27．证明：若A 为3阶可逆的上三角矩阵，则A -1也是上三角矩阵．
⎛a 11
证：设A = 0
0⎝
其中A 12=-
a 12a 220
a 13⎫⎛A 11
⎪ 11-1*a 23⎪，则A =A = A 12
|A ||A | A a 33⎪⎭⎝13
A 21
A 22A 23
A 31⎫⎪A 32⎪， A 33⎪⎭a 120=0，
0a 230a 22a
=0，A 13=-=0，A 23=-11
0a 33000
A 21
A 220
A 31⎫⎪
A 32⎪是上三角矩阵． A 33⎪⎭
⎛A 11
1 -1
所以A = 0
|A |
⎝0
四、证明题（本大题6分）
27．设A 是n 阶方阵，且(A +E ) 2=0，证明A 可逆．
证：由(A +E ) 2=0，得A 2+2A +E =0，-(A 2+2A ) =E ，-(A +2E ) A =E ．
所以A 可逆，且A -1=-(A +2E ) ． 四、证明题（本大题6分）
27．设向量组α1, α2线性无关，证明向量组β1=α1+α2，β2=α1-α2也线性无关． 证：设k 1β1+k 2β2=0，即k 1(α1+α2) +k 2(α1-α2) =0，(k 1+k 2) α1+(k 1-k 2) α2=0．
11⎧k 1+k 2=0由α1, α2线性无关，得⎨，因为=-2≠0，方程组只有零解，所以β1, β2
1-1⎩k 1-k 2=0
线性无关．
四、证明题（本题6分）
27．设n 阶矩阵A 满足A 2=A ，证明E -2A 可逆，且(E -2A ) -1=E -2A ．
证：由A 2=A ，得(E -2A )(E -2A ) =E -4A +4A 2=E -4A +4A =E ，所以E -2A 可逆，且(E -2A ) -1=E -2A ．
四、证明题（本大题6分）
27．设α为Ax =0的非零解，β为Ax =b （b ≠0）的解，证明α与β线性无关． 证：设k 1α+k 2β=0，则A (k 1α+k 2β) =0，k 1A α+k 2A β=0，k 10+k 2b =0，由此可得
k 2=0，从而k 1α=0，又α≠0，可得k 1=0，所以α与β线性无关．
27．设η为非齐次线性方程组Ax =b 的一个解，ξ1, ξ2, , ξr 是其导出组Ax =0的一个基础解系．证明η, ξ1, ξ2, , ξr 线性无关．
证：设k η+k 1ξ1+k 2ξ2+ +k r ξr =0， 则A (k η+k 1ξ1+k 2ξ2+ +k r ξr ) =0，
kA η+k 1A ξ1+k 2A ξ2+ +k r A ξr =0， kb +k 10+k 20+ +k r 0=0，kb =0，
由b ≠0，得k =0--（1） 从而k 1ξ1+k 2ξ2+ +k r ξr =0， 由ξ1, ξ2, , ξr 线性无关，得
k 1=k 2= =k r =0-（2） 由（1）（2）可知η, ξ1, ξ2, , ξr 线性
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．设向量组α1, α2, α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量组β1, β2, β3线性无关． 证：设k 1β1+k 2β2+k 3β3=0，即
k 1(α1+α2) +k 2(α2+α3) +k 3(α3+α1) =0， (k 1+k 3) α1+(k 1+k 2) α2+(k 2+k 3) α3=0，
+k 3=0⎧k 1
⎪
因为α1, α2, α3线性无关，必有⎨k 1+k 2=0，
⎪k 2+k 3=0⎩
101101
1-1
|A |=110=01-1==2≠0，
11
011011
方程组只有零解：k 1=k 2=k 3=0，所以β1, β2, β3线性无关．
四、证明题（本题6分）
27．已知A 是n 阶矩阵，且满足方程A 2+2A =0，证明A 的特征值只能是0或-2．
证： 设a 是A 的特征值, 则 a^2+2a 是 A^2+2A 的特征值
而 A^2+2A =0, 零矩阵的特征值只能是0 所以 a^2+2a = 0 所以 a(a+2)=0 所以 a=0 或 a=-2 即A 的特征值只能是0或-2.
