关于Γ函数与B函数的关系及应用
问题1：欧拉函数是什么东西？如何定义的？
答： 欧拉函数是Γ函数与B函数的统称。其中若下面的含参变量广义积分收敛，则
分别称为Γ函数与B函数。即：
Γ(s)=
⎰
+∞
x s -1e -x dx (1)
B(p,q)=⎰x p -1(1-x ) q -1dx (2)
1
(1)式称为伽马函数，（2）式称为贝塔函数，二者统称为欧拉函数 ，Γ函数与B函数实质上是含参变量广义积分表示的两个特殊函数．
问题2：Γ函数与B函数的定义域是什么？
答：（一）、Γ函数的定义域：Γ(s)的定义域为s >0.
事实上，（1）当s ≥1时，x =0不是被积函数的瑕点，因此取p >1都有
x →+∞
lim x p (x s -1e -x ) =0，由柯西判别法知（1）的积分是收敛．
（2）当s
Γ(s)=⎰x s -1e -x dx +⎰
x →0
1+∞
1
x s -1e -x dx =I (s ) +J (s )
s -1-x
-x
x →0
x (x e ) =lim e 其中J (s ) 对任何s 都是收敛的， 又lim ++
1-s
=1，所以⎰x s -1dx 与
1
⎰⎰
1
01
x e dx 在x =0点是等价的，当s -1>-1时，⎰x s -1dx 是收敛，当s -1≤-1时，
s -1-x
1
x s -1dx 是发散．所以当00.
（二）、B函数的定义域：p >0, q >0。
事实上，
B(p,q)=⎰x
1
p -1
(1-x ) dx =⎰x
q -1
120
p -1
(1-x )
q -1
dx +1x p -1(1-x ) q -1dx =I +J
2
1
而I ，J 在各自的区间内只有一个瑕点。又
x →0
1-p p -1q -1q -1
lim x x (1-x ) =lim(1-x ) =1 ++
x →0
x ∴ 在x =0，
p -1
x 与x p -1(1-x ) q -1等价，∴ 当1-p
p -1
收敛， 所以p >0
时， x p -1(1-x ) q -1在x =0收敛．
同理q >0时，x p -1(1-x ) q -1在x =1时收敛．
综上可知当p >0且q >0时 ⎰x p -1(1-x ) q -1dx 收敛，所以B(p,q)的定义域
01
为p >0且q >0。
问题3：Γ函数有些什么性质？
答：Γ函数具有如下性质：
（1）Γ函数的连续性
Γ(s)在（0，+∞）上连续，由Γ(s)=I (s ) +J (s ) , 只证I (s ) 与J (s ) 在（0，+∞）内连
s -1-x a -1-x
续即可．在任意闭区间[a , b ] (a >0) 上对于函数I (s ) 当1≤x
⎰
+∞
1
x b -1e -x dx 收敛由附录中的定理5，知I (s ) ) 在[a , b ] 上一致收敛，对于I (s ) 当0≤x ≤1
s -1-x
时有x e 在[a , b ;0,1] 上连续，所以I (s ) 在[a , b ]连续，所以I (s ) 在[a , b ] 上一致收敛，
所以Γ(s)在（0，+∞）上内闭一致收敛， 由附录中的定理2，知Γ(s)在（0，+∞）上连续．
（2）Γ函数的的可微性
首先考虑积分
⎰
+∞
+∞∂s -1-x
(x e ) dx =⎰(x s -1e -x )ln xdx 在任何闭区间[a , b ](a >0)
0∂s
上一致收敛．考虑积分
⎰
+∞
+∞1+∞∂s -1-x
(x e ) dx =⎰(x s -1e -x )ln xdx =⎰x s -1e -x ln xdx +⎰x s -1e -x ln xdx ．
001∂s
当0
s -1-x
e ln x ≤x
a -1
ln x (0≤x ≤1) 而积分⎰x a -1ln xdx 收敛, 故积分
1
⎰
1
x e -x ln xdx 当0
s -1-x b -1-x
同样，当s ≤b 时，x e ln x ≤x e ln x (x ≥1) 故
s -1
⎰
+∞
1
x s -1e -x ln xdx 当s ≤b 时
一致收敛．因此积分
⎰
+∞
x s -1e -x ln xdx 当0
a ≤s ≤b 上具有连续的导函数Γ'(s)且可在积分下求导
Γ'(s)=⎰
+∞
x s -1e -x ln xdx
(3)
由a , b 的任意性, 可知Γ'(s)在s >0上连续且（3）式对一切s >0皆成立.
