第五章 点的运动 习题全解
[习题5-1] 一点按x =t -12t +2的规律沿直线动动(其中t 要s 计, x 以m 计). 试求:(1)最初3s 内的位移;(2)改变动动方向的时刻和所在位置;(3)最初3s 内经过的路程;(4)t =3s 时的速度和加速度;(5)点在哪段时间作加速度, 哪段时间作减速运动. 解:(1)求最初3s 内的位移.
x (0) =03-12⨯0+2=2m x (3) =33-12⨯3+2=-7m
∆x =x (3) -x (0) =-7-2=-9(m ) (动点的位移为9m, 位移的方向为负x 方向). (2)求改变动动方向的时刻和所在位置. 改变方向时, 动点的速度为零. 即: v =
3
dx
=3t 2-12=0, dt
亦即:当t =2s 时, 动点改变运动方向. 此时动点所在的位置为: x (2) =23-12⨯2+2=-14(m ) (3)求最初3s 内经过的路程.
S (0~3) =S (0~2) +S (2~3) =|-14-2|+|-7-(-14) |=16+7=23(m ) (4)求t =3s 时的速度和加速度
v =
dx dx =3t 2-12 v (3) ==3⨯32-12=15(m /s ) dt dt dv a ==6t a (3) =6⨯3=18(m /s 2)
dt
(5)求动点在哪段时间作加速度, 哪段时间作减速运动.
若v 与a 同号, 则动点作加速运动; 若v 与a 异号, 则动点作减速运动. 即: 同号时有:
va =(3t 2-12)(6t ) =18t (t 2-4) =18t (t -2)(t +2) >0
t (t -2)(t +2) >0 0
即当0
异号时有:
t (t -2)(t +2) 2
即当t >2s 时, 动点作减速运动.
[习题5-2] 已知图示机构中, OA =AB =l , CM =DM =AC =a , 求出ϕ=ωt 时, 点M 的动动方程和轨迹方程。
解:设动点M 的坐标为M (x , y ) , 则由图中的几何关系可知, 运动方程为: x =l cos ωt
y =l sin ωt -2a sin ωt =(l -2a ) sin ωt 把上式两边分别平方后相加, 得到轨迹方程:
y
O
题5-2图
x
x 2y 2 2+=1 2
l (l -2a )
[习题5-3] 跨过滑轮C 的绳子一端挂有重物B, 另一端A 被人拉着沿水平方向运动, 其速度为
v 0=1m /s ,A 点到地面的距离保持常量h =1m . 滑轮离地面的高度H =9m , 其半径忽略不
计. 当运动开始时, 重物在地面上B 0处, 绳AC 段在铅直位置A 0C 处. 求重物B 上升的运动方程和速度方程, 以及重物B 到达滑轮处所需的时间.
22
解:从图中可知, 绳子的原长约为16m. 在任一瞬时, 绳子的长度为:8+(1⨯t ) +l BC . 即:
82+t 2+l BC ≈16 l BC =16-2+t 2
B 点的y 坐标, 即重物B 上升的运动方程为:
y B =8-l BC =8-16+64+t 2=64+t 2-8
重物B 上升的速度方程为:
v B =
dy B d 2t t
=(64+t 2-8) ==
22dt dt 264+t 64+t
重物到达滑轮时, 所走过的路程为8m, 即:
dy =vdt =
t 64+t
2
dt
y =⎰
t 64+t 2
dt =⎰
d (64+t 2) 264+t 2
=64+t 2+C
当t =0时, y =0, C =-8, 故:
y =64+t 2-8, 依题意: 64+t 2-8=8, 解得:t =13. 9s
[习题5-4] 偏心轮半径为r , 转动轴到轮心的偏心距OC =d , 坐标轴Ox 如图所示. 求杆AB 的运动方程, 已知ϕ=ωt , ω为常量.
解:AB杆作竖向平动.A 点的运动代表AB 杆的运动. 由图中的几何关系可知,A 点的坐标, 即AB 杆的运动方程为:
r d
=
sin ωt sin A
d
sin A =sin ωt
r
d 212
cos A =-sin A =-2sin 2ωt =r -d 2sin 2ωt
r r
2
x A =d cos ωt +r cos A =d cos ωt +r 2-d 2sin 2ωt
[习题5-5] 半圆形凸轮以匀速v =10mm /s 沿水平方向向左运动, 活塞杆AB 长l 沿铅直方向运动. 挡运动开始时, 活塞杆A 端在凸轮的最高点上. 如凸轮的半径R =80mm , 求活塞B 的运动方程和速度方程
.
解:活塞杆AB 作竖向平动. 以凸轮圆心为坐标原点, 铅垂向上方向为x 轴的正向, 则由图中的
几何关系可知, 任一时刻,B 点的坐标, 即活塞B 的运动方程为:
R 2-(vt ) 2
x B =l +R cos ϕ=l +R ⋅=l +R 2-(vt ) 2=l +64-t 2(cm )
R
活塞B 的速度方程为:
v B =
dx B 1-2t -t
==(cm /s )
22dt 264-t 64-t
[习题5-6] 已知杆OA 与铅直线夹角ϕ=
πt
(ϕ以rad 计, t 以s 计), 小环M 套在杆OA,CD 6
上, 如图所示. 铰O 至水平杆CD 的距离h =400mm . 求小环M 的速度方程与加速度方程, 并求t =1s 时小环M 的速度及加速度
.
解:以OA 铅垂时小环M 的位置为坐标原点, 水平向右方向为x 轴的正向. 任一瞬时, M 的坐标, 即运动方程为: x M =h tan ϕ=400tan 小环M 的速度方程为:
πt
6
(mm )
v M =
dx M d πt πt π200ππt
=(400tan ) =400sec 2() ⋅=sec 2()(mm /s ) dt dt 66636200ππ
sec 2()(mm /s ) =279(mm /s ) 36
v M (1) =
小环M 加速度方程为:
a M =
dv M d 200ππt 200πd πt =(sec 2) =sec 2dt dt 363dt 6
200ππt πt πt π200π2πt πt =⋅2sec ⋅sec tan ⋅=⋅sec 2⋅tan (mm /s 2)
36666966
200π2ππ
a M (1) =⋅sec 2⋅tan =169(mm /s 2)
966
[习题5-7] 滑道连杆机构如图所示, 曲柄OA 长r , 按规律ϕ=ϕ0+ωt 转动(ϕ以rad 计, t 以
s 计), ω为一常量. 求滑道上B 点的运动方程, 速度方程及加速度方程
.
解:以O 为坐标原点,OB 方向为x 轴的正向, 则B 点的坐标, 即运动方程为: x B =r cos(ϕ0+ωt ) +l B点的速度方程为: v B =
dx B d
=[r cos(ϕ0+ωt ) +l ]=-r sin(ϕ0+ωt ) ⋅ω=-r ωsin(ϕ0+ωt ) dt dt
B 点的加速度方程为: a B =
dv B d
=[-r ωsin(ϕ0+ωt )]=-r ω2cos(ϕ0+ωt ) dt dt
[习题5-8] 动点A 和B 在同一直角坐标系中的运动方程分别为
x B =t 2
, { {4
y A =2t 2y B =2t x A =t
其中, x , y 以mm 计, t 以s 计. 试求:(1)两点的运动轨迹;(2)两点相遇的时刻;(3)两点相遇时刻它们各自的速度;(4)两点相遇时刻它们各自的加速度. 解: (1)求两点的运动轨迹
A点的运动轨迹:y A =2x A B点的运动轨迹:y B =2x B
(2)求两点相遇的时刻
两点相遇时, 它们的坐标相同.
2
x A =x B , t =t , t =1s . 即当t =1s 时, 两点相遇.
2
2
(3)求两点相遇时刻它们各自的速度 v xA =
dx A dy
=1, v yA =A =4t , v A =+16t 2 dt dt
两点相遇时,A 点的速度为:
大小:v A (1) =+16=4. 12(mm /s ) .
方向:θvA
v yA 4===75057' 50"
v xA 1
v xB =
dx B dy
=2t , v yA =B =8t 3, v A =4t 2+64t 6 dt dt
两点相遇时,B 点的速度为: 大小:v B (1) =
4+64=8. 25(mm /s ) . v yB v xB
8
==75057' 50"
2
方向:θvB =(4)求两点相遇时刻它们各自的加速度 a xA =
dv yA dv xA
=0, a yA ==4(mm /s 2) a A =4mm /s 2 dt dt
两点相遇时,A 点的加速度为:
大小:a A (1) =4mm /s , 方向:沿y 轴正向.
2
a xB =
dv yB dv xB
=2, a yB ==24t 2 a B =4+576t 4 dt dt
两点相遇时,B 点的加速度为:
大小:a B (1) =
4+576=24. 08(mm /s 2)
方向:θaB =arctan
24
=85014' 11" 2
[习题5-9] 点M 以匀速率u 在直管OA 内运动, 直管OA 又按ϕ=ωt 规律绕O 转动. 当t =0时, M 在O 点, 求其在任一瞬时的速度及加速度的大小
.