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．证明：若向量组α1, α2, , αn 线性无关，而
β1=α1+αn , β2=α1+α2, β3=α2+α3, , βn =αn -1+αn ，
则向量组β1, β2, , βn 线性无关的充要条件是n 为奇数．
证：设k 1β1+k 2β2+ +k n βn =0，即(k 1+k 2) α1+(k 2+k 3) α2++ +(k 1+k n ) αn =0，
⎧k 1+k 2=0⎪
⎪k 2+k 3=0
由α1, α2, , αn 线性无关，可得齐次方程组⎨，其系数行列式
⎪⎪⎩k 1+k n =0
10|A |=
001
11000
01100
00010
00011
1000
1100
0010
0011
11
0110
0001
000 1
= +(-1) 1+n 0
=1+(-1) 1+n ，当且仅当n 为奇数时，|A |≠0，齐次方程组只有零解，β1, β2, , βn 线性无
四、证明题(本题6分)
27．设向量组α1, α2, α3线性无关，且β=k 1α1+k 2α2+k 3α3．证明：若k 1≠0，则向量组
β, α2, α3也线性无关．
证：设x 1β+x 2α2+x 3α3=0，即k 1x 1α1+(k 2x 1+x 2) α2+(k 3x 1+x 3) α3=0．
=0⎧k 1x 1
⎪
由α1, α2, α3线性无关，可得⎨k 2x 1+x 2=0．
⎪k x +x 3=0⎩31
k 1
若k 1≠0，则方程组的系数行列式k 2
k 3
00
只有x 1=x 2=x 3=0，所以β, α2, α3 10=k 1≠0，
01
四、证明题（本大题6分）
27. 已知向量组α1, α2，α3，α4线性无关，证：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无 证明：设存在不全为0的实数k1,k2,k3,k4,k5使得
k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α5)+k5(α5+α1)=0 则(k1+k5)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4+(k4+k5)α5=0 因为向量组α1.α2.α3.α4,α5线性无关，所以k1+k5=0，k1+k2=0，k2+k3=0，k3+k4=0，k4+k5=0 解得k1=k2=k3=k4=k5=0
所以不存在不全为0的实数使k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α5)+k5(α5+α1)=0， 所以向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α5,α5+α1线性无关。 四、证明题(本题6分)
27. 设n 阶矩阵A 满足A 2=E,证明A 的特征值只能是±1.
证明：设λ是A 的任意一个特征值，α是λ所对应的特征向量
Aα=λα A²α=λAα Eα=α=λ·λα=λ²α λ²=1 λ=±1 所以A 的特征值只能是±1 四、证明题（本大题共1小题，6分）
27. 设向量α1，α2，….,αk 线性无关，1
因a1,a2,…，ak 线性无关故m1=0,m2=0,...,m1+mj=0,...,mk=0 即m1=0,m2=0,...,mj=0,...,mk=0 故a1+aj,a2,…，ak 线性无关 四、证明题（本大题共6分）
27．设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵 证明：（1）AB -BA 为对称矩阵；（2）AB +BA 为反对称矩阵.
证明：（1） 因为(AB-BA)'= B'A'-A'B'= -BA+AB=AB-BA ，故AB-BA 对称 （2） (AB+BA)'= B'A'+ A'B'= -BA+A(-B)=-(AB+BA) 故 AB+BA反对称 四、证明题（本大题6分）
27．设α1，α2，α3线性无关，证明α1，α1+2α2，α1+3α3也线性无关. 证明: 设 k1α1+k2(α1+α2)+k3(α1+α2+α3)=0. 则（k1+k2+k3)α1+(k2+k3)α2+k3α3 =0
因为α1，α2，α3线性无关 所以k1+k2+k3=0，k2+k3=0，k3=0， 因为齐次线性方程组的系数行列式 1 1 1 0 1 1
0 0 1 = 1 (不等于0) 所以方程组只有零解, 即 k1=k2=k3=0. 所以 α1，α1+α2，α1+α2+α3 线性无关 # 四、证明题(本题6分)
27. 设A 是3阶反对称矩阵，证明A =0.
