3.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
考纲要求：1. 三角函数的定义及应用；2. 考查三角函数的符号；3. 考查弧长公式、扇形面积公式． 知识梳理
1． 角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成
的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：①定义：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．②分类：角按终边位置不同分为象限角和轴线角．
象限角： 2． 弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．(2)用“弧度”
l l
做单位来度量角的制度叫做弧度制．|α|＝l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．比值r
r r 的大小无关，仅与角的大小有关．(3)角度制和弧度制的互化：180°＝ rad,1°＝ rad,1 rad＝ °. (4)扇形的弧长公式：l ＝，扇形的面积公式：S 11
＝lr ＝α|·r 2. 22
3 任意角的三角函数的定义 α为任意角，α的终边上任意一点P (异于原点) 的坐标(x ，y ) ，它与原点的距离|OP |＝r ＝x ＋y (r >0)，则sin α＝ ；cos α＝ ；tan α＝ ；cot α＝ ；sec α＝ ；csc α＝三个三角函数的初步性质如表：
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4． 三角函数线 设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T . 有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为
正切线
2π
基础自测1． 若点P 在角的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是________________．
32．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y ) 是角θ终边上一点，且sin θ
25，则y ＝________.
5
9π
3． 下列与
4
( )
95π
A ．2k π＋45° (k ∈Z ) B ．k ·360°π (k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋(k ∈Z )
444． 已知cos θ·tan θ
( )
A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角 5． 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是
A ．1 课堂探究
题型一 角的有关问题
6π
例1 (1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π)
7θα
(3)已知角α是第一象限角，试确定2α、所在的象限．
32
变式训练1已知角α＝45°，(1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β； k k ⎧⎫⎧⎫
＋45°，k ∈Z ⎬，N ＝⎨x |x ＝180°＋45°，k ∈Z ⎬，那么两集合的关系(2)设集合M ＝⎨x |x ＝2180°4
⎩
⎭
⎩
⎭
( )
B ．4 C ．1或4 D ．2或4
是什么？
题型二 三角函数的定义
例2 已知角α的终边经过点P (x ，－2) (x ≠0) ，且cos α＝36，求sin α＋1tan α 思维启迪：先根据任意角的三角函数的定义求x ，再求sin α＋
1
tan α
的值．
变式训练2已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
题型三 三角函数线、三角函数值的符号
例3 (1)若θ是第二象限角，试判断sin (cos θ)1
cos (sin 2θ)
的符号；(2)已知cos α≤－2，求角α的集合．
变式训练3(1)y sin x －
2
________． (2)已知sin 2θ
题型四 扇形的弧长、面积公式的应用
例4 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
变式训练4(1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？
(2)一扇形的周长为20 cm；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解
拓展提升---数形结合思想在三角函数线中的应用
典例：(12分)(1)求函数y ＝lg(3－4sin 2x ) 的定义域；(2)设θ是第二象限角，试比较sin θθ
2cos 2，
tan θ
2
的大小．
3.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
A 组 专项基础训练
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． 角α的终边过点P (－1,2) ，则sin α等于
( )
A. 5
B. 255
5
C ．－
5
5
D ．－255
2． 若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是
( )
A ．sin α＋cos α
( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4． 有下列命题：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P (x ，y ) 是其终边上一点，则cos α＝－x x ＋y . 其中正确的命题的个数是
( )
A ．1
B ．2
C ．3 D ．4
二、填空题(每小题5分，共15分)
5． 已知点P (tan α，cos α) 在第三象限，则角α的终边在第________象限． 6． 设α为第二象限角，其终边上一点为P (m 5) ，且cos α＝
2
4
m ，则sin α的值为________．7．函数y sin x ＋1
2
－cos x 的定义域是___________________________．
三、解答题(共22分)
8． (10分) 已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0) 且sin θ＝
2
4
m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．
9．(12分) 一个扇形OAB 的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB .
B 组 专项能力提升
一、选择题(每小题5分，共15分)
1． 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°) ，且cos α＝－4
5
m 的值为( )
A ．－12
1 C ．－33
22
2
2． 已知点P ⎛⎝
sin 3π4cos 3π
4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π) ，则θ的值为( ) A. π
B. 3π4
4 C. 5π4
D. 7π
4
3． 给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ
( )
A ．1
B ．2 C ．3
D ．4
二、填空题(每小题5分，共15分)
4． 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m ，3m ) (m >0)是α终边上一点，
则2sin α＋cos α＝________.
5． 函数y ＝2cos x －1的定义域为________．
6． 一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为__________．
三、解答题
7． (13分) 已知sin α
α>0.
