可以揭示组合的有效性, 以及偏离有效组合的程度. 同时, 风险预算还与时间长度、事前风险的识别以及风险度量的选择直接相关.

风险预算所解决的主要问题是, 在风险组合管理中, 对于给定的包含若干种风险资产的组合, 个体如何确定每一种风险资产或风险资产的子组合对整个组合的风险贡献, 以及如何有效的在各个风险资产及其子组合上分配风险资本. Rahl 强调, 风险本身并不是件坏事, 而没有正确识别风险、度量风险以及管理风险才会产生严重的后果.

传统的风险投资组合理论无法全面的回答这一问题, 因为它所注重的是风险投资组合的选择问题. 这种情况下投资者只关注如何获得最优的风险组合头寸配置比例, 而不关心风险资产或子组合对整个组合的风险贡献. 然而随着组合中风险资产品种的增加, 基金经理不再满足于仅仅知道优化配置的结果, 他们开始关心组合风险的真正来源, 和对不同风险进行有选择的对冲. 因此, 投资者要求了解风险组合的风险构成, 即子组合或风险资产对整个组合的风险和收益贡献的大小.

下面我们首先给出风险度量的定义, 借助风险度量的可微性可以得到不同的风险分配函数. 研究重点在于风险分配函数与风险度量之间的联系. 最终我们会看到实际中最常用到的风险预算模型, 是在特定风险度量和风险分配函数下的一种特殊形式的风险分配问题.

[3]

2 风险度量

风险度量是对风险资产在未来时刻, 可能带来的风险损失规模大小的一种衡量指标. 假定(8, F , P ) 表示给定的概率空间, 所有随机变量都定义在L (8, F , P ) 上, 即方差有限. 经济系统中有J 个投资个体, 个体之间用j =1, , , J 加以区别, 他们共同构成投资者集合. 假定每个投资个体分别对应的持有一种不同的风险, 即存在N =J 种风险. 令{N i }, (i =1, , , N ) 表示一个单位的第i 种风险. 在单期投资问题中, N i 表示单位风险资产在未来时刻1上的不确定收益.

定义2 纯粹风险(Pure Risk) :令x i ¦N i -E [N i ]则有E [x i ]=0, 称x i 为纯粹风险.

(定义2) 中纯粹风险x i 衡量的是未来时刻1上, 单位风险资产N i 相对其预期收益E (N i ) 的偏离程度, 见文献[7].

令X ¦{x 1, , , x n }表示由单位纯粹风险构成的风险集合, 它是风险的最小单位, 也是形成不同风险组合的基础(PortfolioBase). x X ¦险子集合, x Y ¦

i I Y

i I X

E x

表示由单位纯粹风险构成的(线性) 风险集合. Y A X 表示单位纯粹风

E x

表示由X 的子集Y 中风险构成的(线性) 风险集合.

我们可以将x i , (i =1, , , N ) 理解为N 种不同的风险因素, 则x X 表示线性风险因素集合(以下简称:风险因素集合) .

定义3 风险度量:风险度量是从风险空间到实数空间上的映射c (#) :L y R , 并满足以下条件:1) 正定性(Positive Definiteness) :对任意风险x I L , 有c (x ) \0; 和c (x ) =0, 当且仅当x =0. 2) 正齐次性(Positive Homogeneity) :对任意常数a \0和任意风险x I L , 有c (ax ) =ac (x ). 3) 次可加性(Subadditivity) :对任意风险x 1, x 2I L , 有c (x 1+x 2) [c (x 1) +c (x 2).

Goovaerts 认为风险度量的选择需要具有明确的金融和经济学含义. 下面我们给出(定义3) 风险度量.

[8]

第8期风险管理中的风险分配问题

109

注记1 正定性表明在这样的风险度量下, 任何非退化的不确定收益都具有风险. 在退化的情况下, 当x =0时(几乎处处相等) , 有N =E [N ], N 表示预期收益为E [N ]的无风险资产.

注记2 次可加性反映出通过组合可以降低风险因素集合的整体风险水平. Goovaerts Subdecomposability of Risk. 分散化带来的风险降低效果可以表示为

[c (x 1) +c (x 2) ]-c (x 1+x 2) \0

满足次可加性的风险度量, 可以保证风险因素集合的风险水平总是低于构成风险因素集合的各部分风险水平之和. 换而言之, 加入额外的风险可能会增大风险因素集合的风险水平, 但是在满足次可加性的风险度量下, 风险因素集合的风险增量一定不会超过该风险本身的风险值. 即:c (x 1+x 2) -c (x 1) [c (x 2).

当x 1, x 2完全线性相关时, 次可加性中的等号成立:c (x 1+x 2) =c (x 1) +c (x 2) , 即风险因素集合的风险等于个体风险之和, 这意味着风险因素集合中所有个体风险都受共同风险因素的影响, 其不确定收益表现为同涨同跌.

注记3 正齐次性反映出风险水平还依赖于头寸的大小. 头寸越大则变现时间就越长, 必然带来更多的风险(例如流动性风险、市场风险). 例如, 在一次交易中变现ax 所面临的风险损失, 会超过在a 次交易中变现x 所面临风险损失的合计值. 当风险度量同时还满足次可加性时, 就会得正齐次性的表达式.

正齐次性保证, 当个体风险之间完全相关, 即不存在任何分散化效果的情况下, 风险因素集合的风险水平等于个体风险水平之和. 正齐次性还保证了风险度量可以表达为金额的形式, 并且不依赖于货币品种的选择.

在数学上, 由风险度量所满足的上述性质可知, 风险度量c (#) 是定义在风险资产未来收益空间中的泛数. 在二次可积的L 空间中, 风险度量可以表达为

c (x i ) ¦3x i , x i =+x i +=[E (x ) ]

的VaR(Value at Risk) 都是满足上述性质的风险度量.

