三、匀速圆周运动的练习题
一、选择题
1. 关于角速度和线速度，下列说法正确的是 [ ]
A. 半径一定，角速度与线速度成反比 B. 半径一定，角速度与线速度成正比 C. 线速度一定，角速度与半径成正比 D. 角速度一定，线速度与半径成反比
2. 下列关于甲乙两个做圆周运动的物体的有关说法正确的是 [ ]
A. 它们线速度相等，角速度一定相等 B. 它们角速度相等，线速度一定也相等 C. 它们周期相等，角速度一定也相等 D. 它们周期相等，线速度一定也相等
3. 时针、分针和秒针转动时，下列正确说法是 [ ]
A. 秒针的角速度是分针的60倍 B. 分针的角速度是时针的60倍 C. 秒针的角速度是时针的360倍 D. 秒针的角速度是时针的86400倍
4. 关于物体做匀速圆周运动的正确说法是 [ ]
A. 速度大小和方向都改变 B. 速度的大小和方向都不变 C. 速度的大小改变，方向不变 D. 速度的大小不变，方向改变
5. 物体做匀速圆周运动的条件是 [ ]
A. 物体有一定的初速度，且受到一个始终和初速度垂直的恒力作用 B. 物体有一定的初速度，且受到一个大小不变，方向变化的力的作用 C. 物体有一定的初速度，且受到一个方向始终指向圆心的力的作用
D. 物体有一定的初速度，且受到一个大小不变方向始终跟速度垂直的力的作用
6. 甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1：2，转动半径之比为1：2，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们所受外力的合力之比为 [ ] A. 1：4 B.2：3 C.4：9 D.9：16
7. 如图1所示，用细线吊着一个质量为m 的小球，使小球在水平面内做圆锥摆运动，关于小球受力，正确的是 [
]
A. 受重力、拉力、向心力 B. 受重力、拉力 C. 受重力
D. 以上说法都不正确
8. 冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k 倍，在水平冰面上沿半径为R 的圆周滑行的运动员，若依靠摩擦力充当向心力，其安全速度为 [ ]
9. 火车转弯做圆周运动，如果外轨和内轨一样高，火车能匀速通过弯道做圆周运动，下列说法中正确的是 [ ]
A. 火车通过弯道向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨容易磨损 B. 火车通过弯道向心力的来源是内轨的水平弹力，所以内轨容易磨损 C. 火车通过弯道向心力的来源是火车的重力，所以内外轨道均不磨损 D. 以上三种说法都是错误的
10. 一圆筒绕其中心轴OO 1匀速转动，筒内壁上紧挨着一个物体与筒一起运动相对筒无滑动，如图2所示，物体所受向心力是 [
]
A. 物体的重力
B. 筒壁对物体的静摩擦力 C. 筒壁对物体的弹力
D. 物体所受重力与弹力的合力
11. 一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R ，甲、乙两物体的质量分别为M 与m （M ＞m ），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为l （l ＜R ）的轻绳连在一起，如图3所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间接线刚好沿半径方向拉直，要使两物体与转盘之间不发生相对滑动，则转盘旋转的角速度最大值不得超过 [
]
二、填空题
12、做匀速圆周运动的物体，当质量增大到2倍，周期减小到一半时，其向心力大小是原来的______倍，当质量不变，线速度大小不变，角速度大小增大到2倍时，其向心力大小是原来的______倍。
13、一物体在水平面内沿半径 R=20 cm的圆形轨道做匀速圆周运动，线速度V=0.2m/s，那么，它的向心加速度为______m/S2，它的角速度为_______ rad/s，它的周期为______s。 14、线段OB=AB，A 、B 两球质量相等，它们绕O 点在光滑的水平面上以相同的角速度转动时，如图4所示，两段线拉力之比T AB ：T OB ＝______。
15. 如图5所示，A 、B 两轮半径之比为1：3，两轮边缘挤压在一起，在两轮转动中，接触点不存在打滑的现象，则两轮边缘的线速度大小之比等于______。两轮的转数之比等于______，A 轮半径中点与B 轮边缘的角速度大小之比等于______。
三、计算题
16、如图6所示，一质量为0.5kg 的小球，用0.4m 长的细线拴住在竖直面内作圆周运
动，求：
（1）当小球在圆上最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多少？
（g=10m/s2）
拉力是多少？
17、如图7所示，飞机在半径为R 的竖直平面内翻斤斗，已知飞行员质量为m ，飞机飞至最高点时，对座位压力为N ，此时飞机的速度多大？
18、如图8所示，MN 为水平放置的光滑圆盘，半径为1.0m ，其中心O 处有一个小孔，穿过小孔的细绳两端各系一小球A 和B ，A 、B 两球的质量相等。圆盘上的小球A 作匀速圆周运动。
问（1）当A 球的轨道半径为0.20m 时，它的角速度是多大才能维持B 球静止？ （2）若将前一问求得的角速度减半，怎样做才能使A 作圆周运动时B 球仍能保持静止？
匀速圆周运动练习题的答案
一、选择题 1.B 2.A 3.A 4.D 5.D 6.C7.B 8.B 9.A 10.C 11.D
二、填空题 12. 8、2 13.。0.2、1、2π 14. 2∶3 15.1∶1、3∶1、3∶1
三、计算题 16.15N 、
45N 17. 增大到0.8m
18.(1)7rad/s、 (2)将A 球圆运动的轨道半径
运动学专题训练（匀变速直线运动、平抛、圆周运动）
运动的分类：
一、变速直线运动：
三个基本公式： 1、v t =v 0+at
1
s =v 0t +at 2
22、
22
v -v =2as t 03、
两个重要推论： 4、∆s =aT
22v t +v 0v +v t =v t =v s /2=0
2；2） 25、（
2
四个关于v 0=0的匀加速直线运动的推论（要求会推导）：
初速度为零的匀变速直线运动，设T 为相等的时间间隔，则有： 6、T 末、2T 末、3T 末„„的瞬时速度之比为： v 1:v2:v3:„„v n =1:2:3:„„:n
7、T 内、2T 内、3T 内„„的位移之比为： s 1:s2:s3: ……:sn =1:4:9:……：n 2
8、第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内……的位移之比为：
s Ⅰ:sⅡ:sⅢ:„„：s N =1:3:5: „„:（2N-1）
9、初速度为零的匀变速直线运动，设s 为相等的位移间隔，则有：
第一个s 、第二个s
、第三个s „„所用的时间t Ⅰ、t Ⅱ、
t Ⅲ „„t N 之比为：
t Ⅰ：t Ⅱ：t Ⅲ ：„„：t N =1：2-1:3-2:„自由落体的相关公式推导：（令v 0＝0，a=g）
()()
(n -n -1)
竖直上抛运动相关公式推导：
上升过程是匀减速直线运动，下落过程是匀加速直线运动。全过程是初速度为v 0、加速度为-g 的匀减速直线运动。
1
s =v 0t -gt 2
21、适用全过程的公式： v t =v 0-gt v t -v 0=2as （s 、v t 的正、负号的理解）
2
2
2
v
H =o
2g 2、上升最大高度：
3、上升的时间：
4、上升、下落经过同一位置时的加速度相同，而速度等值反向
2v o
5、上升、下落经过同一段位移的时间相等。 从抛出到落回原位置的时间：g
t =
v o g
例1、一个物体从H 高处自由落下，经过最后196m 所用的时间是4s ，求物体下落H 高度所用的总时间T 和高度H 是多少？取g=9.8m/s2，空气阻力不计.
