3.1.2 三维图形几何变换
三维几何变换包括平移、旋转和变比。三维几何变换可以表示为公式，或三维齐次坐标和4×4变换矩阵的乘积。下面分别以公式，矩阵乘积和简记符号来描述三维几何变换。并记变换前物体的坐标为x,y,z ；变换后物体的坐标为x ′，y ′，z ′。
一、平移
设Tx,Ty,Tz 是物体在三个坐标方向上的移动量，则有公式： x′＝x ＋T x
y′＝y ＋T y
z′＝z ＋T z
矩阵运算表达为：
［x ′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］
简记为：T(Tx,Ty,Tz)
二、旋转
旋转分为三种基本旋转：绕z 轴旋转，绕x 轴旋转，绕y 轴旋转。在下述旋转变换公式中，设旋转的参考点在所绕的轴上，绕轴转θ角，方向是从轴所指处往原点看的逆时针方向(图3.5(a),(b))。
1 绕z 轴旋转的公式为：
x′＝xcos θ－ysin θ
y′＝xsin θ＋ycos θ
z′＝z
矩阵运算的表达为：
［x ′ y′ z 1］＝［x y z 1］
简记为R z (θ) 。
2 绕x 轴旋转的公式为：
x′＝x
y′＝ycos θ－zsin θ
z′＝ysin θ＋zcos θ
矩阵运算的表达为：
［x ′ y′ z′ 1］＝［x y z 1
简记为R x (θ)
2 绕y 轴旋转的公式为：
x′＝zsin θ＋xcos θ
y′＝y
z′＝zcos θ－xsin θ］
矩阵的运算表达式为：
［x ′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］
简记为Ry(θ) 。
如果旋转所绕的轴不是坐标轴，而是一根任意轴，则变换过程变显得较复杂。首先，对物体作平移和绕轴旋转变换，使得所绕之轴与某一根标准坐标轴重合。然后，绕该标准坐标轴作所需角度的旋转。最后，通过逆变换使所绕之轴恢复到原来位置。这个过程须由7个基本变换的级联才能完成。
设旋转所绕的任意轴为p 1, p 2两点所定义的矢量。旋转角度为 (图
3.6) 。这7个基本变换是：
1 T(－x 1, －y 1, －z 1) 使p 1点与原点重合(图3.6(b))； 2 R x (α) ，使得轴p1p2落入平面xoz 内(图3.6(c))； 3 R y (β) ，使p1p2与z 轴重合(图3.6(d));
4 R z (θ) ，执行绕p1p2轴的θ角度旋转(图3.6(e))； 5 R y (－β) ，作3的逆变换；
6 R x (－α) ，作2的逆变换；
7 T(x1,y 1,z 1) 作1的逆变换。
图3.6 绕任意轴P1P2旋转的前四个步骤
1 求R x (α) 的参数：转角α是u 在yoz 平面的投影u ′＝（o ，b,c) 与z 轴的夹角(图3 7(a))，故有：
cos ＝，其中d ＝
又因u ′×u z ＝u x ｜u ′｜｜u z ｜sin α
其中u x 是在x 轴上的投影。并且用行列式计算矢量积得：
u′×u z ＝u x ·b ，故得：
sinα＝
，得出R x (α) 为：
R x (α)=
图3.7
2 求R y (β) 的参数(图3.7(b))：经过R x (α) 变换，p 2已落入xoz 平面，但p 2点与x 轴的距离保持不变。因此，p 1p 2现在的单位矢量u ″的z 方向分量之值即为u ′之长度，等于d, β是u ″与u z 之夹角，故有： cosβ=
＝d
根据矢量积的定义，有：
uz ｜u ″｜｜u z ｜sin β＝u y ·(－a ）
因为｜u ″｜＝
sinβ＝－a ＝
＝１，并｜u z ｜＝１，所以：
因此得到R y （β) 为：
Ry（β) ＝
绕任意轴(x1 y1 z1)(x2 y2 z2) 转动θ角的变换R(θ) 为如下级联变换：