12i

[9]

称之为

=R (x i ) =R (N i )

其中R (#) 表示求标准差的运算. 因此, 传统金融投资理论中广泛使用的标准差以及基于Risk Metric 方法

3 风险特征的描述

在风险资产组合管理中, 通常关心的问题是个体风险或风险子组合对整个风险组合的风险贡献的大小. 金融机构通常使用增量VaR(IVaR:Incremental VaR) 和增量跟踪误差(ITE:Incremental Tracking Error) 来表示单个风险资产对风险资产组合的风险贡献水平. 它们衡量的是, 在风险资产组合中去掉某个风险资产

x i 后组合风险的变化量.

定义4 增量风险贡献(Incremental Risk Contribution) :在风险度量c (#) 下, 对任意风险因素子集Y

风险度量的次可加性可以保证, 任意个体风险的增量风险贡献总是不会超过其自身的风险水平. 即$i (x Y ) [c (x i ) .

定义5 无组合效应风险(Redundant Risk) :在风险度量c (#) 下, 如果对任意风险因素子集Y A X \{x i }, 风险x i 对Y 的增量风险贡献都等于x i 自身的风险水平, 即$i (x Y ) =c (x i ) , 则称风险x i 在风险因素集合X 中是无组合效应风险.

对任何风险因素子集, 无组合效应风险的增量风险贡献都等于自身的风险值. 在标准差风险度量下, 令x i X 0表示单位纯粹风险, 由无组合效应风险的定义有Q (x i , x Y ) =1. 即无组合效应风险x i 与任意风险子组合都是完全线性正相关. 因此, 无组合效应风险是指没有任何风险分散化效果的个体风险, 即无论将其与其它风险组合在一起进行风险管理, 还是将两者分开管理都不会改变总的风险水平.

定义6 可互换风险(Interchangeable Risk) :在风险度量c (#) 下, 如果对任意的风险因素子集Y A X \{x i , x j }, 风险x i , x j 对Y 的增量风险贡献都相等, 即$i (x Y ) =$j (x Y ) , 则风险x i , x j 在风险因素集合X 中是可互换风险.

Y A {x , j j .

110

系统工程理论与实践2008年8月

一个, 风险因素集合的风险水平变化量都相等.

注记4 下面我们给出可互换风险的示例. 在标准差风险度量下, 由可互换风险定义有

Cov(x i -x j , x Y ) =-015[R (x i ) -R (x j ) ]

x X 建立线性关系.

x i =A i +B i x X +E i

(2)

令x 1, x 2分别表示中国石化、上海石化两只股票, x Y 表示任意风险资产组合Y A X \{x i , x j }; B 1, B 2, B x 分别表示它们对应的市场贝塔值. 假定风险资产的非系统性风险E i 独立同分布, 同时与市场组合x X

Y 之间的相关性为零. 则有

R (x i ) =B i @R (x X ) +R (E i )

将(公式2) 、(公式3) 代入(公式1) 式中则有

B 1-B 2

(B 1-B 2) B x =-Y 2

即

(B 1-B 2) (2B x +B 1+B 2) =0Y

因此, 在上述假定条件成立的情况下, 贝塔值接近的股票可以视为可互换风险. 即

B 1=B 2

例如, 中国石化与上海石化可以近似认为是一对可互换风险. 在选择可互换风险时, 理性个体会选择

预期收益更高的个体风险资产, 这样可以提升组合的有效性.

(5)

(1)

假定C APM 资产定价模型成立, 令x X 表示市场组合, 则任意风险资产或投资组合都可以同市场组合

(3)

(4)

4 风险分配函数的定义与风险分配原则

当我们借助上述风险度量指标给出风险因素集合的风险度量值后, 面临的下一个问题就是如何将整个风险因素集合的风险度量值, 以一种公平合理的方式自上而下的分配给每一个可能的风险因素子集, 我们称之为风险分配函数.

定义7 (组合) 风险分配函数:对于给定风险度量c (#) 和风险因素集合X , (组合) 风险分配函数是将风险因素集合的风险水平c (x X ) 归因到集合中个体风险对组合风险贡献的映射.

0(X , c (#) ) :R y R

令B =(b 1, , , b N ) ¦(01, , , 0N ) 表示风险分配的比例, 并满足

i =1

E b

=100%(6)

令k i =b i @c (x X ) , (i =1, 2, , , N ) 表示风险分配的结果, 并满足

i =1

E k

=c (x X ) (7)

其中(公式6) 、(公式7) 表示组合风险的完全分配条件(Full Allocation).

风险分配为组合管理提供了有效的风险监控手段, 通过它可以把组合的整体风险自上而下的分配到各个基金经理、子组合或风险资产上, 形成基于风险的资本配置与绩效评估方法.

风险分配的结果依赖于:1) 风险度量的选择, 它确定了组合的风险水平. 2) 对个体风险联合分布的假定, 它确定了个体风险损失与组合风险损失之间的关联性. 3) 对风险分配函数的定义, 它确定了风险分配的具体形式.

风险分配函数并不是随意的配置风险, 风险分配结果必须满足一系列富有金融和经济学含意的分配原则. 风险分配的结果要正确反映出个体风险对组合的风险贡献, 至少需要满足以下一些分配原则:

1) 风险分配可以针对不同的组合划分方式, 例如按照资产类, 行业或风格, 基金经理人等方式将组合

第8期风险管理中的风险分配问题

111

2) 在任意划分方式下, 各子组合分配的风险之和等于组合风险, 即组合风险恰好被完全分配掉. 3) 各子组合上的风险分配结果要具有可比性, 其分配结果的大小要能够反映出它对组合风险贡献的多少.

4) 组合中加入无风险资产(例如现金) 可以降低组合风险水平.

5) 在任意划分方式下, 风险分配的结果都能够反映出组合的风险分散化效果. 否则可以将组合拆分后单独管理, 这样反而会降低整体风险水平.

6) 两个完全一样的子组合应该分配相同的风险规模. 7) 风险分配的结果不应该受货币计量单位的影响.