分析：根据题意画出小球的运动示意图（图1）其中t=4s， h=196m. 解：方法1：根据自由落体公式
式（1）减去式（2），得
方法2：利用匀变速运动平均速度的性质由题意得最后4s 内的平均速度为
因为在匀变速运动中，某段时间中的平均速度等于中点时刻的速度，所以下落至最后2s 时的瞬时速度为
由速度公式得下落至最后2s 的时间
方法3：利用v －t 图象
画出这个物体自由下落的v —t 图，如图2所示. 开始下落后经时间（T —t ）和T 后的速度分别为g （T —t ）、gT 。图线的AB 段与t 轴间的面积表示在时间t 内下落的高度h 。由
二、平抛运动：
（1）定义：v 0水平，只受重力作用的运动 性质：加速度为g 的匀变速曲线运动
（2）特点：水平方向不受外力，做匀速直线运动；
在竖直方向上物体的初速度为0，且只受到重力作用，物体做自由落体运动。 既然平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，我们就可以分别算出平抛物体在任一时刻t 的位置坐标x 和y 以及任一时刻t 的水平分速度v x 和竖直分速度v y
（3）规律
v y
v =
v x +v y
2
2
方向 ：tan θ=v x
=
gt
v o
y g =⋅t 22
x +y 合位移大小：s= 方向：tan α=x 2v o
③由①②中的tan θ、tan α关系得tan θ＝2 tanα
2y 12gt
④时间由y=2得t=x （由下落的高度y 决定）
⑤竖直方向为v o =0的匀变速运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。
例2、如下图所示，以9.8m/s的水平初速度v 0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为θ=30°的斜面上，则物体完成这段飞行的时间为多少？
解：v x =v0① v y =gt ②
例、如图所示，从倾角为θ的斜面上的A 点，以水平速度v 0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B 点时所用的时间为（ ）
解析：设小球从抛出至落到斜面上的时间为t ，在这段时间内球的水平位移和竖直位移分别为x=v0t ，
如图所示．由几何关系知
所以小球的运动时间 答案：B 说明：上面是从常规的分运动方法去研究斜面上的平抛运动，还可以变换一个角度去研究。
如图所示，把初速度v 0、重力加速度g 都分解成沿着斜面和垂直斜面的两个分量。在垂直斜面方向上，小球做的是以v 0y 为初速、g y 为加速度的竖直上抛运动。小球“上、下”一个来回的时间等于它从抛出至落到斜面上的运动时间，于是立即可得
采用这种观点，还很容易算出小球在斜面上抛出后，运动过程中离斜面的最大距离，从抛出到离斜面最大距离的时间、斜面上的射程等问题，有兴趣的同学请自行研究。
三、匀速圆周运动
（1）描述匀速圆周运动快慢的物理量
s
①线速度：大小v=t ；单位 ： m/s
φ
②角速度：大小ω=t ； 单位：rad/s
③周期Ｔ：运动一周的时间 单位：s
1
④ 频率f=T ：每秒钟转过的圈数 单位：Hz
（2）v 、ω、T 、 f 之间的关系
:
v 22π
F =mr ω=m =mr () 2=mr (2πf ) 2
r T （3）向心力：大小
2
v 22π
a =r ω==r () 2=r (2πf ) 2
r T （4）向心加速度：大小
2
（5）匀速圆周运动的性质：v 的大小不变而方向时刻在变化；a 的大小不变而方向时刻
也在变，是变加速曲线运动。
例4、用细绳拴着质量为m 的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中，正确的是（ ）
A. 小球过最高点时，绳子中张力可以为零 B. 小球过最高点时的最小速度为零 C. 小球刚好能过最高点时的速度是gR
D. 小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反 解析：像该题中的小球、沿竖直圆环内侧做圆周运动的物体等没有支承物的物体做圆周运动，通过最高点时有下列几种情况：
(1)当mg ＝mv 2/R ，即v ＝Rg 时，物体的重力恰好提供向心力，向心加速度恰好等于重力
加速度，物体恰能过最高点继续沿圆周运动．这是能通过最高点的临界条件；
(2)当mg ＞mv 2/R ，即v ＜Rg 时，物体不能通过最高点而偏离圆周轨道，做抛体运动；
(3)当m g ＜m v 2/R ，即v ＞Rg 时，物体能通过最高点，这时有m g ＋F ＝mv 2/R，其中F 为绳子的拉力或环对物体的压力．而值得一提的是：细绳对由它拴住的、做匀速圆周运动的物体只可能产生拉力，而不可能产生支撑力，因而小球过最高点时，细绳对小球的作用力不会与重力方向相反。
所以，正确选项为A 、C 。 点拨：这是一道竖直平面内的变速率圆周运动问题。当小球经过圆周最高点或最低点时，其重力和绳子拉力的合力提供向心力；当小球经过圆周的其它位置时，其重力和绳子拉力的沿半径方向的分力（法向分力）提供向心力。
【问题讨论】：
1、该题中，把拴小球的绳子换成细杆，则问题讨论的结果就大相径庭了．有支承物的小球在竖直平面内做圆周运动，过最高点时： (1)当 v ＝ 时，支承物对小球既没有拉力，也没有支撑力 ；
(2)当 v ＞ 时，支承物对小球有指向圆心的拉力作用；
(3) 当v ＜ 时，支撑物对小球有背离圆心的支撑力作用；
（4）当v ＝0时，支承物对小球的支撑力等于小球的重力mg ，这是有支承物的物体在竖直平面内做圆周运动，能经过最高点的临界条件
2、竖直面内的圆周运动：
竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及分类：
物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。
1）绳与圆筒内部
弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有
mv 2
F +mg =≥mg R 即v ≥gR ，否则不能通过最高点。
2）杆与圆管
弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v 可以取任意值。但可以进一步讨论：①当v >gR 时物体受到的弹力必然是向下的；当v mg 时，向心力只有一解：F +mg ；当弹力F =mg 时，向心力等于零。
3）汽车过拱桥
mv 2
弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：mg -F =≤mg , ∴v ≤gR ， R
否则车将离开桥面，做平抛运动。
例5、如图所示，一飞机在竖直平面内做匀速率特技飞行。已知飞行员得质量为m ，飞机
速度v >gR ，试A 、B 、C 、D 四个位置受力情况．
分析：该题应首先从A 、B 、C 、D 四点的位置、状态及所需向心力情况入手，再根据牛顿运动定律分析各点受力情况．分析的难点在于B 点和D 点。
解：以飞行员为研究对象．在A 点受力情况如图所示，其中F N 表示座椅对飞行员的支持力。依牛顿运动定律
力不足以
提供所需向心力，飞行员有离心趋势，故由椅子提供向下的压力P ，如图（B ）所示。
在C 点（此时飞行员头向下，椅子在其上方）受力情况如图（C ）所示，其中T 表示安全带对飞行员向上的拉力．并有
在D 点，情况与B 点相近，飞行员重力不足以提供所需向心力，有离心趋势．故将由安全带提供向下的压力Q ，如图（D ）所示．
小结：（1）物体的匀速圆周运动状态不是平衡状态。它所需要的向心力应恰好由物体所受的合外力来提供，由受力分析入手，正确使用动力学求解，是分析这类问题的主要方法。
（2）“离心”与“向心”现象的出现，是由于提供的合外力与某状态下所需的向心力之间出现矛盾，当“供”大于“需”时，将出现“向心”。例：如果当水流星在竖直面最高点的速度时，水将落下。当“供”小于“需”时，物体将远离圆心被甩出，例如甩干机就是这个道理。
v
练习题
1、下列说法中正确的是（ ）
A. 物体运动的速度越大，加速度也一定越大
B. 物体的加速度越大，它的速度一定越大
C. 加速度就是“加出来的速度”
D. 加速度反映速度变化的快慢，与速度无关
2、一辆载重卡车，在丘陵地上以不变的速率行驶，地形如图所示．由于轮胎已旧，途中爆了胎，你认为在图中A 、B 、C 、D 四处中，爆胎的可能性最大的一处是（ ）
3、如图所示，在电动机距转轴O 为r 处固定一个质量为m 的铁块．启动后，铁块以角速度ω绕轴匀速转动，电动机对地面的最大压力与最小压力之差为
A. m（g ＋ωr ） B. m（g ＋2ωr ）
C. 2m（g ＋ω2r ） D. 2mrω2
4、气球上系一重物，以4m/s的速度匀速上升，当离地9m 时绳断了，求重物的落地时间t ＝？（g ＝10m/s2）
5、竖直上抛物体的初速度是42米/秒，物体上升的最大高度是多少？上升到最大高度用多长时间？由最大高度落回原地的速度是多大？用了多长时间？
6、一辆沿平直路面行驶的汽车，速度为36km/h.刹车后获得加速度的大小是4m/s2，求：
（1）刹车后3s 末的速度；
（2）从开始刹车至停止，滑行一半距离时的速度.
7、如图所示，用细绳一端系着的质量为M =0.6kg的物体A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m =0.3kg的小球B ，A 的重心到O 点的距离为0.2m 。若A 与转盘间的最大静摩擦力为f =2N，为使小球B 保持静止，求转盘绕中心O 旋转的角速度ω的取值范围．（取g =10m/s2）
22
参考答案
1、D 2、B 3、D
4、重物落地时间t ＝t 上＋t 返＋t 下＝1.8s
5、s ＝90m t 1=4.3s v=42m/s t 2=4.3s
6、v=0，v B ＝7.05m/s
7、2.9 rad/s ≤ω≤6. 5rad/s
第1 讲 曲线运动 平抛运动
1.
图4－1－15
物理实验小组利用如图4－1－15所示装置测量物体平抛运动的初速度．他们经多次实验和计算后发现：在地面上沿抛出的速度方向水平放置一把刻度尺，让悬挂在抛出点处的重锤线的投影落在刻度尺的零刻度线上，则利用小球在刻度尺上的落点位置，就可直观地得到小球做平抛运动的初速度．如图四位同学在刻度尺旁边分别制作了速度标尺(图中P 点为重锤所指位置) ，可能正确的是( )
解析：由于高度一定，平抛运动的时间t ＝
比，在刻度线上速度分布均匀，A 正确．
答案：A
2. x v ＝g t ，即v 与x 成正
图4－1－16
如图4－1－16为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B 点的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是( )
A ．D 点的速率比C 点的速率大
B ．A 点的加速度与速度的夹角小于90°
C ．A 点的加速度比D 点的加速度大
D ．从A 到D 加速度与速度的夹角先增大后减小
解析：质点做匀变速曲线运动，合力的大小方向均不变，加速度不变，故C 错误；由B 点速度与加速度相互垂直可知，合力方向与B 点切线垂直且向下，故质点由C 到D 过程，合力做正功，速率增大，A 正确．A 点的加速度方向与过A 的切线也即速度方向夹角大于90°，B 错误，从A 到D 加速度与速度的夹角一直变小，D 错误．
答案：A
3.
图4－1－17
(2010·北京西城区抽样) 随着人们生活水平的提高，高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐．如图4－1－17所示，某人从高出水平地面h 的坡上水平击出一个质量为m 的高尔夫球．由于恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直地落入距击球点水平距离为L 的A 穴．则( )
A ．球被击出后做平抛运动
2h B ．该球从被击出到落入A 穴所用的时间为 g
C ．球被击出时的初速度大小为L h
D ．球被击出后受到的水平风力的大小为mgh /L
解析：由于受到恒定的水平风力的作用，球被击出后在水平方向做匀减速运动，A 错误；
2h 1由h ＝gt 2得球从被击出到落入A 穴所用的时间为t ＝ B 正确；由题述高尔夫球g 2
竖直地落入A 穴可知球水平末速度为零，由L ＝v 0t /2得球被击出时的初速度大小为v 0
2g ＝L ，C 正确；由v 0＝at 得球水平方向加速度大小a ＝gL /h ，球被击出后受到的h
水平风力的大小为F ＝ma ＝mgL /h ，D 错误．
答案：BC
4.
图4－1－18
如图4－1－18所示，在斜面顶端a 处以速度v a 水平抛出一小球，经过时间t a 恰好落在斜面底端P 处；今在P 点正上方与a 等高的b 处以速度v b 水平抛出另一小球，经过时间t b 恰好落在斜面的中点处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )
A ．v a ＝v b B ．v a ＝2v b
C ．t a ＝t b D ．t a 2t b 2h 解析：做平抛运动的物体运动时间由竖直方向的高度决定t ＝ g a 物体下落的高
度是b 的2倍，有t a ＝2t b ，D 正确；水平方向的距离由高度和初速度决定x ＝v 0 g ，
由题意得a 的水平位移是b 的2倍，可知v a ＝2v b ，B 正确．
答案：BD
5.