类似的数学归纳法可知，对任何正整数n Γ(n ) (s ) 在s >0上都存在且可在积分号下求导数， 得 Γ(n ) (s ) =
⎰
+∞
x s -1e -x (lnx ) n dx (s >0) ．
(3) 递推公式Γ(s +1) =s Γ(s ) (s >0)
由此可知, 任意s >0, 如果n
Γ(s +1) =s Γ(s ) =s (s -1) =s (s -1) (s -n ) Γ(s -n ) (4)
特别地当s 为正整数n +1时可写成Γ(n +1) =n (n -1) 2Γ(1)=n ! (4) 极值与凸性
因为对一切s >0，Γ(s)=
⎰
+∞
e -x dx =n ! .
⎰
+∞
x e dx >0，Γ(s ) =⎰
因
为
s -1-x ''
+∞
x s -1e -x (lnx ) 2dx >0
因此Γ(s) 的图形位于s 轴上方且凸的． 又
Γ(1)=⎰e -x dx
+∞
=1，
Γ(2)=1Γ(1)=1，所以，Γ(1)=Γ(2)。
因此Γ(s ) 在s >0上有唯一的一个极小值点x 0落在(1,2) 之间．
问题4：Γ函数还有其它的形式吗？
答：Γ函数的其他形式：
在（1）式中，令x =py ，则有
Γ(s ) =⎰(py ) e
+∞
s -1-py
pdy =p
2
s
⎰
+∞
y s -1e -py dy （s >0，p >0） (6)
在（1）式中，令x =y ，则有Γ(s ) =
⎰
+∞
y
2(s -1) -y 2
e
2ydy =2⎰
+∞
y
2s -1-y 2
e dy 。
问题5：B函数有些什么性质？
答：B函数具有如下性质：
（1）B函数的连续性
事实上，对任何p ≥p 0>0，q ≥q 0>0有x
p -1
(1-x ) q -1≦x p 0-1(1-x ) q 0-1，而
⎰
1
x p 0-1(1-x ) q 0-1dx 收敛，所以由附录中的定理5，B(p , q ) 在p 0≤p
q 0≤q
（2）B函数的可微性
B(p , q ) 在(0,+∞) ×(0,+∞) 内可微且存在任意阶连续偏导数．
1∂p -1q -1
x (1-x ) ]dx =⎰x p -1(1-x ) q -1l nxdx 考虑积分⎰0∂p 0
1
当p ≥p 0>0，q ≥q 0>0时，恒有
x p -1(1-x ) q -1Inx ≤x p 0-1(1-x ) q 0-1Inx ，（0
而
⎰
1
x p 0-1(1-x ) q 0-1ln x dx 收敛，故积分⎰x p -1(1-x ) q -1dx 当p ≥p 0，q ≥q 0时一致
1
收敛．因此当p ≥p 0，q ≥q 0时可在积分下求导，得
B'p (p , q ) =⎰x p -1(1-x ) q -1ln xdx 并且B'p (p , q ) 是p ≥p 0，q ≥q 0上的连续函数．
1
同理 Bp (p , q ) 是域p >0, q >0上的二元函数，且当p >0, q >0可在积分下求导得
'
B' q (p , q ) =⎰x p -1(1-x ) q -1ln(1-x ) dx 。
1
∂n B(p , q )
完全类似地用数学归纳法可证在域p >0, q >0上存在连续偏导数，且
∂p i ∂q n -i
∂n B(p , q ) 1p -1q -1i n -i
=⎰x (1-x ) (ln ) (ln (1-x )) dx 。 i n -i 0∂p ∂q
（3）B函数的对称性 B(p , q ) =B(q , p ) （4）递推公式 B(p , q ) =
q -1
B(p , q -1) （p >0, q >1）
p +q -1
B(p , q ) =
⎰
1
x
p -1
(1-x )
q -1
dx =
⎰
+∞
u u p -1
x =（） p +q
1+u (1+u )
+∞1
=u p -1d (1+u ) 1-p -q （当p >1时） ⎰1-p -q 0
+∞1u p -2
=(-1)(p -1) ⎰ p +q +101-p -q (1+u )
p -1+∞u p -2p -1==B(p -1, q ) p +q -1⎰0p +q -1(1+u ) p +q -1
由对称性可证
B(p , q ) =
(q -1)(p -1)
B(p -1, q -1)
(p +q -1)(p +q -2)
(n -1)!(m -1)!