R(θ) ＝Ｔ（－x 1, －y 1, －z 1) ·R x (a)·R y (β) ·R z (θ) ·
Ry （－β）·R x (－a) ·T(x1,y 1,z 1)
三、变比
设sx,sy,sz 是物体在三个方向的比例变化量，则有公式： x′＝x ·sx ，
y′＝y ·sy ，
z′＝z ·sz ，
矩阵运算的表达为
［x ′ y′ z′ 1］＝［x y z］
简记为S(sx,sy,sz)。
相对于某个非原点参数点(xf,yf,zf)进行固定点变比变换，是通过如下级联变换实现的：
T(－xf, －yf, －zf) ·S(sx,sy,sz)·T(xf,yf,zf)
四、三维几何变换的指令
和二维类似，三维几何变换也有三条指令，分别执行建立变换矩阵，积累变换和坐标变换的功能。
1 建立变换矩阵的指令：
creat-transformation-matrix-3(xf ,y f ,z f ,s x ,s y ,s z ,x r1,y r1,z r1,x r2,y r2,z r2, α,t x , ty , tz , matrix);
其中：x f ,y f ,z f 是变比固定坐标；
sx ,s y ,s z 是变比参数；
xr1,y r1,z r1,x r2,y r2,z r2 是旋转所绕任意轴的起点与终点坐标；
α 是平移参数；
matrix 是返回的4×4的变换矩阵。
2 积累变换的指令
accumulate-matrices-3(m1,m 2,m);
其中m 1,m 2是输入矩阵，m 是输出矩阵。三个都是4×4的矩阵。这条指令执行如下功能：
m＝m 1·m 2
3 坐标变换的指令：
set-segment-transformation-3(Id,matrix);
其中Id 是物体的编号，matrix 是变换矩阵。这条指令将Id 所含的坐标逐一与matrix 相乘，从而实现三维几何变换。
3.1.2 三维图形几何变换
三维几何变换包括平移、旋转和变比。三维几何变换可以表示为公式，或三维齐次坐标和4×4变换矩阵的乘积。下面分别以公式，矩阵乘积和简记符号来描述三维几何变换。并记变换前物体的坐标为x,y,z ；变换后物体的坐标为x ′，y ′，z ′。
一、平移
设Tx,Ty,Tz 是物体在三个坐标方向上的移动量，则有公式： x′＝x ＋T x
y′＝y ＋T y
z′＝z ＋T z
矩阵运算表达为：
［x ′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］
简记为：T(Tx,Ty,Tz)
二、旋转
旋转分为三种基本旋转：绕z 轴旋转，绕x 轴旋转，绕y 轴旋转。在下述旋转变换公式中，设旋转的参考点在所绕的轴上，绕轴转θ角，方向是从轴所指处往原点看的逆时针方向(图3.5(a),(b))。
1 绕z 轴旋转的公式为：
x′＝xcos θ－ysin θ
y′＝xsin θ＋ycos θ
z′＝z
矩阵运算的表达为：
［x ′ y′ z 1］＝［x y z 1］
简记为R z (θ) 。
2 绕x 轴旋转的公式为：
x′＝x
y′＝ycos θ－zsin θ
z′＝ysin θ＋zcos θ
矩阵运算的表达为：
［x ′ y′ z′ 1］＝［x y z 1
简记为R x (θ)
2 绕y 轴旋转的公式为：
x′＝zsin θ＋xcos θ
y′＝y
z′＝zcos θ－xsin θ］
矩阵的运算表达式为：
［x ′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］
简记为Ry(θ) 。
如果旋转所绕的轴不是坐标轴，而是一根任意轴，则变换过程变显得较复杂。首先，对物体作平移和绕轴旋转变换，使得所绕之轴与某一根标准坐标轴重合。然后，绕该标准坐标轴作所需角度的旋转。最后，通过逆变换使所绕之轴恢复到原来位置。这个过程须由7个基本变换的级联才能完成。