图4－1－19
甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为v 0，划船速度均为v ，
2出发时两船相距为3H ，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图4－1－19所示，已3
知乙船恰好能垂直到达对岸A 点，则下列判断正确的是( )
A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同 B ．v ＝2v 0
C ．两船可能在未到达对岸前相遇 D ．甲船也在A 点靠岸
H 解析：渡河时间均为v cos 60°＝v 0，可得v v sin 60°H 2＝2v 0，甲船在该时间内沿水流方向的位移为(v cos 60°＋v 0) 3H 刚好到A
3
点．综上所述，A 、C 错误，B 、D 正确．
答案：BD
6.
图4－1－20
如图4－1－20所示，在距地面高为H ＝45 m处，有一小球A 以初速度v 0＝10 m/s水平
抛出，与此同时，在A 的正下方有一物块B 也以相同的初速度v 0同方向滑出，B 与地面间的动摩擦因数为μ＝0.5，A 、B 均可看做质点，空气阻力不计，重力加速度g 取10 m/s2，求：
(1)A 球从抛出到落地的时间和这段时间内的水平位移；
(2)A 球落地时，A 、B 之间的距离．
1解析：(1)根据H ＝2得t ＝3 s，由x ＝v 0t 得x ＝30 m. 2
(2)对于B 球，根据F 合＝ma ，F 合＝μmg，可得加速度大小a ＝5 m/s2. 判断得在A 落地之前B 已经停止运动，x A ＝x ＝30 m，由v 20＝2ax B x B ＝10 m，则Δx ＝x A －x B ＝20 m 答案：(1)3 s 30 m (2)20 m
1．一个物体在相互垂直的恒力F 1和F 2作用下，由静止开始运动，经过一段时间后，突然
撤去F 2，则物体的运动情况将是( )
A ．物体做匀变速曲线运动 B ．物体做变加速曲线运动
C ．物体做匀速直线运动 D ．物体沿F 1的方向做匀加速直线运动 解析：物体在相互垂直的恒力F 1和F 2的作用下，由静止开始做匀加速直线运动，其速度方向与F 合的方向一致，经过一段时间后，撤去F 2，F 1与v 不在同一直线上，故物体
F 必做曲线运动；由于F 1恒定，由a ＝a 也恒定，故应为匀变速曲线运动，选项A 正m
确．
答案：A
2.
图4－1－21
一小船在河中xOy 平面内运动的轨迹如图4－1－21所示，下列判断正确的是( )
A ．若小船在x 方向始终匀速，则y 方向先加速后减速
B ．若小船在x 方向始终匀速，则y 方向先减速后加速
C ．若小船在y 方向始终匀速，则x 方向先减速后加速
D ．若小船在y 方向始终匀速，则x 方向先加速后减速
解析：小船运动轨迹上各点的切线方向为小船的合速度方向，若小船在x 方向始终匀速，由合速度方向的变化可知，小船在y 方向的速度先减小再增加．故A 错误，B 正确；若小船在y 方向始终匀速，由合速度方向的变化可知，小船在x 方向的速度先增加后减小，故C 错误，D 正确．
答案：BD
3.
图4－1－22
平抛运动可以分解为水平和竖直方向的两个直线运动，在同一坐标系中作出这两个分运动的v －t 图线，如图4－1－22所示．若平抛运动的时间大于2t 1，下列说法中正确的是
( )
A ．图线2表示竖直分运动的v －t 图线
B ．t 1时刻的速度方向与初速度方向夹角为30°
C ．t 1时间内的竖直位移与水平位移之比为1∶2
D ．2t 1时刻的速度方向与初速度方向夹角为60°
解析：平抛运动在竖直方向做自由落体运动，其竖直方向速度v 2＝gt ，选项A 正确；t 1时刻水平速度与竖直速度相等，v 1＝gt 1，合速度方向与初速度方向夹角为45°，选项B
111错；t 1时间内的水平位移x ＝v 1t 1，竖直位移y
＝gt 21＝v 1t 1＝x ，选项C 正确；2t 1时刻22
2
竖直速度v 2′＝2gt 1，tan α＝v 2′/v 1＝2，合速度方向与初速度方向夹角为α＝arctan 2＞60°，选项D 错．
答案：AC
4.
图4－1－23
如图4－1－23所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O 点分别以水平初速度v 1、v 2抛出两个小球(可视为质点) ，最终它们分别落在圆弧上的A 点和B 点，已知OA 与OB 互
v 1相垂直，且OA 与竖直方向成α角，则两小球初速度之比为( ) v 2
A ．tan α B ．cos α C ．tan αtan α D ．cos αcos α
解析：两小球被抛出后都做平抛运动，设容器半径为R ，两小球运动时间分别为t A 、t B ，
121对A 球：R sin α＝v A t A ，R cos α＝at A ；对B 球：R cos α＝v B t B ，R sin α＝at 2，解四式可22B
v 1得：＝tan αtan α，C 项正确． v 2
答案：C
5．“5·12”汶川大地震，牵动了全国人民的心．一架装载救灾物资的直升飞机，以10 m/s
的速度水平飞行，在距地面180 m的高度处，欲将救灾物资准确投放至地面目标，若不计空气阻力，g 取10 m/s2，则( )
A ．物资投出后经过6 s到达地面目标
B ．物资投出后经过18 s到达地面目标
C ．应在距地面目标水平距离60 m处投出物资
D ．应在距地面目标水平距离180 m处投出物资
解析：本题考查平抛运动的规律．物资投出后做平抛运动，其落地所用时间由高度决定，
2h t ＝ g ＝6 s，A 项正确，B 项错误；抛出后至落地的水平位移为x ＝v t ＝60 m，C 项正确，D 项错误．
答案：AC
6.
图4－1－24
在一个光滑水平面内建立平面直角坐标系xOy ，质量为1 k g 的物体原来静止在坐标原点
O (0,0)，从t ＝0时刻起受到如图4－1－24所示随时间变化的外力作用，F y 表示沿y 轴方向的外力，F x 表示沿x 轴方向的外力，下列说法中正确的是( )
A ．前2 s内物体沿x 轴做匀加速直线运动
B ．后2 s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y 轴方向
C ．4 s末物体坐标为(4 m,4 m)
D ．4 s末物体坐标为(12 m,4 m)
解析：前2 s内物体只受x 轴方向的作用力，故沿x 轴做匀加速直线运动，A 正确；其
1加速度为a x ＝2 m/s2，位移为x 1＝x t 2＝4 m．后2 s内物体沿x 轴方向做匀速直线运动，2
1位移为x 1＝8 m，沿y 轴方向做匀加速直线运动，加速度为a y ＝2 m/s2，位移为y ＝a y t 22
＝4 m，故4 s末物体坐标为(12 m,4 m)，D 正确．
答案：AD
7.
图4－1－25
(2010·开封期末) 如图4－1－25所示，取稍长的细杆，其一端固定一枚铁钉，另一端用羽毛做一个尾翼，做成A 、B 两只飞镖，将一软木板挂在竖直墙壁上，作为镖靶．在离墙壁一定距离的同一处，将它们水平掷出，不计空气阻力，两只飞镖插在靶上的状态如图4－1－25所示(侧视图) ．则下列说法中正确的是( )
A ．A 镖掷出时的初速度比B 镖掷出时的初速度大
B ．B 镖插入靶时的末速度比A 镖插入靶时的末速度大
C ．B 镖的运动时间比A 镖的运动时间长
D ．A 镖的质量一定比B 镖的质量大
解析：平抛运动可以分为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．即x ＝
1v 0t ，y gt 2. 题目中两飞镖在同一处水平抛出，飞镖B 在竖直方向下落的距离大，说明2
飞镖B 在空中运动的时间长．又因为两飞镖抛出时距墙壁的水平距离相同，所以飞镖B 的水平速度小．所以选项A 、C 正确；两飞镖的质量大小不能确定，所以选项D 错误；飞镖B 的水平速度比飞镖A 小，但飞镖B 的竖直速度比飞镖A 大，而末速度指的是水平速度和竖直速度的合速度．因此不能确定两飞镖的末速度，所以选项B 错误． 答案：AC
8.
图4－1－26
如图4－1－26所示，高为h ＝1.25 m 的平台上，覆盖一层薄冰，现有一质量为60 k g 的滑雪爱好者，以一定的初速度v 向平台边缘滑去，着地时的速度方向与水平地面的夹角为45°(取重力加速度g ＝10 m/s2) ．由此可知正确的是( )
A ．滑雪者离开平台边缘时的速度大小是5.0 m/s
B ．滑雪者着地点到平台边缘的水平距离是2.5 m
C ．滑雪者在空中运动的时间为0.5 s
D ．滑雪者着地的速度大小为2 m/s
2h
g 0.5 s ，落地时的竖直速度v y ＝gt ＝5.0 m/s，
因着地速度与水平方向的夹角为45°，由v cos 45°＝v 0，v sin 45°＝v y ，可得滑雪者离开平台的水平速度v 0＝5.0 m/s，着地的速度大小为v ＝52 m/s，平抛过程的水平距离为x ＝
v 0t ＝2.5 m，故A 、B 、C 、D 均正确．
答案：ABCD 解析：滑雪者平抛运动的时间t ＝ 9.
图4－1－27
乒乓球在我国有广泛的群众基础，并有“国球”的美誉，中国乒乓球的水平也处于世界领先地位．现讨论乒乓球发球问题，已知球台长L 、网高h ，假设乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．若球在球台边缘O 点正上方某高度处以一定的速度被水平发出(如图4－1－27所示) ，球恰好在最高点时越过球网，则根据以上信息可以求出( )
A ．发球的初速度大小 B ．发球时的高度
C ．球从发出到第一次落在球台上的时间 D ．球从发出到对方运动员接住的时间
解析：由运动对称性可知，发球位臵距球台的高度等于网高h ，发球点到球第一次落在L 1台上P 1点的水平距离为L /4，根据平抛运动的规律h ＝2＝v 0t ，由此两式可求出发24
球时的速度
v 0和球从发出到第一次落在台上的时间t ，所以A 、B 、C 项均正确；但由于不知道对方运动员在何处接住球，故无法求出总时间，D 项错误．
答案：ABC
10.