。
(m +n -1)!
特别对正整数m , n ，B(m , n ) =
问题6：B函数还有其它的形式吗？
答：B函数的其他形式：
π
B(p , q ) =2⎰2sin 2q -1θcos 2p -1θd θ（令x =cos 2θ）
B(p , q ) =⎰
+∞
u u p -1
x =（） 1+u (1+u ) p +q
1
，仍把t 写成u ，则有 t
+∞) 两段积分，后者作变换u =进而将此积分拆成[0,1]，[1，
u p -1+u q -1
B(p , q ) =⎰。
0(1+u ) p +q
1
问题7：Γ函数与B函数有怎样的关系？
答：Γ函数与B函数有下面的关系：
（1） B(p , q ) =
Γ(p ) Γ(q )
(p >0, q >0)
Γ(p +q )
+∞Γ(p )
事实上，当p >0, q >0时，由（6）有，p =⎰y p -1e -ty dy ，从而
0t
Γ(p ) Γ(q ) =⎰x e dx ⎰
+∞
p -1-x
+∞
y e dy =⎰(ty )
+∞0
q -1
-y
+∞
p -1-ty
e ydy ⎰
+∞
y q -1e -y dy
=⎰t
+∞
p -1
dt ⎰
+∞
y
p +q -1-y (1+t )
e
dy =⎰
+∞t p -1p +q -1-(1+t ) y
[(1+t ) e d (1+t ) y p +q ⎰0(1+t )
=B(p , q ) Γ(p +q ) ，
故有， B(p , q ) =
Γ(p ) Γ(q )
。
Γ(p +q )
（2）（余元公式）B(p ,1-p ) =
π
sin πp
1
(α) Γ(α+) ﹙α>0﹚
2（3）（倍元公式）
Γ(2α) =
2α-1
问题8：能否举一些Γ函数与B函数应用的例子？
答： 下面是几个关于Γ函数与B函数应用的例子：
（1）用余元公式计算Γ() 的值：
1
2
1=。 解：Γ() =2
（2）求I =
⎰
π
sin ϕα-1d ϕ() ﹙0＜k ＜1﹚。 1+cos ϕ1+k cos ϕ
解：由公式tg
ϕ
2
=
ϕsin ϕ
，令t =tg ，则
21+cos ϕ
2dt 1-t 2sin ϕα-1ϕα-1α-1
d ϕ=() =(tg ) =t ，cos ϕ=，
1+t 21+t 21+cos ϕ2
∴I =⎰t
+∞
α-1
+∞12t α-1
dt =2⎰
0(1+k ) +(1-k ) t 21-t 21+t 2
1+k
1+t 2
2α=⎰)
01+k θ1απα-1θ
=tg ，则I =⎰tg d θ，
21+k 2
2απ
令u =
，I =⎰2tg α-1udu
21+k 0
θ
ππ
α-1
2⎰2tg
0udu =2⎰2sin
2-1
2
α
u cos
2-1-2
α
udu =B (,1-) =
22sin 2
) 1
ααπ
∴I =
1απ
1+k sin 2
（3）Γ函数在积分不等式中的应用：
h
n -322
例1 已知0≤h
3，证明：
⎰
(1-t ) dt ≥
. Γ() 2
证明：
⎰
π
h
(1-t )
2
n -32
dt =
t =hu
⎰h (1-h u
1
22
)
n -32
du ≥h ⎰(1-u )
1
2
n -32
du
u =sin θ
=h ⎰2cos n -3θcos θd θ=
h 1n -1B (, ) =222. Γ() 2
例2 求
lim ⎰(1-x )dx =0.