解: r =ut , ϕ=ωt , 设任一瞬时, M 点的坐标为M (x , y ) , 则点M 的运动方程为:
x =r cos ϕ=ut cos ωt , y =r sin ϕ=ut sin ωt
速度方程为:
v x =
2
dx d
=(ut cos ωt ) =u cos ωt +ut (-sin ωt ) ⋅ω=u cos ωt -u ωt sin ωt dt dt
v x =u 2cos 2ωt +(u ωt ) 2sin 2ωt -2u 2ωt sin ωt ⋅cos ωt
v y =
2
dy d
=(ut sin ωt ) =u sin ωt +ut ⋅cos ωt ⋅ω=u sin ωt +u ωt cos ωt dt dt
22222
v y =u sin ωt +(u ωt ) cos ωt +2u ωt sin ωt ⋅cos ωt
v x +v y =u 2+(u ωt ) 2
任一瞬时, 速度的大小为:
22
v =v x +v y =u 2+(u ωt ) 2=u +(ωt ) 2
加速度方程为:
22
a x =
dv x d
=(u cos ωt -u ωt sin ωt ) dt dt
=u ⋅(-sin ωt ) ⋅ω-[u ω⋅sin ωt +u ωt ⋅cos ωt ⋅ω]
=-2u ωsin ωt -u ωt cos ωt
a x =4u 2ω2sin 2ωt +(u ω2t ) 2cos 2ωt +4u 2ω3t sin ωt ⋅cos ωt
2
2
a y =
dv y dt
=
d
(u sin ωt +u ωt cos ωt ) dt
=u ⋅cos ωt ⋅ω+[u ω⋅cos ωt +u ωt ⋅(-sin ωt ) ⋅ω
=2u ωcos ωt -u ω2t ⋅sin ωt
a y =4u 2ω2cos 2ωt +(u ω2t ) 2sin 2ωt -4u 2ω3t sin ωt ⋅cos ωt
2
a x +a y =4u 2ω2+(u ω2t ) 2
任一瞬时, 速度的大小为:
22
a =a x +a y =4u 2ω2+(u ω2t ) 2=u ω4+(ωt ) 2
[习题5-10] 一圆板在Oxy 平面内运动. 已知圆板中心C 的运动方程为x C =3-4t +2t 2,
22
y C =3+2t +t 2(其中x C , y C 以m 计, t 以s 计). 板上一点M 与C 的距离l =0. 4m , 直线段
CM 与x 轴的夹角ϕ=2t 2(ϕ以rad 计, t 以s 计), 试求t =1s 时M 点的速度及加速度
.
解: 设M 点的坐标为M(x,y),则M 点的坐标, 即运动方程为:
x =x C +l cos ϕ=3-4t +2t 2+0. 4cos(2t 2) y =y C +l sin ϕ=3+2t +t 2+0. 4sin(2t 2)
速度方程:
v x =
dx d
=[3-4t +2t 2+0. 4cos(2t 2)]=-4+4t +0. 4(-sin 2t 2) ⋅4t dt dt
v x =-4+4t -1. 6t sin 2t 2
1800
v x (1) =-4+4-1. 6sin(2⨯) =-1. 46(m /s )
3. 14
v y =
dy d
=[3+2t +t 2+0. 4sin(2t 2)]=2+2t +0. 4⋅cos 2t 2⋅4t dt dt
v y =2+2t +1. 6t cos 2t 2
1800
v y (1) =2+2+1. 6cos(2⨯) =3. 33(m /s )
3. 14t =1s 时M 点的速度为:
v =-1. 46i +3. 33j (m /s )
加速度方程:
a x =
dv x d
=(-4+4t -1. 6t sin 2t 2) =4-1. 6[sin2t 2+t cos 2t 2⋅4t ] dt dt
a x =4-1. 6sin 2t 2-6. 4t 2cos 2t 2
18001800
a x (1) =4-1. 6sin(2⨯) -6. 4cos(2⨯) =5. 215(m /s )
3. 143. 14a y =
dv y dt
=
d
(2+2t +1. 6t cos 2t 2) =2+1. 6[cos2t 2+t (-sin 2t 2) ⋅4t ] dt
a y =2+1. 6cos 2t 2-6. 4t 2sin 2t 2
18001800
a y (1) =2+1. 6cos(2⨯) -6. 4sin(2⨯) =-4. 484(m /s )
3. 143. 14t =1s 时M 点的加速度为:
a =5. 215i -4. 484j
[习题5-11] 一段凹凸不平的路面可近似地用下列正弦曲线表示:y =0. 04sin
πx
20
, 其中x,y
均以m 计. 设有一汽车沿x 方向的运动规律为x =20t (x以m 计,t 以s 计). 问汽车经过该段路面时, 在什么位置加速度的绝对值最大? 最大的加速度值是多少? 解: v y =
dy d πx πx πdx π⋅20t π
=(0. 04sin ) =0. 04⋅cos ⋅⋅=0. 04⋅cos ⋅⋅20 dt dt 202020dt 2020
v y =0. 04πcos(π⋅t )
a y =v x =
dv y dt
=
d
[0. 04πcos(π⋅t )]=0. 04π(-sin πt ) ⋅π=-0. 04π2sin πt dt
dx
=20(m /s ) dt
a x =
dv x
=0 dt
a =a y =-0. 04π2sin πt
当πt =(2n -1)
π
2
, n =1, 2, , 即t =
2n -1
s 时, 2
加速度的绝对值最大, |a |max =0. 04π2(m /s 2) . 此时汽车的位置在: x =20⨯
2n -1π⨯10
=10(2n -1)(m ) , y =0. 04sin =0. 04(m ) 220
[习题5-12] 一点作平面曲线运动, 其速度方程为v x =3, v y =2πsin 4πt , 其中v x , v y 以
m /s 计,t 以s 计. 已知在初瞬时该点在坐标原点, 求该点的运动方程和轨迹方程。
解：
（１）求运动方程
dx
=v x =3 dt
dx =3dt
x =3dt =3t +C 1
由边界条件t =0，x =0代入上式得：C 1=0，故 x =3t
⎰
dy
=v y =2πsin 4πt dt
dy =2πsin 4πt ⋅dt y =2πsin 4πt ⋅dt
⎰
1 ⎰4π1
n πt ⋅d (4πt ) ⋅ y =2π⎰s i 4
4π
11
n πt ⋅d (4πt ) =-c o 4s πt +C 2 y =⎰s i 422n πt ⋅d (4πt ) ⋅ y =2πs i 4
由边界条件t =0，x =0代入上式得：
11s i 4n πt ⋅d (4πt ) =-c o 0s +C 2 2⎰21
C 2=，故
2111
s πt +=(1-c o 4s πt ) ，因此，该动点的运动方程为： y =-c o 4222
1
x =3t ；y =(1-cos 4πt ) 。
2
0=
（２）求动点的轨迹
x 1
代入y =(1-cos 4πt ) 得： 32
14π
y =(1-c o x ) ，这就是动点的轨迹方程。
23
由x =3t 得t =
[习题5-13] 一动点之加速度在直角坐标轴上的投影为：a x =-160cos 2t ，
a y =-200sin 2t 。已知当t =0时，x =40，y =50，v x =0，v y =100（长度以mm 计，
时间以s 计），试求其运动方程和轨迹方程。 解：
（１）求运动方程
dv x
=a x =-160cos 2t dt
dv x =-160cos 2t ⋅dt
n t +C 1 v x =-160cos 2t ⋅dt =-80cos 2t ⋅d (2t ) =-80s i 2
把当t =0时，v x =0的边界条件代入上式得：C 1=0，故 v x =-80s i 2n t
⎰⎰
dx
=v x =-80sin 2t dt
n t ⋅d (2t ) dx =-80sin 2t ⋅dt =-40s i 2
s t +C 2 x =40(-sin 2t ) ⋅d (2t ) =40c o 2
把当t =0时，x =40的边界条件代入上式得：40=40cos 0+C 2，C 2=0，故
⎰
s t x =40c o 2
dv y dt
=a y =-200sin 2t
dv y =-200sin 2t ⋅dt =-100s i 2n t ⋅d (2t )
s t +C 3 v y =100(-sin 2t ) ⋅d (2t ) =100c o 2
把当t =0时，v y =100的边界条件代入上式得：C 3=0，故 v y =100c o 2s t
⎰
dy
=v y =100cos 2t dt
t ⋅d (2t ) dy =100cos 2t ⋅dt =50c o 2s n t +C 4 y =50cos 2t ⋅d (2t ) =50s i 2
把当t =0时，y =50的边界条件代入上式得：C 4=50，故 y =50sin 2t +50。因此，该动点的运动方程为：
⎰
s t ；y =50sin 2t +50。 x =40c o 2
（２）求动点的轨迹方程
x 22
由x =40cos 2t 得：2=cos 2t ……(a)
40(y -50) 2
=sin 22t ……(b) 由y =50sin 2t +50得：2
50
(a)+(b)得：
x 2(y -50) 2
+=1 这就是动点的轨迹方程。 22
4050
[习题5-14] 定向爆破开山筑坝。爆破物从爆处Ａ至散落处Ｂ的运动可以近似地作为抛射运动，设Ａ、Ｂ两处高差为Ｈ，水平距离为Ｌ，初速v 0与水平线夹角为α，试推证v 0的大小 应为v 0=
gl
H
(1+cot α) sin 2α
L
。
证：
v 0x =v o cos α L =v ox t =v 0cos α⋅t
t =
L
……(a)
v 0cos α
v 0y =v o sin α-gt
dy
=v oy =v o sin α-gt dt
dy =(v o sin α-gt ) dt
⎰
t
dy =-H =v 0sin α⋅t -
12
gt （Ａ点高于Ｂ点，故Ｈ前有个负号） 2
H =-v 0sin α⋅t +
(a)代入(b)得：
12
gt ……(b) 2