下面我们借助严格的数学语言, 将上述风险分配原则一一表达出来. 定义8 (组合) 风险分配原则:

1) 无组合效应性(Independent) 如果x i 是风险因素集合X 中的无组合效应风险, 则

k i =c (x i )

2) 对称性(Symmetry) 如果x i , x j I X 是风险因素集合X 中的可互换风险, 则有

k i =k j

3) 一致性(C onsistency) 对任意风险因素子集Y A X , 都有

k (x Y ) =

x I Y

E k

4) 不可再分性(NoUndercut) Y X , 都有

x I Y

E k

x I Y

E x

=c (x Y )

注记5 无组合效应性:对于给定的风险度量, 无组合效应风险获得的风险分配总是等于其自身的风险值. 如果加入新的风险没有给组合带来任何风险分散化的好处, 则该风险本身也不会从组合中得到任何风险降低的好处.

注记6 对称性:对风险因素集合而言, 可互换风险具有完全相同的风险分散化效果. 尽管它们自身的风险水平可能不同, 但是在风险分配中它们获得完全相同的风险配置. 对称性反映出风险分配结果上的差异, 主要是由于个体风险同风险因素集合之间相关关系的不同.

注记7 一致性:无论采用自下而上, 还是自上而下的风险分配方式, 满足一致性的风险分配结果都能保证在组合的不同级别上, 风险分配结果的一致性.

注记8 不可再分性:对任意风险因素子集, 在其对应的风险分配结果中都包含了分散化带来的风险降低的好处. 如果没有风险分散化好处, 则将该风险因素子集从组合中剥离出来, 反而会降低整体的风险水平.

例如, 在个体风险级别上由不可再分性有k i [c (x i ) , (i =1, , , N ) , 即形成风险组合后, 个体风险x i

分配的风险值为k i , 低于其自身的风险度量值c (x i ).

风险组合的形成必然是以能够得到风险分散化好处为前提的, 因此不可再分性原则是风险分配函数需要具备的一个非常重要的性质.

定义9 可行的风险分配函数:满足不可再分性的风险分配函数称为可行的风险分配函数.

定义10 非负风险分配函数:如果风险分配结果满足k i \0, (i I N ) , 则称之为非负风险分配函数.

5 几种常见的风险分配函数

最简单的组合风险分配方式就是让所有个体平均分担组合整体风险水平.

定义11 完全分散化的风险分配函数:在风险度量c (#) 下, 完全分散化的风险分配函数可以表示为

b i = k i =@c (x X ) , (i =1, , , N )

N N

其中:c (x X ) =

, b i 表示风险x i 风险分配比例, k i 表示风险x i

112风险分配规模.

系统工程理论与实践2008年8月

注记9 完全分散化的风险分配函数将组合风险按照组合中个体风险的数量进行平均分配. 对于风险厌恶个体, 当个体风险满足独立同分布条件时, 完全分散化的风险共担原则在二阶随机占优意义下优于其他任何分配函数.

但是它忽略了个体风险之间的很多信息, 例如对组合风险分散化效果贡献不同的个体风险, 具有完全相同的风险分配结果, 这显然有悖于公平原则.

定义12 相对风险分配函数:在风险度量c (#) 下, 相对风险分配函数可以表示为

b i =

c (x i )

j =1

E c (x )

k i =

c (x i )

j =1

E c (x )

@c (x X ) , (i =1, , , N )

其中:c (x X ) =c

j =1

E x

表示风险因素集合的风险度量值, c (x i ) 表示风险x i 的风险度量值, b i 表示风险

x i 风险分配比例, k i 表示风险x i 风险分配规模.

注记10 相对风险分配函数以个体风险度量值与合计值的相对比例作为尺度来分配风险. 一般情况下, 个体风险水平越高, 其分配的风险相对会越多. 但是相对风险分配函数忽略了个体风险之间的相关性对组合风险水平的影响. 由于风险度量满足次可加性, 对于金融机构而言, 考虑个体风险之间的相关性可以在一定程度上降低需要的经济资本, 从而获得更高的资本利用率.

当我们将个体风险放在组合背景下考虑时, 个体风险对组合风险水平的影响体现在, 加入或剔除该个体风险对组合风险水平的改变量上, 即个体风险对组合的增量风险贡献大小. 基于增量风险贡献Merton 和Perold 给出了下面的风险分配函数.

定义13 Merton -Perold 风险分配函数:对任意个体风险x i 和风险因素子集Y =X \{x i }, Merton -Perold 风险分配函数可以表示为

b i =

[10]

j =1

$i (x Y ) $j (x Y )

k i =

j =1

$i (x Y ) $j (x Y )

@c (x X ) , (i =1, , , N )

其中:c (x X ) =c

j =

E x

表示风险因素集合的风险度量值, $i (x Y ) =c (x Y +x i ) -c (x Y ) 表示个体风险x i

对风险因素子集Y 的增量风险贡献. b i 表示风险x i 风险分配比例, k i 表示风险x i 风险分配规模.

它将保险公司发生违约风险时, 保险客户可能遭受的损失作为风险度量. 这种基于Quantile 的下方损失风险度量在一般意义下是不可微的, 因此以增量风险的形式来表示个体风险对风险因素集合风险水平的影响程度.

定义14 协方差风险分配函数:在风险度量c (#) 下, 协方差风险分配函数可以表示为

b i =

Cov(x i , x X )

Var(x X )

Cov(x i , x X )

i =1

E Cov(x , x

k i =

)

Cov(x i , x X )

@c (x X ) , (i =1, , , N )

Var(x X )

其中c (x X ) 表示风险因素集合的风险度量值, b i 表示风险x i 风险分配比例, k i 表示风险x i 风险分配规模.

注记11 对风险因素集合x X 的解释不同, 协方差风险分配函数也具有不同的金融学含意.

1) 当x X 表示市场组合时, 风险分配比例b i =B i 表示CAPM 模型中风险x i 的市场贝塔值, 即风险x i

的系统性风险.

2) 当x X 表示风险资产投资组合时, k i 在风险预算管理中被称为边际风险贡献(即风险预算金额) ; b i

表示边际风险贡献比例(即风险预算比重).

当存在无风险资产时, C APM 模型可以表示为

EER (x i ) =

Cov(x i , x X )

Var(x X ) @EER (x X ) , (i =1, , , N )

(i ; (X x

第8期风险管理中的风险分配问题

113

资产的超额预期收益.