2
n →+∞
1
n
解：
⎰(1-x )
2
1
n
n -1(n +1)-11-1111122
dx =⎰(1-t )t 2dt =⎰(1-t )t 2dt
2020
⎛1⎫
Γ ⎪⋅Γ(n +1)
1⎛1⎫12 =B , n +1⎪=⋅
3⎫2⎝2⎛⎭2Γ n +⎪2⎭⎝⎛1⎫
Γ ⎪⋅n !
12 =⋅
1⎫⎛1⎫⎛3⎫31⎛1⎫2⎛
n +⎪n -⎪⋅ n -⎪ ⋅Γ ⎪
2⎭⎝2⎭⎝2⎭22⎝2⎭⎝
2n ⋅(2n -2) 4⋅22n ⋅n !
= =
2n +12n -1 5⋅3⋅12n +12n -1 5⋅3⋅1
令 x n =
2n ⋅(2n -2) 4⋅2(2n +1)(2n -1) 5⋅3
，y n =
2n +12n -1 5⋅3⋅12n +2⋅2n 6⋅4
2k 2k +1
＜，又0
则由于对一切自然数k ，有
2
0
1，即0
n n +
1
可知lim x n =0，所以
n →∞
lim ⎰(1-x )dx =0.
2
n →+∞
1
n
参考文献：
[1]裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 高等教育出版社 [2]钱吉林 数学分析解题精粹 北京高等教育出版社 [3]华东师大数学系 数学分析 北京高等教育出版社 [4]东北师大数学系 常微分方程 北京高等教育出版社 [5]周民强 实变函数 北京高等教育出版社
关于Γ函数与B函数的关系及应用
问题1：欧拉函数是什么东西？如何定义的？
答： 欧拉函数是Γ函数与B函数的统称。其中若下面的含参变量广义积分收敛，则
分别称为Γ函数与B函数。即：
Γ(s)=
⎰
+∞
x s -1e -x dx (1)
B(p,q)=⎰x p -1(1-x ) q -1dx (2)
1
(1)式称为伽马函数，（2）式称为贝塔函数，二者统称为欧拉函数 ，Γ函数与B函数实质上是含参变量广义积分表示的两个特殊函数．
问题2：Γ函数与B函数的定义域是什么？
答：（一）、Γ函数的定义域：Γ(s)的定义域为s >0.
事实上，（1）当s ≥1时，x =0不是被积函数的瑕点，因此取p >1都有
x →+∞
lim x p (x s -1e -x ) =0，由柯西判别法知（1）的积分是收敛．
（2）当s
Γ(s)=⎰x s -1e -x dx +⎰
x →0
1+∞
1
x s -1e -x dx =I (s ) +J (s )
s -1-x
-x
x →0
x (x e ) =lim e 其中J (s ) 对任何s 都是收敛的， 又lim ++
1-s
=1，所以⎰x s -1dx 与
1
⎰⎰
1
01
x e dx 在x =0点是等价的，当s -1>-1时，⎰x s -1dx 是收敛，当s -1≤-1时，
s -1-x
1
x s -1dx 是发散．所以当00.