H =-v 0sin α⋅
L 1L
+g () 2
v 0cos α2v 0cos α
H =-tan α⋅L +
gL 22v 0cos α
2
2
gL 22v 0cos α
2
2
22
=L ⋅tan α+H
gL 2
2v 0cos α=
tan α+H
v 0
2
gL 2gL 2gL 2
===2
sin αcos α2cos αsin α⋅L +2cos α⋅H
2cos 2α(L +H ) L ⋅sin 2α+2cos αsin α⋅⋅H
cos αsin αgL 2gL 2
===L sin 2α+sin 2α⋅cot α⋅H sin 2α(L +H cot α)
gL
(1+
H
cot α) sin 2αL
v 0
2
故v 0=
gH
H
(1+cot α) sin 2α
L
，本题得证。
[习题5-1５] 重力坝溢流段和鼻坎挑流。鼻坎与下游水位高差为Ｈ，设挑流角为α，水流射出鼻坎的速度为v ，试求射程Ｌ。
解：v x =v cos α -H =v y t -
12gt 2
-2H =2v y t -gt 2 gt 2-2v sin α⋅t -2H
2v sin α±4v 2sin 2α-4g (-2H ) v sin α±v 2sin 2α+2gH t ==，取
2g g
v sin α+v 2sin 2α+2gH
t =
g
v sin α+v 2sin 2α+2gH
L =v x t =v cos α⋅
g v 2sin αcos α+v cos αv 2sin 2α+2gH
L =
g
[习题5-16] 喷水枪的仰角ϕ=45，水流以v 0=20m /s 的速度射至倾角为60的斜坡上，欲使水流射到斜坡上的速度与斜面垂直，试求水流喷射在斜坡上的高度h 及水枪放置的位置Ｏ与坡脚Ａ的距离s 。
解：v x =v 0cos ϕ v y =v 0sin ϕ-gt
到达Ｂ点时，
tan 300=
v By v Bx
=
v 0sin ϕ-gt gt gt
=tan ϕ-=tan 450-0
v 0cos ϕv 0cos ϕ20cos 45
3gt =1-
32
0. 577=1-0. 693t
t =0. 61(s ) h =v y t -
121
gt =(v 0sin ϕ-gt ) t -gt 2=v 0t sin ϕ-1. 5gt 2 22
h =20⨯0. 61⨯sin 450-1. 5⨯9. 8⨯0. 612=3. 157(m )
s =v x t -h cot 600=v 0cos ϕ⋅t -3. 157⨯0. 577
=20⨯cos 450⨯0. 61-1. 822=6. 8(m )
[习题5-17] 点沿曲线ＡＯＢ动动。曲线由ＡＯ、ＯＢ两段圆弧组成，ＡＯ段曲率半径
R 1=18m ，ＯＢ段曲率半径R 2=24m ，取圆弧交接处Ｏ为原点，规定正方向如图所示。
2
已知点的运动方程：s =3+4t -t ，t 以s 计，s 以m 计。求：（１）点由t =0至t =5s
所经过的路程；（２）t =5s 时的加速度。
题5-17图
A
B )
解：（１）求点由t =0至t =5s 所经过的路程
s =3+4t -t 2
令
ds
=4-2t =0得t =2s ；当t =2s 时，动点改变运动方向。 dt
s (0) =3
s (2) =3+4⨯2-22=7 s (5) =3+4⨯5-52=-2
点由t =0至t =2s 所经过的路程s 0-2=s (2) -s (0) =7-3=4(m ) 点由t =2至t =5s 所经过的路程s 2-5=4+[3-(-2) =9(m ) 点由t =0至t =5s 所经过的路程s 0-5=4+9=13(m ) （２）求t =5s 时的加速度
v =
ds
=4-2t =0 dt dv a τ==-2(m /s 2)
dt
v 2(4-2⨯5) 2
a n ===2(m /s 2)
R 118
a =a τ+a n =(-2) 2+22=2. 83(m /s 2)
[习题5-18] 摇杆滑道机构如题5-1８附图所示，滑块Ｍ同时在固定圆弧槽中和在摇杆的滑道中滑动。BC 弧的半径为R ，摇杆OA 的转轴在BC 弧所在的圆周上。摇杆绕O 轴以匀角速转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法求滑块的运动方程，并求其速度及加速度。 解:(1) 直角坐标法
设滑块Ｍ的坐标为M (x , y ) ，则动点Ｍ的运动方程为：
2
2
x =R +R cos 2ωt
y =R sin 2ωt v x =
dx
=R ⋅(-sin 2ωt ) ⋅2ω=-2R ωsin 2ωt dt dx v y ==R ⋅cos 2ωt ⋅2ω=2R ωcos 2ωt
dt
O
v =v x +v y =4R 2ω2(sin22ωt +cos 22ωt ) =2R ω
22
tan θ1=tan(v x , v y ) =
v y v x
=-cot 2ωt
θ1=arctan(-cot 2ωt )
a x =
dv x
=-2R ω⋅cos 2ωt ⋅2ω=-4R ω2cos 2ωt dt
a y =
dv y dt
=2R ω⋅(-sin 2ωt ) ⋅2ω=-4R ω2sin 2ωt
a =a x +a y =R 2ω4(cos22ωt +sin 22ωt ) =4R ω2
22
tan θ2=tan(a x , a y ) =
a y a x
=tan 2ωt
θ2=(a x , a y ) =2ωt
（2）自然坐标法
建立如图所示的自然坐标。Ｍ点的运动方程（即弧坐标）为：
s =2R ωt
v =
ds
=2R ω dt dv a τ==0２
dt
(2R ω) 2
a n ===4R ω2
ρR
a =a τ+a n =02+(4R ω2) 2=4R ω2
2
2
v 2
⎧x =75cos 4t 2
[习题5-19] 某点的运动方程为：⎨，x 及y 的单位为m ，t 的单位为s 。求2
⎩y =75sin 4t
它的速度、切向加速度与法向加速度。 解：
（１）求动点的速度
v x =
dx
=75(-sin 4t 2) ⋅8t =-600t ⋅sin 4t 2 dt
v y =
dy
=75cos 4t 2⋅8t =600t ⋅cos 4t 2 dt
2
2
v =v x +v y =3600t 2(sin24t 2+cos 24t 2) =600t (m /s )
（２）求动点的切向加速度
a τ=
dv
=600(m /s 2) dt
（３）求动点的法向加速度
(600t ) 2
a n ===48t 02(0m /s 2)
ρ75
v 2
⎧x =t 2-t
[习题5-20] 已知动点的运动方程为：⎨，x 及y 的单位为m ，t 的单位为s 。求
⎩y =2t
其轨迹及t =1s 时的速度、加速度。并分别求切向加速度、法向加速度与曲率半径。 解：（１）求动点的轨迹及t =1s 时的速度、加速度
⎧x =t 2-t 由⎨得： ⎩y =2t
y 2y x =-
42
4x =y 2-2y
4y 2-2y -4x =0，即该动点的轨迹为抛物线。
dx
=2t -1 dt dy v y ==2
dt v x =
v =v x +v y =(2t -1) 2+22=4t 2-4t +5 t =1s 时的速度
22
v (1) =4-4+5=2. 24(m /s )
a x =
dv x
=2(m /s 2) dt
a y =
dv y dt
=0
a =a x =2(m /s 2)
t =1s 时的加速度
a (1) =2(m /s 2)
（２）求切向加速度、法向加速度与曲率半径
a τ=
dv d 8t -44t -2
=(4t 2-4t +5) ==
22dt dt 24t -4t +54t -4t +5
t =1s 时的切向加速度
a τ(1) =
4t -24t 2-4t +5
2
2
=
2=0. 894(m /s 2)
a 2(1) =a τ(1) +a n (1)
22=
2
42
+a n (1) 5
a n (1) =3. 2 a n (1) =1. 789(m /s 2) a n (1) =
5
v 2
ρ
=1. 789
ρ
=1. 789
5
=2. 795(m ) ≈2. 8m 1. 789
ρ=
2
[习题5-21] 点Ｍ沿给定的抛物线y =0. 2x 运动（其中x , y 均以m 计）。在x =5m 处时，
速度v =4m /s ，切向加速度a τ=3m /s 2。求点在该位置时的加速度。 解： y =0. 2x
2
dy dy dx =⋅=0. 4x ⋅v x dt dx dt
v =(
dx 2dy dx 22
) +() 2=v x +0. 16x 2v x =+0. 16x 2⋅ dt dt dt
2
∙
v =+0. 16x ⋅x
∙∙∙dv 0. 32x ⋅x 2
a τ==⋅x ++0. 16x ⋅x
2dt 2+0. 16x
∙
把在x =5m 处时，速度v =4m /s ，a τ=3m /s 2的边界条件代入以上二式得：
4=+0. 16⨯5⋅x =5⋅x
2
∙∙
x =
∙
45
3=
0. 32⨯52+0. 16⨯5
2. 565+x
∙∙
2
⋅(
4) ++0. 16⨯5⋅x
22
∙∙
3=
∙∙
3=2. 56+5x
∙∙
x =(5-2. 56) /5=0. 83(m /s 2) dy dy dx
=⋅=0. 4x ⋅v x dt dx dt
y =0. 4x ⋅x
∙∙
∙∙
y =0. 4x ⋅x +0. 4x ⋅x =0. 4(x +x x ) =0. 4∙∙2
∙∙2
∙∙∙∙
∙2
∙∙
4) 2+5⨯0. 83]=2. 94(m /s 2)
a =
x +y =0. 832+2. 942=3. 084(m /s 2)
[习题5-22] 已知一点的加速度方程为a x =-6m /s 2，当t =0时，x 0=y 0=0，a y =0，
v 0x =10m /s ，v 0y =3m /s ，求点的运动轨迹，并用简捷的方法求t =1s 时点所在处轨迹
的曲率半径。
解：（１）求运动轨迹方程
d 2x
a x =2=-6
dt dx
=-6t +C 1 dt
把t =0时，v 0x =10m /s 代入上式得：C 1=10m /s 。故
dx
=-6t +10 dt
x =-3t 2+10t +C 2
把t =0时，x 0=0代入上式得：C 2=0。故
x =-3t 2+10t
d 2y
a y =2=0
