第十二章 轴对称
单元（章）教学计划
1、地位与作用：
本章的主要内容是围绕等腰三角形展开的. 等腰三角形是继角、线段后接触到的第三个轴对称图形，它为后面学习等边三角形、直角三角形和特殊四边形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆做下铺垫，也是平面几何研究的主要对象，起着承前启后的作用。
2、目标与要求：
知识与技能
(1) 通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；。
(2)探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相互关系；能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；认识和欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计
(3) 了解线段垂直平分线及其性质，并掌握其性质；了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握它们的性质和判定方法。
过程与方法
(1)从实际生活中的图形入手，学习轴对称及其性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。
(2)利用轴对称变换，探索等腰三角形的性质及其判定方法，并进一步学校等边三角形。。
情感态度与价值观
能初步应用本章所学知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间概念，激发学生学习空间与图形的兴趣。
3、重点与难点：
重点：轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定。
难点：等腰三角形的性质和判定. 掌握等腰三角形的性质和判定，并能应用
这些知识。
4、教法与学法：
教师启发引导，学生自主探究，分类比较法，统一归纳法，自学讨论法，小组互动法等教学方法.
5、活动步骤：
一、创设情境、导入新课； 二、探索新知 合作交流； 三、应用迁移，提高巩固 练习；四、总结反思，拓展升华；五、布置作业
6、时间安排：
12.1轴对称 4课时
12.2作轴对称图形 2课时
12.3等腰三角形 4课时
复习与小结 2课时
12．1．1 轴对称
第一课时
【教学目标】：
知识与技能：
在生活实例中认识轴对称图；分析轴对称图形，理解其概念．
过程与方法：
通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴．经历观察、分析的过程，训练学生观察、分析的能力．
情感态度与价值观：
通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高．
教学重点: 准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念的实质 教学难点：能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．轴对称图形和关于直线
成轴对称的区别和联系
教学方法：操作，归纳，启发诱导法.
教具准备:天安门、蝴蝶、窗花、脸谱等图片．多媒体课件．投影仪．剪刀、小刀、硬纸板．
【教学过程】：
创设情境，引入新课
1. 举实例说明对称的重要性和生活充满着对称。
2. 对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．
3. 轴对称是对称中重要的一种，让我们一起走进轴对称世界，探索它的秘密吧！
导入新课
1. 观察：几幅图片（出示图片），观察它们都有些什么共同特征．
强调：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，•甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．
练习：从学生生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．
2.观察： 如图14．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），•再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．
你能发现它们有什么共同的特点吗？
3.如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．我们也说这个图形关于这条直线（成轴）•对称．
4.动手操作： 取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，•将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流．
归纳小结：由此我们进一步了解了轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．
【教学过程】：
接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一
条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。
下列各图，你能找出它们的对称轴吗？
结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴．
(1) (2) (3) (4) (5)
展示挂图，大家想一想，你发现了什么？
像这样，•把一个图形沿着某一条直线折
叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就
说这两个图形关于这条直线对称，•这条直
线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应
点，叫做对称点．
成轴对称的两个图形全等吗？如果
把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图
形，那么这两个图形全等吗？这两个图
形对称吗？
过程：在硬纸板上画两个成轴对称
的图形，再用剪刀将这两个图形剪下来
看是否重合．再在硬纸板上画出一个轴对称图形，然后将该图形剪下来，•再沿对称轴剪开，看两部分是否能够完全重合．
结论：成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．
轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．
轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折叠后重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，•如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
8、议一议在图形（1）中对应线段（对折后重合的线段）、对应角（对折后重合的角）有什么关系？
练习:1、请同学们细心观察，下列轴对称图形各有多少条对称轴？
2、判断下列图形哪些是轴对称图形，如果是，请找出所有对称轴。
1、提示：让学生从本题中总结出轴对称图形的对称轴不仅仅只一条，有可能有2条、3条、4条等，对称轴的方向不仅仅是垂直的，有可能是水平的或倾斜的。
2、提示：一般的三角形，一般的梯形，一般的平行四边形不是轴对称图形（可以通过折纸验证。1、2、3、4、6、7、10、11、12、13均为轴对称图形，对称轴条数为1的有4、7、10，对称轴条数为2的有1、11、13，对称轴条数为3的有6，对称轴条数为4的有2，对称轴条数为无数条的有3、12
【课堂小结】
这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．
【课后作业】
课本习题14．1─1、2、6、7、8题．
【板书设计】12．1．1 轴对称
1.定义 4.例题
2.探究1 5. 小结
3. 探究2
【教学反思】
本节课通过观察生活中的一些图案以及动画演示，让学生轻松掌握了轴对称图形与关于直线成轴对称两个概念，通过动手实践让学生感知学习的过程，从而找到两概念的区别和联系，同时营造了良好的学习气氛，提高了学生学习的热情，教学效果感觉良好。
12．1．2 轴对称
第二课时
【教学目标】：
知识与技能：
了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．探究线段垂直平分线的性质．
过程与方法：
经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察．探索线段垂直平分线的性质，培养学生认真探究、积极思考的能力．
情感态度与价值观：
通过对轴对称图形性质的探索，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，•并使学生具有一些初步研究问题的能力．
教学重点: 探索轴对称的性质，并总结出线段垂直平分线的性质
教学难点：探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题．
教学方法: 探索、归纳、交流、练习．
【教学情景导入】：
创设情境，引入新课
1.什么样的图形是轴对称图形呢？
2. 轴对称图形有哪些性质，从图形中能得到结论？
导入新课
1. 如下图，△ABC 和△A /B /C /关于直线MN 对称，点A /、B /、C /分别是点A 、•B、C 对称点，线段AA 、BB 、CC 与直线MN 有什么关系？为什么？
对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
2. 画一个轴对称图形，并找出两对称点，看对称轴和两对称点连线的关系．
3. 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．(归纳得出
) //′
归纳图形轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，•那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
【教学过程】：
下面我们来探究线段垂直平分线的性质．
[探究1]
如下图．木条L 与AB 钉在一起，L 垂直平分AB ，P ，P 1，P 2，P 3，„是L 上的
点，•分别量一量点P ，P 1，P 2，P 3，„到A 与B 的距离，你有什么发现？
学生活动：
1．学生用平面图将上述问题进行转化，先作出线段
AB ，过AB 中点作AB 的垂直平分线L ，在L 上取P 、P 1、
P 2、P 3„，连结AP 、AP 1、AP 2、AP 3;BP 、BP 1、BP 2、BP 3„
2．作好图后，用直尺量出AP 、AP 1、AP 2、AP 3;BP 、
BP 1、BP 2、BP 3„讨论发现什么样的规律．
探究结果：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
相等．即AP=BP、AP 1=BP1，AP 2=BP2，AP 3= BP3，„
[师]能用我们已有的知识来证明这个结论吗？
学生讨论给出证明．
证法一：利用判定两个三角形全等．
如下图，在△APC 和△BPC 中，
⎧PC =PC ⎪⎨∠PCA =∠PCB =Rt ∠
⎪AC =BC ⎩△APC ≌△BPC ⇒ PA=PB. ⇒
证法二：利用轴对称性质．
由于点C 是线段AB 的中点，将线段AB 沿直线L 对折，
线段PA 与PB 是重合的，•因此它们也是相等的．
带着探究1的结论我们来看下面的问题．
[探究2]
如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
学生活动：
1．学生用平面图形将上述问题进行转化．作线段AB ，取其中点P ，过P 作L ，在L 上取点P 1、P 2，连结AP 1、AP 2、BP 1、BP 2．会
有以下两种可能．
2．讨论：要使L 与AB 垂直，AP 1、AP 2、
BP 1、BP 2应满足什么条件？
探究过程：
1．如上图甲，若AP 1≠BP1，那么沿L 将图形折叠后，A 与B 不可能重合，
也就是∠APP 1≠∠BPP 1，即L 与AB 不垂直．
2．如上图乙，若AP 1=BP1，那么沿L 将图形折叠后，A 与B 恰好重合，就有
∠APP 1=∠BPP 1，即L 与AB 重合．当AP 2=BP2时，亦然．
探究结论：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．也就是说在[•探究2]图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直．上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线
上．•所以线段的垂直平分线可以看成是与线
段两端点距离相等的所有点的集合．
活动与探究
如图甲，△ABC 和△A B C 关于直线L 对称，
延长对应线段AB 和A /B /，两条延长线相交吗？交点与对称轴L 有什么关系？延长其他对应线段呢？在图乙中，AC 与A•/C /又如何呢？再找几个成轴对称的图形观察一下，能发现什么规律吗？
过程：在图甲中，AB 与A /B /不平行，所以它们肯定会相交．下面来研究交点与对称轴L 的关系．
///
问题1：点和直线有几种位置关系？
有两种．一种是点不在直线上，另一种是点在直线上．
问题2：先来假设一下交点不在对称轴L 上，看是否成立．
如果交点（P ）不在对称轴L 上，那么在L 的另一侧一定有另外一点（P /）与交点（P ）关于直线L 对称，且该点（P /）也是两延长线的交点．•但是由于两条直线相交只可能有一个交点，所以这两点是重合的．即交点（P ）只能在对称轴L 上．所以交点一定在对称轴上．延长其他的对应线段，结果也一样． 再看图乙，我们来讨论下一个问题．
AC与A ′C ′是平行的，它们的两条延长线也不会相交．
结论：成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点一定在对称轴上；对应线段的延长线如果不相交，也就是对应线段所在的直线平行，•那么它们也与对称轴平行．
【课堂小结】
这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，•了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．
【课后作业】
课本习题12．1─3、4、9题．
【板书设计】12．1．2 轴对称
1.定义 4.例题
2.探究1 5. 小结
3. 探究2
【教学反思】
判断几何图形是否是轴对称图形，并找出对称轴是教学的难点。如果教师提供具体的几何图形给学生，这无疑降低了学习的难度，不利于培养孩子的空间想象能力，使学习能力得不到发展。因此我在教学时，利用媒体展现几何图形让学生通过观察思考去自主建构交流，最后利用媒体演示“对折——重合”的过程。这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，•了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．
12．2．1 作轴对称图形
第一课时
【教学目标】：
知识与技能：
通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．
过程与方法：
经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用．
情感态度与价值观：
鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣．初步认识数学和人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教学重点：作轴对称图形
教学难点：用轴对称知识解决相应的数学问题
教学方法：操作、归纳、交流、练习
【教学情景导入】：
