[课时达标检测]
一、选择题
π
5x －的相位与初相是( ) 1．简谐运动y ＝4sin ⎛3⎝ππ
A ．5x －，
33ππ
C ．5x －，－
33
π
B ．5x －，4
3π
D ．4，
3
ππ
解析：选C 相位是5x －x ＝0时的相位为初相即－33
π
2．下列四个函数中，同时具有：①最小正周期是π；②图像关于x ＝对称的是( )
3x π⎫
A ．y ＝sin ⎛⎝26⎭ π
2x － C ．y ＝sin ⎛3⎝
π
2x ＋ B ．y ＝sin ⎛6⎝π2x － D ．y ＝sin ⎛6⎝
2πππ
解析：选D ∵最小正周期为π，∴＝π，即ω＝2. 又图像关于x ＝2×＋
ω33π2x －. φ＝k π＋(k ∈Z) ．当k ＝0时，φ＝－. ∴y ＝sin ⎛6⎝26
π
ω>0，|φ|
A ．ωφ＝
26π
C ．ω＝2，φ＝
6解析：选D 由T ＝π得
1π
B ．ωφ＝
23π
D ．ω＝2，φ＝
3
π2π3π|φ⎫，∴φ＝π，∴ω＝2，又f (0)＝3，即sin φ＝2⎭ω23
ππ
4．已知函数f (x ) ＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0) 的图像关于直线x ＝对称，且f ⎛⎝12＝0，则ω的3最小值为( )
A ．2 C ．6
B ．4 D ．8
ππ⎫解析：选A 函数f (x ) 的周期T ≤4⎛⎝312⎭＝π， 2π
则ω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.
5．函数y ＝A sin(ωx＋φ)(A ＞0，ω＞0) 的部分图像如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值等于( )
2 2＋2
B ．2＋22 2－2
解析：选A 由图可知A ＝2，φ＝0，T ＝8， π⎫2ππ
∴ω＝8，即ω＝，∴f (x ) ＝2sin ⎛⎝4⎭. 4∵周期为8，
且f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0，
ππ3π∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝2sin ＋2sin ＋2sin
4245π3π
＋2sin π＋2sin ＋＝2.
42
二、填空题
6. 已知函数f (x ) ＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图像如图所示，则ω＝________.
解析：由题意设函数周期为T ， T 2πππ4π
则＝－，∴T ＝43333∴ω＝
2π3
. T 2
3答案：2
7. 如图所示的曲线是y ＝A sin(ωx＋φ)(A >0，ω>0)的图像的一部分，则这个函数的解析式是________．
解析：由函数图像可知A ＝2， 45ππ2π
－＝π，即π， T ⎛ω3⎝612故ω＝2.
5π⎫5π
0是五点法作图的第五个点，即2×＋φ＝2π， 又⎛⎝6⎭6ππ
2x ＋⎫. 则φ＝. 故所求函数的解析式为y ＝2sin ⎛3⎭⎝3π
2x ＋⎫ 答案：y ＝2sin ⎛3⎭⎝
π
2x ＋⎫(x ∈R) 的说法如下：
8．关于函数f (x ) ＝4sin ⎛3⎭⎝
π2x －⎫； ①y ＝f (x ) 的解析式可改写为y ＝4cos ⎛6⎭⎝②y ＝f (x ) 是以2π为最小正周期的周期函数； π
－，0⎫对称； ③y ＝f (x ) 的图像关于点⎛⎝6⎭π
④y ＝f (x ) 的图像关于直线x ＝－
6其中，正确的说法的序号是________．
πππ2x ＋⎫＝4cos ⎛－2x ⎫＝4cos ⎛2x －， 解析：∵4sin ⎛3⎭6⎝⎝6⎭⎝∴①正确；②④不正确；
ππ
＝0，∴⎛－，0⎫是对称中心，故③正确． 而③中f ⎛⎝6⎝6⎭答案：①③ 三、解答题
π
A >0，ω>0，|φ|
(2)把f (x ) 的图像向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图像对应的函数为偶函数？
解：(1)A ＝3，
π2π42
4π－4＝5π，ω. ω35
2π
＋φ⎫过⎛，0⎫， 由f (x ) ＝3sin 5⎭⎝4⎭
πππ＋φ⎫＝0，又|φ，故φ＝－， 得sin ⎛⎝10⎭2102π
－⎫. ∴f (x ) ＝3sin 510⎭
2π
(x ＋m )－⎤＝ (2)由f (x ＋m ) ＝3sin ⎡10⎦⎣52m π3sin ⎛⎝5＋510为偶函数(m >0)， 知
2m ππ53π
＝k π＋，即m ＝π＋，k ∈Z. 510222
3π
. 2
∵m >0，∴m min ＝
故把f (x ) 的图像向左至少平移
3π
2
π
2⎫，由此点10. 已知曲线y ＝A sin(ωx＋φ)(A ＞0，ω＞0) 上的一个最高点的坐标为⎛⎝2⎭3π⎫ππ
，0，若φ∈⎛－⎫. 到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎛⎝2⎭⎝22⎭
(1)试求这条曲线的函数解析式； (2)写出函数的单调区间．
3ππ⎫
解：(1)依题意，A 2，T ＝4×⎛⎝22⎭＝4π， ∵T ＝
2π1
＝4π，ω＞0，∴ω＝. |ω|2
1⎫∴y ＝2sin ⎛⎝2＋φ⎭.
