圆的极坐标方程

2012—2013学年下学期高二文数学案第4周

第三节 圆的极坐标方程(第1课时)

学习目标:1.掌握极坐标方程的意义;2.理解圆的极坐标方程的推导和应用; 3.对不同位置的圆的极坐标方程的理解

学习重点:圆的极坐标方程的求法

学习难点:圆的极坐标方程的推导和应用

学习过程:

一、复习引入

问题1. 直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用?

问题2. 直角坐标系的建立可以求曲线的方程,极坐标系的建立是否可以求曲线方程?

二、新知探究

1. 引例:如图,在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(a , 0)(a >0) , 你能用一个等式表示圆上任意一点,的极坐标(ρ, θ) 满足的条件?

解:设M (ρ, θ) 是圆上O 、A 以外的任意一点,连接AM ,

则有:O M =O A cos θ,即:ρ=2a cos θ ①, 可以验证点O (0,π) 、A (2a , 0) 满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条

2

件. 反之,适合等式①的点都在这个圆上.

2. 定义:一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f (ρ, θ) =0的点在曲线上,那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程,这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。

三、例题展示

类型一:圆心在极点的圆

例1、已知圆O 的半径为r ,建立怎样的坐标系,可以使圆的极坐标方程更简单?

类型二:圆心在极轴上且过极点的圆

例2:求圆心坐标为C (a , 0)(a >0) 、半径为a 的圆的极坐标方程?

π⎫类型三:圆心在点⎛ a , ⎪处且过极点的圆

⎝2⎭

π⎫(a>0)例3:求圆心在⎛、半径为a 的圆的极坐标方程? a , ⎪⎝2⎭

变式训练:求下列圆的极坐标方程

(1) 圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程;

(2) 圆心为,半径为2的圆的极坐标方程; (2,π)

(3) 圆心在A (2,3π) 处并且过极点的圆的方程。

2

类型四:直角坐标方程和极坐标方程的互化

例4.(1)化在直角坐标方程x 2+y 2-8y =0为极坐标方程,

(2)化极坐标方程ρsin θ=2 为直角坐标方程。

变式训练:化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程,并判断曲线的形状。

(1)ρcos θ=2 (2)ρ=2cos θ

(3)ρ2cos 2θ

四、课堂练习:

1. 以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是( ) π⎫π⎫ C. ρ=2cos θ-1 D. ⎛A. ρ=2cos ⎛ B. ρ=2sin(θ-1) ()θ-ρ=2sin θ- ⎪ ⎪4⎝⎭⎝4⎭=2 (4)ρ=11-cos θ

2. 将下列直角坐标方程化为极坐标方程

(1) x 2+

3. 说明下列极坐标方程表示什么曲线

(1)ρ=2cos(θ-π

4) y -2x +3y =0 (2) 2x -y +1=0 (3) 222x +y =9 (4) x =3 (2)ρ=cos(π3-θ) (3)ρ=3sin θ (4) ρ=6

4. 极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是多少?

5. 在极坐标系中,已知圆C 的圆心C (3, π

6) ,半径r =3,

(1)求圆C 的极坐标方程;(2)若Q 点在圆C 上运动,P 在OQ 的延长线上,且OQ :OP =3:2,求动点P 的轨迹方程。

五、课堂小结:

1.曲线的极坐标方程的概念.

2.求曲线极坐标方程步骤:(1)建极坐标系,设动点M (ρ, θ) ;(2)找几何约束条件;

(3)把几何约束条件转化为ρ与θ关系;(4)化简。

3. 常见圆的极坐标方程:

(1)圆心在极点,半径为r 的圆的极坐标方程 ;

(2)圆心在位于C (a , 0) ,半径为r 的圆的极坐标方程 ;

(3)圆心在位于C (a , π) ,半径为r 的圆的极坐标方程 。

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2012—2013学年下学期高二文数学案第4周

第三节 圆的极坐标方程(第1课时)

学习目标:1.掌握极坐标方程的意义;2.理解圆的极坐标方程的推导和应用; 3.对不同位置的圆的极坐标方程的理解

学习重点:圆的极坐标方程的求法

学习难点:圆的极坐标方程的推导和应用

学习过程:

一、复习引入

问题1. 直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用?

问题2. 直角坐标系的建立可以求曲线的方程,极坐标系的建立是否可以求曲线方程?

二、新知探究

1. 引例:如图,在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(a , 0)(a >0) , 你能用一个等式表示圆上任意一点,的极坐标(ρ, θ) 满足的条件?

解:设M (ρ, θ) 是圆上O 、A 以外的任意一点,连接AM ,

则有:O M =O A cos θ,即:ρ=2a cos θ ①, 可以验证点O (0,π) 、A (2a , 0) 满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条

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件. 反之,适合等式①的点都在这个圆上.

2. 定义:一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f (ρ, θ) =0的点在曲线上,那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程,这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。

三、例题展示

类型一:圆心在极点的圆

例1、已知圆O 的半径为r ,建立怎样的坐标系,可以使圆的极坐标方程更简单?

类型二:圆心在极轴上且过极点的圆

例2:求圆心坐标为C (a , 0)(a >0) 、半径为a 的圆的极坐标方程?

π⎫类型三:圆心在点⎛ a , ⎪处且过极点的圆

⎝2⎭

π⎫(a>0)例3:求圆心在⎛、半径为a 的圆的极坐标方程? a , ⎪⎝2⎭

变式训练:求下列圆的极坐标方程

(1) 圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程;

(2) 圆心为,半径为2的圆的极坐标方程; (2,π)

(3) 圆心在A (2,3π) 处并且过极点的圆的方程。

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类型四:直角坐标方程和极坐标方程的互化

例4.(1)化在直角坐标方程x 2+y 2-8y =0为极坐标方程,

(2)化极坐标方程ρsin θ=2 为直角坐标方程。

变式训练:化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程,并判断曲线的形状。

(1)ρcos θ=2 (2)ρ=2cos θ

(3)ρ2cos 2θ

四、课堂练习:

1. 以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是( ) π⎫π⎫ C. ρ=2cos θ-1 D. ⎛A. ρ=2cos ⎛ B. ρ=2sin(θ-1) ()θ-ρ=2sin θ- ⎪ ⎪4⎝⎭⎝4⎭=2 (4)ρ=11-cos θ

2. 将下列直角坐标方程化为极坐标方程

(1) x 2+

3. 说明下列极坐标方程表示什么曲线

(1)ρ=2cos(θ-π

4) y -2x +3y =0 (2) 2x -y +1=0 (3) 222x +y =9 (4) x =3 (2)ρ=cos(π3-θ) (3)ρ=3sin θ (4) ρ=6

4. 极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是多少?

5. 在极坐标系中,已知圆C 的圆心C (3, π

6) ,半径r =3,

(1)求圆C 的极坐标方程;(2)若Q 点在圆C 上运动,P 在OQ 的延长线上,且OQ :OP =3:2,求动点P 的轨迹方程。

五、课堂小结:

1.曲线的极坐标方程的概念.

2.求曲线极坐标方程步骤:(1)建极坐标系,设动点M (ρ, θ) ;(2)找几何约束条件;

(3)把几何约束条件转化为ρ与θ关系;(4)化简。

3. 常见圆的极坐标方程:

(1)圆心在极点,半径为r 的圆的极坐标方程 ;

(2)圆心在位于C (a , 0) ,半径为r 的圆的极坐标方程 ;

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