比较协方差风险分配函数与C APM 模型, 则有

EER (x i ) Cov(x i , x X ) k i

==, (i =1, , , N )

EER (x X ) Var(x X ) c (x X )

即

EER (x i ) EER (x X )

=, (i =1, , , N ) k i c (x X )

(8)

(公式8) 说明当以风险资产对组合的风险贡献做风险度量指标时, 在有效风险组合中, 所有风险资产

在单位风险下贡献的超额预期收益水平(即风险调整后的收益指标) 都相等.

推论1 风险预算是在特定风险度量和风险分配函数形式下, 对组合风险进行自上而下的一种分配方式. 即它使用标准差作为风险度量, 采用协方差风险分配函数作为组合风险的配置方式. 风险预算的结果是

RB i (S ) =

Cov(x i , x X ) Cov(x i , x X )

@R (x X ) ; RB i (%) =@100%

Var(x X ) Var(x X )

其中RB i (S ) 表示风险资产x i 的风险预算值; RB i (%) 表示风险资产x i 的风险预算比例.

6 在标准差风险度量下风险分配函数的性质及其等价关系

标准差是实际风险管理中最常用到的风险度量, 协方差风险分配函数与相对风险分配函数是风险监控中最常用的两种风险预算方式. 下面我们在标准差风险度量下, 对比协方差风险分配函数与相对风险分配函数所满足的风险分配原则.

推论2 在标准差风险度量下, 协方差风险分配函数是可行的风险分配函数(满足不可再分性原则) , 并且满足一致性原则和无组合效应性原则, 但是对称性原则和非负性原则在一般情况下是不满足的.

证明在标准差风险度量下有c (x ) =R (x ) =+x +.

1) 假定风险要素集合Y A X , 由Schwarz 不等式有

3x Y , x X 4[+x Y ++x X + Z

i I Y

E k i =

i I Y

3x i , x X 4

+x Y +=c (x Y ) +x X +[

+x X +

因此, 协方差风险分配函数满足不可再分性原则, 是可行的风险分配函数.

2) 假定风险要素集合Y A X , 由

i I Y

E k i =

i I Y

E k (x i |x 1, , , x N ) =

i I Y

3x i , x X 4

+x X +X +x 1, , ,

3E x i , x X 4+x X +

+x X +=k

i I Y

E x

i I Y

E x , , , x

=k (x Y )

可知协方差风险分配函数满足一致性原则.

3) 假定x i 是无组合效应风险, 一种情况下x i 是无风险资产, 则有k i =c (x i ) =0; 另一种情况下x i 是没有任何分散化效果的风险, 即Q (x i , x X ) =1, 则Cov(x i , x X ) =R (x i ) R (x X ) , 这时有k i =R (x i ) =c (x i ) , 即协方差风险分配函数满足无组合效应性原则.

4) 假定Y A X \{x i , x j }, x i , x j 是可互换风险. 由(定义6) 可知, 只有当R (x i ) =R (x j ) , 即可互换风险还有相同的标准差时, 才有k i =k j . 此时协方差风险分配函数才会满足对称性原则. 因此协方差风险分配函数是否满足对称性原则取决于可互换风险是否具有相同的标准差.

5) 令x ¦

0, -x , x \0

, 由非负性原则有k i \0, (i =1, , , N ) , 即x [0

j =1

Cov(x i , x X ) \0, (i =1, , , N ) Z R (x i ) +

E [Cov(x , x ) , 0]

j 1

[Cov(x , x ) , 0]

, (i =1, , , N )

114

系统工程理论与实践2008年8月

上式中左侧表示风险x i 对组合的风险贡献, 右侧表示风险x i 对组合的风险分散化贡献. 因此, 只有当所有个体风险的风险效应大于分散化效应时, 协方差风险分配函数才会满足非负性原则. 则) , 同时也不满足一致性原则、无组合效应性原则以及对称性原则, 它只满足非负性原则.

证明

1) 令X ={x 1, x 2, x 3, x 4}, Y ={x 1, x 2, x 3}, 由风险分配的不可再分性原则有

i I Y

证毕

推论3 在标准差风险度量下, 相对风险分配函数不是可行的风险分配函数(即不满足不可再分性原

i I X

E +x i ++x i +

[

+x Y +X +

假定x 1与x 2完全负相关x 1=-x 2, 即两者可以完全对冲风险. {x 1, x 2}, {x 3}, {x 4}之间相互独立, 且+x 1+=+x 2+=+x 3+=+x 4+=1. 则上式不成立. 因此相对风险分配函数不满足不可再分性原则, 不是可行的风险分配函数.

2) 上面的例子同样可以用来说明相对风险分配函数不满足一致性原则, 即有

i I Y

+x i +X +x Y +

3) 假定x i 是无组合效应风险, 由无组合效应性原则有

k i =

c (x i )

j I X

c (x )

@c (x X ) =c (x i ) Z

j I X

E +x

+=+x X +

上面的例子同样可以说明上式不成立, 因此相对风险分配函数不满足无组合效应性原则.

4) 假定Y =X \{i , j }, x i , x j 是可交换风险, 由对称性原则有k i =k j , 即R (x i ) =R (x j ). 但是可交换的个体风险并不一定具有相同的标准差. 因此相对风险分配函数在通常情况下也不满足对称性原则.

5) 标准差的非负性可以保证相对风险分配函数满足非负性原则. 我们可以在各类风险分配函数之间建立如下联系.

推论4 各类风险分配函数之间的联系:

1) 在给定风险度量下, 如果所有个体风险具有相同的风险度量值, 则完全分散化的风险分配函数等价于相对风险分配函数.

2) 在标准差风险度量下, 如果个体风险之间完全正线性相关, 即所有个体风险都是无组合效应风险, 则相对风险分配函数与Merton -Perold 风险分配函数, 都等价于协方差风险分配函数.

证明

1) 在给定风险度量下, 如果所有个体风险具有相同的风险度量值, 则有

c (x i )

证毕

j =1

E c (x )

此时, 完全分散化的风险分配函数等价于相对风险分配函数.