dt
dy
=C 3=3(m /s ) (把t =0时，v 0y =3m /s ) dt
y =3t +C 4
把t =0时，y 0=0代入上式得：C 4=0。故
y =3t 。
故动点的运动方程为：
x =-3t 2+10t ，y =3t 。消去t 得动点的运动轨迹：
y 2y y 210y
x =-3() +10⨯=-+（抛物线）
3333
（２）求曲率半径 高等数学法：
y 210y
x =-+
331dy 10dy 1=-⋅2y ⋅+
3dx 3dx
dy dy
3=-2y ⋅+10
dx dx
dy 3= dx 10-2y
d y
=2
dx
2
0-3⨯(-2⋅(10-2y )
dy ) =2
6318
⋅= 2210-2y (10-2y ) (10-2y )
当t =1s 时，y =3t =3⨯1=3m ，故
dy dx |3t =1=10-2⨯3
=0. 75 d 2y dx 2|t =1=18
(10-2⨯3)
3
=0. 28125 1
y " ρ
=
=
0. 28125(1+y ' 2)
3
(1+0. 752)
3
=0. 144
ρ=
1
0. 144
=6. 94(m ) 运动学法：
v =x ∙2
+∙2
y
a =
∙∙2
x +∙y ∙2
∙∙∙∙∙∙
切向加速度：a x ⋅x +y τ=
dv dt
=⋅y 2
x ∙+∙2y
∙∙∙∙∙∙
法向加速度：a 2
n =-a τ=
dv dt
=|x ⋅y -y ⋅x |2
x ∙+∙2y
v 2
(x ∙2+y ∙2
) 3/2
曲率半径：ρ=a =∙∙∙∙∙y ∙ n
|x y -y |
当t =1s 时，
x ∙
=-6t +10=-6⨯1+10=4
∙x ∙
=-6
y ∙
=3
∙y ∙
=0，故：
ρ=(42+32) 3/2|4⨯0-3⨯(-6) |=12518
=6. 94(m )
[习题5-23] 已知某动点用极坐标表示的运动方程为⎧⎨r =3+4t 2⎩ϕ=1. 5t
2
速度与加速度。r 的单位为m ，ϕ的单位为rad ，t 的单位s 。
ϕ=600
时点的 。求
dr d
=(3+4t 2) =8t dt dt d ϕd
=(1. 5t 2) =3t dt dt
解： v =
(
dr 2d 2
) +(r ) =64t 2+(3+4t 2) 2(3t ) 2=64t 2+(9t +12t 3) 2 dt dt
ϕ=60= v =
π
3
=1. 55t 2，即t =0. 822s 时，
64⨯08222+(3+4⨯0. 8222) 2(3⨯0. 822) 2=15. 52≈16(m /s )
v ϕ14. 063
θ1===64056' 19"
v r 6. 576
dr d
=(3+4t 2) =8t dt dt
d 2r d
=(8t ) =8
dt 2dt
d ϕd
=(1. 5t 2) =3t dt dt
d 2ϕd
=(3t ) =3
dt dt 2
d 2r d ϕ2222
-r () =8-(3+4t )(3t ) a r = 2
dt dt
a r (0. 822) =64-(3+4⨯0. 8222) ⨯(3⨯0. 822) 2=29. 322(m /s 2)
d 2ϕdr d ϕ
a ϕ=r 2+2⋅=(3+4t 2) ⨯3. 1+2⨯8t ⨯3. 1t
dt dt dt
a ϕ=9. 3+12. 4t 2+49. 6t 2=9. 3+62t 2
a ϕ(0. 822) =9. 3+62⨯0. 8222=51. 192(m /s 2) a =
a r +a ϕ=29. 3222+51. 1922=58. 995(m /s 2)
22
a ϕ51. 192
θ2===60011' 48"
a r 29. 322
[习题5-24] 试用极坐标表示法求题５－１８的运动方程以及速度和加速度。
解：（１）求运动方程 ⎨
⎧r =R
ϕ=2ωt ⎩
∙dr r =v r ==0，ϕ=2ω
dt ∙
（２）求速度
v ϕ=r ⋅ϕ=R ⨯2ω=2R ω
v =v r +v ϕ=2R ω
（３）求加速度
∙∙
∙
22
r =0 ϕ=0
∙∙
∙2
∙∙
a r =r -r ϕ=0-R (2ω) 2=-4R ω2 a ϕ=r ϕ+2r ϕ=0
a =a r +a ϕ=4R ω2
[习题5-25] 杆ＯＡ绕Ｏ轴以匀角速ω转动，带动滑块Ｍ在半径为Ｒ的固定圆弧形槽内滑动。已知R =250mm ，a =150mm ，试用极坐标法求ϕ=解：
2
2
∙∙∙∙
π
2
时，Ｍ的速度和加速度。
R =r +a -2ar cos ϕ
222
r 2-(2a cos ϕ) ⋅r +(a 2-R 2) =0
2a cos ϕ±4a 2cos 2ϕ-4(a 2-R 2)
r =
2
r =a cos ϕ±a 2cos 2ϕ-a 2+R 2，取：
r =a cos ωt +a 2cos 2ωt -a 2+R 2
dr a 2⋅2cos ωt ⋅(-sin ωt ) ⋅ω=a ⋅(-sin ωt ) ⋅ω+dt 2a 2cos 2ωt -a 2+R 2
dr a 2ωsin 2ωt
=-a ω⋅sin ωt -
2222dt 2a cos ωt -a +R
1a 2⋅2cos ωt ⋅(-sin ωt ) ⋅ω(a ω⋅cos 2ωt ⋅2ω) ⋅2a cos ωt -a +R -(a ωsin 2ωt ) ⋅⋅2
22a 2cos 2ωt -a 2+R 2d r
=-a ω⋅cos ωt ⋅ω-dt 24(a 2cos 2ωt -a 2+R 2)
2
2
2
2
2
2
(-2a 2ω2) ⋅2-a 2+R 2d 2r 4a 2ω2R 2-a 2
|π=-=-=dt 2ϕ=24(-a 2+R 2) 4(R 2-a 2)
a 2ω2R -a
2
2
v r =
dr
|π=a ⋅(-1) ⋅ω=-a ω dt ϕ=2
ϕ=ωt
d ϕ
=ω dt
d 2ϕ
=0 dt 2v ϕ=r |
π2
ϕ=
ω=R 2-a 2⋅ω
2
v =v r +v ϕ=a 2ω2+(R 2-a 2) ⋅ω2=R ω
2
d 2r d ϕa r =2-r () 2=
dt dt
a 2ω2R -a
2
2
-R -a ⋅ω=
222
2a 2ω2-R 2ω2
R -a
2
2
d 2ϕdr d ϕ
a ϕ=r 2+2=R 2-a 2⋅0+2⋅(-a ω) ⋅ω=-2a ω2
dt dt dt
a 总=a r +a ϕ
22
(4a 4ω4-4a 2R 2ω4+R 4ω4) +4a 2ω4(R 2-a 2)
=22
R -a
4a 4ω4-4a 2R 2ω4+R 4ω4+4a 2ω4R 2-4a 4ω4
a 总=22
R -a
a 总=
R 4ω4
=22
R -a
R 2ω2R -a
2
2
[习题5-26] 杆ＯＡ按规律ϕ=At （ϕ以rad 计，t 以s 计）绕Ｏ轴逆时针转动，同时套筒
2
Ｍ按规律r =Bt （r 以m 计，t 以s 计）沿杆运动。当t =1s 时，Ｍ的速度v =22m /s ，
切向加速度a τ=2m /s 2。试确定常数Ａ、Ｂ，并求t =3s 时Ｍ的径向加速度和横向加速度。
解：（１）求Ａ、Ｂ
r =Bt 2 dr
=2Bt dt
题5-26图
d r
=2B 2
dt
2
ϕ=At
d ϕ
=A dt
d 2ϕ
=0 2
dt
v =(
dr 2d 2
+(r ) =(2Bt ) 2+r 2A 2=4B 2t 2+B 2t 4A 2=Bt 4+A 2t 2 dt dt
dv 2A 2t 22
a τ==B 4+A t +Bt ⋅
22dt 24+A t
当t =1s 时，Ｍ的速度v =22m /s ，即：
22=4B 2+B 2A 2
4B 2+A 2B 2=8 B 2=
8
……..(1)
A 2+4
当t =1s 时，切向加速度a τ=32m /s 2, 即：
dv 2A 2t 22
a τ==B 4+A t +Bt ⋅
22dt 24+A t 32=B 4+A +B
2
A 24+A
2
=
B (4+A 2) +BA 2
4+A
2
=
4B +2A 2B 4+A
2
324+A 2=4B +2A 2B 18(4+A 2) =(4B +2A 2B ) 2
72+18A 2=16B 2+16A 2B 2+4A 4B 2
18+4. 5A 2=B 2(4+4A 2+A 4) ……(2)
（１）代入（２）得：
18+4. 5A 2=
824
(4+4A +A ) 2
A +4
(18+4. 5A 2)(A 2+4) =8(4+4A 2+A 4)
18A 2+4. 5A 4+72+18A 2=32+32A 2+8A 4 3. 5A 4-4A 2-40=0
2
4±(-4) -4⨯3. 5⨯(-40) 4±24⎧⎪42
A ===⎨20
-2⨯3. 57⎪⎩7
负根不合舍去，A =2
B 2=
88
==1，B =1 2
A +44+4
故，A =2，B =1。
（２）求t =3s 时Ｍ的径向加速度和横向加速度 动点Ｍ的运动方程为：
r =t 2，ϕ=2t dr
=2t dt
d 2r
=2 dt 2
ϕ=2t
d ϕ
=2 dt
d 2ϕ
=0 2
dt
d 2r d ϕ
a r =2-r () 2=2-t 2⨯22=2-4t 2
dt dt
a r |t =3=2-4⨯32=-34(m /s 2)
d 2ϕdr d ϕ
a ϕ=r 2+2⋅⋅=0+2⨯2t ⨯2=8t
dt dt dt
a ϕ|t =3=8⨯3=24(m /s 2)
=(2-4t 2) e r +8t e p
第五章 点的运动 习题全解
[习题5-1] 一点按x =t -12t +2的规律沿直线动动(其中t 要s 计, x 以m 计). 试求:(1)最初3s 内的位移;(2)改变动动方向的时刻和所在位置;(3)最初3s 内经过的路程;(4)t =3s 时的速度和加速度;(5)点在哪段时间作加速度, 哪段时间作减速运动. 解:(1)求最初3s 内的位移.
x (0) =03-12⨯0+2=2m x (3) =33-12⨯3+2=-7m
∆x =x (3) -x (0) =-7-2=-9(m ) (动点的位移为9m, 位移的方向为负x 方向). (2)求改变动动方向的时刻和所在位置. 改变方向时, 动点的速度为零. 即: v =
3
dx
=3t 2-12=0, dt
亦即:当t =2s 时, 动点改变运动方向. 此时动点所在的位置为: x (2) =23-12⨯2+2=-14(m ) (3)求最初3s 内经过的路程.