图4－1－28
(2010·西安质检) 质量为0.2 k g 的物体，其速度在x 、y 方向的分量v x 、v y 与时间t 的关系如图4－1－28所示，已知x 、y 方向相互垂直，则( )
A ．0～4 s内物体做曲线运动
B ．0～6 s内物体一直做曲线运动
C ．0
～4 s内物体的位移为12 m
D ．4～6 s内物体的位移为25 m
答案：AD
11.
图4－1－29
如图4－1－29所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为α＝53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h ＝0.8 m，g ＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，则
(1)小球水平抛出的初速度v 0是多大？
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离s 是多少？
(3)若斜面顶端高H ＝20.8 m，则小球离开平台后经多长时间t 到达斜面底端？
解析：(1)由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，所以v y ＝v 0tan 53°，v 2y ＝2gh ，则v y ＝4 m/s，v 0＝3 m/s.
(2)由v y ＝gt 1得t 1＝0.4 s，x ＝v 0t 1＝3×0.4 m＝1.2 m.
(3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度a ＝g sin 53°，初速度v ＝5 m/s.则
H 113＝v t 2＋at 2，解得t ＝2 s．(或t ＝－ s 不合题意舍去) 22sin 53°224
所以t ＝t 1＋t 2＝2.4 s.
答案：(1)3 m/s (2)1.2 m (3)2.4 s
12.
图4－1－30
如图4－1－30所示，在距地面80 m 高的水平面上做匀加速直线运动的飞机上每隔1 s 依次放下a 、b 、c 三物体，抛出点a 、b 与b 、c 间距分别为45 m和55 m，分别落在水平地面上的A 、B 、C 处．求：
(1)飞机飞行的加速度；
(2)刚放下b 物体时飞机的速度大小；
(3)b 、c 两物体落地点BC 间距离．
Δx 解析：(1)飞机水平方向上，由a 经b 到c 做匀加速直线运动，由Δx ＝aT 2得，a ＝＝T bc －ab 10 m/s2. T ab ＋bc (2)因位臵b 对应a 到c 过程的中间时刻，故有v b ＝＝50 m/s. 2T
2h 1(3)设物体落地时间为t ，由h ＝gt 2得：t ＝ g 4 s，BC 间距离为：BC ＝bc ＋v c t －2
v b t ，
又v c －v b ＝aT ，得：BC ＝bc ＋aTt ＝95 m.
答案：(1)10 m/s2 (2)50 m/s (3)95 m
圆周运动
2πr ω=2π=2πf =2πn v ==2πrf =ωr T T
1、固定在同一根转轴上的转动物体，其角速度大小、周期、转速相等（共轴转动）；用皮带传动、铰链转动、齿轮咬合都满足边缘线速度大小相等；
2、匀速圆周运动实例分析：
⑴火车转弯情况：外轨略高于内轨，使得所受重力和支持力的合力提供向心力，以减少火车轮缘对外轨的压力.
①当火车行使速率v 等于v 规定时，F 合=F向心，内、外轨道对轮缘都没有侧压力. ②当火车行使速率v 大于v 规定时，F 合＜F 向心，外轨道对轮缘都有侧压力.
③当火车行使速率v 小于v 规定时，F 合＞F 向心，内轨道对轮缘都有侧压力.
⑵没有支承物的物体（如水流星）在竖直平面内做圆周运动过最高点情况：
v mg =m R ①当2，即v =Rg ，水恰能过最高点不洒出，这就是水能过最高点的临界条件；
2
②当
③当mg m mg m v R v
R ，即v 2，水不能过最高点而洒出； Rg ，水能过最高点不洒出，这时水的重力和杯对水的压力提供向心力. ，即v
⑶有支承物的物体（如汽车过拱桥）在竖直平面内做圆周运动过最高点情况：
①当v=0时，
②当v mg ） m v 2=0R ，支承物对物体的支持力等于v R 2mg ，这就是物体能过最高点的临界条件； Rg 时，mg m ，支承物对物体产生支持力，且支持力随v 的减小而增大，范围（0～
v
R
v 2③当v =Rg 时，mg =m ，支承物对物体既没有拉力，也没有支持力. 2
mg m R ，支承物对物体产生拉力，且拉力随v 的增大而增大. （如果支承④当v Rg 时，
物对物体无拉力，物体将脱离支承物）
3. 作匀速圆周运动的物体. 在合外力突然消失或者不足以匀速圆周运动所需的向心力的情况下，就做离心运动. 反之，为向心运动.
1．下列关于甲、乙两个做匀速圆周运动的物体的有关说法中正确的是（ ）．
A ．若它们的线速度相等，则角速度一定相等
B ．若它们的角速度相等，则线速度一定相等
C ．若它们的周期相等，则角速度一定相等
D ．若它们的周期相等，则线速度一定相等
2．如图所示，小物块放在水平转盘上，随盘同步做匀速圆周运
动，则下列关于物块受力情况的叙述正确的是（ ）．
A ．受重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用
B ．摩擦力的方向始终指向圆心O
C ．摩擦力的方向始终与线速度的方向相同
D ．静摩擦力提供使物块做匀速圆周运动的向心力
4．如图所示，某轻杆一端固定一质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，以下说法中正确的是（ ）．
A ．小球过最高点时，杆所受的弹力可以为零
B ．小球过最高点时，最小速度为gR
C ．小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，
此时重力一定大于或等于杆对球的作用力
D ．小球过最低点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反
5．下列哪些措施是为了防止离心现象造成的危害？（ ）
A ．高速公路上设立确定车距的标志
B ．高速公路上将要进入弯道处设有限速的警示标志
C ．工厂里磨刀用的砂轮外侧加一个防护罩
D ．汽车车轮加装一个挡泥板
6．如图所示，火车转弯处，铁轨的外轨高于内轨，则火车转
弯时（ ）. A．可能对外轨产生向外的挤压作用
B ．可能对内轨产生向内的挤压作用
C ．可能对内轨和外轨均无挤压作用
D ．可能对内轨和外轨均有挤压作用
7．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1：2，转
动半径之比为1：2，在相等的时间内甲转过60°角，乙转过45°角，则甲、乙两物体所受合外力之比为（ ）．
A ． 1：4 B ．4：3 C ．4：9 D ．9：16
8. 如图所示，一小球质量为m ，用长为L 的细线悬于O 点，在O 点正下方1L 处钉有2
一根长钉．把悬线沿水平方向拉直后无初速度释放，当悬线碰到钉子的瞬时（ ）．
A ．小球的线速度突然增大
B ．悬线的拉力突然增大
C ．小球的向心加速度突然增大
D ．小球的角速度突然增大
9．如图所示，一圆盘可以绕其坚直轴在水平面内转动，
圆盘半径为R ，甲、乙两物体的质量分别为M 和m （M>m），
它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物
体用一根长为l （l ＜R ）的轻绳连在一起，若将甲物体放在
转轴的正上方，甲、乙之间连线刚好沿半径方向拉直，要使
两物体与转盘之间不发生相对滑动，则转盘旋转的角速度最大值不得超 ω
过．
10．如图所示，A 、B 两球质量相等，且由轻质细杆连着，绕O 点在光滑的水平面上以相同的角速度做匀速圆周运动，OB ＝BA ，则（ ）．
A. 两段杆的拉力之比：T AB ：T OB =2：1
B ．两段杆的拉力之比：T AB ：T OB ＝3：2
C ．两段杆的拉力之比：T AB ：T OB =1：2
D ．两段杆的拉力之比：T AB ：T OB =2：3
11．如图所示，压路机后轮半径是前轮半径的3倍，A 、B
分别为前轮和后轮边缘上的一点，C 为后轮上的一点，它离后
轮轴心的距离是后轮半径的一半，则A 、B 、C 三点的角速度
之比 m/s，线速度之比 m 。
12．如图所示，半径为R 的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，
其正上方h 处沿OB 方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且
落点为B ，则小球的初速度v= 圆盘转动的角速度
ω 13．地球半径为r ＝6.4×108km 位于地球赤道上的物体，随着地
球自转，做匀速圆周运动，它运动的角速度约是 ，线速度约是 ；北纬30°处的物体的角速度约是 ，线速度约是 。
14、物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角α，则正切tan α随时间t 的变化图象是？
15、长为L 的细绳一端固定于O 点，如图所示，另一端拴一质量为m 的小球，把线拉至最高点A 以水平抛出，求当v 0为下列值时，小球运动到最低点C 时线中的张力大小。（1）v 0=2gL （2）v 0=gL
2
15、在高速公路的拐弯处，路面往往设计外高内低。设拐弯路段是半径为R 的圆弧，要使车速为v 时，车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，路面与水平面内的夹角应θ应等于多少？当车速变为1.2v 时，车轮与路面间的横向摩擦力为多少？