例如, 假定风险度量c (#) 只依赖于风险的分布函数, 同时个体风险服从完全相同的分布, 就可以保证它们具有相同的风险度量值, 此时个体风险可以不独立.

2) 在标准差风险度量下, 如果个体风险之间完全正线性相关Q x , x =1, (j =1, , , N ) , 由(定义5) 可j X

知, 此时个体风险为无组合效应风险. 由其定义可知无组合效应风险的分散化效果为零, 令Y =X \{x i }, 则有$i (x Y ) =c (x i ) 成立. 则

c (x i )

j =1

E c (x )

$i (x Y )

j =1

$j (x Y )

此时, 相对风险分配函数与Merton -Perold 风险分配函数等价.

第8期风险管理中的风险分配问题

115

则, 即k j =c (x j ) , (j =1, , , N ). 同时协方差风险分配函数还满足完全分配条件, 即c (x X ) =有c (x X ) =

j =1

k j . 此时

j =1

c (x j ) , 再结合(定义14) 有

Cov(x i , x X ) k i

Var(x X ) c (x X )

c (x i )

j =1E c (x )

$i (x Y )

j =1

$j (x Y )

证毕

此时, 相对风险分配函数、Merton -Perold 风险分配函数与协方差风险分配函数等价.

7 实证分析结果

假定投资者根据成长型基金标的、小盘型股票标的、大盘型股票标的、国债型标的四种标的指数来构造投资组合, 并选取2004年3月11日为计算日. 根据计算日之前200个交易日数据, 我们采用幂次方递减

权重来计算风险资产标的收益率之间的协方差矩阵. 这种方法给出的协方差矩阵可以反映出计算时刻市场的实际情况. 所有计算数据均来源于中国科学院-路透风险管理联合实验室. 表1中给出的是与之对应的相关系数矩阵.

表1 风险资产标的收益率相关系数矩阵

成长型基金标的

小盘型股票标的大盘型股票标的国债型标的

1. 00

小盘型股票标的

0. 271. 00

大盘型股票标的

0. 720. 801. 00

国债型标的

0. 330. 220. 251. 00

表2给出不同风险分配函数下的风险分配结果比较分析. 在标准差风险度量下, 组合风险水平为17102%, 其中小盘型股票标的风险最高, 国债型标的风险水平最低; 大盘型标的市值比重最大. 增量风险贡献衡量的是从组合中去掉某个资产类标的前后组合风险水平的变化量.

表2 不同风险分配函数下风险分配结果的比较分析

波动率(标准差)

成长型

15. 64%

基金标的

小盘型

25. 33%

股票标的

大盘型

23. 56%

股票标的国债型标的

2. 08%

市值比重20%30%35%15%100%

完全分散化的风险分4. 25%4. 25%4. 25%4. 25%17. 02%

相对风险分配函数风险预算比例16. 22%39. 41%42. 75%1. 62%100%

风险预算水平2. 76%6. 71%7. 28%0. 28%17. 02%

协方差风险分配函数风险预算比例12. 17%39. 76%47. 52%0. 55%100%

风险预算水平2. 07%6. 77%8. 09%0. 09%17. 02%

Merton -Perold 风险分配函数增量风险贡献1. 89%6. 20%7. 94%0. 09%16. 12%

风险预算比例11. 71%38. 45%49. 28%0. 56%100%

风险预算水平1. 99%6. 54%8. 39%0. 10%17. 02%

风险资产

17. 02%

组合

图1比较了不同风险分配函数下的风险分配结果. 由于没有考虑风险资产类之间的相关性, 使得完全分散化的风险分配结果严重偏离了各资产类对组合的实际风险贡献水平. 显然国债型标的对组合的风险贡献不会与小盘型股票标的相同.

协方差风险分配函数与Merton -Perold 风险分配函数给出的风险分配结果非常相近, 差异很小. 因此当风险度量不可微时, 可以采用后者来分配组合风险.

相对风险分配函数对债券型标的分配的风险水平高于协方差风险分配函数, 这是由于前者没有考虑

116

系统工程理论与实践2008年8月

图1 不同风险分配函数下风险预算水平比较

在本例中, 我们将成长型基金标的与小盘型股票标的放在一起构成子组合1, 将大盘型股票标的与国债型标的放在一起构成子组合2.

表3 在风险子组合上的风险分配结果比较

组合波动率

子组合1子组合2

8. 97%8. 33%

完全分散化的风险分配函数

8. 51%8. 51%

相对风险分配函数9. 47%7. 55%

协方差风险分配函数8. 84%8. 18%

Merton -Perold 风险分配函数

8. 54%8.

48%

图2 协方差风险分配函数下的风险预算分解图

由推论2可知, 协方差风险分配函数满足不可再分性, 因此在子组合级别上, 不同子组合分配的风险预算水平都低于子组合自身的波动率风险水平.

由推论3可知, 相对风险分配函数不满足不可再分性. 例如子组合1分配的风险水平为9147%大于其自身波动率8197%, 这意味着将子组合1和子组合2分开管理面临的风险水平会低于将两者组合在一起管理. 完全分散化的风险分配函数同样不满足不可再分性, 例如子组合2分配的风险水平为8151%高于其自身波动率风险8133%.Merton -Perold 风险分配函数也不满足不可再分性, 例如子组合2分配的风险水平为8148%高于其自身波动率风险8133%.因此使用相对风险分配函数、完全分散化的风险分配函数以及Merton -Perold 风险分配函数有时候会给出与实际情况相矛盾的结论.

8 结论

本文首先引入风险度量的定义, 通过增量风险贡献可以帮助我们衡量个体风险对组合的风险贡献大小. 在此基础上我们分析了无组合效应风险与可互换风险这两种具有特殊性质的个体风险特征. 无组合效应风险不会带给组合任何风险分散化效果. 在CAP M 定价模型下, 具有相同市场贝塔值的风险资产可以视为可互换风险.