S (0~3) =S (0~2) +S (2~3) =|-14-2|+|-7-(-14) |=16+7=23(m ) (4)求t =3s 时的速度和加速度
v =
dx dx =3t 2-12 v (3) ==3⨯32-12=15(m /s ) dt dt dv a ==6t a (3) =6⨯3=18(m /s 2)
dt
(5)求动点在哪段时间作加速度, 哪段时间作减速运动.
若v 与a 同号, 则动点作加速运动; 若v 与a 异号, 则动点作减速运动. 即: 同号时有:
va =(3t 2-12)(6t ) =18t (t 2-4) =18t (t -2)(t +2) >0
t (t -2)(t +2) >0 0
即当0
异号时有:
t (t -2)(t +2) 2
即当t >2s 时, 动点作减速运动.
[习题5-2] 已知图示机构中, OA =AB =l , CM =DM =AC =a , 求出ϕ=ωt 时, 点M 的动动方程和轨迹方程。
解:设动点M 的坐标为M (x , y ) , 则由图中的几何关系可知, 运动方程为: x =l cos ωt
y =l sin ωt -2a sin ωt =(l -2a ) sin ωt 把上式两边分别平方后相加, 得到轨迹方程:
y
O
题5-2图
x
x 2y 2 2+=1 2
l (l -2a )
[习题5-3] 跨过滑轮C 的绳子一端挂有重物B, 另一端A 被人拉着沿水平方向运动, 其速度为
v 0=1m /s ,A 点到地面的距离保持常量h =1m . 滑轮离地面的高度H =9m , 其半径忽略不
计. 当运动开始时, 重物在地面上B 0处, 绳AC 段在铅直位置A 0C 处. 求重物B 上升的运动方程和速度方程, 以及重物B 到达滑轮处所需的时间.
22
解:从图中可知, 绳子的原长约为16m. 在任一瞬时, 绳子的长度为:8+(1⨯t ) +l BC . 即:
82+t 2+l BC ≈16 l BC =16-2+t 2
B 点的y 坐标, 即重物B 上升的运动方程为:
y B =8-l BC =8-16+64+t 2=64+t 2-8
重物B 上升的速度方程为:
v B =
dy B d 2t t
=(64+t 2-8) ==
22dt dt 264+t 64+t
重物到达滑轮时, 所走过的路程为8m, 即:
dy =vdt =
t 64+t
2
dt
y =⎰
t 64+t 2
dt =⎰
d (64+t 2) 264+t 2
=64+t 2+C
当t =0时, y =0, C =-8, 故:
y =64+t 2-8, 依题意: 64+t 2-8=8, 解得:t =13. 9s
[习题5-4] 偏心轮半径为r , 转动轴到轮心的偏心距OC =d , 坐标轴Ox 如图所示. 求杆AB 的运动方程, 已知ϕ=ωt , ω为常量.
解:AB杆作竖向平动.A 点的运动代表AB 杆的运动. 由图中的几何关系可知,A 点的坐标, 即AB 杆的运动方程为:
r d
=
sin ωt sin A
d
sin A =sin ωt
r
d 212
cos A =-sin A =-2sin 2ωt =r -d 2sin 2ωt
r r
2
x A =d cos ωt +r cos A =d cos ωt +r 2-d 2sin 2ωt
[习题5-5] 半圆形凸轮以匀速v =10mm /s 沿水平方向向左运动, 活塞杆AB 长l 沿铅直方向运动. 挡运动开始时, 活塞杆A 端在凸轮的最高点上. 如凸轮的半径R =80mm , 求活塞B 的运动方程和速度方程
.
解:活塞杆AB 作竖向平动. 以凸轮圆心为坐标原点, 铅垂向上方向为x 轴的正向, 则由图中的
几何关系可知, 任一时刻,B 点的坐标, 即活塞B 的运动方程为:
R 2-(vt ) 2
x B =l +R cos ϕ=l +R ⋅=l +R 2-(vt ) 2=l +64-t 2(cm )
R
活塞B 的速度方程为:
v B =
dx B 1-2t -t
==(cm /s )
22dt 264-t 64-t
[习题5-6] 已知杆OA 与铅直线夹角ϕ=
πt
(ϕ以rad 计, t 以s 计), 小环M 套在杆OA,CD 6
上, 如图所示. 铰O 至水平杆CD 的距离h =400mm . 求小环M 的速度方程与加速度方程, 并求t =1s 时小环M 的速度及加速度
.
解:以OA 铅垂时小环M 的位置为坐标原点, 水平向右方向为x 轴的正向. 任一瞬时, M 的坐标, 即运动方程为: x M =h tan ϕ=400tan 小环M 的速度方程为:
πt
6
(mm )
v M =
dx M d πt πt π200ππt
=(400tan ) =400sec 2() ⋅=sec 2()(mm /s ) dt dt 66636200ππ
sec 2()(mm /s ) =279(mm /s ) 36
v M (1) =
小环M 加速度方程为:
a M =
dv M d 200ππt 200πd πt =(sec 2) =sec 2dt dt 363dt 6
200ππt πt πt π200π2πt πt =⋅2sec ⋅sec tan ⋅=⋅sec 2⋅tan (mm /s 2)
36666966
200π2ππ
a M (1) =⋅sec 2⋅tan =169(mm /s 2)
966
[习题5-7] 滑道连杆机构如图所示, 曲柄OA 长r , 按规律ϕ=ϕ0+ωt 转动(ϕ以rad 计, t 以
s 计), ω为一常量. 求滑道上B 点的运动方程, 速度方程及加速度方程
.
解:以O 为坐标原点,OB 方向为x 轴的正向, 则B 点的坐标, 即运动方程为: x B =r cos(ϕ0+ωt ) +l B点的速度方程为: v B =
dx B d
=[r cos(ϕ0+ωt ) +l ]=-r sin(ϕ0+ωt ) ⋅ω=-r ωsin(ϕ0+ωt ) dt dt
B 点的加速度方程为: a B =
dv B d
=[-r ωsin(ϕ0+ωt )]=-r ω2cos(ϕ0+ωt ) dt dt
[习题5-8] 动点A 和B 在同一直角坐标系中的运动方程分别为
x B =t 2
, { {4
y A =2t 2y B =2t x A =t
其中, x , y 以mm 计, t 以s 计. 试求:(1)两点的运动轨迹;(2)两点相遇的时刻;(3)两点相遇时刻它们各自的速度;(4)两点相遇时刻它们各自的加速度. 解: (1)求两点的运动轨迹
A点的运动轨迹:y A =2x A B点的运动轨迹:y B =2x B
(2)求两点相遇的时刻
两点相遇时, 它们的坐标相同.
2
x A =x B , t =t , t =1s . 即当t =1s 时, 两点相遇.
2
2
(3)求两点相遇时刻它们各自的速度 v xA =
dx A dy
=1, v yA =A =4t , v A =+16t 2 dt dt
两点相遇时,A 点的速度为:
大小:v A (1) =+16=4. 12(mm /s ) .
方向:θvA
v yA 4===75057' 50"
v xA 1
v xB =
dx B dy
=2t , v yA =B =8t 3, v A =4t 2+64t 6 dt dt
两点相遇时,B 点的速度为: 大小:v B (1) =
4+64=8. 25(mm /s ) . v yB v xB
8
==75057' 50"
2
方向:θvB =(4)求两点相遇时刻它们各自的加速度 a xA =
dv yA dv xA
=0, a yA ==4(mm /s 2) a A =4mm /s 2 dt dt
两点相遇时,A 点的加速度为:
大小:a A (1) =4mm /s , 方向:沿y 轴正向.
2
a xB =
dv yB dv xB
=2, a yB ==24t 2 a B =4+576t 4 dt dt
两点相遇时,B 点的加速度为:
大小:a B (1) =
4+576=24. 08(mm /s 2)
方向:θaB =arctan
24
=85014' 11" 2
[习题5-9] 点M 以匀速率u 在直管OA 内运动, 直管OA 又按ϕ=ωt 规律绕O 转动. 当t =0时, M 在O 点, 求其在任一瞬时的速度及加速度的大小
.
