2012—2013学年下学期高二文数学案第4周
第三节 圆的极坐标方程(第1课时)
学习目标:1.掌握极坐标方程的意义;2.理解圆的极坐标方程的推导和应用; 3.对不同位置的圆的极坐标方程的理解
学习重点:圆的极坐标方程的求法
学习难点:圆的极坐标方程的推导和应用
学习过程:
一、复习引入
问题1. 直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用?
问题2. 直角坐标系的建立可以求曲线的方程,极坐标系的建立是否可以求曲线方程?
二、新知探究
1. 引例:如图,在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(a , 0)(a >0) , 你能用一个等式表示圆上任意一点,的极坐标(ρ, θ) 满足的条件?
解:设M (ρ, θ) 是圆上O 、A 以外的任意一点,连接AM ,
则有:O M =O A cos θ,即:ρ=2a cos θ ①, 可以验证点O (0,π) 、A (2a , 0) 满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条
2
件. 反之,适合等式①的点都在这个圆上.
2. 定义:一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f (ρ, θ) =0的点在曲线上,那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程,这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
三、例题展示
类型一:圆心在极点的圆
例1、已知圆O 的半径为r ,建立怎样的坐标系,可以使圆的极坐标方程更简单?
类型二:圆心在极轴上且过极点的圆
例2:求圆心坐标为C (a , 0)(a >0) 、半径为a 的圆的极坐标方程?
π⎫类型三:圆心在点⎛ a , ⎪处且过极点的圆
⎝2⎭
π⎫(a>0)例3:求圆心在⎛、半径为a 的圆的极坐标方程? a , ⎪⎝2⎭
变式训练:求下列圆的极坐标方程
(1) 圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程;
(2) 圆心为,半径为2的圆的极坐标方程; (2,π)
(3) 圆心在A (2,3π) 处并且过极点的圆的方程。
2
类型四:直角坐标方程和极坐标方程的互化
例4.(1)化在直角坐标方程x 2+y 2-8y =0为极坐标方程,
(2)化极坐标方程ρsin θ=2 为直角坐标方程。
变式训练:化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程,并判断曲线的形状。
(1)ρcos θ=2 (2)ρ=2cos θ
(3)ρ2cos 2θ
四、课堂练习:
1. 以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是( ) π⎫π⎫ C. ρ=2cos θ-1 D. ⎛A. ρ=2cos ⎛ B. ρ=2sin(θ-1) ()θ-ρ=2sin θ- ⎪ ⎪4⎝⎭⎝4⎭=2 (4)ρ=11-cos θ
2. 将下列直角坐标方程化为极坐标方程
(1) x 2+
3. 说明下列极坐标方程表示什么曲线
(1)ρ=2cos(θ-π
4) y -2x +3y =0 (2) 2x -y +1=0 (3) 222x +y =9 (4) x =3 (2)ρ=cos(π3-θ) (3)ρ=3sin θ (4) ρ=6
4. 极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是多少?
5. 在极坐标系中,已知圆C 的圆心C (3, π
6) ,半径r =3,
(1)求圆C 的极坐标方程;(2)若Q 点在圆C 上运动,P 在OQ 的延长线上,且OQ :OP =3:2,求动点P 的轨迹方程。
五、课堂小结:
1.曲线的极坐标方程的概念.
2.求曲线极坐标方程步骤:(1)建极坐标系,设动点M (ρ, θ) ;(2)找几何约束条件;
(3)把几何约束条件转化为ρ与θ关系;(4)化简。
3. 常见圆的极坐标方程:
(1)圆心在极点,半径为r 的圆的极坐标方程 ;
(2)圆心在位于C (a , 0) ,半径为r 的圆的极坐标方程 ;
(3)圆心在位于C (a , π) ,半径为r 的圆的极坐标方程 。
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2012—2013学年下学期高二文数学案第4周
第三节 圆的极坐标方程(第1课时)
学习目标:1.掌握极坐标方程的意义;2.理解圆的极坐标方程的推导和应用; 3.对不同位置的圆的极坐标方程的理解
学习重点:圆的极坐标方程的求法
学习难点:圆的极坐标方程的推导和应用
学习过程:
一、复习引入
问题1. 直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用?
问题2. 直角坐标系的建立可以求曲线的方程,极坐标系的建立是否可以求曲线方程?
二、新知探究
1. 引例:如图,在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(a , 0)(a >0) , 你能用一个等式表示圆上任意一点,的极坐标(ρ, θ) 满足的条件?
解:设M (ρ, θ) 是圆上O 、A 以外的任意一点,连接AM ,
则有:O M =O A cos θ,即:ρ=2a cos θ ①, 可以验证点O (0,π) 、A (2a , 0) 满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条
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件. 反之,适合等式①的点都在这个圆上.
2. 定义:一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f (ρ, θ) =0的点在曲线上,那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程,这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
三、例题展示
类型一:圆心在极点的圆
例1、已知圆O 的半径为r ,建立怎样的坐标系,可以使圆的极坐标方程更简单?
类型二:圆心在极轴上且过极点的圆
例2:求圆心坐标为C (a , 0)(a >0) 、半径为a 的圆的极坐标方程?
π⎫类型三:圆心在点⎛ a , ⎪处且过极点的圆
⎝2⎭
π⎫(a>0)例3:求圆心在⎛、半径为a 的圆的极坐标方程? a , ⎪⎝2⎭
变式训练:求下列圆的极坐标方程
(1) 圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程;
(2) 圆心为,半径为2的圆的极坐标方程; (2,π)
(3) 圆心在A (2,3π) 处并且过极点的圆的方程。
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类型四:直角坐标方程和极坐标方程的互化
例4.(1)化在直角坐标方程x 2+y 2-8y =0为极坐标方程,
(2)化极坐标方程ρsin θ=2 为直角坐标方程。
变式训练:化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程,并判断曲线的形状。
(1)ρcos θ=2 (2)ρ=2cos θ
(3)ρ2cos 2θ
四、课堂练习:
1. 以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是( ) π⎫π⎫ C. ρ=2cos θ-1 D. ⎛A. ρ=2cos ⎛ B. ρ=2sin(θ-1) ()θ-ρ=2sin θ- ⎪ ⎪4⎝⎭⎝4⎭=2 (4)ρ=11-cos θ
2. 将下列直角坐标方程化为极坐标方程
(1) x 2+
3. 说明下列极坐标方程表示什么曲线
(1)ρ=2cos(θ-π
4) y -2x +3y =0 (2) 2x -y +1=0 (3) 222x +y =9 (4) x =3 (2)ρ=cos(π3-θ) (3)ρ=3sin θ (4) ρ=6
4. 极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是多少?
5. 在极坐标系中,已知圆C 的圆心C (3, π
6) ,半径r =3,
(1)求圆C 的极坐标方程;(2)若Q 点在圆C 上运动,P 在OQ 的延长线上,且OQ :OP =3:2,求动点P 的轨迹方程。
五、课堂小结:
1.曲线的极坐标方程的概念.
2.求曲线极坐标方程步骤:(1)建极坐标系,设动点M (ρ, θ) ;(2)找几何约束条件;
(3)把几何约束条件转化为ρ与θ关系;(4)化简。
3. 常见圆的极坐标方程:
(1)圆心在极点,半径为r 的圆的极坐标方程 ;
(2)圆心在位于C (a , 0) ,半径为r 的圆的极坐标方程 ;
(3)圆心在位于C (a , π) ,半径为r 的圆的极坐标方程 。
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