第8期风险管理中的风险分配问题117上. 所谓的有效方式则是通过一组事先给定的(组合) 风险分配原则来定义的, 它可以保证风险分配的结果富有更多的经济和金融内含. 其中的不可再分性原则保证了, 组合中任意子组合的风险分配结果都不会超过其自身单独的风险度量值, 否则从原有风险组合中剔除该子组合, 反而会降低整体的风险水平. 因此, 我们称只有满足不可再分性原则的风险分配函数为可行的风险分配函数.

由于在实际的风险预算中, 通常使用标准差做为风险度量指标, 并使用协方差风险分配函数来进行风险预算管理. 因此, 在标准差风险度量下我们详细论述并比较了协方差风险分配函数与相对风险分配函数之间性质上的差异, 并证明风险预算也是一种特殊形式的风险分配函数. 最后我们给出了不同风险分配函数之间的联系.

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2004.

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[3] Rahl, Leslie, et al. Risk Budgeting:A New Approach to Investing[M]. London:Risk Books, 1st Edition, 2000.

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[5] Sharpe W F. B udgeti ng and monitoring pension fund risk[J]. Financial Analysts Journal, 2002, 58(5) .

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Pang S L, Liu Y Q, Xu J M , et al. Credit risky decision mechanism and analysis for a bank based on information asym metry (Ò) -Credit risky decision mechanism[J]. Systems Engineering -Theory &Practice, 2001, 21(5) :82-87.

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2008年8月系统工程理论与实践第8期

文章编号:1000-6788(2008) 08-0107-11

风险管理中的风险分配问题

夏路, 魏先华

2, 3

, 姜铁军, 程兵

(11中国科学院数学与系统科学研究院, 北京100190; 21中国科学院研究生院管理学院, 北京100190;

中图分类号: F830 文献标志码: A

Risk allocation in risk management

XIA Lu , WEI Xian -hua , JIANG Tie -jun , CHENG Bing

2, 3

(11Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China; 21Managemen t School, Graduate

1 引言

Litterman

[1]

, Pearson , Rahl , Scherer

[5]

[2][3][4]

详细介绍了基于风险预算的风险管理模式, 并把它作为现代投

风险预算是一种风险管理驱动下的投资及监控过程, 它包含了风险识别、风险度量、风险分配、风险或

收稿日期:2007-03-01

资助项目:国家自然科学基金重点项目/金融风险的测量与建模0(70331001) ; 中国科学院研究生院启动基金作者简介:通讯作者:魏先华, E -mail:weixh@gucas. ac. cn.

[6]

108

系统工程理论与实践2008年8月

风险资本的配置、风险的监控和调整等一系列的流程. 基于上述文献下面我们尝试给出风险预算的定义.

[3]

2 风险度量

定义2 纯粹风险(Pure Risk) :令x i ¦N i -E [N i ]则有E [x i ]=0, 称x i 为纯粹风险.

(定义2) 中纯粹风险x i 衡量的是未来时刻1上, 单位风险资产N i 相对其预期收益E (N i ) 的偏离程度, 见文献[7].

令X ¦{x 1, , , x n }表示由单位纯粹风险构成的风险集合, 它是风险的最小单位, 也是形成不同风险组合的基础(PortfolioBase). x X ¦险子集合, x Y ¦

i I Y

i I X

E x

表示由单位纯粹风险构成的(线性) 风险集合. Y A X 表示单位纯粹风

E x

表示由X 的子集Y 中风险构成的(线性) 风险集合.

我们可以将x i , (i =1, , , N ) 理解为N 种不同的风险因素, 则x X 表示线性风险因素集合(以下简称:风险因素集合) .

Goovaerts 认为风险度量的选择需要具有明确的金融和经济学含义. 下面我们给出(定义3) 风险度量.

[8]

第8期风险管理中的风险分配问题

109

注记2 次可加性反映出通过组合可以降低风险因素集合的整体风险水平. Goovaerts Subdecomposability of Risk. 分散化带来的风险降低效果可以表示为

[c (x 1) +c (x 2) ]-c (x 1+x 2) \0

在数学上, 由风险度量所满足的上述性质可知, 风险度量c (#) 是定义在风险资产未来收益空间中的泛数. 在二次可积的L 空间中, 风险度量可以表达为

c (x i ) ¦3x i , x i =+x i +=[E (x ) ]

的VaR(Value at Risk) 都是满足上述性质的风险度量.

12i

[9]

称之为

=R (x i ) =R (N i )

其中R (#) 表示求标准差的运算. 因此, 传统金融投资理论中广泛使用的标准差以及基于Risk Metric 方法

3 风险特征的描述

x i 后组合风险的变化量.

定义4 增量风险贡献(Incremental Risk Contribution) :在风险度量c (#) 下, 对任意风险因素子集Y

风险度量的次可加性可以保证, 任意个体风险的增量风险贡献总是不会超过其自身的风险水平. 即$i (x Y ) [c (x i ) .

Y A {x , j j .

110

系统工程理论与实践2008年8月

一个, 风险因素集合的风险水平变化量都相等.

注记4 下面我们给出可互换风险的示例. 在标准差风险度量下, 由可互换风险定义有

Cov(x i -x j , x Y ) =-015[R (x i ) -R (x j ) ]

x X 建立线性关系.

x i =A i +B i x X +E i

(2)

Y 之间的相关性为零. 则有

R (x i ) =B i @R (x X ) +R (E i )

将(公式2) 、(公式3) 代入(公式1) 式中则有

B 1-B 2

(B 1-B 2) B x =-Y 2

即

(B 1-B 2) (2B x +B 1+B 2) =0Y

因此, 在上述假定条件成立的情况下, 贝塔值接近的股票可以视为可互换风险. 即

B 1=B 2

例如, 中国石化与上海石化可以近似认为是一对可互换风险. 在选择可互换风险时, 理性个体会选择

预期收益更高的个体风险资产, 这样可以提升组合的有效性.