证明：因为A 是3阶反对称矩阵 所以 A^T = -A
所以 |A| = |A^T| = |-A| = (-1)^3|A| = -|A| 所以 |A| = 0 四、证明题（本大题共1小题，6分） a 11
27．三阶矩阵A =a 21
a 31
a 12a 22a 32
a 13⎛a 13⎫⎛a 11⎫⎛a 12⎫
⎪ ⎪ ⎪
a 23行列式不等于 0，证：α1= a 21⎪, α2= a 22⎪, α3= a 23⎪线无
a ⎪ a ⎪ a ⎪a 33
⎝31⎭⎝32⎭⎝33⎭
证明：设有一组数看k1 k2 k3 使k1a1，k2a2，k3a3=0即（a1,a2,a3）{k1,k2,k3}=0
亦即A{k1,k2,k3}=0故{k1.k2.k3}是AX=0的解注意到AX=0只有零解， 因为A 的秪等于3=未知量的个数， 故k1=k2=k3=0，从而a1,a2,a3线性无关
27．证明：若A 为3阶可逆的上三角矩阵，则A -1也是上三角矩阵．
⎛a 11
证：设A = 0
0⎝
其中A 12=-
a 12a 220
a 13⎫⎛A 11
⎪ 11-1*a 23⎪，则A =A = A 12
|A ||A | A a 33⎪⎭⎝13
A 21
A 22A 23
A 31⎫⎪A 32⎪， A 33⎪⎭a 120=0，
0a 230a 22a
=0，A 13=-=0，A 23=-11
0a 33000
A 21
A 220
A 31⎫⎪
A 32⎪是上三角矩阵． A 33⎪⎭
⎛A 11
1 -1
所以A = 0
|A |
⎝0
四、证明题（本大题6分）
27．设A 是n 阶方阵，且(A +E ) 2=0，证明A 可逆．
证：由(A +E ) 2=0，得A 2+2A +E =0，-(A 2+2A ) =E ，-(A +2E ) A =E ．
所以A 可逆，且A -1=-(A +2E ) ． 四、证明题（本大题6分）
27．设向量组α1, α2线性无关，证明向量组β1=α1+α2，β2=α1-α2也线性无关． 证：设k 1β1+k 2β2=0，即k 1(α1+α2) +k 2(α1-α2) =0，(k 1+k 2) α1+(k 1-k 2) α2=0．
11⎧k 1+k 2=0由α1, α2线性无关，得⎨，因为=-2≠0，方程组只有零解，所以β1, β2
1-1⎩k 1-k 2=0
线性无关．
四、证明题（本题6分）
27．设n 阶矩阵A 满足A 2=A ，证明E -2A 可逆，且(E -2A ) -1=E -2A ．
证：由A 2=A ，得(E -2A )(E -2A ) =E -4A +4A 2=E -4A +4A =E ，所以E -2A 可逆，且(E -2A ) -1=E -2A ．
四、证明题（本大题6分）
27．设α为Ax =0的非零解，β为Ax =b （b ≠0）的解，证明α与β线性无关． 证：设k 1α+k 2β=0，则A (k 1α+k 2β) =0，k 1A α+k 2A β=0，k 10+k 2b =0，由此可得
k 2=0，从而k 1α=0，又α≠0，可得k 1=0，所以α与β线性无关．
27．设η为非齐次线性方程组Ax =b 的一个解，ξ1, ξ2, , ξr 是其导出组Ax =0的一个基础解系．证明η, ξ1, ξ2, , ξr 线性无关．
证：设k η+k 1ξ1+k 2ξ2+ +k r ξr =0， 则A (k η+k 1ξ1+k 2ξ2+ +k r ξr ) =0，
kA η+k 1A ξ1+k 2A ξ2+ +k r A ξr =0， kb +k 10+k 20+ +k r 0=0，kb =0，
由b ≠0，得k =0--（1） 从而k 1ξ1+k 2ξ2+ +k r ξr =0， 由ξ1, ξ2, , ξr 线性无关，得
k 1=k 2= =k r =0-（2） 由（1）（2）可知η, ξ1, ξ2, , ξr 线性
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．设向量组α1, α2, α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量组β1, β2, β3线性无关． 证：设k 1β1+k 2β2+k 3β3=0，即
k 1(α1+α2) +k 2(α2+α3) +k 3(α3+α1) =0， (k 1+k 3) α1+(k 1+k 2) α2+(k 2+k 3) α3=0，
+k 3=0⎧k 1
⎪
因为α1, α2, α3线性无关，必有⎨k 1+k 2=0，
⎪k 2+k 3=0⎩
101101
1-1
|A |=110=01-1==2≠0，
11
011011
方程组只有零解：k 1=k 2=k 3=0，所以β1, β2, β3线性无关．
四、证明题（本题6分）
27．已知A 是n 阶矩阵，且满足方程A 2+2A =0，证明A 的特征值只能是0或-2．
证： 设a 是A 的特征值, 则 a^2+2a 是 A^2+2A 的特征值
而 A^2+2A =0, 零矩阵的特征值只能是0 所以 a^2+2a = 0 所以 a(a+2)=0 所以 a=0 或 a=-2 即A 的特征值只能是0或-2.