（二）、B函数的定义域：p >0, q >0。
事实上，
B(p,q)=⎰x
1
p -1
(1-x ) dx =⎰x
q -1
120
p -1
(1-x )
q -1
dx +1x p -1(1-x ) q -1dx =I +J
2
1
而I ，J 在各自的区间内只有一个瑕点。又
x →0
1-p p -1q -1q -1
lim x x (1-x ) =lim(1-x ) =1 ++
x →0
x ∴ 在x =0，
p -1
x 与x p -1(1-x ) q -1等价，∴ 当1-p
p -1
收敛， 所以p >0
时， x p -1(1-x ) q -1在x =0收敛．
同理q >0时，x p -1(1-x ) q -1在x =1时收敛．
综上可知当p >0且q >0时 ⎰x p -1(1-x ) q -1dx 收敛，所以B(p,q)的定义域
01
为p >0且q >0。
问题3：Γ函数有些什么性质？
答：Γ函数具有如下性质：
（1）Γ函数的连续性
Γ(s)在（0，+∞）上连续，由Γ(s)=I (s ) +J (s ) , 只证I (s ) 与J (s ) 在（0，+∞）内连
s -1-x a -1-x
续即可．在任意闭区间[a , b ] (a >0) 上对于函数I (s ) 当1≤x
⎰
+∞
1
x b -1e -x dx 收敛由附录中的定理5，知I (s ) ) 在[a , b ] 上一致收敛，对于I (s ) 当0≤x ≤1
s -1-x
时有x e 在[a , b ;0,1] 上连续，所以I (s ) 在[a , b ]连续，所以I (s ) 在[a , b ] 上一致收敛，
所以Γ(s)在（0，+∞）上内闭一致收敛， 由附录中的定理2，知Γ(s)在（0，+∞）上连续．
（2）Γ函数的的可微性
首先考虑积分
⎰
+∞
+∞∂s -1-x
(x e ) dx =⎰(x s -1e -x )ln xdx 在任何闭区间[a , b ](a >0)
0∂s
上一致收敛．考虑积分
⎰
+∞
+∞1+∞∂s -1-x
(x e ) dx =⎰(x s -1e -x )ln xdx =⎰x s -1e -x ln xdx +⎰x s -1e -x ln xdx ．
001∂s
当0
s -1-x
e ln x ≤x
a -1
ln x (0≤x ≤1) 而积分⎰x a -1ln xdx 收敛, 故积分
1
⎰
1
x e -x ln xdx 当0
s -1-x b -1-x
同样，当s ≤b 时，x e ln x ≤x e ln x (x ≥1) 故
s -1
⎰
+∞
1
x s -1e -x ln xdx 当s ≤b 时
一致收敛．因此积分
⎰
+∞
x s -1e -x ln xdx 当0
a ≤s ≤b 上具有连续的导函数Γ'(s)且可在积分下求导
Γ'(s)=⎰
+∞
x s -1e -x ln xdx
(3)
由a , b 的任意性, 可知Γ'(s)在s >0上连续且（3）式对一切s >0皆成立.
类似的数学归纳法可知，对任何正整数n Γ(n ) (s ) 在s >0上都存在且可在积分号下求导数， 得 Γ(n ) (s ) =
⎰
+∞
x s -1e -x (lnx ) n dx (s >0) ．
(3) 递推公式Γ(s +1) =s Γ(s ) (s >0)
由此可知, 任意s >0, 如果n
Γ(s +1) =s Γ(s ) =s (s -1) =s (s -1) (s -n ) Γ(s -n ) (4)
特别地当s 为正整数n +1时可写成Γ(n +1) =n (n -1) 2Γ(1)=n ! (4) 极值与凸性
因为对一切s >0，Γ(s)=
⎰
+∞
e -x dx =n ! .