16、一个光滑的圆锥体固定在水平面上，其轴线沿坚直方向，母线与轴线之间的夹角为θ=300，如图所示，一条长度为L 的绳（质量为计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O 处，另一端拴着一个质量为m 的小球（可视为质点）。物体以速度v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动（物体和绳在图中没画出）求：
1gL 6（1）当v=时，绳对物体的拉力
3gL
（2）当v=2时，绳对物体的拉力
θ
15．（8分）如图所示，在电风扇的叶片上距转轴为r 处固定了一个质量为m 的铁块，电扇启动后，铁块以角速度ω绕轴O 匀速转动，则电风扇对地面的最大压力和最小压力的差为多大？
16．（10分）如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物体，当物
块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）. 物体和转盘间的最大静磨擦力是其正压力的μ倍．求：
（１）当转盘的角速度ω1=μg 时，细绳的拉力F T 1． 2r
3μg 时，细绳的拉力F T 2． 2r （２）当转盘的角速度ω2=
17．（10分）如图所示，一质量为m 的小球P 与穿过光滑水平板中央小孔O 的轻绳相连，用手拉着绳子的另一端使小球在水平板上绕0做半径为a 、角速度为ω1的匀速圆周运动，若将绳子从这个状态迅速放松，后又拉紧，使小球绕O 改做半径为b 的匀速圆周运动，则 ：（1）从绳子放松到拉紧经过多少时间？（6分）
（2）小球改做半径为b 的匀速圆周运动时的角速度ω2多大？（6分）
三、匀速圆周运动的练习题
一、选择题
1. 关于角速度和线速度，下列说法正确的是 [ ]
A. 半径一定，角速度与线速度成反比 B. 半径一定，角速度与线速度成正比 C. 线速度一定，角速度与半径成正比 D. 角速度一定，线速度与半径成反比
2. 下列关于甲乙两个做圆周运动的物体的有关说法正确的是 [ ]
A. 它们线速度相等，角速度一定相等 B. 它们角速度相等，线速度一定也相等 C. 它们周期相等，角速度一定也相等 D. 它们周期相等，线速度一定也相等
3. 时针、分针和秒针转动时，下列正确说法是 [ ]
A. 秒针的角速度是分针的60倍 B. 分针的角速度是时针的60倍 C. 秒针的角速度是时针的360倍 D. 秒针的角速度是时针的86400倍
4. 关于物体做匀速圆周运动的正确说法是 [ ]
A. 速度大小和方向都改变 B. 速度的大小和方向都不变 C. 速度的大小改变，方向不变 D. 速度的大小不变，方向改变
5. 物体做匀速圆周运动的条件是 [ ]
A. 物体有一定的初速度，且受到一个始终和初速度垂直的恒力作用 B. 物体有一定的初速度，且受到一个大小不变，方向变化的力的作用 C. 物体有一定的初速度，且受到一个方向始终指向圆心的力的作用
D. 物体有一定的初速度，且受到一个大小不变方向始终跟速度垂直的力的作用
6. 甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1：2，转动半径之比为1：2，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们所受外力的合力之比为 [ ] A. 1：4 B.2：3 C.4：9 D.9：16
7. 如图1所示，用细线吊着一个质量为m 的小球，使小球在水平面内做圆锥摆运动，关于小球受力，正确的是 [
]
A. 受重力、拉力、向心力 B. 受重力、拉力 C. 受重力
D. 以上说法都不正确
8. 冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k 倍，在水平冰面上沿半径为R 的圆周滑行的运动员，若依靠摩擦力充当向心力，其安全速度为 [ ]
9. 火车转弯做圆周运动，如果外轨和内轨一样高，火车能匀速通过弯道做圆周运动，下列说法中正确的是 [ ]
A. 火车通过弯道向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨容易磨损 B. 火车通过弯道向心力的来源是内轨的水平弹力，所以内轨容易磨损 C. 火车通过弯道向心力的来源是火车的重力，所以内外轨道均不磨损 D. 以上三种说法都是错误的
10. 一圆筒绕其中心轴OO 1匀速转动，筒内壁上紧挨着一个物体与筒一起运动相对筒无滑动，如图2所示，物体所受向心力是 [
]
A. 物体的重力
B. 筒壁对物体的静摩擦力 C. 筒壁对物体的弹力
D. 物体所受重力与弹力的合力
11. 一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R ，甲、乙两物体的质量分别为M 与m （M ＞m ），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为l （l ＜R ）的轻绳连在一起，如图3所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间接线刚好沿半径方向拉直，要使两物体与转盘之间不发生相对滑动，则转盘旋转的角速度最大值不得超过 [
]
二、填空题
12、做匀速圆周运动的物体，当质量增大到2倍，周期减小到一半时，其向心力大小是原来的______倍，当质量不变，线速度大小不变，角速度大小增大到2倍时，其向心力大小是原来的______倍。
13、一物体在水平面内沿半径 R=20 cm的圆形轨道做匀速圆周运动，线速度V=0.2m/s，那么，它的向心加速度为______m/S2，它的角速度为_______ rad/s，它的周期为______s。 14、线段OB=AB，A 、B 两球质量相等，它们绕O 点在光滑的水平面上以相同的角速度转动时，如图4所示，两段线拉力之比T AB ：T OB ＝______。
15. 如图5所示，A 、B 两轮半径之比为1：3，两轮边缘挤压在一起，在两轮转动中，接触点不存在打滑的现象，则两轮边缘的线速度大小之比等于______。两轮的转数之比等于______，A 轮半径中点与B 轮边缘的角速度大小之比等于______。
三、计算题
16、如图6所示，一质量为0.5kg 的小球，用0.4m 长的细线拴住在竖直面内作圆周运
动，求：
（1）当小球在圆上最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多少？
（g=10m/s2）
拉力是多少？
17、如图7所示，飞机在半径为R 的竖直平面内翻斤斗，已知飞行员质量为m ，飞机飞至最高点时，对座位压力为N ，此时飞机的速度多大？
18、如图8所示，MN 为水平放置的光滑圆盘，半径为1.0m ，其中心O 处有一个小孔，穿过小孔的细绳两端各系一小球A 和B ，A 、B 两球的质量相等。圆盘上的小球A 作匀速圆周运动。
问（1）当A 球的轨道半径为0.20m 时，它的角速度是多大才能维持B 球静止？ （2）若将前一问求得的角速度减半，怎样做才能使A 作圆周运动时B 球仍能保持静止？
匀速圆周运动练习题的答案
一、选择题 1.B 2.A 3.A 4.D 5.D 6.C7.B 8.B 9.A 10.C 11.D
二、填空题 12. 8、2 13.。0.2、1、2π 14. 2∶3 15.1∶1、3∶1、3∶1
三、计算题 16.15N 、
45N 17. 增大到0.8m
18.(1)7rad/s、 (2)将A 球圆运动的轨道半径
运动学专题训练（匀变速直线运动、平抛、圆周运动）
运动的分类：
一、变速直线运动：
三个基本公式： 1、v t =v 0+at
1
s =v 0t +at 2
22、
22
v -v =2as t 03、
两个重要推论： 4、∆s =aT
22v t +v 0v +v t =v t =v s /2=0
2；2） 25、（
2
四个关于v 0=0的匀加速直线运动的推论（要求会推导）：
初速度为零的匀变速直线运动，设T 为相等的时间间隔，则有： 6、T 末、2T 末、3T 末„„的瞬时速度之比为： v 1:v2:v3:„„v n =1:2:3:„„:n
7、T 内、2T 内、3T 内„„的位移之比为： s 1:s2:s3: ……:sn =1:4:9:……：n 2
8、第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内……的位移之比为：
s Ⅰ:sⅡ:sⅢ:„„：s N =1:3:5: „„:（2N-1）
9、初速度为零的匀变速直线运动，设s 为相等的位移间隔，则有：
第一个s 、第二个s
、第三个s „„所用的时间t Ⅰ、t Ⅱ、
t Ⅲ „„t N 之比为：
t Ⅰ：t Ⅱ：t Ⅲ ：„„：t N =1：2-1:3-2:„自由落体的相关公式推导：（令v 0＝0，a=g）
()()
(n -n -1)
竖直上抛运动相关公式推导：
上升过程是匀减速直线运动，下落过程是匀加速直线运动。全过程是初速度为v 0、加速度为-g 的匀减速直线运动。
1
s =v 0t -gt 2
21、适用全过程的公式： v t =v 0-gt v t -v 0=2as （s 、v t 的正、负号的理解）
2
2
2
v
H =o
2g 2、上升最大高度：
3、上升的时间：
4、上升、下落经过同一位置时的加速度相同，而速度等值反向
2v o
5、上升、下落经过同一段位移的时间相等。 从抛出到落回原位置的时间：g
t =
v o g
例1、一个物体从H 高处自由落下，经过最后196m 所用的时间是4s ，求物体下落H 高度所用的总时间T 和高度H 是多少？取g=9.8m/s2，空气阻力不计.
