绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）
数学（理科）
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、 选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合M ={x |(x -1) 2
(B)｛-1，0，1，2｝
(C){-1，0，2，3} (D){0，1，2，3}
2. 设复数z 满足(1-i ) z =2i ，则z =( )
（A ）-1+i
（B ）-1-i
（C ）1+i
（D ）1-i
3等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 2+10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=( ) （A ）
1
（B ）-1 33
1
（C ）
9
（D ）-
1 9
4已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α, l ⊄β，则( )
（A ）α//β且l //α
（B ）α⊥β且l ⊥β
（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l
5
(1+ax )(1+x ) 的展开式中x 2的系数为5，则a =( ) 5已知
(A)-4 (C)-2 (B)-3 (D)-1
6. 执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=
111111(A)1+++ + (B) 1+++ +
23102! 3! 10!
111111(C)1+++ + (D)1+++ +
23112! 3! 11!
（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分 别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四 面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视 图可以为
(A) (B)
(C)
(D)
（8）设a=log36,b=log510,c=log714, 则
（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c
⎧x ≥1
⎪
（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎨x +y ≤3 ,若z=2x+y的最小值为1，则a=
⎪y ≥a (x -3)⎩(A)
1 4
(B)
1 2
(C)1 (D)2
（10）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是
（A ）∃x α∈R, f(xα)=0
（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形
（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减 （D ）若x 0是f （x ）的极值点，则f ' (x 0)=0
（11）设抛物线y 2=3px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过
点（0，2），则C 的方程为
（A ）y 2=4x或y 2=8x （B ）y 2=2x或y 2=8x （C ）y 2=4x或y 2=16x （D ）y 2=2x或y 2=16x
（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是
⎛1⎫
1-⎪（A ）（0，1）
(B) ( C) ⎪22⎭
⎝
⎛1⎤1-, ⎥ (D) 23⎦⎝
⎡11⎫
⎢3, 2⎪ ⎣⎭
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD =_______.
（14）从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为则n =________.
（15）设θ为第二象限角，若tan θ+
1，14
⎛⎝
π⎫
1= ，则sin θ+cos θ=_________. ⎪4⎭2
（16）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10=0，S 15 =25，则nS n 的最小值为________.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB。 （Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值。
（Ⅱ）根据直方图估计利润T ，不少于57000元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，
需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x ∈[100,110)）则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100,110)的利润T 的数学期望。
（Ⅱ）C,D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值
（21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)=ex -ln(x+m)
(Ι) 设x=0是f(x)的极值点，求m , 并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当m ≤2时，证明f(x)>0
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。 （22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点， 且BC •AE=DC•AF ，B 、E 、F 、C 四点共圆。 （1） 证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；
（2） 若DB=BE=EA,求过B 、E 、F 、C 四点的圆
F 的面积与△ABC 外接圆面积的比值。
D
B A
（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程
⎧x =2cos β
(β为参数)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎨
y =2sin β⎩
上，对应参数分别为β=α
与α=2π为（0＜α＜2π）M 为PQ 的中点。
（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。
（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲 设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab +bc +ca ≤
1 3
a 2b 2c 2
（Ⅱ）++≥1
b c a
绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）
数学（理科）
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、 选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合M ={x |(x -1) 2
(B)｛-1，0，1，2｝
(C){-1，0，2，3} (D){0，1，2，3}
2. 设复数z 满足(1-i ) z =2i ，则z =( )
（A ）-1+i
（B ）-1-i
（C ）1+i
（D ）1-i
3等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 2+10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=( ) （A ）
1
（B ）-1 33
1
（C ）
9
（D ）-
1 9
4已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α, l ⊄β，则( )
（A ）α//β且l //α
（B ）α⊥β且l ⊥β
（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l
5
(1+ax )(1+x ) 的展开式中x 2的系数为5，则a =( ) 5已知
(A)-4 (C)-2 (B)-3 (D)-1
6. 执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=
111111(A)1+++ + (B) 1+++ +
23102! 3! 10!
111111(C)1+++ + (D)1+++ +
23112! 3! 11!
（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分 别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四 面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视 图可以为
(A) (B)
(C)
(D)
（8）设a=log36,b=log510,c=log714, 则
（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c
⎧x ≥1
⎪
（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎨x +y ≤3 ,若z=2x+y的最小值为1，则a=
⎪y ≥a (x -3)⎩(A)
1 4
(B)
1 2
(C)1 (D)2
（10）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是
（A ）∃x α∈R, f(xα)=0
（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形
（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减 （D ）若x 0是f （x ）的极值点，则f ' (x 0)=0
（11）设抛物线y 2=3px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过
点（0，2），则C 的方程为
（A ）y 2=4x或y 2=8x （B ）y 2=2x或y 2=8x （C ）y 2=4x或y 2=16x （D ）y 2=2x或y 2=16x
（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是
⎛1⎫
1-⎪（A ）（0，1）
(B) ( C) ⎪22⎭
⎝
⎛1⎤1-, ⎥ (D) 23⎦⎝
⎡11⎫
⎢3, 2⎪ ⎣⎭
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD =_______.
（14）从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为则n =________.
（15）设θ为第二象限角，若tan θ+
1，14
⎛⎝
π⎫
1= ，则sin θ+cos θ=_________. ⎪4⎭2
（16）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10=0，S 15 =25，则nS n 的最小值为________.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB。 （Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值。
（Ⅱ）根据直方图估计利润T ，不少于57000元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，
需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x ∈[100,110)）则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100,110)的利润T 的数学期望。
（Ⅱ）C,D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值
（21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)=ex -ln(x+m)
(Ι) 设x=0是f(x)的极值点，求m , 并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当m ≤2时，证明f(x)>0
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。 （22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点， 且BC •AE=DC•AF ，B 、E 、F 、C 四点共圆。 （1） 证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；
（2） 若DB=BE=EA,求过B 、E 、F 、C 四点的圆
F 的面积与△ABC 外接圆面积的比值。
D
B A
（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程
⎧x =2cos β
(β为参数)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎨
y =2sin β⎩
上，对应参数分别为β=α
与α=2π为（0＜α＜2π）M 为PQ 的中点。
（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。
（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲 设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab +bc +ca ≤
1 3
a 2b 2c 2
（Ⅱ）++≥1
b c a