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．证明：若向量组α1, α2, , αn 线性无关，而
β1=α1+αn , β2=α1+α2, β3=α2+α3, , βn =αn -1+αn ，
则向量组β1, β2, , βn 线性无关的充要条件是n 为奇数．
证：设k 1β1+k 2β2+ +k n βn =0，即(k 1+k 2) α1+(k 2+k 3) α2++ +(k 1+k n ) αn =0，
⎧k 1+k 2=0⎪
⎪k 2+k 3=0
由α1, α2, , αn 线性无关，可得齐次方程组⎨，其系数行列式
⎪⎪⎩k 1+k n =0
10|A |=
001
11000
01100
00010
00011
1000
1100
0010
0011
11
0110
0001
000 1
= +(-1) 1+n 0
=1+(-1) 1+n ，当且仅当n 为奇数时，|A |≠0，齐次方程组只有零解，β1, β2, , βn 线性无
四、证明题(本题6分)
27．设向量组α1, α2, α3线性无关，且β=k 1α1+k 2α2+k 3α3．证明：若k 1≠0，则向量组
β, α2, α3也线性无关．
证：设x 1β+x 2α2+x 3α3=0，即k 1x 1α1+(k 2x 1+x 2) α2+(k 3x 1+x 3) α3=0．
=0⎧k 1x 1
⎪
由α1, α2, α3线性无关，可得⎨k 2x 1+x 2=0．
⎪k x +x 3=0⎩31
k 1
若k 1≠0，则方程组的系数行列式k 2
k 3
00
只有x 1=x 2=x 3=0，所以β, α2, α3 10=k 1≠0，
01
四、证明题（本大题6分）
27. 已知向量组α1, α2，α3，α4线性无关，证：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无 证明：设存在不全为0的实数k1,k2,k3,k4,k5使得
k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α5)+k5(α5+α1)=0 则(k1+k5)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4+(k4+k5)α5=0 因为向量组α1.α2.α3.α4,α5线性无关，所以k1+k5=0，k1+k2=0，k2+k3=0，k3+k4=0，k4+k5=0 解得k1=k2=k3=k4=k5=0
所以不存在不全为0的实数使k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α5)+k5(α5+α1)=0， 所以向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α5,α5+α1线性无关。 四、证明题(本题6分)
27. 设n 阶矩阵A 满足A 2=E,证明A 的特征值只能是±1.
证明：设λ是A 的任意一个特征值，α是λ所对应的特征向量
Aα=λα A²α=λAα Eα=α=λ·λα=λ²α λ²=1 λ=±1 所以A 的特征值只能是±1 四、证明题（本大题共1小题，6分）
27. 设向量α1，α2，….,αk 线性无关，1
因a1,a2,…，ak 线性无关故m1=0,m2=0,...,m1+mj=0,...,mk=0 即m1=0,m2=0,...,mj=0,...,mk=0 故a1+aj,a2,…，ak 线性无关 四、证明题（本大题共6分）
27．设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵 证明：（1）AB -BA 为对称矩阵；（2）AB +BA 为反对称矩阵.
证明：（1） 因为(AB-BA)'= B'A'-A'B'= -BA+AB=AB-BA ，故AB-BA 对称 （2） (AB+BA)'= B'A'+ A'B'= -BA+A(-B)=-(AB+BA) 故 AB+BA反对称 四、证明题（本大题6分）
27．设α1，α2，α3线性无关，证明α1，α1+2α2，α1+3α3也线性无关. 证明: 设 k1α1+k2(α1+α2)+k3(α1+α2+α3)=0. 则（k1+k2+k3)α1+(k2+k3)α2+k3α3 =0
因为α1，α2，α3线性无关 所以k1+k2+k3=0，k2+k3=0，k3=0， 因为齐次线性方程组的系数行列式 1 1 1 0 1 1
0 0 1 = 1 (不等于0) 所以方程组只有零解, 即 k1=k2=k3=0. 所以 α1，α1+α2，α1+α2+α3 线性无关 # 四、证明题(本题6分)
27. 设A 是3阶反对称矩阵，证明A =0.
证明：因为A 是3阶反对称矩阵 所以 A^T = -A
所以 |A| = |A^T| = |-A| = (-1)^3|A| = -|A| 所以 |A| = 0 四、证明题（本大题共1小题，6分） a 11
27．三阶矩阵A =a 21
a 31
a 12a 22a 32
a 13⎛a 13⎫⎛a 11⎫⎛a 12⎫
⎪ ⎪ ⎪
a 23行列式不等于 0，证：α1= a 21⎪, α2= a 22⎪, α3= a 23⎪线无
a ⎪ a ⎪ a ⎪a 33
⎝31⎭⎝32⎭⎝33⎭
证明：设有一组数看k1 k2 k3 使k1a1，k2a2，k3a3=0即（a1,a2,a3）{k1,k2,k3}=0
亦即A{k1,k2,k3}=0故{k1.k2.k3}是AX=0的解注意到AX=0只有零解， 因为A 的秪等于3=未知量的个数， 故k1=k2=k3=0，从而a1,a2,a3线性无关