分析：根据题意画出小球的运动示意图（图1）其中t=4s， h=196m. 解：方法1：根据自由落体公式
式（1）减去式（2），得
方法2：利用匀变速运动平均速度的性质由题意得最后4s 内的平均速度为
因为在匀变速运动中，某段时间中的平均速度等于中点时刻的速度，所以下落至最后2s 时的瞬时速度为
由速度公式得下落至最后2s 的时间
方法3：利用v －t 图象
画出这个物体自由下落的v —t 图，如图2所示. 开始下落后经时间（T —t ）和T 后的速度分别为g （T —t ）、gT 。图线的AB 段与t 轴间的面积表示在时间t 内下落的高度h 。由
二、平抛运动：
（1）定义：v 0水平，只受重力作用的运动 性质：加速度为g 的匀变速曲线运动
（2）特点：水平方向不受外力，做匀速直线运动；
在竖直方向上物体的初速度为0，且只受到重力作用，物体做自由落体运动。 既然平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，我们就可以分别算出平抛物体在任一时刻t 的位置坐标x 和y 以及任一时刻t 的水平分速度v x 和竖直分速度v y
（3）规律
v y
v =
v x +v y
2
2
方向 ：tan θ=v x
=
gt
v o
y g =⋅t 22
x +y 合位移大小：s= 方向：tan α=x 2v o
③由①②中的tan θ、tan α关系得tan θ＝2 tanα
2y 12gt
④时间由y=2得t=x （由下落的高度y 决定）
⑤竖直方向为v o =0的匀变速运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。
例2、如下图所示，以9.8m/s的水平初速度v 0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为θ=30°的斜面上，则物体完成这段飞行的时间为多少？
解：v x =v0① v y =gt ②
例、如图所示，从倾角为θ的斜面上的A 点，以水平速度v 0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B 点时所用的时间为（ ）
解析：设小球从抛出至落到斜面上的时间为t ，在这段时间内球的水平位移和竖直位移分别为x=v0t ，
如图所示．由几何关系知
所以小球的运动时间 答案：B 说明：上面是从常规的分运动方法去研究斜面上的平抛运动，还可以变换一个角度去研究。
如图所示，把初速度v 0、重力加速度g 都分解成沿着斜面和垂直斜面的两个分量。在垂直斜面方向上，小球做的是以v 0y 为初速、g y 为加速度的竖直上抛运动。小球“上、下”一个来回的时间等于它从抛出至落到斜面上的运动时间，于是立即可得
采用这种观点，还很容易算出小球在斜面上抛出后，运动过程中离斜面的最大距离，从抛出到离斜面最大距离的时间、斜面上的射程等问题，有兴趣的同学请自行研究。
三、匀速圆周运动
（1）描述匀速圆周运动快慢的物理量
s
①线速度：大小v=t ；单位 ： m/s
φ
②角速度：大小ω=t ； 单位：rad/s
③周期Ｔ：运动一周的时间 单位：s
1
④ 频率f=T ：每秒钟转过的圈数 单位：Hz
（2）v 、ω、T 、 f 之间的关系
:
v 22π
F =mr ω=m =mr () 2=mr (2πf ) 2
r T （3）向心力：大小
2
v 22π
a =r ω==r () 2=r (2πf ) 2
r T （4）向心加速度：大小
2
（5）匀速圆周运动的性质：v 的大小不变而方向时刻在变化；a 的大小不变而方向时刻
也在变，是变加速曲线运动。
例4、用细绳拴着质量为m 的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中，正确的是（ ）
A. 小球过最高点时，绳子中张力可以为零 B. 小球过最高点时的最小速度为零 C. 小球刚好能过最高点时的速度是gR
D. 小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反 解析：像该题中的小球、沿竖直圆环内侧做圆周运动的物体等没有支承物的物体做圆周运动，通过最高点时有下列几种情况：
(1)当mg ＝mv 2/R ，即v ＝Rg 时，物体的重力恰好提供向心力，向心加速度恰好等于重力
加速度，物体恰能过最高点继续沿圆周运动．这是能通过最高点的临界条件；
(2)当mg ＞mv 2/R ，即v ＜Rg 时，物体不能通过最高点而偏离圆周轨道，做抛体运动；
(3)当m g ＜m v 2/R ，即v ＞Rg 时，物体能通过最高点，这时有m g ＋F ＝mv 2/R，其中F 为绳子的拉力或环对物体的压力．而值得一提的是：细绳对由它拴住的、做匀速圆周运动的物体只可能产生拉力，而不可能产生支撑力，因而小球过最高点时，细绳对小球的作用力不会与重力方向相反。
所以，正确选项为A 、C 。 点拨：这是一道竖直平面内的变速率圆周运动问题。当小球经过圆周最高点或最低点时，其重力和绳子拉力的合力提供向心力；当小球经过圆周的其它位置时，其重力和绳子拉力的沿半径方向的分力（法向分力）提供向心力。
【问题讨论】：
1、该题中，把拴小球的绳子换成细杆，则问题讨论的结果就大相径庭了．有支承物的小球在竖直平面内做圆周运动，过最高点时： (1)当 v ＝ 时，支承物对小球既没有拉力，也没有支撑力 ；
(2)当 v ＞ 时，支承物对小球有指向圆心的拉力作用；
(3) 当v ＜ 时，支撑物对小球有背离圆心的支撑力作用；
（4）当v ＝0时，支承物对小球的支撑力等于小球的重力mg ，这是有支承物的物体在竖直平面内做圆周运动，能经过最高点的临界条件
2、竖直面内的圆周运动：
竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及分类：
物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。
1）绳与圆筒内部
弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有
mv 2
F +mg =≥mg R 即v ≥gR ，否则不能通过最高点。
2）杆与圆管
弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v 可以取任意值。但可以进一步讨论：①当v >gR 时物体受到的弹力必然是向下的；当v mg 时，向心力只有一解：F +mg ；当弹力F =mg 时，向心力等于零。
3）汽车过拱桥
mv 2
弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：mg -F =≤mg , ∴v ≤gR ， R
否则车将离开桥面，做平抛运动。
例5、如图所示，一飞机在竖直平面内做匀速率特技飞行。已知飞行员得质量为m ，飞机
速度v >gR ，试A 、B 、C 、D 四个位置受力情况．
分析：该题应首先从A 、B 、C 、D 四点的位置、状态及所需向心力情况入手，再根据牛顿运动定律分析各点受力情况．分析的难点在于B 点和D 点。
解：以飞行员为研究对象．在A 点受力情况如图所示，其中F N 表示座椅对飞行员的支持力。依牛顿运动定律
力不足以
提供所需向心力，飞行员有离心趋势，故由椅子提供向下的压力P ，如图（B ）所示。
在C 点（此时飞行员头向下，椅子在其上方）受力情况如图（C ）所示，其中T 表示安全带对飞行员向上的拉力．并有
在D 点，情况与B 点相近，飞行员重力不足以提供所需向心力，有离心趋势．故将由安全带提供向下的压力Q ，如图（D ）所示．
小结：（1）物体的匀速圆周运动状态不是平衡状态。它所需要的向心力应恰好由物体所受的合外力来提供，由受力分析入手，正确使用动力学求解，是分析这类问题的主要方法。
（2）“离心”与“向心”现象的出现，是由于提供的合外力与某状态下所需的向心力之间出现矛盾，当“供”大于“需”时，将出现“向心”。例：如果当水流星在竖直面最高点的速度时，水将落下。当“供”小于“需”时，物体将远离圆心被甩出，例如甩干机就是这个道理。
v
练习题
1、下列说法中正确的是（ ）
A. 物体运动的速度越大，加速度也一定越大
B. 物体的加速度越大，它的速度一定越大
C. 加速度就是“加出来的速度”
D. 加速度反映速度变化的快慢，与速度无关
2、一辆载重卡车，在丘陵地上以不变的速率行驶，地形如图所示．由于轮胎已旧，途中爆了胎，你认为在图中A 、B 、C 、D 四处中，爆胎的可能性最大的一处是（ ）
3、如图所示，在电动机距转轴O 为r 处固定一个质量为m 的铁块．启动后，铁块以角速度ω绕轴匀速转动，电动机对地面的最大压力与最小压力之差为
A. m（g ＋ωr ） B. m（g ＋2ωr ）
C. 2m（g ＋ω2r ） D. 2mrω2
4、气球上系一重物，以4m/s的速度匀速上升，当离地9m 时绳断了，求重物的落地时间t ＝？（g ＝10m/s2）
5、竖直上抛物体的初速度是42米/秒，物体上升的最大高度是多少？上升到最大高度用多长时间？由最大高度落回原地的速度是多大？用了多长时间？
6、一辆沿平直路面行驶的汽车，速度为36km/h.刹车后获得加速度的大小是4m/s2，求：
（1）刹车后3s 末的速度；
（2）从开始刹车至停止，滑行一半距离时的速度.
7、如图所示，用细绳一端系着的质量为M =0.6kg的物体A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m =0.3kg的小球B ，A 的重心到O 点的距离为0.2m 。若A 与转盘间的最大静摩擦力为f =2N，为使小球B 保持静止，求转盘绕中心O 旋转的角速度ω的取值范围．（取g =10m/s2）
22
参考答案
1、D 2、B 3、D
4、重物落地时间t ＝t 上＋t 返＋t 下＝1.8s
5、s ＝90m t 1=4.3s v=42m/s t 2=4.3s
6、v=0，v B ＝7.05m/s
7、2.9 rad/s ≤ω≤6. 5rad/s
第1 讲 曲线运动 平抛运动
1.
图4－1－15
物理实验小组利用如图4－1－15所示装置测量物体平抛运动的初速度．他们经多次实验和计算后发现：在地面上沿抛出的速度方向水平放置一把刻度尺，让悬挂在抛出点处的重锤线的投影落在刻度尺的零刻度线上，则利用小球在刻度尺上的落点位置，就可直观地得到小球做平抛运动的初速度．如图四位同学在刻度尺旁边分别制作了速度标尺(图中P 点为重锤所指位置) ，可能正确的是( )
解析：由于高度一定，平抛运动的时间t ＝
比，在刻度线上速度分布均匀，A 正确．
答案：A
2. x v ＝g t ，即v 与x 成正
图4－1－16
如图4－1－16为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B 点的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是( )
A ．D 点的速率比C 点的速率大
B ．A 点的加速度与速度的夹角小于90°
C ．A 点的加速度比D 点的加速度大
D ．从A 到D 加速度与速度的夹角先增大后减小
解析：质点做匀变速曲线运动，合力的大小方向均不变，加速度不变，故C 错误；由B 点速度与加速度相互垂直可知，合力方向与B 点切线垂直且向下，故质点由C 到D 过程，合力做正功，速率增大，A 正确．A 点的加速度方向与过A 的切线也即速度方向夹角大于90°，B 错误，从A 到D 加速度与速度的夹角一直变小，D 错误．
答案：A
3.
图4－1－17
(2010·北京西城区抽样) 随着人们生活水平的提高，高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐．如图4－1－17所示，某人从高出水平地面h 的坡上水平击出一个质量为m 的高尔夫球．由于恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直地落入距击球点水平距离为L 的A 穴．则( )
A ．球被击出后做平抛运动
2h B ．该球从被击出到落入A 穴所用的时间为 g
C ．球被击出时的初速度大小为L h
D ．球被击出后受到的水平风力的大小为mgh /L
解析：由于受到恒定的水平风力的作用，球被击出后在水平方向做匀减速运动，A 错误；
2h 1由h ＝gt 2得球从被击出到落入A 穴所用的时间为t ＝ B 正确；由题述高尔夫球g 2
竖直地落入A 穴可知球水平末速度为零，由L ＝v 0t /2得球被击出时的初速度大小为v 0
2g ＝L ，C 正确；由v 0＝at 得球水平方向加速度大小a ＝gL /h ，球被击出后受到的h
水平风力的大小为F ＝ma ＝mgL /h ，D 错误．
答案：BC
4.
图4－1－18
如图4－1－18所示，在斜面顶端a 处以速度v a 水平抛出一小球，经过时间t a 恰好落在斜面底端P 处；今在P 点正上方与a 等高的b 处以速度v b 水平抛出另一小球，经过时间t b 恰好落在斜面的中点处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )
A ．v a ＝v b B ．v a ＝2v b
C ．t a ＝t b D ．t a 2t b 2h 解析：做平抛运动的物体运动时间由竖直方向的高度决定t ＝ g a 物体下落的高
度是b 的2倍，有t a ＝2t b ，D 正确；水平方向的距离由高度和初速度决定x ＝v 0 g ，
由题意得a 的水平位移是b 的2倍，可知v a ＝2v b ，B 正确．
答案：BD
5.