(5)

(1)

假定C APM 资产定价模型成立, 令x X 表示市场组合, 则任意风险资产或投资组合都可以同市场组合

(3)

(4)

4 风险分配函数的定义与风险分配原则

0(X , c (#) ) :R y R

令B =(b 1, , , b N ) ¦(01, , , 0N ) 表示风险分配的比例, 并满足

i =1

E b

=100%(6)

令k i =b i @c (x X ) , (i =1, 2, , , N ) 表示风险分配的结果, 并满足

i =1

E k

=c (x X ) (7)

其中(公式6) 、(公式7) 表示组合风险的完全分配条件(Full Allocation).

1) 风险分配可以针对不同的组合划分方式, 例如按照资产类, 行业或风格, 基金经理人等方式将组合

第8期风险管理中的风险分配问题

111

4) 组合中加入无风险资产(例如现金) 可以降低组合风险水平.

5) 在任意划分方式下, 风险分配的结果都能够反映出组合的风险分散化效果. 否则可以将组合拆分后单独管理, 这样反而会降低整体风险水平.

6) 两个完全一样的子组合应该分配相同的风险规模. 7) 风险分配的结果不应该受货币计量单位的影响.

下面我们借助严格的数学语言, 将上述风险分配原则一一表达出来. 定义8 (组合) 风险分配原则:

1) 无组合效应性(Independent) 如果x i 是风险因素集合X 中的无组合效应风险, 则

k i =c (x i )

2) 对称性(Symmetry) 如果x i , x j I X 是风险因素集合X 中的可互换风险, 则有

k i =k j

3) 一致性(C onsistency) 对任意风险因素子集Y A X , 都有

k (x Y ) =

x I Y

E k

4) 不可再分性(NoUndercut) Y X , 都有

x I Y

E k

x I Y

E x

=c (x Y )

注记7 一致性:无论采用自下而上, 还是自上而下的风险分配方式, 满足一致性的风险分配结果都能保证在组合的不同级别上, 风险分配结果的一致性.

例如, 在个体风险级别上由不可再分性有k i [c (x i ) , (i =1, , , N ) , 即形成风险组合后, 个体风险x i

分配的风险值为k i , 低于其自身的风险度量值c (x i ).

风险组合的形成必然是以能够得到风险分散化好处为前提的, 因此不可再分性原则是风险分配函数需要具备的一个非常重要的性质.

定义9 可行的风险分配函数:满足不可再分性的风险分配函数称为可行的风险分配函数.

定义10 非负风险分配函数:如果风险分配结果满足k i \0, (i I N ) , 则称之为非负风险分配函数.

5 几种常见的风险分配函数

最简单的组合风险分配方式就是让所有个体平均分担组合整体风险水平.

定义11 完全分散化的风险分配函数:在风险度量c (#) 下, 完全分散化的风险分配函数可以表示为

b i = k i =@c (x X ) , (i =1, , , N )

N N

其中:c (x X ) =

, b i 表示风险x i 风险分配比例, k i 表示风险x i

112风险分配规模.

系统工程理论与实践2008年8月

但是它忽略了个体风险之间的很多信息, 例如对组合风险分散化效果贡献不同的个体风险, 具有完全相同的风险分配结果, 这显然有悖于公平原则.

定义12 相对风险分配函数:在风险度量c (#) 下, 相对风险分配函数可以表示为

b i =

c (x i )

j =1

E c (x )

k i =

c (x i )

j =1

E c (x )

@c (x X ) , (i =1, , , N )

其中:c (x X ) =c

j =1

E x

表示风险因素集合的风险度量值, c (x i ) 表示风险x i 的风险度量值, b i 表示风险

x i 风险分配比例, k i 表示风险x i 风险分配规模.

定义13 Merton -Perold 风险分配函数:对任意个体风险x i 和风险因素子集Y =X \{x i }, Merton -Perold 风险分配函数可以表示为

b i =

[10]

j =1

$i (x Y ) $j (x Y )

k i =

j =1

$i (x Y ) $j (x Y )

@c (x X ) , (i =1, , , N )

其中:c (x X ) =c

j =

E x

表示风险因素集合的风险度量值, $i (x Y ) =c (x Y +x i ) -c (x Y ) 表示个体风险x i

对风险因素子集Y 的增量风险贡献. b i 表示风险x i 风险分配比例, k i 表示风险x i 风险分配规模.

定义14 协方差风险分配函数:在风险度量c (#) 下, 协方差风险分配函数可以表示为

b i =

Cov(x i , x X )

Var(x X )

Cov(x i , x X )

i =1

E Cov(x , x

k i =

)

Cov(x i , x X )

@c (x X ) , (i =1, , , N )

Var(x X )

其中c (x X ) 表示风险因素集合的风险度量值, b i 表示风险x i 风险分配比例, k i 表示风险x i 风险分配规模.

注记11 对风险因素集合x X 的解释不同, 协方差风险分配函数也具有不同的金融学含意.

1) 当x X 表示市场组合时, 风险分配比例b i =B i 表示CAPM 模型中风险x i 的市场贝塔值, 即风险x i

的系统性风险.

2) 当x X 表示风险资产投资组合时, k i 在风险预算管理中被称为边际风险贡献(即风险预算金额) ; b i

表示边际风险贡献比例(即风险预算比重).

当存在无风险资产时, C APM 模型可以表示为

EER (x i ) =

Cov(x i , x X )

Var(x X ) @EER (x X ) , (i =1, , , N )

(i ; (X x

第8期风险管理中的风险分配问题

113

资产的超额预期收益.

比较协方差风险分配函数与C APM 模型, 则有

EER (x i ) Cov(x i , x X ) k i

==, (i =1, , , N )

EER (x X ) Var(x X ) c (x X )

即

EER (x i ) EER (x X )

=, (i =1, , , N ) k i c (x X )

(8)

(公式8) 说明当以风险资产对组合的风险贡献做风险度量指标时, 在有效风险组合中, 所有风险资产

在单位风险下贡献的超额预期收益水平(即风险调整后的收益指标) 都相等.

RB i (S ) =

Cov(x i , x X ) Cov(x i , x X )

@R (x X ) ; RB i (%) =@100%

Var(x X ) Var(x X )

其中RB i (S ) 表示风险资产x i 的风险预算值; RB i (%) 表示风险资产x i 的风险预算比例.