⎰
+∞
x e dx >0，Γ(s ) =⎰
因
为
s -1-x ''
+∞
x s -1e -x (lnx ) 2dx >0
因此Γ(s) 的图形位于s 轴上方且凸的． 又
Γ(1)=⎰e -x dx
+∞
=1，
Γ(2)=1Γ(1)=1，所以，Γ(1)=Γ(2)。
因此Γ(s ) 在s >0上有唯一的一个极小值点x 0落在(1,2) 之间．
问题4：Γ函数还有其它的形式吗？
答：Γ函数的其他形式：
在（1）式中，令x =py ，则有
Γ(s ) =⎰(py ) e
+∞
s -1-py
pdy =p
2
s
⎰
+∞
y s -1e -py dy （s >0，p >0） (6)
在（1）式中，令x =y ，则有Γ(s ) =
⎰
+∞
y
2(s -1) -y 2
e
2ydy =2⎰
+∞
y
2s -1-y 2
e dy 。
问题5：B函数有些什么性质？
答：B函数具有如下性质：
（1）B函数的连续性
事实上，对任何p ≥p 0>0，q ≥q 0>0有x
p -1
(1-x ) q -1≦x p 0-1(1-x ) q 0-1，而
⎰
1
x p 0-1(1-x ) q 0-1dx 收敛，所以由附录中的定理5，B(p , q ) 在p 0≤p
q 0≤q
（2）B函数的可微性
B(p , q ) 在(0,+∞) ×(0,+∞) 内可微且存在任意阶连续偏导数．
1∂p -1q -1
x (1-x ) ]dx =⎰x p -1(1-x ) q -1l nxdx 考虑积分⎰0∂p 0
1
当p ≥p 0>0，q ≥q 0>0时，恒有
x p -1(1-x ) q -1Inx ≤x p 0-1(1-x ) q 0-1Inx ，（0
而
⎰
1
x p 0-1(1-x ) q 0-1ln x dx 收敛，故积分⎰x p -1(1-x ) q -1dx 当p ≥p 0，q ≥q 0时一致
1
收敛．因此当p ≥p 0，q ≥q 0时可在积分下求导，得
B'p (p , q ) =⎰x p -1(1-x ) q -1ln xdx 并且B'p (p , q ) 是p ≥p 0，q ≥q 0上的连续函数．
1
同理 Bp (p , q ) 是域p >0, q >0上的二元函数，且当p >0, q >0可在积分下求导得
'
B' q (p , q ) =⎰x p -1(1-x ) q -1ln(1-x ) dx 。
1
∂n B(p , q )
完全类似地用数学归纳法可证在域p >0, q >0上存在连续偏导数，且
∂p i ∂q n -i
∂n B(p , q ) 1p -1q -1i n -i
=⎰x (1-x ) (ln ) (ln (1-x )) dx 。 i n -i 0∂p ∂q
（3）B函数的对称性 B(p , q ) =B(q , p ) （4）递推公式 B(p , q ) =
q -1
B(p , q -1) （p >0, q >1）
p +q -1
B(p , q ) =
⎰
1
x
p -1
(1-x )
q -1
dx =
⎰
+∞
u u p -1
x =（） p +q
1+u (1+u )
+∞1
=u p -1d (1+u ) 1-p -q （当p >1时） ⎰1-p -q 0
+∞1u p -2
=(-1)(p -1) ⎰ p +q +101-p -q (1+u )
p -1+∞u p -2p -1==B(p -1, q ) p +q -1⎰0p +q -1(1+u ) p +q -1
由对称性可证
B(p , q ) =
(q -1)(p -1)
B(p -1, q -1)
(p +q -1)(p +q -2)
(n -1)!(m -1)!
。
(m +n -1)!