设置情境，引入新课
1.同学们思考一种作轴对称图形的方法？．
(1)将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，•得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形．
(2)准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕．再将纸打开后铺平，•位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的．
上述方法，行吗？为什么？．
【教学过程】：
导入新课
1.连结任意一对对应点的线段被对称
轴垂直平分．类似地，
我们也可以由一个图
形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案．
2. 同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，•再打开看看，得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？同学们互相交流一下．
结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L 对称的图形，•这个图形与原图形的形状、大小完全相同；
3.新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L 的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
4. 我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换． 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．
5.练习：取一张长30厘米，宽6厘米的纸条，将它每3厘米一段，•一正一反像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母E ，用小刀把画出的字母E 挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到以字母E 为图案的花边．回答下列问题．
（1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？•相间的两个图案又有什么关系？说说你的理由．
（2）如果以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？•三个图案为一组呢？为什么？
（3）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风琴”，•然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做．
投影仪演示学生的作品．
随堂练习
（课件演示）
（一）如图（1），将一张正六边形纸沿虚线对
折折3次，得到一个多层的60°角形纸，用剪刀在
折叠好的纸上随意剪出一条线，如图（2）．
（1）猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？
（2）这个图形有几条对称轴？
（3）如果想得到一个含有5条对称轴的图形，你应取什么形状的纸？应如何折叠？
例：（课件演示）
（一）如下图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，•得到一个等腰直角三角形，再沿斜边上的高线对折，将得到的角形沿黑色线剪开，去掉含90°角的部分，拆开折叠的纸，并将其铺平．
（1）你会得怎样的图案？先猜一猜，再做一做．
（2）你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过的轴对称的知识试一试．
（3）如果将正方形纸按上面方式折3次，然后再沿圆弧剪开，去掉较小部分，•展开后结果又会怎样？为什么？
（4）当纸对折2次后，剪出的图案至少有几条对称轴？3次呢？
（二）自己设计并制作一个花边．
（三）收集并欣赏1～2个对称的中国民间剪纸图案，你能找出对称轴吗？ 如何作一个图形经过轴对称后的图形呢？我们知道：任何一个图形都是由点组成的．因为我们来作一个点关于一条直线的对称点．由已经学过的知识知道：•对应点的连线被对称轴垂直平分．所以，已知对称轴L
和一个点A ，要画出点A 关于L•的对应点A /，可采取如下
方法：
（1）过点A 作对称轴L 的垂线，垂足为B ；
（2）在垂线上截取BA /，使BA /=AB．
点A ′就是点A 关于直线L 的对应点．
2. 现在我们会画一点关于已知直线的对称点，那么一个图形呢？•大家请看大屏幕．
[例1]如图（1），已知△ABC 和直线L ，作
出与△ABC 关于直线L 对称的图形．
作法：如图（2）．
（1）过点A 作直线L
的垂线，垂足为点
O ，在垂线上截取OA /=OA，点A /就是点A 关于直线L 的对称点；
（2）类似地，作出点B 、C 关于直线L 的对称点B /、C /；
（3）连结A /B /、B /C /、C /A /，得到△A ′B /C /即为所求．
【课堂小结】
几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对称点，再连结这些对应点，就可得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、•线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对应点，连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形．
【课堂作业】习题12.2 1题5题
【板书设计 】 12．2． 2 作轴对称图形
一、作轴对称图形的方法
二、例 三、随堂练习
四、课时小结 五、课后作业
【教学反思】
本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，•并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案．在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案．和求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的点关于这条直线的对称点．对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连结这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
12．2．2 作轴对称图形
第二课时
【教学目标】：
知识与技能：
在平面直角坐标系中，探索关于x 轴、y 轴对称的点的坐标规律．利用关于x 轴、y 轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x 轴、y•轴对称的图形．
过程与方法：
在探索关于x 轴，y 轴对称的点的坐标的规律时，•发展学生数形结合的思维意识．在同一坐标系中，•感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．
情感态度与价值观：
在探索规律的过程中，提高学生的求知欲和强烈的好奇心．
教学重点:能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．
教学难点：应用轴对称解决实际问题．
教学方法:讲练结合法．
教具准备：多媒体课件，方格纸数张．
【教学情景】：
提出问题，创设情境
1．如图：
（1）观察上图中两个圆脸有什么关系？
（2）已知右边图脸右眼的坐标为（4，3），左眼的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，1），左端点的坐标为（2，1）．
你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？
2．在平面直角坐标系中，将坐标为（2，2），（4，2），（4，4），（2，4），（2，
2）的点用线段依次连结起来形成一个图案．
（1）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案与原图案相比有何变化？
（2）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案又与原图案相比有何变化？
2．在直角坐标系中根据坐标描出四个点并依次
连结如图．A （2，2），B （4，2），•C（4，4），D
（2，4）．
（1）纵坐标不变，横坐标乘以-1，得到相应
四个点为A 1（-2，2），B 1（-4，2），C 1（-4，4）•，
D 1（-2，4）．顺次连结所得到的图案和原图案比
较，不难发现它们是关于y 轴对称的．
（2）横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到相应的四个点为A 2（2，-2），B 2（4，-2），C 2（4，-4），D 2（2，-4）．顺次连结所得到的图案和原图案比较，可得它们
是关于x 轴对称的．
[师]A（2，2）与A 1（-2，2）关于y 轴对称，
B（4，2）与B 1（-4，2）关于y 轴对称，
C（4，4）与C 1（-4，4）关于y 轴对称，
D（2，4）与D 1（-2，4）关于y 轴对称．
那么关于y 轴对称的点具有什么规律呢？
A（2，2）与A 2（2，-2）关于x 轴对称，
B（4，2）与B 2（4，-2）关于x 轴对称，
C（4，4）与C 2（4，-4）关于x 轴对称，
D（2，4）与D 2（2，-4）关于x 轴对称．
那么关于x 轴对称的点有何规律呢？
这节课我们就来研究关于x 轴，y 轴对称的每对对称点坐标的规律． 导入新课
在如图所示的平面坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入表格中．看看每对对称点的坐标有怎样的规律．再和同学讨论一下．
1.已知点A （2，-3），B （-1，2），C （-6，-5），D （1，1），E （4，0）． 2
关于x 轴的对称点A /（____，____）B /（_____，______）C•/（•_____，•_____）••D/（____，_____）E /（_____，_____）．
关于y 轴的对称点A //（_____，____）B //（_____，______）C //（•_____，•_____）••D//（____，_____）E //（_____，_____）．
教师引导，学生自主探索发现关于x 轴、y 轴对称的每组对称点坐标的规律． 关于x 轴对称的每对对称点的坐标：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
2. 作出A ，B ，C ，D ，E 关于y 轴的对称点，并求出它们的坐标．
观察结论并对照已知点的坐标，比较每对关于y 轴的对称点坐标，你能发现什么规律？
强调：关于y 轴对称的每一对对称点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【教学过程】：
随堂练习
练习：
1．分别写出下列各点关于x 轴和y 轴对称的点的坐标：
（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）．
2．如图，△ABC 关于x 轴对称，点A 的坐标为（1，-2），标出点B 的坐标．
3．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC 关于x•轴和y 轴对称的图形． 学生练习，教师巡视，师生共评．
补充练习：
1．将下图中的点（2，1），（5，1），（2，5）做如下变化：
（1）纵坐标不变，横坐标分别加2．
（2）横坐标不变，纵坐标分别加1．
（3）纵坐标不变，横坐标分别变为原来的2倍．
（4）横坐标不变，纵坐标分别变为原来的2倍．
（5）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1．
（6）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1．
（7）纵坐标、横都分别乘以-1，观察变化后的三角形与原三角形有什么变化？
学生练习，教师指导．
精析：行根据变化，把每次变化后的三个顶点坐标求出，•在平面直角坐标系中描出它们，连结成新三角形，然后与原有的三角形进行比较．
例 四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(－5,1) 、B(－2,1) 、C(－2,5) 、D(－5,4) ，分别作出与四边形ABCD 关于x 轴和y 轴对称的图形．
（1）归纳：与已知点关于y 轴或x 轴对称的点的坐标的规律；
（2）学生画图
（3）对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标，描出并顺次连接这些特殊点，就可以得到这个图形的轴对称图形．
探究问题
分别作出△PQR 关于直线x=1(记为m) 和直线y=－1(记为n) 对称的图形，你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？
（1）学生画图，由具体的数据，发现它们的对应点的坐标之间的关系
（2）若△P 1Q 1R 1中P 1(x1,y 1) 关于x=1(记为m) 轴对称的点的坐标P 2 (x2,y 2) ，则x 1+x 2=m ，y 1= y2． 2
若△P 1Q 1R 1中P 1(x1,y 1) 关于y=－1(记为n) 轴对称的点的坐标P 2 (x2,y 2) ，则x 1= x2，y 1+y 2=n． 2
随堂练习
（一）课本P129练习 1、2．
1．如图，把下列图形补成关于直线L 对称的图形．
2．用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，•看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合．
（二）阅读课本P127～P130，然后小结．
【课时小结】
本节课我们主要研究了如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形．在按要求作图时要注意作图的准确性．
求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的
点关于这条直线的对称点．对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连结这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
【课后作业】
课本P133习题─1、5、8、9题．
【板书设计 】 12．2． 2 作轴对称图形
一、已知对称轴L 和一个点A ，要画出点A 关于L 的对称点A ′，方法如下：
（1）过点A 作对称轴L 的垂线，垂足为B ．
（2）在垂线上截取BA ′=AB．则点A ′就是点A 关于直线L 的对应点，
二、例1
三、随堂练习
四、课时小结
五、课后作业
【教学反思】
本节课的主要内容（由学生在教师的引导下共同回忆总结）：
1．在直角坐标系中，探索了关于x 轴，y 轴对称的对称点坐标规律．
2．利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，作已知图形的轴对称图形，体现了数形结合的数学思想．
12.3等腰三角形
第一课时
【教学目标】：
知识与技能：
使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。熟识等边三角形的性质及判定．通过例题教学，帮助学生总结代数法求几何角度，线段长度的方法。
过程与方法：
经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