设旋转所绕的任意轴为p 1, p 2两点所定义的矢量。旋转角度为 (图
3.6) 。这7个基本变换是：
1 T(－x 1, －y 1, －z 1) 使p 1点与原点重合(图3.6(b))； 2 R x (α) ，使得轴p1p2落入平面xoz 内(图3.6(c))； 3 R y (β) ，使p1p2与z 轴重合(图3.6(d));
4 R z (θ) ，执行绕p1p2轴的θ角度旋转(图3.6(e))； 5 R y (－β) ，作3的逆变换；
6 R x (－α) ，作2的逆变换；
7 T(x1,y 1,z 1) 作1的逆变换。
图3.6 绕任意轴P1P2旋转的前四个步骤
1 求R x (α) 的参数：转角α是u 在yoz 平面的投影u ′＝（o ，b,c) 与z 轴的夹角(图3 7(a))，故有：
cos ＝，其中d ＝
又因u ′×u z ＝u x ｜u ′｜｜u z ｜sin α
其中u x 是在x 轴上的投影。并且用行列式计算矢量积得：
u′×u z ＝u x ·b ，故得：
sinα＝
，得出R x (α) 为：
R x (α)=
图3.7
2 求R y (β) 的参数(图3.7(b))：经过R x (α) 变换，p 2已落入xoz 平面，但p 2点与x 轴的距离保持不变。因此，p 1p 2现在的单位矢量u ″的z 方向分量之值即为u ′之长度，等于d, β是u ″与u z 之夹角，故有： cosβ=
＝d
根据矢量积的定义，有：
uz ｜u ″｜｜u z ｜sin β＝u y ·(－a ）
因为｜u ″｜＝
sinβ＝－a ＝
＝１，并｜u z ｜＝１，所以：
因此得到R y （β) 为：
Ry（β) ＝
绕任意轴(x1 y1 z1)(x2 y2 z2) 转动θ角的变换R(θ) 为如下级联变换：
R(θ) ＝Ｔ（－x 1, －y 1, －z 1) ·R x (a)·R y (β) ·R z (θ) ·
Ry （－β）·R x (－a) ·T(x1,y 1,z 1)
三、变比
设sx,sy,sz 是物体在三个方向的比例变化量，则有公式： x′＝x ·sx ，
y′＝y ·sy ，
z′＝z ·sz ，
矩阵运算的表达为
［x ′ y′ z′ 1］＝［x y z］
简记为S(sx,sy,sz)。
相对于某个非原点参数点(xf,yf,zf)进行固定点变比变换，是通过如下级联变换实现的：
T(－xf, －yf, －zf) ·S(sx,sy,sz)·T(xf,yf,zf)
四、三维几何变换的指令
和二维类似，三维几何变换也有三条指令，分别执行建立变换矩阵，积累变换和坐标变换的功能。
1 建立变换矩阵的指令：
creat-transformation-matrix-3(xf ,y f ,z f ,s x ,s y ,s z ,x r1,y r1,z r1,x r2,y r2,z r2, α,t x , ty , tz , matrix);
其中：x f ,y f ,z f 是变比固定坐标；
sx ,s y ,s z 是变比参数；
xr1,y r1,z r1,x r2,y r2,z r2 是旋转所绕任意轴的起点与终点坐标；
α 是平移参数；
matrix 是返回的4×4的变换矩阵。
2 积累变换的指令
accumulate-matrices-3(m1,m 2,m);
其中m 1,m 2是输入矩阵，m 是输出矩阵。三个都是4×4的矩阵。这条指令执行如下功能：
m＝m 1·m 2
3 坐标变换的指令：
set-segment-transformation-3(Id,matrix);
其中Id 是物体的编号，matrix 是变换矩阵。这条指令将Id 所含的坐标逐一与matrix 相乘，从而实现三维几何变换。