图4－1－19
甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为v 0，划船速度均为v ，
2出发时两船相距为3H ，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图4－1－19所示，已3
知乙船恰好能垂直到达对岸A 点，则下列判断正确的是( )
A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同 B ．v ＝2v 0
C ．两船可能在未到达对岸前相遇 D ．甲船也在A 点靠岸
H 解析：渡河时间均为v cos 60°＝v 0，可得v v sin 60°H 2＝2v 0，甲船在该时间内沿水流方向的位移为(v cos 60°＋v 0) 3H 刚好到A
3
点．综上所述，A 、C 错误，B 、D 正确．
答案：BD
6.
图4－1－20
如图4－1－20所示，在距地面高为H ＝45 m处，有一小球A 以初速度v 0＝10 m/s水平
抛出，与此同时，在A 的正下方有一物块B 也以相同的初速度v 0同方向滑出，B 与地面间的动摩擦因数为μ＝0.5，A 、B 均可看做质点，空气阻力不计，重力加速度g 取10 m/s2，求：
(1)A 球从抛出到落地的时间和这段时间内的水平位移；
(2)A 球落地时，A 、B 之间的距离．
1解析：(1)根据H ＝2得t ＝3 s，由x ＝v 0t 得x ＝30 m. 2
(2)对于B 球，根据F 合＝ma ，F 合＝μmg，可得加速度大小a ＝5 m/s2. 判断得在A 落地之前B 已经停止运动，x A ＝x ＝30 m，由v 20＝2ax B x B ＝10 m，则Δx ＝x A －x B ＝20 m 答案：(1)3 s 30 m (2)20 m
1．一个物体在相互垂直的恒力F 1和F 2作用下，由静止开始运动，经过一段时间后，突然
撤去F 2，则物体的运动情况将是( )
A ．物体做匀变速曲线运动 B ．物体做变加速曲线运动
C ．物体做匀速直线运动 D ．物体沿F 1的方向做匀加速直线运动 解析：物体在相互垂直的恒力F 1和F 2的作用下，由静止开始做匀加速直线运动，其速度方向与F 合的方向一致，经过一段时间后，撤去F 2，F 1与v 不在同一直线上，故物体
F 必做曲线运动；由于F 1恒定，由a ＝a 也恒定，故应为匀变速曲线运动，选项A 正m
确．
答案：A
2.
图4－1－21
一小船在河中xOy 平面内运动的轨迹如图4－1－21所示，下列判断正确的是( )
A ．若小船在x 方向始终匀速，则y 方向先加速后减速
B ．若小船在x 方向始终匀速，则y 方向先减速后加速
C ．若小船在y 方向始终匀速，则x 方向先减速后加速
D ．若小船在y 方向始终匀速，则x 方向先加速后减速
解析：小船运动轨迹上各点的切线方向为小船的合速度方向，若小船在x 方向始终匀速，由合速度方向的变化可知，小船在y 方向的速度先减小再增加．故A 错误，B 正确；若小船在y 方向始终匀速，由合速度方向的变化可知，小船在x 方向的速度先增加后减小，故C 错误，D 正确．
答案：BD
3.
图4－1－22
平抛运动可以分解为水平和竖直方向的两个直线运动，在同一坐标系中作出这两个分运动的v －t 图线，如图4－1－22所示．若平抛运动的时间大于2t 1，下列说法中正确的是
( )
A ．图线2表示竖直分运动的v －t 图线
B ．t 1时刻的速度方向与初速度方向夹角为30°
C ．t 1时间内的竖直位移与水平位移之比为1∶2
D ．2t 1时刻的速度方向与初速度方向夹角为60°
解析：平抛运动在竖直方向做自由落体运动，其竖直方向速度v 2＝gt ，选项A 正确；t 1时刻水平速度与竖直速度相等，v 1＝gt 1，合速度方向与初速度方向夹角为45°，选项B
111错；t 1时间内的水平位移x ＝v 1t 1，竖直位移y
＝gt 21＝v 1t 1＝x ，选项C 正确；2t 1时刻22
2
竖直速度v 2′＝2gt 1，tan α＝v 2′/v 1＝2，合速度方向与初速度方向夹角为α＝arctan 2＞60°，选项D 错．
答案：AC
4.
图4－1－23
如图4－1－23所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O 点分别以水平初速度v 1、v 2抛出两个小球(可视为质点) ，最终它们分别落在圆弧上的A 点和B 点，已知OA 与OB 互
v 1相垂直，且OA 与竖直方向成α角，则两小球初速度之比为( ) v 2
A ．tan α B ．cos α C ．tan αtan α D ．cos αcos α
解析：两小球被抛出后都做平抛运动，设容器半径为R ，两小球运动时间分别为t A 、t B ，
121对A 球：R sin α＝v A t A ，R cos α＝at A ；对B 球：R cos α＝v B t B ，R sin α＝at 2，解四式可22B
v 1得：＝tan αtan α，C 项正确． v 2
答案：C
5．“5·12”汶川大地震，牵动了全国人民的心．一架装载救灾物资的直升飞机，以10 m/s
的速度水平飞行，在距地面180 m的高度处，欲将救灾物资准确投放至地面目标，若不计空气阻力，g 取10 m/s2，则( )
A ．物资投出后经过6 s到达地面目标
B ．物资投出后经过18 s到达地面目标
C ．应在距地面目标水平距离60 m处投出物资
D ．应在距地面目标水平距离180 m处投出物资
解析：本题考查平抛运动的规律．物资投出后做平抛运动，其落地所用时间由高度决定，
2h t ＝ g ＝6 s，A 项正确，B 项错误；抛出后至落地的水平位移为x ＝v t ＝60 m，C 项正确，D 项错误．
答案：AC
6.
图4－1－24
在一个光滑水平面内建立平面直角坐标系xOy ，质量为1 k g 的物体原来静止在坐标原点
O (0,0)，从t ＝0时刻起受到如图4－1－24所示随时间变化的外力作用，F y 表示沿y 轴方向的外力，F x 表示沿x 轴方向的外力，下列说法中正确的是( )
A ．前2 s内物体沿x 轴做匀加速直线运动
B ．后2 s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y 轴方向
C ．4 s末物体坐标为(4 m,4 m)
D ．4 s末物体坐标为(12 m,4 m)
解析：前2 s内物体只受x 轴方向的作用力，故沿x 轴做匀加速直线运动，A 正确；其
1加速度为a x ＝2 m/s2，位移为x 1＝x t 2＝4 m．后2 s内物体沿x 轴方向做匀速直线运动，2
1位移为x 1＝8 m，沿y 轴方向做匀加速直线运动，加速度为a y ＝2 m/s2，位移为y ＝a y t 22
＝4 m，故4 s末物体坐标为(12 m,4 m)，D 正确．
答案：AD
7.
图4－1－25
(2010·开封期末) 如图4－1－25所示，取稍长的细杆，其一端固定一枚铁钉，另一端用羽毛做一个尾翼，做成A 、B 两只飞镖，将一软木板挂在竖直墙壁上，作为镖靶．在离墙壁一定距离的同一处，将它们水平掷出，不计空气阻力，两只飞镖插在靶上的状态如图4－1－25所示(侧视图) ．则下列说法中正确的是( )
A ．A 镖掷出时的初速度比B 镖掷出时的初速度大
B ．B 镖插入靶时的末速度比A 镖插入靶时的末速度大
C ．B 镖的运动时间比A 镖的运动时间长
D ．A 镖的质量一定比B 镖的质量大
解析：平抛运动可以分为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．即x ＝
1v 0t ，y gt 2. 题目中两飞镖在同一处水平抛出，飞镖B 在竖直方向下落的距离大，说明2
飞镖B 在空中运动的时间长．又因为两飞镖抛出时距墙壁的水平距离相同，所以飞镖B 的水平速度小．所以选项A 、C 正确；两飞镖的质量大小不能确定，所以选项D 错误；飞镖B 的水平速度比飞镖A 小，但飞镖B 的竖直速度比飞镖A 大，而末速度指的是水平速度和竖直速度的合速度．因此不能确定两飞镖的末速度，所以选项B 错误． 答案：AC
8.
图4－1－26
如图4－1－26所示，高为h ＝1.25 m 的平台上，覆盖一层薄冰，现有一质量为60 k g 的滑雪爱好者，以一定的初速度v 向平台边缘滑去，着地时的速度方向与水平地面的夹角为45°(取重力加速度g ＝10 m/s2) ．由此可知正确的是( )
A ．滑雪者离开平台边缘时的速度大小是5.0 m/s
B ．滑雪者着地点到平台边缘的水平距离是2.5 m
C ．滑雪者在空中运动的时间为0.5 s
D ．滑雪者着地的速度大小为2 m/s
2h
g 0.5 s ，落地时的竖直速度v y ＝gt ＝5.0 m/s，
因着地速度与水平方向的夹角为45°，由v cos 45°＝v 0，v sin 45°＝v y ，可得滑雪者离开平台的水平速度v 0＝5.0 m/s，着地的速度大小为v ＝52 m/s，平抛过程的水平距离为x ＝
v 0t ＝2.5 m，故A 、B 、C 、D 均正确．
答案：ABCD 解析：滑雪者平抛运动的时间t ＝ 9.
图4－1－27
乒乓球在我国有广泛的群众基础，并有“国球”的美誉，中国乒乓球的水平也处于世界领先地位．现讨论乒乓球发球问题，已知球台长L 、网高h ，假设乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．若球在球台边缘O 点正上方某高度处以一定的速度被水平发出(如图4－1－27所示) ，球恰好在最高点时越过球网，则根据以上信息可以求出( )
A ．发球的初速度大小 B ．发球时的高度
C ．球从发出到第一次落在球台上的时间 D ．球从发出到对方运动员接住的时间
解析：由运动对称性可知，发球位臵距球台的高度等于网高h ，发球点到球第一次落在L 1台上P 1点的水平距离为L /4，根据平抛运动的规律h ＝2＝v 0t ，由此两式可求出发24
球时的速度
v 0和球从发出到第一次落在台上的时间t ，所以A 、B 、C 项均正确；但由于不知道对方运动员在何处接住球，故无法求出总时间，D 项错误．
答案：ABC
10.