特别对正整数m , n ，B(m , n ) =
问题6：B函数还有其它的形式吗？
答：B函数的其他形式：
π
B(p , q ) =2⎰2sin 2q -1θcos 2p -1θd θ（令x =cos 2θ）
B(p , q ) =⎰
+∞
u u p -1
x =（） 1+u (1+u ) p +q
1
，仍把t 写成u ，则有 t
+∞) 两段积分，后者作变换u =进而将此积分拆成[0,1]，[1，
u p -1+u q -1
B(p , q ) =⎰。
0(1+u ) p +q
1
问题7：Γ函数与B函数有怎样的关系？
答：Γ函数与B函数有下面的关系：
（1） B(p , q ) =
Γ(p ) Γ(q )
(p >0, q >0)
Γ(p +q )
+∞Γ(p )
事实上，当p >0, q >0时，由（6）有，p =⎰y p -1e -ty dy ，从而
0t
Γ(p ) Γ(q ) =⎰x e dx ⎰
+∞
p -1-x
+∞
y e dy =⎰(ty )
+∞0
q -1
-y
+∞
p -1-ty
e ydy ⎰
+∞
y q -1e -y dy
=⎰t
+∞
p -1
dt ⎰
+∞
y
p +q -1-y (1+t )
e
dy =⎰
+∞t p -1p +q -1-(1+t ) y
[(1+t ) e d (1+t ) y p +q ⎰0(1+t )
=B(p , q ) Γ(p +q ) ，
故有， B(p , q ) =
Γ(p ) Γ(q )
。
Γ(p +q )
（2）（余元公式）B(p ,1-p ) =
π
sin πp
1
(α) Γ(α+) ﹙α>0﹚
2（3）（倍元公式）
Γ(2α) =
2α-1
问题8：能否举一些Γ函数与B函数应用的例子？
答： 下面是几个关于Γ函数与B函数应用的例子：
（1）用余元公式计算Γ() 的值：
1
2
1=。 解：Γ() =2
（2）求I =
⎰
π
sin ϕα-1d ϕ() ﹙0＜k ＜1﹚。 1+cos ϕ1+k cos ϕ
解：由公式tg
ϕ
2
=
ϕsin ϕ
，令t =tg ，则
21+cos ϕ
2dt 1-t 2sin ϕα-1ϕα-1α-1
d ϕ=() =(tg ) =t ，cos ϕ=，
1+t 21+t 21+cos ϕ2
∴I =⎰t
+∞
α-1
+∞12t α-1
dt =2⎰
0(1+k ) +(1-k ) t 21-t 21+t 2
1+k
1+t 2
2α=⎰)
01+k θ1απα-1θ
=tg ，则I =⎰tg d θ，
21+k 2
2απ
令u =
，I =⎰2tg α-1udu
21+k 0
θ
ππ
α-1
2⎰2tg
0udu =2⎰2sin
2-1
2
α
u cos
2-1-2
α
udu =B (,1-) =
22sin 2
) 1
ααπ
∴I =
1απ
1+k sin 2
（3）Γ函数在积分不等式中的应用：
h
n -322
例1 已知0≤h
3，证明：
⎰
(1-t ) dt ≥
. Γ() 2
证明：
⎰
π
h
(1-t )
2
n -32
dt =
t =hu
⎰h (1-h u
1
22
)
n -32
du ≥h ⎰(1-u )
1
2
n -32
du
u =sin θ
=h ⎰2cos n -3θcos θd θ=
h 1n -1B (, ) =222. Γ() 2
例2 求
lim ⎰(1-x )dx =0.
2
n →+∞
1
n
解：
⎰(1-x )
2
1
n
n -1(n +1)-11-1111122
dx =⎰(1-t )t 2dt =⎰(1-t )t 2dt
2020
⎛1⎫
Γ ⎪⋅Γ(n +1)
1⎛1⎫12 =B , n +1⎪=⋅
3⎫2⎝2⎛⎭2Γ n +⎪2⎭⎝⎛1⎫
Γ ⎪⋅n !
12 =⋅
1⎫⎛1⎫⎛3⎫31⎛1⎫2⎛
n +⎪n -⎪⋅ n -⎪ ⋅Γ ⎪
2⎭⎝2⎭⎝2⎭22⎝2⎭⎝
2n ⋅(2n -2) 4⋅22n ⋅n !
= =
2n +12n -1 5⋅3⋅12n +12n -1 5⋅3⋅1
令 x n =
2n ⋅(2n -2) 4⋅2(2n +1)(2n -1) 5⋅3
，y n =
2n +12n -1 5⋅3⋅12n +2⋅2n 6⋅4
2k 2k +1
＜，又0
则由于对一切自然数k ，有
2
0
1，即0
n n +
1
可知lim x n =0，所以
n →∞
lim ⎰(1-x )dx =0.
2
n →+∞
1
n
参考文献：
[1]裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 高等教育出版社 [2]钱吉林 数学分析解题精粹 北京高等教育出版社 [3]华东师大数学系 数学分析 北京高等教育出版社 [4]东北师大数学系 常微分方程 北京高等教育出版社 [5]周民强 实变函数 北京高等教育出版社