(1)求α角的集合； (2)求α
2
(3)试判断tan ααα
2sin 22的符号．
3.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
考纲要求：1. 三角函数的定义及应用；2. 考查三角函数的符号；3. 考查弧长公式、扇形面积公式． 知识梳理
1． 角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成
的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：①定义：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．②分类：角按终边位置不同分为象限角和轴线角．
象限角： 2． 弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．(2)用“弧度”
l l
做单位来度量角的制度叫做弧度制．|α|＝l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．比值r
r r 的大小无关，仅与角的大小有关．(3)角度制和弧度制的互化：180°＝ rad,1°＝ rad,1 rad＝ °. (4)扇形的弧长公式：l ＝，扇形的面积公式：S 11
＝lr ＝α|·r 2. 22
3 任意角的三角函数的定义 α为任意角，α的终边上任意一点P (异于原点) 的坐标(x ，y ) ，它与原点的距离|OP |＝r ＝x ＋y (r >0)，则sin α＝ ；cos α＝ ；tan α＝ ；cot α＝ ；sec α＝ ；csc α＝三个三角函数的初步性质如表：
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4． 三角函数线 设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T . 有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为
正切线
2π
基础自测1． 若点P 在角的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是________________．
32．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y ) 是角θ终边上一点，且sin θ
25，则y ＝________.
5
9π
3． 下列与
4
( )
95π
A ．2k π＋45° (k ∈Z ) B ．k ·360°π (k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋(k ∈Z )
444． 已知cos θ·tan θ
( )
A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角 5． 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是
A ．1 课堂探究
题型一 角的有关问题
6π
例1 (1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π)
7θα
(3)已知角α是第一象限角，试确定2α、所在的象限．
32
变式训练1已知角α＝45°，(1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β； k k ⎧⎫⎧⎫
＋45°，k ∈Z ⎬，N ＝⎨x |x ＝180°＋45°，k ∈Z ⎬，那么两集合的关系(2)设集合M ＝⎨x |x ＝2180°4
⎩
⎭
⎩
⎭
( )
B ．4 C ．1或4 D ．2或4
是什么？
题型二 三角函数的定义
例2 已知角α的终边经过点P (x ，－2) (x ≠0) ，且cos α＝36，求sin α＋1tan α 思维启迪：先根据任意角的三角函数的定义求x ，再求sin α＋
1
tan α
的值．
变式训练2已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
题型三 三角函数线、三角函数值的符号
例3 (1)若θ是第二象限角，试判断sin (cos θ)1
cos (sin 2θ)
的符号；(2)已知cos α≤－2，求角α的集合．
变式训练3(1)y sin x －
2
________． (2)已知sin 2θ
题型四 扇形的弧长、面积公式的应用
例4 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
变式训练4(1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？
(2)一扇形的周长为20 cm；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解
拓展提升---数形结合思想在三角函数线中的应用
典例：(12分)(1)求函数y ＝lg(3－4sin 2x ) 的定义域；(2)设θ是第二象限角，试比较sin θθ
2cos 2，
tan θ
2
的大小．
3.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
A 组 专项基础训练
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． 角α的终边过点P (－1,2) ，则sin α等于
( )
A. 5
B. 255
5
C ．－
5
5
D ．－255
2． 若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是
( )
A ．sin α＋cos α
( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4． 有下列命题：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P (x ，y ) 是其终边上一点，则cos α＝－x x ＋y . 其中正确的命题的个数是
( )
A ．1
B ．2
C ．3 D ．4
二、填空题(每小题5分，共15分)
5． 已知点P (tan α，cos α) 在第三象限，则角α的终边在第________象限． 6． 设α为第二象限角，其终边上一点为P (m 5) ，且cos α＝
2
4
m ，则sin α的值为________．7．函数y sin x ＋1
2
－cos x 的定义域是___________________________．
三、解答题(共22分)
8． (10分) 已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0) 且sin θ＝
2
4
m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．
9．(12分) 一个扇形OAB 的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB .
B 组 专项能力提升
一、选择题(每小题5分，共15分)
1． 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°) ，且cos α＝－4
5
m 的值为( )
A ．－12
1 C ．－33
22
2
2． 已知点P ⎛⎝
sin 3π4cos 3π
4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π) ，则θ的值为( ) A. π
B. 3π4
4 C. 5π4
D. 7π
4
3． 给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ
( )
A ．1
B ．2 C ．3
D ．4
二、填空题(每小题5分，共15分)
4． 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m ，3m ) (m >0)是α终边上一点，
则2sin α＋cos α＝________.
5． 函数y ＝2cos x －1的定义域为________．
6． 一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为__________．
三、解答题
7． (13分) 已知sin α
α>0.
(1)求α角的集合； (2)求α
2
(3)试判断tan ααα
2sin 22的符号．