图4－1－28
(2010·西安质检) 质量为0.2 k g 的物体，其速度在x 、y 方向的分量v x 、v y 与时间t 的关系如图4－1－28所示，已知x 、y 方向相互垂直，则( )
A ．0～4 s内物体做曲线运动
B ．0～6 s内物体一直做曲线运动
C ．0
～4 s内物体的位移为12 m
D ．4～6 s内物体的位移为25 m
答案：AD
11.
图4－1－29
如图4－1－29所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为α＝53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h ＝0.8 m，g ＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，则
(1)小球水平抛出的初速度v 0是多大？
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离s 是多少？
(3)若斜面顶端高H ＝20.8 m，则小球离开平台后经多长时间t 到达斜面底端？
解析：(1)由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，所以v y ＝v 0tan 53°，v 2y ＝2gh ，则v y ＝4 m/s，v 0＝3 m/s.
(2)由v y ＝gt 1得t 1＝0.4 s，x ＝v 0t 1＝3×0.4 m＝1.2 m.
(3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度a ＝g sin 53°，初速度v ＝5 m/s.则
H 113＝v t 2＋at 2，解得t ＝2 s．(或t ＝－ s 不合题意舍去) 22sin 53°224
所以t ＝t 1＋t 2＝2.4 s.
答案：(1)3 m/s (2)1.2 m (3)2.4 s
12.
图4－1－30
如图4－1－30所示，在距地面80 m 高的水平面上做匀加速直线运动的飞机上每隔1 s 依次放下a 、b 、c 三物体，抛出点a 、b 与b 、c 间距分别为45 m和55 m，分别落在水平地面上的A 、B 、C 处．求：
(1)飞机飞行的加速度；
(2)刚放下b 物体时飞机的速度大小；
(3)b 、c 两物体落地点BC 间距离．
Δx 解析：(1)飞机水平方向上，由a 经b 到c 做匀加速直线运动，由Δx ＝aT 2得，a ＝＝T bc －ab 10 m/s2. T ab ＋bc (2)因位臵b 对应a 到c 过程的中间时刻，故有v b ＝＝50 m/s. 2T
2h 1(3)设物体落地时间为t ，由h ＝gt 2得：t ＝ g 4 s，BC 间距离为：BC ＝bc ＋v c t －2
v b t ，
又v c －v b ＝aT ，得：BC ＝bc ＋aTt ＝95 m.
答案：(1)10 m/s2 (2)50 m/s (3)95 m
圆周运动
2πr ω=2π=2πf =2πn v ==2πrf =ωr T T
1、固定在同一根转轴上的转动物体，其角速度大小、周期、转速相等（共轴转动）；用皮带传动、铰链转动、齿轮咬合都满足边缘线速度大小相等；
2、匀速圆周运动实例分析：
⑴火车转弯情况：外轨略高于内轨，使得所受重力和支持力的合力提供向心力，以减少火车轮缘对外轨的压力.
①当火车行使速率v 等于v 规定时，F 合=F向心，内、外轨道对轮缘都没有侧压力. ②当火车行使速率v 大于v 规定时，F 合＜F 向心，外轨道对轮缘都有侧压力.
③当火车行使速率v 小于v 规定时，F 合＞F 向心，内轨道对轮缘都有侧压力.
⑵没有支承物的物体（如水流星）在竖直平面内做圆周运动过最高点情况：
v mg =m R ①当2，即v =Rg ，水恰能过最高点不洒出，这就是水能过最高点的临界条件；
2
②当
③当mg m mg m v R v
R ，即v 2，水不能过最高点而洒出； Rg ，水能过最高点不洒出，这时水的重力和杯对水的压力提供向心力. ，即v
⑶有支承物的物体（如汽车过拱桥）在竖直平面内做圆周运动过最高点情况：
①当v=0时，
②当v mg ） m v 2=0R ，支承物对物体的支持力等于v R 2mg ，这就是物体能过最高点的临界条件； Rg 时，mg m ，支承物对物体产生支持力，且支持力随v 的减小而增大，范围（0～
v
R
v 2③当v =Rg 时，mg =m ，支承物对物体既没有拉力，也没有支持力. 2
mg m R ，支承物对物体产生拉力，且拉力随v 的增大而增大. （如果支承④当v Rg 时，
物对物体无拉力，物体将脱离支承物）
3. 作匀速圆周运动的物体. 在合外力突然消失或者不足以匀速圆周运动所需的向心力的情况下，就做离心运动. 反之，为向心运动.
1．下列关于甲、乙两个做匀速圆周运动的物体的有关说法中正确的是（ ）．
A ．若它们的线速度相等，则角速度一定相等
B ．若它们的角速度相等，则线速度一定相等
C ．若它们的周期相等，则角速度一定相等
D ．若它们的周期相等，则线速度一定相等
2．如图所示，小物块放在水平转盘上，随盘同步做匀速圆周运
动，则下列关于物块受力情况的叙述正确的是（ ）．
A ．受重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用
B ．摩擦力的方向始终指向圆心O
C ．摩擦力的方向始终与线速度的方向相同
D ．静摩擦力提供使物块做匀速圆周运动的向心力
4．如图所示，某轻杆一端固定一质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，以下说法中正确的是（ ）．
A ．小球过最高点时，杆所受的弹力可以为零
B ．小球过最高点时，最小速度为gR
C ．小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，
此时重力一定大于或等于杆对球的作用力
D ．小球过最低点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反
5．下列哪些措施是为了防止离心现象造成的危害？（ ）
A ．高速公路上设立确定车距的标志
B ．高速公路上将要进入弯道处设有限速的警示标志
C ．工厂里磨刀用的砂轮外侧加一个防护罩
D ．汽车车轮加装一个挡泥板
6．如图所示，火车转弯处，铁轨的外轨高于内轨，则火车转
弯时（ ）. A．可能对外轨产生向外的挤压作用
B ．可能对内轨产生向内的挤压作用
C ．可能对内轨和外轨均无挤压作用
D ．可能对内轨和外轨均有挤压作用
7．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1：2，转
动半径之比为1：2，在相等的时间内甲转过60°角，乙转过45°角，则甲、乙两物体所受合外力之比为（ ）．
A ． 1：4 B ．4：3 C ．4：9 D ．9：16
8. 如图所示，一小球质量为m ，用长为L 的细线悬于O 点，在O 点正下方1L 处钉有2
一根长钉．把悬线沿水平方向拉直后无初速度释放，当悬线碰到钉子的瞬时（ ）．
A ．小球的线速度突然增大
B ．悬线的拉力突然增大
C ．小球的向心加速度突然增大
D ．小球的角速度突然增大
9．如图所示，一圆盘可以绕其坚直轴在水平面内转动，
圆盘半径为R ，甲、乙两物体的质量分别为M 和m （M>m），
它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物
体用一根长为l （l ＜R ）的轻绳连在一起，若将甲物体放在
转轴的正上方，甲、乙之间连线刚好沿半径方向拉直，要使
两物体与转盘之间不发生相对滑动，则转盘旋转的角速度最大值不得超 ω
过．
10．如图所示，A 、B 两球质量相等，且由轻质细杆连着，绕O 点在光滑的水平面上以相同的角速度做匀速圆周运动，OB ＝BA ，则（ ）．
A. 两段杆的拉力之比：T AB ：T OB =2：1
B ．两段杆的拉力之比：T AB ：T OB ＝3：2
C ．两段杆的拉力之比：T AB ：T OB =1：2
D ．两段杆的拉力之比：T AB ：T OB =2：3
11．如图所示，压路机后轮半径是前轮半径的3倍，A 、B
分别为前轮和后轮边缘上的一点，C 为后轮上的一点，它离后
轮轴心的距离是后轮半径的一半，则A 、B 、C 三点的角速度
之比 m/s，线速度之比 m 。
12．如图所示，半径为R 的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，
其正上方h 处沿OB 方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且
落点为B ，则小球的初速度v= 圆盘转动的角速度
ω 13．地球半径为r ＝6.4×108km 位于地球赤道上的物体，随着地
球自转，做匀速圆周运动，它运动的角速度约是 ，线速度约是 ；北纬30°处的物体的角速度约是 ，线速度约是 。
14、物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角α，则正切tan α随时间t 的变化图象是？
15、长为L 的细绳一端固定于O 点，如图所示，另一端拴一质量为m 的小球，把线拉至最高点A 以水平抛出，求当v 0为下列值时，小球运动到最低点C 时线中的张力大小。（1）v 0=2gL （2）v 0=gL
2
15、在高速公路的拐弯处，路面往往设计外高内低。设拐弯路段是半径为R 的圆弧，要使车速为v 时，车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，路面与水平面内的夹角应θ应等于多少？当车速变为1.2v 时，车轮与路面间的横向摩擦力为多少？
16、一个光滑的圆锥体固定在水平面上，其轴线沿坚直方向，母线与轴线之间的夹角为θ=300，如图所示，一条长度为L 的绳（质量为计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O 处，另一端拴着一个质量为m 的小球（可视为质点）。物体以速度v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动（物体和绳在图中没画出）求：
1gL 6（1）当v=时，绳对物体的拉力
3gL
（2）当v=2时，绳对物体的拉力
θ
15．（8分）如图所示，在电风扇的叶片上距转轴为r 处固定了一个质量为m 的铁块，电扇启动后，铁块以角速度ω绕轴O 匀速转动，则电风扇对地面的最大压力和最小压力的差为多大？
16．（10分）如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物体，当物
块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）. 物体和转盘间的最大静磨擦力是其正压力的μ倍．求：
（１）当转盘的角速度ω1=μg 时，细绳的拉力F T 1． 2r
3μg 时，细绳的拉力F T 2． 2r （２）当转盘的角速度ω2=
17．（10分）如图所示，一质量为m 的小球P 与穿过光滑水平板中央小孔O 的轻绳相连，用手拉着绳子的另一端使小球在水平板上绕0做半径为a 、角速度为ω1的匀速圆周运动，若将绳子从这个状态迅速放松，后又拉紧，使小球绕O 改做半径为b 的匀速圆周运动，则 ：（1）从绳子放松到拉紧经过多少时间？（6分）
（2）小球改做半径为b 的匀速圆周运动时的角速度ω2多大？（6分）