情感态度与价值观：
积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
【教学重点】理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．
【教学难点】等腰三角形性质和判定的应用．
【教学方法】创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．
【教学情景】：
提出问题，创设情境
1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？
2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
3．你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？•你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流．
（教师应给学生自主探索、思考的时间）
导入新课
1.探索等腰三角形成等边三角形的条件．
[生]如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形是等边三角形．
[师]你能给大家陈述一下理由吗？
[生]根据三角形的内角和定理，顶角是60•°，•等腰三角形的两个底角的和就是180°-60°=120°，再根据等腰三角形两个底角是相等的，•所以每个底角分别是120°÷2=60°，则三个内角分别相等，根据等角对等边，•则此时等腰三角形的三条边是相等的，即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形．
[生]等腰三角形的底角是60°，那么这个三角形也是等边三角形，同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质．
[师]从同学们自主探索和讨论的结果可以发现：•在等腰三角形中，•不论底角是60°，还是顶角是60°，那么这个等腰三角形都是等边三角形．•你能用更简洁的语言描述这个结论吗？
[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
（这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点，难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况．这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法）
[师]你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？
[生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60°”，在等腰三角形中有两种情况：（1）这个角是底角；（2）这个角是顶角．也就是说我们思考问题要全面、周到．
[师]我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况，•我们鼓掌表示对他们的鼓励．
【教学过程】：
今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？
[生]三个角都相等的三角形是等边三角形．
[师]下面就请同学们来证明这个结论．
（投影仪演示学生证明过程）
已知：如图，在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ．
求证：△ABC 是等边三角形． B A
证明：∵∠A=∠B ，
∴BC=AC（等角对等边）．
又∵∠A=∠C ，
∴BC=AC（等角对等边）．
∴AB=BC=AC，即△ABC 是等边三角形．
[师]这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到．
（演示课件）
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
[师]有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理．
例1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，∠B ＝30°，求∠1和∠ADC 的度数。
分析：由AB ＝AC ，D 为BC 的中点，可知AB 为 BC底边上的中线，由“三线合一”可知AD 是△ABC 的顶角平分线，底边上的高，从而∠ADC ＝90°，∠l ＝∠BAC ，由于∠C ＝∠B ＝30°，∠BAC 可求，所以∠1可求。
问题1：本题若将D 是BC 边上的中点这一条件改为AD 为等腰三角形顶角平分线或底边BC 上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样?
问题2：求∠1是否还有其它方法?
[例2]如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB=60°，AP=BP=200m，•他们便得出一个结论：A 、B 之间距离不少于200m ，他们的结论对吗？
分析：我们从该问题中抽象出△APB ，由已知条件∠APB=60°且AP=BP，•由本节课探究结论知△APB 为等边三角形．
解：在△APB 中，AP=BP，∠APB=60°，
所以∠PAB=∠PBA=11（180°-∠APB ）=（180°-60°）=60°． 22
于是∠PAB=∠PBA=∠APB ．
从而△APB 为等边三角形，AB 的长是200m ，•由此可以得出兴趣小组的结论是正确的．
练习巩固
1．判断下列命题，对的打“√”，错的打“×”。
a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合( )
b．有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°( )
2．等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么线段？ 答案：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它们分别是三个角的平分线（或是三条边上的中线或三条边上的高线）．
3．如图，等边三角形ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDE=∠
CDF=60°，•图中有哪些与BD 相等的线段？
答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF．
4．如图(2)，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平
分线，且∠2＝25°，求∠ADB 和∠B 的度数。
5、如图(3)，△ABC 是等边三角形，BD 、CE 是中线，
求∠CBD ，∠BOE ，∠BOC ，∠EOD 的度数。
6、如图，△ABC 是等边三角形，∠B 和∠C 的平分线相交于D ，BD 、CD•的垂直平分线分别交BC 于E 、F ，求证：BE=CF．
【课堂作业】
1．在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________．
2．底与腰不等的等腰三角形有__________
条对称轴，等边三角形有A E F C A D E C
__________条对称轴．请你在下图中作出等腰△ABC ，等边△DEF 的对称轴．
3．如图，已知△ABC 是等边三角形，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，垂足为D 、E 为AC 的中点，AD =DE =6 cm则∠ACD =（__________）°, AC =__________cm,∠DAC =(__________)°，△ADE 是__________三角形．
4．如图，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，垂足分别
为D ，E ，如果AB =8 cm，则BD =__________cm，∠BDE =
（________）°, BE =__________cm．
5．如图，Rt △ABC 中，∠A =30°, AB +BC =12 cm，则AB =__________cm．
6．在Rt △ABC 中，如图所示，∠C =90°，∠CAB =60°，
AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离DE =3．8 cm ，则BC 等于_________．
A ．3.8 cm B．7.6 cm C．11.4 cm D．11.2 cm
7．如图，在△ABC 中，∠A =20°，D 在AB 上，AD =DC ，∠ACD ∶∠BCD =2∶3，求：∠ABC 的度数．
【归纳小结】：等腰三角形的定义及相关概念，等腰三角形的性质和判定．
【布置作业】习题12.3 第1～7题．
【板书设计】 12．3．1 等腰三角形
定义：
1. 等腰三角形的定义 应用举例
2. 等腰三角形的性质 巩固练习
3. 等腰三角形的判定 总结
【教学反思】由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60°。“三线合一”性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。本节课主要学习了等腰三角形和性质和等腰三角形的条件。
12.3.2等腰三角形
第二课时
【教学目标】：
知识与技能：
探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
过程与方法：
经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，•引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．
情感态度与价值观：
鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．
教学重点:等边三角形的性质及判定．
教学难点:探索等边三角形的性质及判定的过程．
教学方法:类比教学法, 分类讨论法
教具:多媒体 等边三角形纸卡
【教学情景】：
提出问题，创设情境
1.用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
2.由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
导入新课
1.用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．
其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD ≌△ACD ，所以AB=AC，又因为Rt △ABD 中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
C A A (1)B D (2)C
[生]图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC 是等边三角形．
[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？
[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半．
[师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？
[生]可以，图（1）中，已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．•而∠ADB=90°，即AD ⊥BC ．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=
以BD=1BC ．所21AB ，•即在Rt △ABD 中，∠BAD=30°，它所对的边BD 是斜边AB 的一半． 2
[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．•下面我们一同来完成这个定理的证明过程．
【教学过程】：
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=
B A 1AB ． 2A C D
强调：这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题．
[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD 、DE 要多长？
分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由
于∠A=30°，所以DE=
所以DE=1AB ． 411AD ，BC=AB ，又由D 是AB 的中点，A 22D E C B
[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．
求：CD 的长．
分析：观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a，
而∠DAC 是△ABC 的一个外角，•则∠DAC=15°×2=30°，
根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，•
可求出CD ．
[例]已知如图所示, 在△ABC 中,BD 是AC 边上的中线,DB ⊥BC 于B,
∠ABC=120o , 求证: AB=2BC
证明: 过A 作AE ∥BC 交BD 的延长线于E
∵DB ⊥BC(已知)
∴∠AED=90o (两直线平行内错角相等)
在△ADE 和△CDB 中
⎧∠E =∠CBD (已证) ⎪⎨∠ADE =∠BDC (对顶角相等)
⎪AD =CD (已知) ⎩A D C B ∴△ADE ≌△CDB(AAS)
∴AE=CB(全等三角形的对应边相等)
∵∠ABC=120o ,DB ⊥BC(已知)
∴∠ABD=30o
在Rt △ABE 中, ∠ABD=30o
∴AE=1AB(在直角三角形中, 如果一个锐角等于30o , 那么2
1AB 即AB=2BC 2C 它所对的直角边等于斜边的一半) ∴BC=
练习
1．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．
求证：BD=1AB ． 4
A
D
D 2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍． 3、已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD B
是∠ABC 的平分线． 求证：CD=2AD．
【课堂作业】
1．Rt △ABC 中，若CD 是斜边AB 上的高，∠B =30°，AD=3㎝，则BD 的长度是（ ）
A ．3㎝ B．6㎝ C． 9㎝ D．12㎝
2．在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一腰上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的是（）
A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
3、已知∠AOB=30°, 点P 在∠AOB 内部,P 1与P 关于OB 对称,P 2与P 关于OA 对称, 则
P 1,O,P 2三点构成的三角形是 ( )D
(A)直角三角形 (B)钝角三角形
(C)等腰三角形 (D)等边三角形
4、如图，△ABC 是等边三角形，AE =CD ，BQ ⊥AD 于Q ，BE 交
AD 于P ． ①求∠PBQ 的度数．②判断PQ 与BP 的数量关系．
【课堂小结】通过本节课的学习你有什么收获?