π
2⎫， ∵曲线上的最高点为2⎭1πππ
＋φ⎫＝1. ∴φ＋2k π＋∴sin ⎛⎝22⎭421π⎫πππ
∵－＜φ＜φ＝∴y ＝2sin ⎛⎝2x ＋4⎭. 224πππ
(2)令2k π－＋2k π＋，k ∈Z ，
22423ππ
∴4k π－≤x ≤4k π＋k ∈Z.
22∴函数f (x ) 的单调递增区间为
⎡4k π－3π4k π＋π⎤(k ∈Z) ． 22⎦⎣
π1π3π
令2k π＋≤x ＋2k π，k ∈Z ，
2242π5π
∴4k π＋≤x ≤4k π＋k ∈Z.
22∴函数f (x ) 的单调递减区间为
⎡4k π＋π4k π＋5π(k ∈Z). 22⎣
[课时达标检测]
一、选择题
π
5x －的相位与初相是( ) 1．简谐运动y ＝4sin ⎛3⎝ππ
A ．5x －，
33ππ
C ．5x －，－
33
π
B ．5x －，4
3π
D ．4，
3
ππ
解析：选C 相位是5x －x ＝0时的相位为初相即－33
π
2．下列四个函数中，同时具有：①最小正周期是π；②图像关于x ＝对称的是( )
3x π⎫
A ．y ＝sin ⎛⎝26⎭ π
2x － C ．y ＝sin ⎛3⎝
π
2x ＋ B ．y ＝sin ⎛6⎝π2x － D ．y ＝sin ⎛6⎝
2πππ
解析：选D ∵最小正周期为π，∴＝π，即ω＝2. 又图像关于x ＝2×＋
ω33π2x －. φ＝k π＋(k ∈Z) ．当k ＝0时，φ＝－. ∴y ＝sin ⎛6⎝26
π
ω>0，|φ|
A ．ωφ＝
26π
C ．ω＝2，φ＝
6解析：选D 由T ＝π得
1π
B ．ωφ＝
23π
D ．ω＝2，φ＝
3
π2π3π|φ⎫，∴φ＝π，∴ω＝2，又f (0)＝3，即sin φ＝2⎭ω23
ππ
4．已知函数f (x ) ＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0) 的图像关于直线x ＝对称，且f ⎛⎝12＝0，则ω的3最小值为( )
A ．2 C ．6
B ．4 D ．8
ππ⎫解析：选A 函数f (x ) 的周期T ≤4⎛⎝312⎭＝π， 2π
则ω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.
5．函数y ＝A sin(ωx＋φ)(A ＞0，ω＞0) 的部分图像如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值等于( )
2 2＋2
B ．2＋22 2－2
解析：选A 由图可知A ＝2，φ＝0，T ＝8， π⎫2ππ
∴ω＝8，即ω＝，∴f (x ) ＝2sin ⎛⎝4⎭. 4∵周期为8，
且f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0，
ππ3π∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝2sin ＋2sin ＋2sin
4245π3π
＋2sin π＋2sin ＋＝2.