解: r =ut , ϕ=ωt , 设任一瞬时, M 点的坐标为M (x , y ) , 则点M 的运动方程为:
x =r cos ϕ=ut cos ωt , y =r sin ϕ=ut sin ωt
速度方程为:
v x =
2
dx d
=(ut cos ωt ) =u cos ωt +ut (-sin ωt ) ⋅ω=u cos ωt -u ωt sin ωt dt dt
v x =u 2cos 2ωt +(u ωt ) 2sin 2ωt -2u 2ωt sin ωt ⋅cos ωt
v y =
2
dy d
=(ut sin ωt ) =u sin ωt +ut ⋅cos ωt ⋅ω=u sin ωt +u ωt cos ωt dt dt
22222
v y =u sin ωt +(u ωt ) cos ωt +2u ωt sin ωt ⋅cos ωt
v x +v y =u 2+(u ωt ) 2
任一瞬时, 速度的大小为:
22
v =v x +v y =u 2+(u ωt ) 2=u +(ωt ) 2
加速度方程为:
22
a x =
dv x d
=(u cos ωt -u ωt sin ωt ) dt dt
=u ⋅(-sin ωt ) ⋅ω-[u ω⋅sin ωt +u ωt ⋅cos ωt ⋅ω]
=-2u ωsin ωt -u ωt cos ωt
a x =4u 2ω2sin 2ωt +(u ω2t ) 2cos 2ωt +4u 2ω3t sin ωt ⋅cos ωt
2
2
a y =
dv y dt
=
d
(u sin ωt +u ωt cos ωt ) dt
=u ⋅cos ωt ⋅ω+[u ω⋅cos ωt +u ωt ⋅(-sin ωt ) ⋅ω
=2u ωcos ωt -u ω2t ⋅sin ωt
a y =4u 2ω2cos 2ωt +(u ω2t ) 2sin 2ωt -4u 2ω3t sin ωt ⋅cos ωt
2
a x +a y =4u 2ω2+(u ω2t ) 2
任一瞬时, 速度的大小为:
22
a =a x +a y =4u 2ω2+(u ω2t ) 2=u ω4+(ωt ) 2
[习题5-10] 一圆板在Oxy 平面内运动. 已知圆板中心C 的运动方程为x C =3-4t +2t 2,
22
y C =3+2t +t 2(其中x C , y C 以m 计, t 以s 计). 板上一点M 与C 的距离l =0. 4m , 直线段
CM 与x 轴的夹角ϕ=2t 2(ϕ以rad 计, t 以s 计), 试求t =1s 时M 点的速度及加速度
.
解: 设M 点的坐标为M(x,y),则M 点的坐标, 即运动方程为:
x =x C +l cos ϕ=3-4t +2t 2+0. 4cos(2t 2) y =y C +l sin ϕ=3+2t +t 2+0. 4sin(2t 2)
速度方程:
v x =
dx d
=[3-4t +2t 2+0. 4cos(2t 2)]=-4+4t +0. 4(-sin 2t 2) ⋅4t dt dt
v x =-4+4t -1. 6t sin 2t 2
1800
v x (1) =-4+4-1. 6sin(2⨯) =-1. 46(m /s )
3. 14
v y =
dy d
=[3+2t +t 2+0. 4sin(2t 2)]=2+2t +0. 4⋅cos 2t 2⋅4t dt dt
v y =2+2t +1. 6t cos 2t 2
1800
v y (1) =2+2+1. 6cos(2⨯) =3. 33(m /s )
3. 14t =1s 时M 点的速度为:
v =-1. 46i +3. 33j (m /s )
加速度方程:
a x =
dv x d
=(-4+4t -1. 6t sin 2t 2) =4-1. 6[sin2t 2+t cos 2t 2⋅4t ] dt dt
a x =4-1. 6sin 2t 2-6. 4t 2cos 2t 2
18001800
a x (1) =4-1. 6sin(2⨯) -6. 4cos(2⨯) =5. 215(m /s )
3. 143. 14a y =
dv y dt
=
d
(2+2t +1. 6t cos 2t 2) =2+1. 6[cos2t 2+t (-sin 2t 2) ⋅4t ] dt
a y =2+1. 6cos 2t 2-6. 4t 2sin 2t 2
18001800
a y (1) =2+1. 6cos(2⨯) -6. 4sin(2⨯) =-4. 484(m /s )
3. 143. 14t =1s 时M 点的加速度为:
a =5. 215i -4. 484j
[习题5-11] 一段凹凸不平的路面可近似地用下列正弦曲线表示:y =0. 04sin
πx
20
, 其中x,y
均以m 计. 设有一汽车沿x 方向的运动规律为x =20t (x以m 计,t 以s 计). 问汽车经过该段路面时, 在什么位置加速度的绝对值最大? 最大的加速度值是多少? 解: v y =
dy d πx πx πdx π⋅20t π
=(0. 04sin ) =0. 04⋅cos ⋅⋅=0. 04⋅cos ⋅⋅20 dt dt 202020dt 2020
v y =0. 04πcos(π⋅t )
a y =v x =
dv y dt
=
d
[0. 04πcos(π⋅t )]=0. 04π(-sin πt ) ⋅π=-0. 04π2sin πt dt
dx
=20(m /s ) dt
a x =
dv x
=0 dt
a =a y =-0. 04π2sin πt
当πt =(2n -1)
π
2
, n =1, 2, , 即t =
2n -1
s 时, 2
加速度的绝对值最大, |a |max =0. 04π2(m /s 2) . 此时汽车的位置在: x =20⨯
2n -1π⨯10
=10(2n -1)(m ) , y =0. 04sin =0. 04(m ) 220
[习题5-12] 一点作平面曲线运动, 其速度方程为v x =3, v y =2πsin 4πt , 其中v x , v y 以
m /s 计,t 以s 计. 已知在初瞬时该点在坐标原点, 求该点的运动方程和轨迹方程。
解：
（１）求运动方程
dx
=v x =3 dt
dx =3dt
x =3dt =3t +C 1
由边界条件t =0，x =0代入上式得：C 1=0，故 x =3t
⎰
dy
=v y =2πsin 4πt dt
dy =2πsin 4πt ⋅dt y =2πsin 4πt ⋅dt
⎰
1 ⎰4π1
n πt ⋅d (4πt ) ⋅ y =2π⎰s i 4
4π
11
n πt ⋅d (4πt ) =-c o 4s πt +C 2 y =⎰s i 422n πt ⋅d (4πt ) ⋅ y =2πs i 4
由边界条件t =0，x =0代入上式得：
11s i 4n πt ⋅d (4πt ) =-c o 0s +C 2 2⎰21
C 2=，故
2111
s πt +=(1-c o 4s πt ) ，因此，该动点的运动方程为： y =-c o 4222
1
x =3t ；y =(1-cos 4πt ) 。
2
0=
（２）求动点的轨迹
x 1
代入y =(1-cos 4πt ) 得： 32
14π
y =(1-c o x ) ，这就是动点的轨迹方程。
23
由x =3t 得t =
[习题5-13] 一动点之加速度在直角坐标轴上的投影为：a x =-160cos 2t ，
a y =-200sin 2t 。已知当t =0时，x =40，y =50，v x =0，v y =100（长度以mm 计，
时间以s 计），试求其运动方程和轨迹方程。 解：
（１）求运动方程
dv x
=a x =-160cos 2t dt
dv x =-160cos 2t ⋅dt
n t +C 1 v x =-160cos 2t ⋅dt =-80cos 2t ⋅d (2t ) =-80s i 2
把当t =0时，v x =0的边界条件代入上式得：C 1=0，故 v x =-80s i 2n t
⎰⎰
dx
=v x =-80sin 2t dt
n t ⋅d (2t ) dx =-80sin 2t ⋅dt =-40s i 2
s t +C 2 x =40(-sin 2t ) ⋅d (2t ) =40c o 2
把当t =0时，x =40的边界条件代入上式得：40=40cos 0+C 2，C 2=0，故
⎰
s t x =40c o 2
dv y dt
=a y =-200sin 2t
dv y =-200sin 2t ⋅dt =-100s i 2n t ⋅d (2t )
s t +C 3 v y =100(-sin 2t ) ⋅d (2t ) =100c o 2
把当t =0时，v y =100的边界条件代入上式得：C 3=0，故 v y =100c o 2s t
⎰
dy
=v y =100cos 2t dt
t ⋅d (2t ) dy =100cos 2t ⋅dt =50c o 2s n t +C 4 y =50cos 2t ⋅d (2t ) =50s i 2
把当t =0时，y =50的边界条件代入上式得：C 4=50，故 y =50sin 2t +50。因此，该动点的运动方程为：
⎰
s t ；y =50sin 2t +50。 x =40c o 2
（２）求动点的轨迹方程
x 22
由x =40cos 2t 得：2=cos 2t ……(a)
40(y -50) 2
=sin 22t ……(b) 由y =50sin 2t +50得：2
50
(a)+(b)得：
x 2(y -50) 2
+=1 这就是动点的轨迹方程。 22
4050
[习题5-14] 定向爆破开山筑坝。爆破物从爆处Ａ至散落处Ｂ的运动可以近似地作为抛射运动，设Ａ、Ｂ两处高差为Ｈ，水平距离为Ｌ，初速v 0与水平线夹角为α，试推证v 0的大小 应为v 0=
gl
H
(1+cot α) sin 2α
L
。
证：
v 0x =v o cos α L =v ox t =v 0cos α⋅t
t =
L
……(a)
v 0cos α
v 0y =v o sin α-gt
dy