【作业布置】课本第32页3题
【板书设计】 12．3．2 等腰三角形
定义：
1. 等边三角形的定义 应用举例
2. 等边三角形的性质 巩固练习
3. 等边三角形的判定 总结
【教学反思】
这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．他与等边三角形联系非常紧密，这也充分体现了数学知识之间的紧密联系以及灵活的运用，充分锻炼和提高了学生思维的灵活性。
第十二章复习 轴对称
【学习目标】
知识与技能
1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形，认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能应用轴对称进行简单的图案设计。
过程与方法
经历了线段的垂直平分线的概念，探索并掌握其性质；了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握它们的性质以及判定方法。
情感态度与价值观
能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣。
【教学重点，难点】
1、掌握轴对称和轴对称图形的概念及其相关性质；
2、掌握线段的垂直平分线的定义和性质，并能判定之；
3、成轴对称的两个图形的对称轴的画法；
4、等腰三角形的概念及性质．等腰三角形性质的应用．等腰三角形，等边三角形的判定及应用。
【知识网络图示】
【基本知识提炼整理】
一、基本概念
1. 轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴. 折叠后重合的点是对应点，叫做对称点
.
2. 线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 3. 轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 4. 等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形. 相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
5. 等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 二、主要性质
1. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
2. 线段垂直平分钱的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 3. （1）点P （x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标为P ′（x ，-y ）. （2）点P （x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为P ″（-x ，y ）. 4. 等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. （3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等. （5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。 （6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边. 5. 等边三角形的性质
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.
（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.
三、有关判定
1. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 2. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
3. 三个角都相等的三角形是等边三角形. 4. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【专题总结及应用】
一、用轴对称的观点证明有关几何命题
例1 试说明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，求证：BC=
1
AB. 2
证明：如图所示.
作出△ABC 关于AC 对称的△AB /C. ∴AB /=AB.
又∵∠CAB=30°，∴∠B /=∠B=∠B /AB=60°. ∴AB=BB/=AB/ 又∵AC ⊥B /B ， ∴B /C=BC=
1/1
BB =AB. 22
即BC=
1
AB. 2
1
例2 如图所示，已知∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°. 求证BD=AB.
4
证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴BC=
1
AB ，∠B=60°. 2
又∵CD ⊥BA ，
∴∠BDC=90°，∠BCD=30°. ∴BD=
111
·AB=AB. 2241
AB. 4
1
BC. 2
∴BD=
即BD=
二、有关等腰三角形的内角度数的计算
例3 如图所示，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A 的度数. 解：∵AB=AC，BC=BD=ED=EA， ∴∠ABC=∠C=∠BDC ， ∠ABD=∠BED ，∠A=∠EDA.
设∠A=α，则∠EDA=α，∠ABD=∠BED=2α， ∠ABC=∠C=∠BDC=3α（根据三角形的外角性质）. 在△ABC 中，∠A=α，∠ABC=∠ACB=3α， 由三角形内角和可得α+3α+3α=180°， ∴α=
180︒180︒
，∴∠A=. 77
180
︒
. 7
∴∠A 的度数为
例4 如图所示，在△ABC 中，D 在BC 上，若AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC 的度数.
解：∵AD=BD，AB=AC=CD， ∴∠B=∠C=∠BAD ，∠CAD=∠CDA. 设∠B=∠C=∠BAD=α，
则∠CAD=∠CDA=2α，∠BAC=3α. 在△ABC 中，∠BAC=3α，∠B=∠C=α， ∴3α+α+α=180°，
∴α=36”，∴3α=108°，即∠BAC=108°. ∴∠BAC 的度数是108°.
三、作辅助线解决问题
例5 如图所示，∠B=90°，AD=AB=BC，DE ⊥AC. 求证BE=DC. 证明：连接AE.
∵ED ⊥AC ，∴∠ADE=90°.
又∵∠B=90°，∴在Rt △ABE 和Rt △ADE 中，
∴Rt △ABE ≌Rt △ADE （HL ），∴BE=ED. ∵AB=BC，∴∠BAC=∠C.
又∵∠B=90°，∴∠BAC+∠C=90°. ∴∠C=45°. ∴∠DEC=45°. ∴∠C=∠DEC=∠45°. ∴DE=DC，∴BE=DC.
例6 如图所示，在△ABC 中，AB=AC，在AB 上取一点E ，在AC 延长线上取一点F ，使BE=CF，EF 交BC 于G. 求证EG=FG.
证明：过E 作EM ∥AC ，交BC 于点M ， ∴∠EMB=∠ACB ，∠MEG=∠F. 又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB. ∴∠B=∠EMB ，∴EB=EM. 又∵BE=CF，∴EM=FC. 在△MEG 和△CFG 中，
∴△MEG ≌△CFG （AAS ）. ∴EG=FG.
例7 如图所示，在△ABC 中，∠B=60°，AB=4，BC=2.求证△ABC 是直角三角形.
证明：取AB 的中点D ，连接CD. ∵BC=2，AB=4，∴
BC=BD=AD=2.
∴∠BCD=∠BDC.
又∵∠B=60°，∴∠BCD=∠BDC=60°. ∴DC=BD=DA.∴∠A=∠DCA. 又∵∠BDC 是△DCA 的一个外角， ∴∠BDC=∠A+∠DCA=60°. ∴∠A=30°，
∴∠BCA=180°-∠B-∠A=180°-60°-30°=90°. ∴△ABC 是直角三角形.
八年级上第十二章轴对称水平测试
一．选择题(每小题3分，共24分)
1．下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ） ．
A ． B． C． D． 2．下列图案中是轴对称图形的是（ ）
2008年北京 2004年雅典 1988年汉城 1980年莫斯科
图 1
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
3．如图，在平面直角坐标系中，下列各中是点E 关于x 轴的对称点的是（ ） A ．(1， 2)B．(1，－2) C．(－1，2)D ．(2，1)
4．国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是( )
加拿大 澳大利亚 瑞士 乌拉圭
A ．加拿大、乌拉圭 B．加拿大、瑞士、澳大利亚
C ．加拿大、瑞士 D．乌拉圭、瑞士
5．等腰三角形一个外角等于110°，则底角为( )
A ．70°或40° B． 40°或55° C ． 55°或70° D． 70° 6．下列交通标志中是轴对称图形的有（ ）
A ． 1个 B．2个 C．3个 D．4个
7. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A． 20° B．120° C．20°或120° D． 36° 8．如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）
二．填空(每题3分，共24分)
3) 与点B (2，n +1) 关于x 轴对称，则m =，n =． 9．已知点A (m -1，
10．观察字母A 、E 、F 、H 、J 、S 、O （所有笔画的粗细相同），其中是轴对称图形的_____个．
11．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D. 请你再添加一个条件，就可以确定△ABC 是等腰三角形. 你添加的条件是.
12．小明做了一个如图所示的风筝，其中EH ＝FH ，ED ＝FD ，小明说不用测量就知道DH 是EF 的垂直平分线．其中蕴含的道理理是.
A
F
B D C
13．如图，在2⨯2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC ，请你找出格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个．
14．如图，D 、E 为△ABC 两边AB 、AC 的中点，将△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，若∠B=55°，则∠BDF=°
13．等腰三角形的两个内角之比为2∶1，这个等腰三角形的顶角的度数是． 16．如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，那么这个三角形一定是三角形．
三．解答题(每题6分，共12分)
17． 如图，AB=AC，∠C=67°，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，求∠DBC 的度数．
18．（1）请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 'B 'C '
（其中A '，B '，C '分别是A ，B ，
C （2）直接写出A '，B '，C '三点的坐标：
A '(_____)，B '(_____)，C '(_____)．
B F
D
E C A
四．解答题(每题8分，共40分19．如图是一个台球桌，上面有一个白球A ，红球B ，和黑球C ，三球在一条直线上，现在要用球杆击中白球，并让白球撞击桌边反弹后击中红球，且不能碰到黑球，请你设计一下白球的运动路线．
P
B
D
C A
20．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，P 是AD 上的 任意一点，且AB ＞AC ，求证：AB －AC ＞PB －PC ．
21．青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A 、B 、C 的距离相等．
（1）若三所运动员公寓A 、B 、C A
共服务设施（用点P
表示）的位置；
（2）若∠BAC ＝66º，则∠BPC ＝º.
22. 已知Rt △ABC, ∠ACB=90°, AC=BC，点D 是斜边的中点，经过点C 引一条直线l （不与AC 、BC 重合并且不经过点D ）
操作：经过点A 做AE ⊥l ，经过点B 做BF ⊥l ，连结DE 、DF 猜想△DEF 的形状并证明.
23． 已知△ABC 与△ADE 是等边三角形，点B 、A 、D 在一条直线上，∠CPN=60°交直线AE 与点N ；
（1）若点P 在线段AB 上运动、（不与A 、B 重合）猜想线段PC 、PN 的数量关系并证明.
