离散型随机变量的分布列及均值与方差
知识点归纳
1、可以一一列出可能取的值的随机变量叫离散型随机变量，其分布列可表示为：
分布列的性质为：
p i ≥0(i =1, 2, , n ) ∑p i =p 1+p 2+ +p n =1
i =1
n
数学期望(均值) 和方差分别为：
E (X ) =∑x i p i =x 1p 1+x 2p 2+ +x n p n
i =1n
D (X ) =∑(x i -E (X )) 2p i =(x 1-E (X )) 2p 1
i =1
n
+(x 2-E (X )) 2p 2+ +(x n -E (X )) 2p n
2、均值和方差的性质：
2
若η=a ξ+b 则E η=aE ξ+b , D η=a D ξ；D (X ) =E (X 2) -(EX ) 2。
3、常见分布的均值与方差：
题型一：离散型随机变量分布列性质
解题思路：熟记离散型随机变量分布列性质并结合其它相关知识。
例1： 随机变量ξ的分布列为P （ξ=k ）=
ak 15
（k =1，2„„5）则P (
2245
a 2a 5a a ++ +=1=1 a =3 P (ξ=1) + +P (ξ=5) =1∴ 解。 4545453
15121P (
题型二：离散型随机变量分布列及均值与方差的问题
解题思路：弄清题目中的事件属于哪类事件和随机变量的取值情况及其概率是关键。
[例2](2001年天津）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球．从中同时取出2个，则其中含红
球个数的数学的期望是__________（用数字作答）． 提示：含红球个数的分布列是
数学期望E ξ=0⨯
1636+1⨯+2⨯=. 1010105
[例3]一盒中有9个正品和3个次品，每次取一测试，不放回在取出一个正品前已取出的废品数为ξ，求期望、方差。
解
次 次 正
1
99⋅23329A 32⋅A 99E ξ=++=0. 3 P (ξ=2) =⋅⋅==3
[**************]20A 12
991
-0. 3) 2⋅1+(-0. 3) 2⋅2+(-0. 3) 2⋅3 4422022099⋅49909351++-(0. 3) 2 =-= =
[***********] D ξ=(
启发：若每次取一测试，再放回呢？求期望，方差结果怎样？
例4．（2005年全国卷二）甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率
为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令
ξ为本场比赛的局数．求ξ的概率分布和数学期望．
[解答]单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4，
比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P （ξ＝3）＝0.6+0.4=0.28，
比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3
因而P （ξ＝4）＝C 3⨯0.6⨯0.4⨯0.6＋
2
2
3
3
局中乙队胜2局，第4局乙队胜，
2C 3⨯0.42⨯0.6⨯0.4=0.3744，比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，
第5局甲胜或乙胜，
2因而
P （ξ＝5）＝C 4⨯0.62⨯0.42⨯0.6＋C 4⨯0.4⨯0.6⨯0.4=0.3456，
2
2
2
所以ξ的概率分布为
ξ的期望E ξ＝3×P （ξ＝3）＋4×P （ξ＝4）＋5×P （ξ＝5）＝4.0656，
题型三：离散型随机变量在风险决策的应用
解题思路：对于风险决策问题，常用概率和期望来做决策。
例4：在一次数学竞赛中，一学生需做两道题，一道代数题，一道几何题，学生可自由选择解题顺序，若他先做一道，则只有当他做对时才可继续做另一道，此学生答对代数题的概率为0.5，得分30分，答对几何题的概率为0.4，得分50分，设他答对两道题相互独立，问他应先答哪道题，才能使他的得分期望值高。
题型四：离散型随机变量与其他知识的综合。 2005年湖南）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，
且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值． （1）求ξ的分布及数学期望；
（2）记“函数f (x ) ＝x 2－3ξx ＋1在区间[2，＋∞) 上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率． [解答]（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”
为事件A 1，A 2，A 3. 由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5，P （A 3）=0.6， 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，
所以ξ的可能取值为1，3， P （ξ=3）=P（A 1·A 2·A 3）+ P（A 1⋅A 2⋅A 3） = P（A 1）P （A 2）P （A 3）+P（A 1) P (A 2) P (A 3) ） =2×0.4×0.5×0.6=0.24，
所以ξ的分布列为 E ξ=1×0.76+3×；
329
ξ) +1-ξ2, 24
32
所以函数f (x ) =x -3ξx +1在区间[ξ, +∞) 上单调递增，
2
34
要使f (x ) 在[2, +∞) 上单调递增，当且仅当ξ≤2, 即ξ≤.