=v oy =v o sin α-gt dt
dy =(v o sin α-gt ) dt
⎰
t
dy =-H =v 0sin α⋅t -
12
gt （Ａ点高于Ｂ点，故Ｈ前有个负号） 2
H =-v 0sin α⋅t +
(a)代入(b)得：
12
gt ……(b) 2
H =-v 0sin α⋅
L 1L
+g () 2
v 0cos α2v 0cos α
H =-tan α⋅L +
gL 22v 0cos α
2
2
gL 22v 0cos α
2
2
22
=L ⋅tan α+H
gL 2
2v 0cos α=
tan α+H
v 0
2
gL 2gL 2gL 2
===2
sin αcos α2cos αsin α⋅L +2cos α⋅H
2cos 2α(L +H ) L ⋅sin 2α+2cos αsin α⋅⋅H
cos αsin αgL 2gL 2
===L sin 2α+sin 2α⋅cot α⋅H sin 2α(L +H cot α)
gL
(1+
H
cot α) sin 2αL
v 0
2
故v 0=
gH
H
(1+cot α) sin 2α
L
，本题得证。
[习题5-1５] 重力坝溢流段和鼻坎挑流。鼻坎与下游水位高差为Ｈ，设挑流角为α，水流射出鼻坎的速度为v ，试求射程Ｌ。
解：v x =v cos α -H =v y t -
12gt 2
-2H =2v y t -gt 2 gt 2-2v sin α⋅t -2H
2v sin α±4v 2sin 2α-4g (-2H ) v sin α±v 2sin 2α+2gH t ==，取
2g g
v sin α+v 2sin 2α+2gH
t =
g
v sin α+v 2sin 2α+2gH
L =v x t =v cos α⋅
g v 2sin αcos α+v cos αv 2sin 2α+2gH
L =
g
[习题5-16] 喷水枪的仰角ϕ=45，水流以v 0=20m /s 的速度射至倾角为60的斜坡上，欲使水流射到斜坡上的速度与斜面垂直，试求水流喷射在斜坡上的高度h 及水枪放置的位置Ｏ与坡脚Ａ的距离s 。
解：v x =v 0cos ϕ v y =v 0sin ϕ-gt
到达Ｂ点时，
tan 300=
v By v Bx
=
v 0sin ϕ-gt gt gt
=tan ϕ-=tan 450-0
v 0cos ϕv 0cos ϕ20cos 45
3gt =1-
32
0. 577=1-0. 693t
t =0. 61(s ) h =v y t -
121
gt =(v 0sin ϕ-gt ) t -gt 2=v 0t sin ϕ-1. 5gt 2 22
h =20⨯0. 61⨯sin 450-1. 5⨯9. 8⨯0. 612=3. 157(m )
s =v x t -h cot 600=v 0cos ϕ⋅t -3. 157⨯0. 577
=20⨯cos 450⨯0. 61-1. 822=6. 8(m )
[习题5-17] 点沿曲线ＡＯＢ动动。曲线由ＡＯ、ＯＢ两段圆弧组成，ＡＯ段曲率半径
R 1=18m ，ＯＢ段曲率半径R 2=24m ，取圆弧交接处Ｏ为原点，规定正方向如图所示。
2
已知点的运动方程：s =3+4t -t ，t 以s 计，s 以m 计。求：（１）点由t =0至t =5s
所经过的路程；（２）t =5s 时的加速度。
题5-17图
A
B )
解：（１）求点由t =0至t =5s 所经过的路程
s =3+4t -t 2
令
ds
=4-2t =0得t =2s ；当t =2s 时，动点改变运动方向。 dt
s (0) =3
s (2) =3+4⨯2-22=7 s (5) =3+4⨯5-52=-2
点由t =0至t =2s 所经过的路程s 0-2=s (2) -s (0) =7-3=4(m ) 点由t =2至t =5s 所经过的路程s 2-5=4+[3-(-2) =9(m ) 点由t =0至t =5s 所经过的路程s 0-5=4+9=13(m ) （２）求t =5s 时的加速度
v =
ds
=4-2t =0 dt dv a τ==-2(m /s 2)
dt
v 2(4-2⨯5) 2
a n ===2(m /s 2)
R 118
a =a τ+a n =(-2) 2+22=2. 83(m /s 2)
[习题5-18] 摇杆滑道机构如题5-1８附图所示，滑块Ｍ同时在固定圆弧槽中和在摇杆的滑道中滑动。BC 弧的半径为R ，摇杆OA 的转轴在BC 弧所在的圆周上。摇杆绕O 轴以匀角速转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法求滑块的运动方程，并求其速度及加速度。 解:(1) 直角坐标法
设滑块Ｍ的坐标为M (x , y ) ，则动点Ｍ的运动方程为：
2
2
x =R +R cos 2ωt
y =R sin 2ωt v x =
dx
=R ⋅(-sin 2ωt ) ⋅2ω=-2R ωsin 2ωt dt dx v y ==R ⋅cos 2ωt ⋅2ω=2R ωcos 2ωt
dt
O
v =v x +v y =4R 2ω2(sin22ωt +cos 22ωt ) =2R ω
22
tan θ1=tan(v x , v y ) =
v y v x
=-cot 2ωt
θ1=arctan(-cot 2ωt )
a x =
dv x
=-2R ω⋅cos 2ωt ⋅2ω=-4R ω2cos 2ωt dt
a y =
dv y dt
=2R ω⋅(-sin 2ωt ) ⋅2ω=-4R ω2sin 2ωt
a =a x +a y =R 2ω4(cos22ωt +sin 22ωt ) =4R ω2
22
tan θ2=tan(a x , a y ) =
a y a x
=tan 2ωt
θ2=(a x , a y ) =2ωt
（2）自然坐标法
建立如图所示的自然坐标。Ｍ点的运动方程（即弧坐标）为：
s =2R ωt
v =
ds
=2R ω dt dv a τ==0２
dt
(2R ω) 2
a n ===4R ω2
ρR
a =a τ+a n =02+(4R ω2) 2=4R ω2
2
2
v 2
⎧x =75cos 4t 2
[习题5-19] 某点的运动方程为：⎨，x 及y 的单位为m ，t 的单位为s 。求2
⎩y =75sin 4t
它的速度、切向加速度与法向加速度。 解：
（１）求动点的速度
v x =
dx
=75(-sin 4t 2) ⋅8t =-600t ⋅sin 4t 2 dt
v y =
dy
=75cos 4t 2⋅8t =600t ⋅cos 4t 2 dt
2
2
v =v x +v y =3600t 2(sin24t 2+cos 24t 2) =600t (m /s )
（２）求动点的切向加速度
a τ=
dv
=600(m /s 2) dt
（３）求动点的法向加速度
(600t ) 2
a n ===48t 02(0m /s 2)
ρ75
v 2
⎧x =t 2-t
[习题5-20] 已知动点的运动方程为：⎨，x 及y 的单位为m ，t 的单位为s 。求
⎩y =2t
其轨迹及t =1s 时的速度、加速度。并分别求切向加速度、法向加速度与曲率半径。 解：（１）求动点的轨迹及t =1s 时的速度、加速度
⎧x =t 2-t 由⎨得： ⎩y =2t
y 2y x =-
42
4x =y 2-2y
4y 2-2y -4x =0，即该动点的轨迹为抛物线。
dx
=2t -1 dt dy v y ==2
dt v x =
v =v x +v y =(2t -1) 2+22=4t 2-4t +5 t =1s 时的速度
22
v (1) =4-4+5=2. 24(m /s )
a x =
dv x
=2(m /s 2) dt
a y =
dv y dt
=0
a =a x =2(m /s 2)
t =1s 时的加速度
a (1) =2(m /s 2)
（２）求切向加速度、法向加速度与曲率半径
a τ=
dv d 8t -44t -2
=(4t 2-4t +5) ==
22dt dt 24t -4t +54t -4t +5
t =1s 时的切向加速度
a τ(1) =
4t -24t 2-4t +5
2
2
=
2=0. 894(m /s 2)
a 2(1) =a τ(1) +a n (1)
22=
2
42
+a n (1) 5
a n (1) =3. 2 a n (1) =1. 789(m /s 2) a n (1) =
5
v 2
ρ
=1. 789
ρ
=1. 789
5
=2. 795(m ) ≈2. 8m 1. 789
ρ=
2
[习题5-21] 点Ｍ沿给定的抛物线y =0. 2x 运动（其中x , y 均以m 计）。在x =5m 处时，
速度v =4m /s ，切向加速度a τ=3m /s 2。求点在该位置时的加速度。 解： y =0. 2x
2
dy dy dx =⋅=0. 4x ⋅v x dt dx dt
v =(
dx 2dy dx 22
) +() 2=v x +0. 16x 2v x =+0. 16x 2⋅ dt dt dt
2
∙
v =+0. 16x ⋅x
∙∙∙dv 0. 32x ⋅x 2
a τ==⋅x ++0. 16x ⋅x
2dt 2+0. 16x
∙
把在x =5m 处时，速度v =4m /s ，a τ=3m /s 2的边界条件代入以上二式得：
4=+0. 16⨯5⋅x =5⋅x
2
∙∙
x =
∙
45
3=
0. 32⨯52+0. 16⨯5
2. 565+x
∙∙
2
⋅(
4) ++0. 16⨯5⋅x
22
∙∙
3=
∙∙
3=2. 56+5x
∙∙
x =(5-2. 56) /5=0. 83(m /s 2) dy dy dx
=⋅=0. 4x ⋅v x dt dx dt
y =0. 4x ⋅x
∙∙
∙∙
y =0. 4x ⋅x +0. 4x ⋅x =0. 4(x +x x ) =0. 4∙∙2
∙∙2
∙∙∙∙
∙2
∙∙
4) 2+5⨯0. 83]=2. 94(m /s 2)
a =
x +y =0. 832+2. 942=3. 084(m /s 2)