（2）若点P 在线段AB 上运动、（不与A 、D 重合），画出图形，猜想线段PC 、PN 的数量关系
(3)总结：若点P 在直线AB 上运动、（不与A 、
B
C
B 、D 重合），线段PC 、PN 的数量关系会保持不变吗？
答案 一．选择题
1．C2．D 3．B 4．C5．C6．B 7. C 8．C 二．填空
9．3，－4 10．411．BD=CD
12．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 13． 5 14．70°15．36°或90° 16．锐角
三．解答题(每题6分，共12分)
17． 如图，AB=AC，∠C=67°，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，求∠DBC 的度数．
18．（1）图略
（2）2，3；3，1；-1，-2； 四．解答题 19．图略
B
C
F
D
E
A
20．提示：在AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，连结PE ，△AEP ≌△ACP ． 21．（1）图略（2）132°
22. △DEF 为等腰直角三角形，证明提示：连结CD ，先证明△ACE ≌△CBF ，再证明△AED ≌△CFD
23．PC=PN，提示：在AC 边截取AF=AP，证明△PCF ≌△PNA
第十二章 轴对称
单元（章）教学计划
1、地位与作用：
本章的主要内容是围绕等腰三角形展开的. 等腰三角形是继角、线段后接触到的第三个轴对称图形，它为后面学习等边三角形、直角三角形和特殊四边形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆做下铺垫，也是平面几何研究的主要对象，起着承前启后的作用。
2、目标与要求：
知识与技能
(1) 通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；。
(2)探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相互关系；能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；认识和欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计
(3) 了解线段垂直平分线及其性质，并掌握其性质；了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握它们的性质和判定方法。
过程与方法
(1)从实际生活中的图形入手，学习轴对称及其性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。
(2)利用轴对称变换，探索等腰三角形的性质及其判定方法，并进一步学校等边三角形。。
情感态度与价值观
能初步应用本章所学知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间概念，激发学生学习空间与图形的兴趣。
3、重点与难点：
重点：轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定。
难点：等腰三角形的性质和判定. 掌握等腰三角形的性质和判定，并能应用
这些知识。
4、教法与学法：
教师启发引导，学生自主探究，分类比较法，统一归纳法，自学讨论法，小组互动法等教学方法.
5、活动步骤：
一、创设情境、导入新课； 二、探索新知 合作交流； 三、应用迁移，提高巩固 练习；四、总结反思，拓展升华；五、布置作业
6、时间安排：
12.1轴对称 4课时
12.2作轴对称图形 2课时
12.3等腰三角形 4课时
复习与小结 2课时
12．1．1 轴对称
第一课时
【教学目标】：
知识与技能：
在生活实例中认识轴对称图；分析轴对称图形，理解其概念．
过程与方法：
通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴．经历观察、分析的过程，训练学生观察、分析的能力．
情感态度与价值观：
通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高．
教学重点: 准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念的实质 教学难点：能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．轴对称图形和关于直线
成轴对称的区别和联系
教学方法：操作，归纳，启发诱导法.
教具准备:天安门、蝴蝶、窗花、脸谱等图片．多媒体课件．投影仪．剪刀、小刀、硬纸板．
【教学过程】：
创设情境，引入新课
1. 举实例说明对称的重要性和生活充满着对称。
2. 对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．
3. 轴对称是对称中重要的一种，让我们一起走进轴对称世界，探索它的秘密吧！
导入新课
1. 观察：几幅图片（出示图片），观察它们都有些什么共同特征．
强调：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，•甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．
练习：从学生生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．
2.观察： 如图14．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），•再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．
你能发现它们有什么共同的特点吗？
3.如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．我们也说这个图形关于这条直线（成轴）•对称．
4.动手操作： 取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，•将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流．
归纳小结：由此我们进一步了解了轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．
【教学过程】：
接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一
条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。
下列各图，你能找出它们的对称轴吗？
结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴．
(1) (2) (3) (4) (5)
展示挂图，大家想一想，你发现了什么？
像这样，•把一个图形沿着某一条直线折
叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就
说这两个图形关于这条直线对称，•这条直
线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应
点，叫做对称点．
成轴对称的两个图形全等吗？如果
把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图
形，那么这两个图形全等吗？这两个图
形对称吗？
过程：在硬纸板上画两个成轴对称
的图形，再用剪刀将这两个图形剪下来
看是否重合．再在硬纸板上画出一个轴对称图形，然后将该图形剪下来，•再沿对称轴剪开，看两部分是否能够完全重合．
结论：成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．
轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．
轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折叠后重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，•如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
8、议一议在图形（1）中对应线段（对折后重合的线段）、对应角（对折后重合的角）有什么关系？
练习:1、请同学们细心观察，下列轴对称图形各有多少条对称轴？
2、判断下列图形哪些是轴对称图形，如果是，请找出所有对称轴。
1、提示：让学生从本题中总结出轴对称图形的对称轴不仅仅只一条，有可能有2条、3条、4条等，对称轴的方向不仅仅是垂直的，有可能是水平的或倾斜的。
2、提示：一般的三角形，一般的梯形，一般的平行四边形不是轴对称图形（可以通过折纸验证。1、2、3、4、6、7、10、11、12、13均为轴对称图形，对称轴条数为1的有4、7、10，对称轴条数为2的有1、11、13，对称轴条数为3的有6，对称轴条数为4的有2，对称轴条数为无数条的有3、12
【课堂小结】
这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．
【课后作业】
课本习题14．1─1、2、6、7、8题．
【板书设计】12．1．1 轴对称
1.定义 4.例题
2.探究1 5. 小结
3. 探究2
【教学反思】
本节课通过观察生活中的一些图案以及动画演示，让学生轻松掌握了轴对称图形与关于直线成轴对称两个概念，通过动手实践让学生感知学习的过程，从而找到两概念的区别和联系，同时营造了良好的学习气氛，提高了学生学习的热情，教学效果感觉良好。
12．1．2 轴对称
第二课时
【教学目标】：
知识与技能：
了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．探究线段垂直平分线的性质．
过程与方法：
经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察．探索线段垂直平分线的性质，培养学生认真探究、积极思考的能力．
情感态度与价值观：
通过对轴对称图形性质的探索，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，•并使学生具有一些初步研究问题的能力．
教学重点: 探索轴对称的性质，并总结出线段垂直平分线的性质
教学难点：探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题．
教学方法: 探索、归纳、交流、练习．
【教学情景导入】：
创设情境，引入新课
1.什么样的图形是轴对称图形呢？
2. 轴对称图形有哪些性质，从图形中能得到结论？
导入新课
1. 如下图，△ABC 和△A /B /C /关于直线MN 对称，点A /、B /、C /分别是点A 、•B、C 对称点，线段AA 、BB 、CC 与直线MN 有什么关系？为什么？
对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
2. 画一个轴对称图形，并找出两对称点，看对称轴和两对称点连线的关系．
3. 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．(归纳得出
) //′
归纳图形轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，•那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
【教学过程】：
下面我们来探究线段垂直平分线的性质．
[探究1]
如下图．木条L 与AB 钉在一起，L 垂直平分AB ，P ，P 1，P 2，P 3，„是L 上的
点，•分别量一量点P ，P 1，P 2，P 3，„到A 与B 的距离，你有什么发现？
学生活动：
1．学生用平面图将上述问题进行转化，先作出线段
AB ，过AB 中点作AB 的垂直平分线L ，在L 上取P 、P 1、
P 2、P 3„，连结AP 、AP 1、AP 2、AP 3;BP 、BP 1、BP 2、BP 3„
2．作好图后，用直尺量出AP 、AP 1、AP 2、AP 3;BP 、
BP 1、BP 2、BP 3„讨论发现什么样的规律．
探究结果：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
相等．即AP=BP、AP 1=BP1，AP 2=BP2，AP 3= BP3，„
[师]能用我们已有的知识来证明这个结论吗？
学生讨论给出证明．
证法一：利用判定两个三角形全等．
如下图，在△APC 和△BPC 中，
⎧PC =PC ⎪⎨∠PCA =∠PCB =Rt ∠
⎪AC =BC ⎩△APC ≌△BPC ⇒ PA=PB. ⇒
证法二：利用轴对称性质．
由于点C 是线段AB 的中点，将线段AB 沿直线L 对折，
线段PA 与PB 是重合的，•因此它们也是相等的．
带着探究1的结论我们来看下面的问题．
[探究2]
如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
学生活动：
1．学生用平面图形将上述问题进行转化．作线段AB ，取其中点P ，过P 作L ，在L 上取点P 1、P 2，连结AP 1、AP 2、BP 1、BP 2．会
有以下两种可能．
2．讨论：要使L 与AB 垂直，AP 1、AP 2、
BP 1、BP 2应满足什么条件？
探究过程：
1．如上图甲，若AP 1≠BP1，那么沿L 将图形折叠后，A 与B 不可能重合，
也就是∠APP 1≠∠BPP 1，即L 与AB 不垂直．
2．如上图乙，若AP 1=BP1，那么沿L 将图形折叠后，A 与B 恰好重合，就有
∠APP 1=∠BPP 1，即L 与AB 重合．当AP 2=BP2时，亦然．
探究结论：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．也就是说在[•探究2]图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直．上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线
上．•所以线段的垂直平分线可以看成是与线
段两端点距离相等的所有点的集合．
活动与探究
如图甲，△ABC 和△A B C 关于直线L 对称，
延长对应线段AB 和A /B /，两条延长线相交吗？交点与对称轴L 有什么关系？延长其他对应线段呢？在图乙中，AC 与A•/C /又如何呢？再找几个成轴对称的图形观察一下，能发现什么规律吗？
过程：在图甲中，AB 与A /B /不平行，所以它们肯定会相交．下面来研究交点与对称轴L 的关系．
///
问题1：点和直线有几种位置关系？
有两种．一种是点不在直线上，另一种是点在直线上．
问题2：先来假设一下交点不在对称轴L 上，看是否成立．
如果交点（P ）不在对称轴L 上，那么在L 的另一侧一定有另外一点（P /）与交点（P ）关于直线L 对称，且该点（P /）也是两延长线的交点．•但是由于两条直线相交只可能有一个交点，所以这两点是重合的．即交点（P ）只能在对称轴L 上．所以交点一定在对称轴上．延长其他的对应线段，结果也一样． 再看图乙，我们来讨论下一个问题．
AC与A ′C ′是平行的，它们的两条延长线也不会相交．
结论：成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点一定在对称轴上；对应线段的延长线如果不相交，也就是对应线段所在的直线平行，•那么它们也与对称轴平行．
【课堂小结】
这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，•了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．
【课后作业】
课本习题12．1─3、4、9题．
【板书设计】12．1．2 轴对称
1.定义 4.例题
2.探究1 5. 小结
3. 探究2
【教学反思】
判断几何图形是否是轴对称图形，并找出对称轴是教学的难点。如果教师提供具体的几何图形给学生，这无疑降低了学习的难度，不利于培养孩子的空间想象能力，使学习能力得不到发展。因此我在教学时，利用媒体展现几何图形让学生通过观察思考去自主建构交流，最后利用媒体演示“对折——重合”的过程。这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，•了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．