23
4
从而P (A ) =P (ξ≤) =P (ξ=1) =0. 76.
3
（2）方法一 因为f (x ) =(x -
方法二：ξ的可能取值为1，3. 当ξ=1时，函数f (x ) =x -3x +1在区间[2, +∞) 上单调递增，当
2
ξ=3时，函数f (x ) =x 2-9x +1在区间[2, +∞) 上不单调递增.
所以P (A ) =P (ξ=1) =0. 76.
巩固练习
1. 已知ξ~B (n , P ) ，若E ξ=12，D ξ=4，求n 、P
⎧n =18
⎧n ⋅P =12⎪1. ⎨⇒⎨2 ⎩nP (1-P ) =4⎪P =
3⎩
1
) ，求D （2ξ+4） 21132
2. D ξ=6⋅(1-) = D η=a D ξ=6
222
2. ξ~B (6,
3. 美国NBA 篮球职业联赛总决赛，采用七局四胜制，预计两队实力相当，每场比赛组织者可获利200万美元，问组织者在本次比赛中期望获利多少万美元。 3.
. 5万 ∴ E ξ=1162
4. 某次大奖赛共有8人参加，平均分成两组，第一轮赛后，每组的前两名参加下一轮比赛（赛制规定没有并列的名次），如果要求你从两组中各猜2名能进入下一轮的选手，并规定猜对4人奖励8分，猜对3人奖励6分，猜对2人奖励4分，猜对1人奖励2分，否则不给分。试计算你获奖得分的期望。 4. ξ的分布列
+++=4 ∴ E ξ=
36363636
5. （理）现有四道数学试题，记为A 、B 、C 、D ，和它们应的答案记为a 、b 、c 、d ，把A 、B 、C 、D 和a 、b 、c 、d 分别写成左、右两列。现有一答题者，随机用4条线把左、右全部连结起来，构成一个“一一对应”，连对一个得2分，连错一个得0分。
（1）求答题者得分的分布列；（2）求所得分数的期望。 5. 得分的随机变量ξ的分布列
∴ E ξ=
23+1+3
=2
离散型随机变量的分布列及均值与方差
知识点归纳
1、可以一一列出可能取的值的随机变量叫离散型随机变量，其分布列可表示为：
分布列的性质为：
p i ≥0(i =1, 2, , n ) ∑p i =p 1+p 2+ +p n =1
i =1
n
数学期望(均值) 和方差分别为：
E (X ) =∑x i p i =x 1p 1+x 2p 2+ +x n p n
i =1n
D (X ) =∑(x i -E (X )) 2p i =(x 1-E (X )) 2p 1
i =1
n
+(x 2-E (X )) 2p 2+ +(x n -E (X )) 2p n
2、均值和方差的性质：
2
若η=a ξ+b 则E η=aE ξ+b , D η=a D ξ；D (X ) =E (X 2) -(EX ) 2。
3、常见分布的均值与方差：
题型一：离散型随机变量分布列性质
解题思路：熟记离散型随机变量分布列性质并结合其它相关知识。
例1： 随机变量ξ的分布列为P （ξ=k ）=
ak 15
（k =1，2„„5）则P (
2245
a 2a 5a a ++ +=1=1 a =3 P (ξ=1) + +P (ξ=5) =1∴ 解。 4545453
15121P (
题型二：离散型随机变量分布列及均值与方差的问题
解题思路：弄清题目中的事件属于哪类事件和随机变量的取值情况及其概率是关键。
[例2](2001年天津）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球．从中同时取出2个，则其中含红
球个数的数学的期望是__________（用数字作答）． 提示：含红球个数的分布列是
数学期望E ξ=0⨯
1636+1⨯+2⨯=. 1010105
[例3]一盒中有9个正品和3个次品，每次取一测试，不放回在取出一个正品前已取出的废品数为ξ，求期望、方差。
解
次 次 正
1
99⋅23329A 32⋅A 99E ξ=++=0. 3 P (ξ=2) =⋅⋅==3
[**************]20A 12
991
-0. 3) 2⋅1+(-0. 3) 2⋅2+(-0. 3) 2⋅3 4422022099⋅49909351++-(0. 3) 2 =-= =
[***********] D ξ=(
启发：若每次取一测试，再放回呢？求期望，方差结果怎样？
例4．（2005年全国卷二）甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率
为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令
ξ为本场比赛的局数．求ξ的概率分布和数学期望．
[解答]单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4，