[习题5-22] 已知一点的加速度方程为a x =-6m /s 2，当t =0时，x 0=y 0=0，a y =0，
v 0x =10m /s ，v 0y =3m /s ，求点的运动轨迹，并用简捷的方法求t =1s 时点所在处轨迹
的曲率半径。
解：（１）求运动轨迹方程
d 2x
a x =2=-6
dt dx
=-6t +C 1 dt
把t =0时，v 0x =10m /s 代入上式得：C 1=10m /s 。故
dx
=-6t +10 dt
x =-3t 2+10t +C 2
把t =0时，x 0=0代入上式得：C 2=0。故
x =-3t 2+10t
d 2y
a y =2=0
dt
dy
=C 3=3(m /s ) (把t =0时，v 0y =3m /s ) dt
y =3t +C 4
把t =0时，y 0=0代入上式得：C 4=0。故
y =3t 。
故动点的运动方程为：
x =-3t 2+10t ，y =3t 。消去t 得动点的运动轨迹：
y 2y y 210y
x =-3() +10⨯=-+（抛物线）
3333
（２）求曲率半径 高等数学法：
y 210y
x =-+
331dy 10dy 1=-⋅2y ⋅+
3dx 3dx
dy dy
3=-2y ⋅+10
dx dx
dy 3= dx 10-2y
d y
=2
dx
2
0-3⨯(-2⋅(10-2y )
dy ) =2
6318
⋅= 2210-2y (10-2y ) (10-2y )
当t =1s 时，y =3t =3⨯1=3m ，故
dy dx |3t =1=10-2⨯3
=0. 75 d 2y dx 2|t =1=18
(10-2⨯3)
3
=0. 28125 1
y " ρ
=
=
0. 28125(1+y ' 2)
3
(1+0. 752)
3
=0. 144
ρ=
1
0. 144
=6. 94(m ) 运动学法：
v =x ∙2
+∙2
y
a =
∙∙2
x +∙y ∙2
∙∙∙∙∙∙
切向加速度：a x ⋅x +y τ=
dv dt
=⋅y 2
x ∙+∙2y
∙∙∙∙∙∙
法向加速度：a 2
n =-a τ=
dv dt
=|x ⋅y -y ⋅x |2
x ∙+∙2y
v 2
(x ∙2+y ∙2
) 3/2
曲率半径：ρ=a =∙∙∙∙∙y ∙ n
|x y -y |
当t =1s 时，
x ∙
=-6t +10=-6⨯1+10=4
∙x ∙
=-6
y ∙
=3
∙y ∙
=0，故：
ρ=(42+32) 3/2|4⨯0-3⨯(-6) |=12518
=6. 94(m )
[习题5-23] 已知某动点用极坐标表示的运动方程为⎧⎨r =3+4t 2⎩ϕ=1. 5t
2
速度与加速度。r 的单位为m ，ϕ的单位为rad ，t 的单位s 。
ϕ=600
时点的 。求
dr d
=(3+4t 2) =8t dt dt d ϕd
=(1. 5t 2) =3t dt dt
解： v =
(
dr 2d 2
) +(r ) =64t 2+(3+4t 2) 2(3t ) 2=64t 2+(9t +12t 3) 2 dt dt
ϕ=60= v =
π
3
=1. 55t 2，即t =0. 822s 时，
64⨯08222+(3+4⨯0. 8222) 2(3⨯0. 822) 2=15. 52≈16(m /s )
v ϕ14. 063
θ1===64056' 19"
v r 6. 576
dr d
=(3+4t 2) =8t dt dt
d 2r d
=(8t ) =8
dt 2dt
d ϕd
=(1. 5t 2) =3t dt dt
d 2ϕd
=(3t ) =3
dt dt 2
d 2r d ϕ2222
-r () =8-(3+4t )(3t ) a r = 2
dt dt
a r (0. 822) =64-(3+4⨯0. 8222) ⨯(3⨯0. 822) 2=29. 322(m /s 2)
d 2ϕdr d ϕ
a ϕ=r 2+2⋅=(3+4t 2) ⨯3. 1+2⨯8t ⨯3. 1t
dt dt dt
a ϕ=9. 3+12. 4t 2+49. 6t 2=9. 3+62t 2
a ϕ(0. 822) =9. 3+62⨯0. 8222=51. 192(m /s 2) a =
a r +a ϕ=29. 3222+51. 1922=58. 995(m /s 2)
22
a ϕ51. 192
θ2===60011' 48"
a r 29. 322
[习题5-24] 试用极坐标表示法求题５－１８的运动方程以及速度和加速度。
解：（１）求运动方程 ⎨
⎧r =R
ϕ=2ωt ⎩
∙dr r =v r ==0，ϕ=2ω
dt ∙
（２）求速度
v ϕ=r ⋅ϕ=R ⨯2ω=2R ω
v =v r +v ϕ=2R ω
（３）求加速度
∙∙
∙
22
r =0 ϕ=0
∙∙
∙2
∙∙
a r =r -r ϕ=0-R (2ω) 2=-4R ω2 a ϕ=r ϕ+2r ϕ=0
a =a r +a ϕ=4R ω2
[习题5-25] 杆ＯＡ绕Ｏ轴以匀角速ω转动，带动滑块Ｍ在半径为Ｒ的固定圆弧形槽内滑动。已知R =250mm ，a =150mm ，试用极坐标法求ϕ=解：
2
2
∙∙∙∙
π
2
时，Ｍ的速度和加速度。
R =r +a -2ar cos ϕ
222
r 2-(2a cos ϕ) ⋅r +(a 2-R 2) =0
2a cos ϕ±4a 2cos 2ϕ-4(a 2-R 2)
r =
2
r =a cos ϕ±a 2cos 2ϕ-a 2+R 2，取：
r =a cos ωt +a 2cos 2ωt -a 2+R 2
dr a 2⋅2cos ωt ⋅(-sin ωt ) ⋅ω=a ⋅(-sin ωt ) ⋅ω+dt 2a 2cos 2ωt -a 2+R 2
dr a 2ωsin 2ωt
=-a ω⋅sin ωt -
2222dt 2a cos ωt -a +R
1a 2⋅2cos ωt ⋅(-sin ωt ) ⋅ω(a ω⋅cos 2ωt ⋅2ω) ⋅2a cos ωt -a +R -(a ωsin 2ωt ) ⋅⋅2
22a 2cos 2ωt -a 2+R 2d r
=-a ω⋅cos ωt ⋅ω-dt 24(a 2cos 2ωt -a 2+R 2)
2
2
2
2
2
2
(-2a 2ω2) ⋅2-a 2+R 2d 2r 4a 2ω2R 2-a 2
|π=-=-=dt 2ϕ=24(-a 2+R 2) 4(R 2-a 2)
a 2ω2R -a
2
2
v r =
dr
|π=a ⋅(-1) ⋅ω=-a ω dt ϕ=2
ϕ=ωt
d ϕ
=ω dt
d 2ϕ
=0 dt 2v ϕ=r |
π2
ϕ=
ω=R 2-a 2⋅ω
2
v =v r +v ϕ=a 2ω2+(R 2-a 2) ⋅ω2=R ω
2
d 2r d ϕa r =2-r () 2=
dt dt
a 2ω2R -a
2
2
-R -a ⋅ω=
222
2a 2ω2-R 2ω2
R -a
2
2
d 2ϕdr d ϕ
a ϕ=r 2+2=R 2-a 2⋅0+2⋅(-a ω) ⋅ω=-2a ω2
dt dt dt
a 总=a r +a ϕ
22
(4a 4ω4-4a 2R 2ω4+R 4ω4) +4a 2ω4(R 2-a 2)
=22
R -a
4a 4ω4-4a 2R 2ω4+R 4ω4+4a 2ω4R 2-4a 4ω4
a 总=22
R -a
a 总=
R 4ω4
=22
R -a
R 2ω2R -a
2
2
[习题5-26] 杆ＯＡ按规律ϕ=At （ϕ以rad 计，t 以s 计）绕Ｏ轴逆时针转动，同时套筒
2
Ｍ按规律r =Bt （r 以m 计，t 以s 计）沿杆运动。当t =1s 时，Ｍ的速度v =22m /s ，
切向加速度a τ=2m /s 2。试确定常数Ａ、Ｂ，并求t =3s 时Ｍ的径向加速度和横向加速度。
解：（１）求Ａ、Ｂ
r =Bt 2 dr
=2Bt dt
题5-26图
d r
=2B 2
dt
2
ϕ=At
d ϕ
=A dt
d 2ϕ
=0 2
dt
v =(
dr 2d 2
+(r ) =(2Bt ) 2+r 2A 2=4B 2t 2+B 2t 4A 2=Bt 4+A 2t 2 dt dt
dv 2A 2t 22
a τ==B 4+A t +Bt ⋅
22dt 24+A t
当t =1s 时，Ｍ的速度v =22m /s ，即：
22=4B 2+B 2A 2
4B 2+A 2B 2=8 B 2=
8
……..(1)
A 2+4
当t =1s 时，切向加速度a τ=32m /s 2, 即：
dv 2A 2t 22
a τ==B 4+A t +Bt ⋅
22dt 24+A t 32=B 4+A +B
2
A 24+A
2
=
B (4+A 2) +BA 2
4+A
2
=
4B +2A 2B 4+A
2
324+A 2=4B +2A 2B 18(4+A 2) =(4B +2A 2B ) 2
72+18A 2=16B 2+16A 2B 2+4A 4B 2
18+4. 5A 2=B 2(4+4A 2+A 4) ……(2)
（１）代入（２）得：
18+4. 5A 2=
824
(4+4A +A ) 2
A +4
(18+4. 5A 2)(A 2+4) =8(4+4A 2+A 4)
18A 2+4. 5A 4+72+18A 2=32+32A 2+8A 4 3. 5A 4-4A 2-40=0
2
4±(-4) -4⨯3. 5⨯(-40) 4±24⎧⎪42
A ===⎨20
-2⨯3. 57⎪⎩7
负根不合舍去，A =2
B 2=
88
==1，B =1 2
A +44+4
故，A =2，B =1。
（２）求t =3s 时Ｍ的径向加速度和横向加速度 动点Ｍ的运动方程为：
r =t 2，ϕ=2t dr
=2t dt
d 2r
=2 dt 2
ϕ=2t
d ϕ
=2 dt
d 2ϕ
=0 2
dt
d 2r d ϕ
a r =2-r () 2=2-t 2⨯22=2-4t 2
dt dt
a r |t =3=2-4⨯32=-34(m /s 2)
d 2ϕdr d ϕ
a ϕ=r 2+2⋅⋅=0+2⨯2t ⨯2=8t
dt dt dt
a ϕ|t =3=8⨯3=24(m /s 2)
=(2-4t 2) e r +8t e p