12．2．1 作轴对称图形
第一课时
【教学目标】：
知识与技能：
通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．
过程与方法：
经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用．
情感态度与价值观：
鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣．初步认识数学和人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教学重点：作轴对称图形
教学难点：用轴对称知识解决相应的数学问题
教学方法：操作、归纳、交流、练习
【教学情景导入】：
设置情境，引入新课
1.同学们思考一种作轴对称图形的方法？．
(1)将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，•得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形．
(2)准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕．再将纸打开后铺平，•位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的．
上述方法，行吗？为什么？．
【教学过程】：
导入新课
1.连结任意一对对应点的线段被对称
轴垂直平分．类似地，
我们也可以由一个图
形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案．
2. 同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，•再打开看看，得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？同学们互相交流一下．
结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L 对称的图形，•这个图形与原图形的形状、大小完全相同；
3.新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L 的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
4. 我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换． 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．
5.练习：取一张长30厘米，宽6厘米的纸条，将它每3厘米一段，•一正一反像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母E ，用小刀把画出的字母E 挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到以字母E 为图案的花边．回答下列问题．
（1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？•相间的两个图案又有什么关系？说说你的理由．
（2）如果以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？•三个图案为一组呢？为什么？
（3）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风琴”，•然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做．
投影仪演示学生的作品．
随堂练习
（课件演示）
（一）如图（1），将一张正六边形纸沿虚线对
折折3次，得到一个多层的60°角形纸，用剪刀在
折叠好的纸上随意剪出一条线，如图（2）．
（1）猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？
（2）这个图形有几条对称轴？
（3）如果想得到一个含有5条对称轴的图形，你应取什么形状的纸？应如何折叠？
例：（课件演示）
（一）如下图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，•得到一个等腰直角三角形，再沿斜边上的高线对折，将得到的角形沿黑色线剪开，去掉含90°角的部分，拆开折叠的纸，并将其铺平．
（1）你会得怎样的图案？先猜一猜，再做一做．
（2）你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过的轴对称的知识试一试．
（3）如果将正方形纸按上面方式折3次，然后再沿圆弧剪开，去掉较小部分，•展开后结果又会怎样？为什么？
（4）当纸对折2次后，剪出的图案至少有几条对称轴？3次呢？
（二）自己设计并制作一个花边．
（三）收集并欣赏1～2个对称的中国民间剪纸图案，你能找出对称轴吗？ 如何作一个图形经过轴对称后的图形呢？我们知道：任何一个图形都是由点组成的．因为我们来作一个点关于一条直线的对称点．由已经学过的知识知道：•对应点的连线被对称轴垂直平分．所以，已知对称轴L
和一个点A ，要画出点A 关于L•的对应点A /，可采取如下
方法：
（1）过点A 作对称轴L 的垂线，垂足为B ；
（2）在垂线上截取BA /，使BA /=AB．
点A ′就是点A 关于直线L 的对应点．
2. 现在我们会画一点关于已知直线的对称点，那么一个图形呢？•大家请看大屏幕．
[例1]如图（1），已知△ABC 和直线L ，作
出与△ABC 关于直线L 对称的图形．
作法：如图（2）．
（1）过点A 作直线L
的垂线，垂足为点
O ，在垂线上截取OA /=OA，点A /就是点A 关于直线L 的对称点；
（2）类似地，作出点B 、C 关于直线L 的对称点B /、C /；
（3）连结A /B /、B /C /、C /A /，得到△A ′B /C /即为所求．
【课堂小结】
几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对称点，再连结这些对应点，就可得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、•线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对应点，连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形．
【课堂作业】习题12.2 1题5题
【板书设计 】 12．2． 2 作轴对称图形
一、作轴对称图形的方法
二、例 三、随堂练习
四、课时小结 五、课后作业
【教学反思】
本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，•并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案．在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案．和求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的点关于这条直线的对称点．对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连结这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
12．2．2 作轴对称图形
第二课时
【教学目标】：
知识与技能：
在平面直角坐标系中，探索关于x 轴、y 轴对称的点的坐标规律．利用关于x 轴、y 轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x 轴、y•轴对称的图形．
过程与方法：
在探索关于x 轴，y 轴对称的点的坐标的规律时，•发展学生数形结合的思维意识．在同一坐标系中，•感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．
情感态度与价值观：
在探索规律的过程中，提高学生的求知欲和强烈的好奇心．
教学重点:能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．
教学难点：应用轴对称解决实际问题．
教学方法:讲练结合法．
教具准备：多媒体课件，方格纸数张．
【教学情景】：
提出问题，创设情境
1．如图：
（1）观察上图中两个圆脸有什么关系？
（2）已知右边图脸右眼的坐标为（4，3），左眼的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，1），左端点的坐标为（2，1）．
你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？
2．在平面直角坐标系中，将坐标为（2，2），（4，2），（4，4），（2，4），（2，
2）的点用线段依次连结起来形成一个图案．
（1）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案与原图案相比有何变化？
（2）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案又与原图案相比有何变化？
2．在直角坐标系中根据坐标描出四个点并依次
连结如图．A （2，2），B （4，2），•C（4，4），D
（2，4）．
（1）纵坐标不变，横坐标乘以-1，得到相应
四个点为A 1（-2，2），B 1（-4，2），C 1（-4，4）•，
D 1（-2，4）．顺次连结所得到的图案和原图案比
较，不难发现它们是关于y 轴对称的．
（2）横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到相应的四个点为A 2（2，-2），B 2（4，-2），C 2（4，-4），D 2（2，-4）．顺次连结所得到的图案和原图案比较，可得它们
是关于x 轴对称的．
[师]A（2，2）与A 1（-2，2）关于y 轴对称，
B（4，2）与B 1（-4，2）关于y 轴对称，
C（4，4）与C 1（-4，4）关于y 轴对称，
D（2，4）与D 1（-2，4）关于y 轴对称．
那么关于y 轴对称的点具有什么规律呢？
A（2，2）与A 2（2，-2）关于x 轴对称，
B（4，2）与B 2（4，-2）关于x 轴对称，
C（4，4）与C 2（4，-4）关于x 轴对称，
D（2，4）与D 2（2，-4）关于x 轴对称．
那么关于x 轴对称的点有何规律呢？
这节课我们就来研究关于x 轴，y 轴对称的每对对称点坐标的规律． 导入新课
在如图所示的平面坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入表格中．看看每对对称点的坐标有怎样的规律．再和同学讨论一下．
1.已知点A （2，-3），B （-1，2），C （-6，-5），D （1，1），E （4，0）． 2
关于x 轴的对称点A /（____，____）B /（_____，______）C•/（•_____，•_____）••D/（____，_____）E /（_____，_____）．
关于y 轴的对称点A //（_____，____）B //（_____，______）C //（•_____，•_____）••D//（____，_____）E //（_____，_____）．
教师引导，学生自主探索发现关于x 轴、y 轴对称的每组对称点坐标的规律． 关于x 轴对称的每对对称点的坐标：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
2. 作出A ，B ，C ，D ，E 关于y 轴的对称点，并求出它们的坐标．
观察结论并对照已知点的坐标，比较每对关于y 轴的对称点坐标，你能发现什么规律？
强调：关于y 轴对称的每一对对称点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【教学过程】：
随堂练习
练习：
1．分别写出下列各点关于x 轴和y 轴对称的点的坐标：
（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）．
2．如图，△ABC 关于x 轴对称，点A 的坐标为（1，-2），标出点B 的坐标．
3．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC 关于x•轴和y 轴对称的图形． 学生练习，教师巡视，师生共评．
补充练习：
1．将下图中的点（2，1），（5，1），（2，5）做如下变化：
（1）纵坐标不变，横坐标分别加2．
（2）横坐标不变，纵坐标分别加1．
（3）纵坐标不变，横坐标分别变为原来的2倍．
（4）横坐标不变，纵坐标分别变为原来的2倍．
（5）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1．
（6）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1．
（7）纵坐标、横都分别乘以-1，观察变化后的三角形与原三角形有什么变化？
学生练习，教师指导．
精析：行根据变化，把每次变化后的三个顶点坐标求出，•在平面直角坐标系中描出它们，连结成新三角形，然后与原有的三角形进行比较．
例 四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(－5,1) 、B(－2,1) 、C(－2,5) 、D(－5,4) ，分别作出与四边形ABCD 关于x 轴和y 轴对称的图形．
（1）归纳：与已知点关于y 轴或x 轴对称的点的坐标的规律；
（2）学生画图
（3）对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标，描出并顺次连接这些特殊点，就可以得到这个图形的轴对称图形．
探究问题
分别作出△PQR 关于直线x=1(记为m) 和直线y=－1(记为n) 对称的图形，你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？
（1）学生画图，由具体的数据，发现它们的对应点的坐标之间的关系
（2）若△P 1Q 1R 1中P 1(x1,y 1) 关于x=1(记为m) 轴对称的点的坐标P 2 (x2,y 2) ，则x 1+x 2=m ，y 1= y2． 2
若△P 1Q 1R 1中P 1(x1,y 1) 关于y=－1(记为n) 轴对称的点的坐标P 2 (x2,y 2) ，则x 1= x2，y 1+y 2=n． 2
随堂练习
（一）课本P129练习 1、2．
1．如图，把下列图形补成关于直线L 对称的图形．
2．用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，•看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合．
（二）阅读课本P127～P130，然后小结．
【课时小结】
本节课我们主要研究了如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形．在按要求作图时要注意作图的准确性．
求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的
点关于这条直线的对称点．对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连结这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
【课后作业】
课本P133习题─1、5、8、9题．
【板书设计 】 12．2． 2 作轴对称图形
一、已知对称轴L 和一个点A ，要画出点A 关于L 的对称点A ′，方法如下：
（1）过点A 作对称轴L 的垂线，垂足为B ．
（2）在垂线上截取BA ′=AB．则点A ′就是点A 关于直线L 的对应点，
二、例1
三、随堂练习
四、课时小结
五、课后作业
【教学反思】
本节课的主要内容（由学生在教师的引导下共同回忆总结）：
1．在直角坐标系中，探索了关于x 轴，y 轴对称的对称点坐标规律．
2．利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，作已知图形的轴对称图形，体现了数形结合的数学思想．