比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P （ξ＝3）＝0.6+0.4=0.28，
比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3
因而P （ξ＝4）＝C 3⨯0.6⨯0.4⨯0.6＋
2
2
3
3
局中乙队胜2局，第4局乙队胜，
2C 3⨯0.42⨯0.6⨯0.4=0.3744，比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，
第5局甲胜或乙胜，
2因而
P （ξ＝5）＝C 4⨯0.62⨯0.42⨯0.6＋C 4⨯0.4⨯0.6⨯0.4=0.3456，
2
2
2
所以ξ的概率分布为
ξ的期望E ξ＝3×P （ξ＝3）＋4×P （ξ＝4）＋5×P （ξ＝5）＝4.0656，
题型三：离散型随机变量在风险决策的应用
解题思路：对于风险决策问题，常用概率和期望来做决策。
例4：在一次数学竞赛中，一学生需做两道题，一道代数题，一道几何题，学生可自由选择解题顺序，若他先做一道，则只有当他做对时才可继续做另一道，此学生答对代数题的概率为0.5，得分30分，答对几何题的概率为0.4，得分50分，设他答对两道题相互独立，问他应先答哪道题，才能使他的得分期望值高。
题型四：离散型随机变量与其他知识的综合。 2005年湖南）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，
且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值． （1）求ξ的分布及数学期望；
（2）记“函数f (x ) ＝x 2－3ξx ＋1在区间[2，＋∞) 上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率． [解答]（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”
为事件A 1，A 2，A 3. 由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5，P （A 3）=0.6， 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，
所以ξ的可能取值为1，3， P （ξ=3）=P（A 1·A 2·A 3）+ P（A 1⋅A 2⋅A 3） = P（A 1）P （A 2）P （A 3）+P（A 1) P (A 2) P (A 3) ） =2×0.4×0.5×0.6=0.24，
所以ξ的分布列为 E ξ=1×0.76+3×；
329
ξ) +1-ξ2, 24
32
所以函数f (x ) =x -3ξx +1在区间[ξ, +∞) 上单调递增，
2
34
要使f (x ) 在[2, +∞) 上单调递增，当且仅当ξ≤2, 即ξ≤.
23
4
从而P (A ) =P (ξ≤) =P (ξ=1) =0. 76.
3
（2）方法一 因为f (x ) =(x -
方法二：ξ的可能取值为1，3. 当ξ=1时，函数f (x ) =x -3x +1在区间[2, +∞) 上单调递增，当
2
ξ=3时，函数f (x ) =x 2-9x +1在区间[2, +∞) 上不单调递增.
所以P (A ) =P (ξ=1) =0. 76.
巩固练习
1. 已知ξ~B (n , P ) ，若E ξ=12，D ξ=4，求n 、P
⎧n =18
⎧n ⋅P =12⎪1. ⎨⇒⎨2 ⎩nP (1-P ) =4⎪P =
3⎩
1
) ，求D （2ξ+4） 21132
2. D ξ=6⋅(1-) = D η=a D ξ=6
222
2. ξ~B (6,
3. 美国NBA 篮球职业联赛总决赛，采用七局四胜制，预计两队实力相当，每场比赛组织者可获利200万美元，问组织者在本次比赛中期望获利多少万美元。 3.
. 5万 ∴ E ξ=1162
4. 某次大奖赛共有8人参加，平均分成两组，第一轮赛后，每组的前两名参加下一轮比赛（赛制规定没有并列的名次），如果要求你从两组中各猜2名能进入下一轮的选手，并规定猜对4人奖励8分，猜对3人奖励6分，猜对2人奖励4分，猜对1人奖励2分，否则不给分。试计算你获奖得分的期望。 4. ξ的分布列
+++=4 ∴ E ξ=
36363636
5. （理）现有四道数学试题，记为A 、B 、C 、D ，和它们应的答案记为a 、b 、c 、d ，把A 、B 、C 、D 和a 、b 、c 、d 分别写成左、右两列。现有一答题者，随机用4条线把左、右全部连结起来，构成一个“一一对应”，连对一个得2分，连错一个得0分。
（1）求答题者得分的分布列；（2）求所得分数的期望。 5. 得分的随机变量ξ的分布列
∴ E ξ=
23+1+3
=2