6 在标准差风险度量下风险分配函数的性质及其等价关系

证明在标准差风险度量下有c (x ) =R (x ) =+x +.

1) 假定风险要素集合Y A X , 由Schwarz 不等式有

3x Y , x X 4[+x Y ++x X + Z

i I Y

E k i =

i I Y

3x i , x X 4

+x Y +=c (x Y ) +x X +[

+x X +

因此, 协方差风险分配函数满足不可再分性原则, 是可行的风险分配函数.

2) 假定风险要素集合Y A X , 由

i I Y

E k i =

i I Y

E k (x i |x 1, , , x N ) =

i I Y

3x i , x X 4

+x X +X +x 1, , ,

3E x i , x X 4+x X +

+x X +=k

i I Y

E x

i I Y

E x , , , x

=k (x Y )

可知协方差风险分配函数满足一致性原则.

5) 令x ¦

0, -x , x \0

, 由非负性原则有k i \0, (i =1, , , N ) , 即x [0

j =1

Cov(x i , x X ) \0, (i =1, , , N ) Z R (x i ) +

E [Cov(x , x ) , 0]

j 1

[Cov(x , x ) , 0]

, (i =1, , , N )

114

系统工程理论与实践2008年8月

证明

1) 令X ={x 1, x 2, x 3, x 4}, Y ={x 1, x 2, x 3}, 由风险分配的不可再分性原则有

i I Y

证毕

推论3 在标准差风险度量下, 相对风险分配函数不是可行的风险分配函数(即不满足不可再分性原

i I X

E +x i ++x i +

[

+x Y +X +

2) 上面的例子同样可以用来说明相对风险分配函数不满足一致性原则, 即有

i I Y

+x i +X +x Y +

3) 假定x i 是无组合效应风险, 由无组合效应性原则有

k i =

c (x i )

j I X

c (x )

@c (x X ) =c (x i ) Z

j I X

E +x

+=+x X +

上面的例子同样可以说明上式不成立, 因此相对风险分配函数不满足无组合效应性原则.

5) 标准差的非负性可以保证相对风险分配函数满足非负性原则. 我们可以在各类风险分配函数之间建立如下联系.

推论4 各类风险分配函数之间的联系:

1) 在给定风险度量下, 如果所有个体风险具有相同的风险度量值, 则完全分散化的风险分配函数等价于相对风险分配函数.

证明

1) 在给定风险度量下, 如果所有个体风险具有相同的风险度量值, 则有

c (x i )

证毕

j =1

E c (x )

此时, 完全分散化的风险分配函数等价于相对风险分配函数.

2) 在标准差风险度量下, 如果个体风险之间完全正线性相关Q x , x =1, (j =1, , , N ) , 由(定义5) 可j X

知, 此时个体风险为无组合效应风险. 由其定义可知无组合效应风险的分散化效果为零, 令Y =X \{x i }, 则有$i (x Y ) =c (x i ) 成立. 则

c (x i )

j =1

E c (x )

$i (x Y )

j =1

$j (x Y )

此时, 相对风险分配函数与Merton -Perold 风险分配函数等价.

第8期风险管理中的风险分配问题

115

则, 即k j =c (x j ) , (j =1, , , N ). 同时协方差风险分配函数还满足完全分配条件, 即c (x X ) =有c (x X ) =

j =1

k j . 此时

j =1

c (x j ) , 再结合(定义14) 有

Cov(x i , x X ) k i

Var(x X ) c (x X )

c (x i )

j =1E c (x )

$i (x Y )

j =1

$j (x Y )

证毕

此时, 相对风险分配函数、Merton -Perold 风险分配函数与协方差风险分配函数等价.

7 实证分析结果

表1 风险资产标的收益率相关系数矩阵

成长型基金标的

小盘型股票标的大盘型股票标的国债型标的

1. 00

小盘型股票标的

0. 271. 00

大盘型股票标的

0. 720. 801. 00

国债型标的

0. 330. 220. 251. 00

表2 不同风险分配函数下风险分配结果的比较分析

波动率(标准差)

成长型

15. 64%

基金标的

小盘型

25. 33%

股票标的

大盘型

23. 56%

股票标的国债型标的

2. 08%

市值比重20%30%35%15%100%

完全分散化的风险分4. 25%4. 25%4. 25%4. 25%17. 02%

相对风险分配函数风险预算比例16. 22%39. 41%42. 75%1. 62%100%

风险预算水平2. 76%6. 71%7. 28%0. 28%17. 02%

协方差风险分配函数风险预算比例12. 17%39. 76%47. 52%0. 55%100%

风险预算水平2. 07%6. 77%8. 09%0. 09%17. 02%

Merton -Perold 风险分配函数增量风险贡献1. 89%6. 20%7. 94%0. 09%16. 12%

风险预算比例11. 71%38. 45%49. 28%0. 56%100%

风险预算水平1. 99%6. 54%8. 39%0. 10%17. 02%

风险资产

17. 02%

组合

协方差风险分配函数与Merton -Perold 风险分配函数给出的风险分配结果非常相近, 差异很小. 因此当风险度量不可微时, 可以采用后者来分配组合风险.

相对风险分配函数对债券型标的分配的风险水平高于协方差风险分配函数, 这是由于前者没有考虑

116

系统工程理论与实践2008年8月

图1 不同风险分配函数下风险预算水平比较

在本例中, 我们将成长型基金标的与小盘型股票标的放在一起构成子组合1, 将大盘型股票标的与国债型标的放在一起构成子组合2.

表3 在风险子组合上的风险分配结果比较

组合波动率

子组合1子组合2

8. 97%8. 33%

完全分散化的风险分配函数

8. 51%8. 51%

相对风险分配函数9. 47%7. 55%

协方差风险分配函数8. 84%8. 18%

Merton -Perold 风险分配函数

8. 54%8.

48%

图2 协方差风险分配函数下的风险预算分解图

由推论2可知, 协方差风险分配函数满足不可再分性, 因此在子组合级别上, 不同子组合分配的风险预算水平都低于子组合自身的波动率风险水平.

8 结论

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风险管理中的风险分配问题_夏路

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