12.3等腰三角形
第一课时
【教学目标】：
知识与技能：
使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。熟识等边三角形的性质及判定．通过例题教学，帮助学生总结代数法求几何角度，线段长度的方法。
过程与方法：
经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
情感态度与价值观：
积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
【教学重点】理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．
【教学难点】等腰三角形性质和判定的应用．
【教学方法】创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．
【教学情景】：
提出问题，创设情境
1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？
2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
3．你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？•你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流．
（教师应给学生自主探索、思考的时间）
导入新课
1.探索等腰三角形成等边三角形的条件．
[生]如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形是等边三角形．
[师]你能给大家陈述一下理由吗？
[生]根据三角形的内角和定理，顶角是60•°，•等腰三角形的两个底角的和就是180°-60°=120°，再根据等腰三角形两个底角是相等的，•所以每个底角分别是120°÷2=60°，则三个内角分别相等，根据等角对等边，•则此时等腰三角形的三条边是相等的，即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形．
[生]等腰三角形的底角是60°，那么这个三角形也是等边三角形，同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质．
[师]从同学们自主探索和讨论的结果可以发现：•在等腰三角形中，•不论底角是60°，还是顶角是60°，那么这个等腰三角形都是等边三角形．•你能用更简洁的语言描述这个结论吗？
[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
（这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点，难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况．这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法）
[师]你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？
[生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60°”，在等腰三角形中有两种情况：（1）这个角是底角；（2）这个角是顶角．也就是说我们思考问题要全面、周到．
[师]我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况，•我们鼓掌表示对他们的鼓励．
【教学过程】：
今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？
[生]三个角都相等的三角形是等边三角形．
[师]下面就请同学们来证明这个结论．
（投影仪演示学生证明过程）
已知：如图，在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ．
求证：△ABC 是等边三角形． B A
证明：∵∠A=∠B ，
∴BC=AC（等角对等边）．
又∵∠A=∠C ，
∴BC=AC（等角对等边）．
∴AB=BC=AC，即△ABC 是等边三角形．
[师]这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到．
（演示课件）
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
[师]有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理．
例1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，∠B ＝30°，求∠1和∠ADC 的度数。
分析：由AB ＝AC ，D 为BC 的中点，可知AB 为 BC底边上的中线，由“三线合一”可知AD 是△ABC 的顶角平分线，底边上的高，从而∠ADC ＝90°，∠l ＝∠BAC ，由于∠C ＝∠B ＝30°，∠BAC 可求，所以∠1可求。
问题1：本题若将D 是BC 边上的中点这一条件改为AD 为等腰三角形顶角平分线或底边BC 上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样?
问题2：求∠1是否还有其它方法?
[例2]如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB=60°，AP=BP=200m，•他们便得出一个结论：A 、B 之间距离不少于200m ，他们的结论对吗？
分析：我们从该问题中抽象出△APB ，由已知条件∠APB=60°且AP=BP，•由本节课探究结论知△APB 为等边三角形．
解：在△APB 中，AP=BP，∠APB=60°，
所以∠PAB=∠PBA=11（180°-∠APB ）=（180°-60°）=60°． 22
于是∠PAB=∠PBA=∠APB ．
从而△APB 为等边三角形，AB 的长是200m ，•由此可以得出兴趣小组的结论是正确的．
练习巩固
1．判断下列命题，对的打“√”，错的打“×”。
a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合( )
b．有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°( )
2．等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么线段？ 答案：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它们分别是三个角的平分线（或是三条边上的中线或三条边上的高线）．
3．如图，等边三角形ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDE=∠
CDF=60°，•图中有哪些与BD 相等的线段？
答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF．
4．如图(2)，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平
分线，且∠2＝25°，求∠ADB 和∠B 的度数。
5、如图(3)，△ABC 是等边三角形，BD 、CE 是中线，
求∠CBD ，∠BOE ，∠BOC ，∠EOD 的度数。
6、如图，△ABC 是等边三角形，∠B 和∠C 的平分线相交于D ，BD 、CD•的垂直平分线分别交BC 于E 、F ，求证：BE=CF．
【课堂作业】
1．在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________．
2．底与腰不等的等腰三角形有__________
条对称轴，等边三角形有A E F C A D E C
__________条对称轴．请你在下图中作出等腰△ABC ，等边△DEF 的对称轴．
3．如图，已知△ABC 是等边三角形，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，垂足为D 、E 为AC 的中点，AD =DE =6 cm则∠ACD =（__________）°, AC =__________cm,∠DAC =(__________)°，△ADE 是__________三角形．
4．如图，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，垂足分别
为D ，E ，如果AB =8 cm，则BD =__________cm，∠BDE =
（________）°, BE =__________cm．
5．如图，Rt △ABC 中，∠A =30°, AB +BC =12 cm，则AB =__________cm．
6．在Rt △ABC 中，如图所示，∠C =90°，∠CAB =60°，
AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离DE =3．8 cm ，则BC 等于_________．
A ．3.8 cm B．7.6 cm C．11.4 cm D．11.2 cm
7．如图，在△ABC 中，∠A =20°，D 在AB 上，AD =DC ，∠ACD ∶∠BCD =2∶3，求：∠ABC 的度数．
【归纳小结】：等腰三角形的定义及相关概念，等腰三角形的性质和判定．
【布置作业】习题12.3 第1～7题．
【板书设计】 12．3．1 等腰三角形
定义：
1. 等腰三角形的定义 应用举例
2. 等腰三角形的性质 巩固练习
3. 等腰三角形的判定 总结
【教学反思】由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60°。“三线合一”性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。本节课主要学习了等腰三角形和性质和等腰三角形的条件。
12.3.2等腰三角形
第二课时
【教学目标】：
知识与技能：
探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
过程与方法：
经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，•引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．
情感态度与价值观：
鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．
教学重点:等边三角形的性质及判定．
教学难点:探索等边三角形的性质及判定的过程．
教学方法:类比教学法, 分类讨论法
教具:多媒体 等边三角形纸卡
【教学情景】：
提出问题，创设情境
1.用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
2.由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
导入新课
1.用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．
其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD ≌△ACD ，所以AB=AC，又因为Rt △ABD 中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
C A A (1)B D (2)C
[生]图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC 是等边三角形．
[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？
[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半．
[师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？
[生]可以，图（1）中，已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．•而∠ADB=90°，即AD ⊥BC ．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=
以BD=1BC ．所21AB ，•即在Rt △ABD 中，∠BAD=30°，它所对的边BD 是斜边AB 的一半． 2
[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．•下面我们一同来完成这个定理的证明过程．
【教学过程】：
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=
B A 1AB ． 2A C D
强调：这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题．
[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD 、DE 要多长？
分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由
于∠A=30°，所以DE=
所以DE=1AB ． 411AD ，BC=AB ，又由D 是AB 的中点，A 22D E C B
[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．
求：CD 的长．
分析：观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a，
而∠DAC 是△ABC 的一个外角，•则∠DAC=15°×2=30°，
根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，•
可求出CD ．
[例]已知如图所示, 在△ABC 中,BD 是AC 边上的中线,DB ⊥BC 于B,
∠ABC=120o , 求证: AB=2BC
证明: 过A 作AE ∥BC 交BD 的延长线于E
∵DB ⊥BC(已知)
∴∠AED=90o (两直线平行内错角相等)
在△ADE 和△CDB 中
⎧∠E =∠CBD (已证) ⎪⎨∠ADE =∠BDC (对顶角相等)
⎪AD =CD (已知) ⎩A D C B ∴△ADE ≌△CDB(AAS)
∴AE=CB(全等三角形的对应边相等)
∵∠ABC=120o ,DB ⊥BC(已知)
∴∠ABD=30o
在Rt △ABE 中, ∠ABD=30o
∴AE=1AB(在直角三角形中, 如果一个锐角等于30o , 那么2
1AB 即AB=2BC 2C 它所对的直角边等于斜边的一半) ∴BC=
练习
1．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．
求证：BD=1AB ． 4
A
D
D 2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍． 3、已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD B
是∠ABC 的平分线． 求证：CD=2AD．
【课堂作业】
1．Rt △ABC 中，若CD 是斜边AB 上的高，∠B =30°，AD=3㎝，则BD 的长度是（ ）
A ．3㎝ B．6㎝ C． 9㎝ D．12㎝
2．在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一腰上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的是（）
A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
3、已知∠AOB=30°, 点P 在∠AOB 内部,P 1与P 关于OB 对称,P 2与P 关于OA 对称, 则
P 1,O,P 2三点构成的三角形是 ( )D
(A)直角三角形 (B)钝角三角形
(C)等腰三角形 (D)等边三角形
4、如图，△ABC 是等边三角形，AE =CD ，BQ ⊥AD 于Q ，BE 交
AD 于P ． ①求∠PBQ 的度数．②判断PQ 与BP 的数量关系．
【课堂小结】通过本节课的学习你有什么收获?