42
二、填空题
6. 已知函数f (x ) ＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图像如图所示，则ω＝________.
解析：由题意设函数周期为T ， T 2πππ4π
则＝－，∴T ＝43333∴ω＝
2π3
. T 2
3答案：2
7. 如图所示的曲线是y ＝A sin(ωx＋φ)(A >0，ω>0)的图像的一部分，则这个函数的解析式是________．
解析：由函数图像可知A ＝2， 45ππ2π
－＝π，即π， T ⎛ω3⎝612故ω＝2.
5π⎫5π
0是五点法作图的第五个点，即2×＋φ＝2π， 又⎛⎝6⎭6ππ
2x ＋⎫. 则φ＝. 故所求函数的解析式为y ＝2sin ⎛3⎭⎝3π
2x ＋⎫ 答案：y ＝2sin ⎛3⎭⎝
π
2x ＋⎫(x ∈R) 的说法如下：
8．关于函数f (x ) ＝4sin ⎛3⎭⎝
π2x －⎫； ①y ＝f (x ) 的解析式可改写为y ＝4cos ⎛6⎭⎝②y ＝f (x ) 是以2π为最小正周期的周期函数； π
－，0⎫对称； ③y ＝f (x ) 的图像关于点⎛⎝6⎭π
④y ＝f (x ) 的图像关于直线x ＝－
6其中，正确的说法的序号是________．
πππ2x ＋⎫＝4cos ⎛－2x ⎫＝4cos ⎛2x －， 解析：∵4sin ⎛3⎭6⎝⎝6⎭⎝∴①正确；②④不正确；
ππ
＝0，∴⎛－，0⎫是对称中心，故③正确． 而③中f ⎛⎝6⎝6⎭答案：①③ 三、解答题
π
A >0，ω>0，|φ|
(2)把f (x ) 的图像向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图像对应的函数为偶函数？
解：(1)A ＝3，
π2π42
4π－4＝5π，ω. ω35
2π
＋φ⎫过⎛，0⎫， 由f (x ) ＝3sin 5⎭⎝4⎭
πππ＋φ⎫＝0，又|φ，故φ＝－， 得sin ⎛⎝10⎭2102π
－⎫. ∴f (x ) ＝3sin 510⎭
2π
(x ＋m )－⎤＝ (2)由f (x ＋m ) ＝3sin ⎡10⎦⎣52m π3sin ⎛⎝5＋510为偶函数(m >0)， 知
2m ππ53π
＝k π＋，即m ＝π＋，k ∈Z. 510222
3π
. 2
∵m >0，∴m min ＝
故把f (x ) 的图像向左至少平移
3π
2
π
2⎫，由此点10. 已知曲线y ＝A sin(ωx＋φ)(A ＞0，ω＞0) 上的一个最高点的坐标为⎛⎝2⎭3π⎫ππ
，0，若φ∈⎛－⎫. 到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎛⎝2⎭⎝22⎭
(1)试求这条曲线的函数解析式； (2)写出函数的单调区间．
3ππ⎫
解：(1)依题意，A 2，T ＝4×⎛⎝22⎭＝4π， ∵T ＝
2π1
＝4π，ω＞0，∴ω＝. |ω|2
1⎫∴y ＝2sin ⎛⎝2＋φ⎭.
π
2⎫， ∵曲线上的最高点为2⎭1πππ
＋φ⎫＝1. ∴φ＋2k π＋∴sin ⎛⎝22⎭421π⎫πππ
∵－＜φ＜φ＝∴y ＝2sin ⎛⎝2x ＋4⎭. 224πππ
(2)令2k π－＋2k π＋，k ∈Z ，
22423ππ
∴4k π－≤x ≤4k π＋k ∈Z.
22∴函数f (x ) 的单调递增区间为
⎡4k π－3π4k π＋π⎤(k ∈Z) ． 22⎦⎣
π1π3π
令2k π＋≤x ＋2k π，k ∈Z ，
2242π5π
∴4k π＋≤x ≤4k π＋k ∈Z.
22∴函数f (x ) 的单调递减区间为
⎡4k π＋π4k π＋5π(k ∈Z). 22⎣