【作业布置】课本第32页3题
【板书设计】 12．3．2 等腰三角形
定义：
1. 等边三角形的定义 应用举例
2. 等边三角形的性质 巩固练习
3. 等边三角形的判定 总结
【教学反思】
这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．他与等边三角形联系非常紧密，这也充分体现了数学知识之间的紧密联系以及灵活的运用，充分锻炼和提高了学生思维的灵活性。
第十二章复习 轴对称
【学习目标】
知识与技能
1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形，认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能应用轴对称进行简单的图案设计。
过程与方法
经历了线段的垂直平分线的概念，探索并掌握其性质；了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握它们的性质以及判定方法。
情感态度与价值观
能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣。
【教学重点，难点】
1、掌握轴对称和轴对称图形的概念及其相关性质；
2、掌握线段的垂直平分线的定义和性质，并能判定之；
3、成轴对称的两个图形的对称轴的画法；
4、等腰三角形的概念及性质．等腰三角形性质的应用．等腰三角形，等边三角形的判定及应用。
【知识网络图示】
【基本知识提炼整理】
一、基本概念
1. 轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴. 折叠后重合的点是对应点，叫做对称点
.
2. 线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 3. 轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 4. 等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形. 相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
5. 等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 二、主要性质
1. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
2. 线段垂直平分钱的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 3. （1）点P （x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标为P ′（x ，-y ）. （2）点P （x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为P ″（-x ，y ）. 4. 等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. （3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等. （5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。 （6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边. 5. 等边三角形的性质
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.
（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.
三、有关判定
1. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 2. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
3. 三个角都相等的三角形是等边三角形. 4. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【专题总结及应用】
一、用轴对称的观点证明有关几何命题
例1 试说明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，求证：BC=
1
AB. 2
证明：如图所示.
作出△ABC 关于AC 对称的△AB /C. ∴AB /=AB.
又∵∠CAB=30°，∴∠B /=∠B=∠B /AB=60°. ∴AB=BB/=AB/ 又∵AC ⊥B /B ， ∴B /C=BC=
1/1
BB =AB. 22
即BC=
1
AB. 2
1
例2 如图所示，已知∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°. 求证BD=AB.
4
证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴BC=
1
AB ，∠B=60°. 2
又∵CD ⊥BA ，
∴∠BDC=90°，∠BCD=30°. ∴BD=
111
·AB=AB. 2241
AB. 4
1
BC. 2
∴BD=
即BD=
二、有关等腰三角形的内角度数的计算
例3 如图所示，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A 的度数. 解：∵AB=AC，BC=BD=ED=EA， ∴∠ABC=∠C=∠BDC ， ∠ABD=∠BED ，∠A=∠EDA.
设∠A=α，则∠EDA=α，∠ABD=∠BED=2α， ∠ABC=∠C=∠BDC=3α（根据三角形的外角性质）. 在△ABC 中，∠A=α，∠ABC=∠ACB=3α， 由三角形内角和可得α+3α+3α=180°， ∴α=
180︒180︒
，∴∠A=. 77
180
︒
. 7
∴∠A 的度数为
例4 如图所示，在△ABC 中，D 在BC 上，若AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC 的度数.
解：∵AD=BD，AB=AC=CD， ∴∠B=∠C=∠BAD ，∠CAD=∠CDA. 设∠B=∠C=∠BAD=α，
则∠CAD=∠CDA=2α，∠BAC=3α. 在△ABC 中，∠BAC=3α，∠B=∠C=α， ∴3α+α+α=180°，
∴α=36”，∴3α=108°，即∠BAC=108°. ∴∠BAC 的度数是108°.
三、作辅助线解决问题
例5 如图所示，∠B=90°，AD=AB=BC，DE ⊥AC. 求证BE=DC. 证明：连接AE.
∵ED ⊥AC ，∴∠ADE=90°.
又∵∠B=90°，∴在Rt △ABE 和Rt △ADE 中，
∴Rt △ABE ≌Rt △ADE （HL ），∴BE=ED. ∵AB=BC，∴∠BAC=∠C.
又∵∠B=90°，∴∠BAC+∠C=90°. ∴∠C=45°. ∴∠DEC=45°. ∴∠C=∠DEC=∠45°. ∴DE=DC，∴BE=DC.
例6 如图所示，在△ABC 中，AB=AC，在AB 上取一点E ，在AC 延长线上取一点F ，使BE=CF，EF 交BC 于G. 求证EG=FG.
证明：过E 作EM ∥AC ，交BC 于点M ， ∴∠EMB=∠ACB ，∠MEG=∠F. 又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB. ∴∠B=∠EMB ，∴EB=EM. 又∵BE=CF，∴EM=FC. 在△MEG 和△CFG 中，
∴△MEG ≌△CFG （AAS ）. ∴EG=FG.
例7 如图所示，在△ABC 中，∠B=60°，AB=4，BC=2.求证△ABC 是直角三角形.
证明：取AB 的中点D ，连接CD. ∵BC=2，AB=4，∴
BC=BD=AD=2.
∴∠BCD=∠BDC.
又∵∠B=60°，∴∠BCD=∠BDC=60°. ∴DC=BD=DA.∴∠A=∠DCA. 又∵∠BDC 是△DCA 的一个外角， ∴∠BDC=∠A+∠DCA=60°. ∴∠A=30°，
∴∠BCA=180°-∠B-∠A=180°-60°-30°=90°. ∴△ABC 是直角三角形.
八年级上第十二章轴对称水平测试
一．选择题(每小题3分，共24分)
1．下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ） ．
A ． B． C． D． 2．下列图案中是轴对称图形的是（ ）
2008年北京 2004年雅典 1988年汉城 1980年莫斯科
图 1
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
3．如图，在平面直角坐标系中，下列各中是点E 关于x 轴的对称点的是（ ） A ．(1， 2)B．(1，－2) C．(－1，2)D ．(2，1)
4．国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是( )
加拿大 澳大利亚 瑞士 乌拉圭
A ．加拿大、乌拉圭 B．加拿大、瑞士、澳大利亚
C ．加拿大、瑞士 D．乌拉圭、瑞士
5．等腰三角形一个外角等于110°，则底角为( )
A ．70°或40° B． 40°或55° C ． 55°或70° D． 70° 6．下列交通标志中是轴对称图形的有（ ）
A ． 1个 B．2个 C．3个 D．4个
7. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A． 20° B．120° C．20°或120° D． 36° 8．如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）
二．填空(每题3分，共24分)
3) 与点B (2，n +1) 关于x 轴对称，则m =，n =． 9．已知点A (m -1，
10．观察字母A 、E 、F 、H 、J 、S 、O （所有笔画的粗细相同），其中是轴对称图形的_____个．
11．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D. 请你再添加一个条件，就可以确定△ABC 是等腰三角形. 你添加的条件是.
12．小明做了一个如图所示的风筝，其中EH ＝FH ，ED ＝FD ，小明说不用测量就知道DH 是EF 的垂直平分线．其中蕴含的道理理是.
A
F
B D C
13．如图，在2⨯2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC ，请你找出格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个．
14．如图，D 、E 为△ABC 两边AB 、AC 的中点，将△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，若∠B=55°，则∠BDF=°
13．等腰三角形的两个内角之比为2∶1，这个等腰三角形的顶角的度数是． 16．如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，那么这个三角形一定是三角形．
三．解答题(每题6分，共12分)
17． 如图，AB=AC，∠C=67°，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，求∠DBC 的度数．
18．（1）请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 'B 'C '
（其中A '，B '，C '分别是A ，B ，
C （2）直接写出A '，B '，C '三点的坐标：
A '(_____)，B '(_____)，C '(_____)．
B F
D
E C A
四．解答题(每题8分，共40分19．如图是一个台球桌，上面有一个白球A ，红球B ，和黑球C ，三球在一条直线上，现在要用球杆击中白球，并让白球撞击桌边反弹后击中红球，且不能碰到黑球，请你设计一下白球的运动路线．
P
B
D
C A
20．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，P 是AD 上的 任意一点，且AB ＞AC ，求证：AB －AC ＞PB －PC ．
21．青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A 、B 、C 的距离相等．
（1）若三所运动员公寓A 、B 、C A
共服务设施（用点P
表示）的位置；
（2）若∠BAC ＝66º，则∠BPC ＝º.
22. 已知Rt △ABC, ∠ACB=90°, AC=BC，点D 是斜边的中点，经过点C 引一条直线l （不与AC 、BC 重合并且不经过点D ）
操作：经过点A 做AE ⊥l ，经过点B 做BF ⊥l ，连结DE 、DF 猜想△DEF 的形状并证明.
23． 已知△ABC 与△ADE 是等边三角形，点B 、A 、D 在一条直线上，∠CPN=60°交直线AE 与点N ；
（1）若点P 在线段AB 上运动、（不与A 、B 重合）猜想线段PC 、PN 的数量关系并证明.
（2）若点P 在线段AB 上运动、（不与A 、D 重合），画出图形，猜想线段PC 、PN 的数量关系
(3)总结：若点P 在直线AB 上运动、（不与A 、
B
C
B 、D 重合），线段PC 、PN 的数量关系会保持不变吗？
答案 一．选择题
1．C2．D 3．B 4．C5．C6．B 7. C 8．C 二．填空
9．3，－4 10．411．BD=CD
12．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 13． 5 14．70°15．36°或90° 16．锐角
三．解答题(每题6分，共12分)
17． 如图，AB=AC，∠C=67°，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，求∠DBC 的度数．
18．（1）图略
（2）2，3；3，1；-1，-2； 四．解答题 19．图略
B
C
F
D
E
A
20．提示：在AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，连结PE ，△AEP ≌△ACP ． 21．（1）图略（2）132°
22. △DEF 为等腰直角三角形，证明提示：连结CD ，先证明△ACE ≌△CBF ，再证明△AED ≌△CFD
23．PC=PN，提示：在AC 边截取AF=AP，证明△PCF ≌△PNA