2012—2013学年下学期高二文数学案第4周
第三节 圆的极坐标方程（第1课时）
学习目标：1．掌握极坐标方程的意义；2．理解圆的极坐标方程的推导和应用； 3．对不同位置的圆的极坐标方程的理解
学习重点：圆的极坐标方程的求法
学习难点：圆的极坐标方程的推导和应用
学习过程：
一、复习引入
问题1. 直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？
问题2. 直角坐标系的建立可以求曲线的方程，极坐标系的建立是否可以求曲线方程？
二、新知探究
1. 引例：如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(a , 0)(a >0) ， 你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(ρ, θ) 满足的条件？
解：设M (ρ, θ) 是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ，
则有：O M =O A cos θ，即：ρ=2a cos θ ①， 可以验证点O (0,π) 、A (2a , 0) 满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条
2
件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上.
2. 定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f (ρ, θ) =0的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
三、例题展示
类型一：圆心在极点的圆
例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？
类型二：圆心在极轴上且过极点的圆
例2：求圆心坐标为C (a , 0)(a >0) 、半径为a 的圆的极坐标方程？
π⎫类型三：圆心在点⎛ a , ⎪处且过极点的圆
⎝2⎭
π⎫（a>0）例3：求圆心在⎛、半径为a 的圆的极坐标方程？ a , ⎪⎝2⎭
变式训练：求下列圆的极坐标方程
（1） 圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程；
（2） 圆心为，半径为2的圆的极坐标方程； （2，π）
（3） 圆心在A (2,3π) 处并且过极点的圆的方程。
2
类型四：直角坐标方程和极坐标方程的互化
例4．（1）化在直角坐标方程x 2+y 2-8y =0为极坐标方程，
（2）化极坐标方程ρsin θ=2 为直角坐标方程。
变式训练：化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状。
（1）ρcos θ=2 （2）ρ=2cos θ
（3）ρ2cos 2θ
四、课堂练习：
1. 以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（ ） π⎫π⎫ C. ρ=2cos θ-1 D. ⎛A. ρ=2cos ⎛ B. ρ=2sin(θ-1) ()θ-ρ=2sin θ- ⎪ ⎪4⎝⎭⎝4⎭=2 （4）ρ=11-cos θ
2. 将下列直角坐标方程化为极坐标方程
(1) x 2+
3. 说明下列极坐标方程表示什么曲线
（1）ρ＝２cos(θ-π
4) y -2x +3y =0 (2) 2x -y +1=0 (3) 222x +y =９ (4) x =３ （2）ρ＝cos(π3-θ) （3）ρ＝3sin θ (4) ρ＝６
4. 极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是多少？
5. 在极坐标系中，已知圆C 的圆心C (3, π
6) ，半径r =3，
（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且OQ :OP =3:2，求动点P 的轨迹方程。
五、课堂小结：
1．曲线的极坐标方程的概念．
2．求曲线极坐标方程步骤：（1）建极坐标系，设动点M (ρ, θ) ；(2)找几何约束条件；
(3)把几何约束条件转化为ρ与θ关系；(4)化简。
3. 常见圆的极坐标方程：
(1)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程 ；
(2)圆心在位于C (a , 0) ，半径为r 的圆的极坐标方程 ；
(3)圆心在位于C (a , π) ，半径为r 的圆的极坐标方程 。
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2012—2013学年下学期高二文数学案第4周
第三节 圆的极坐标方程（第1课时）
学习目标：1．掌握极坐标方程的意义；2．理解圆的极坐标方程的推导和应用； 3．对不同位置的圆的极坐标方程的理解
学习重点：圆的极坐标方程的求法
学习难点：圆的极坐标方程的推导和应用
学习过程：
一、复习引入
问题1. 直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？
问题2. 直角坐标系的建立可以求曲线的方程，极坐标系的建立是否可以求曲线方程？
二、新知探究
1. 引例：如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(a , 0)(a >0) ， 你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(ρ, θ) 满足的条件？
解：设M (ρ, θ) 是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ，
则有：O M =O A cos θ，即：ρ=2a cos θ ①， 可以验证点O (0,π) 、A (2a , 0) 满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条
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件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上.
2. 定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f (ρ, θ) =0的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
三、例题展示
类型一：圆心在极点的圆
例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？
类型二：圆心在极轴上且过极点的圆
例2：求圆心坐标为C (a , 0)(a >0) 、半径为a 的圆的极坐标方程？
π⎫类型三：圆心在点⎛ a , ⎪处且过极点的圆
⎝2⎭
π⎫（a>0）例3：求圆心在⎛、半径为a 的圆的极坐标方程？ a , ⎪⎝2⎭
变式训练：求下列圆的极坐标方程
（1） 圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程；
（2） 圆心为，半径为2的圆的极坐标方程； （2，π）
（3） 圆心在A (2,3π) 处并且过极点的圆的方程。
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类型四：直角坐标方程和极坐标方程的互化
例4．（1）化在直角坐标方程x 2+y 2-8y =0为极坐标方程，
（2）化极坐标方程ρsin θ=2 为直角坐标方程。
变式训练：化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状。
（1）ρcos θ=2 （2）ρ=2cos θ
（3）ρ2cos 2θ
四、课堂练习：
1. 以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（ ） π⎫π⎫ C. ρ=2cos θ-1 D. ⎛A. ρ=2cos ⎛ B. ρ=2sin(θ-1) ()θ-ρ=2sin θ- ⎪ ⎪4⎝⎭⎝4⎭=2 （4）ρ=11-cos θ
2. 将下列直角坐标方程化为极坐标方程
(1) x 2+
3. 说明下列极坐标方程表示什么曲线
（1）ρ＝２cos(θ-π
4) y -2x +3y =0 (2) 2x -y +1=0 (3) 222x +y =９ (4) x =３ （2）ρ＝cos(π3-θ) （3）ρ＝3sin θ (4) ρ＝６
4. 极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是多少？
5. 在极坐标系中，已知圆C 的圆心C (3, π
6) ，半径r =3，
（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且OQ :OP =3:2，求动点P 的轨迹方程。
五、课堂小结：
1．曲线的极坐标方程的概念．
2．求曲线极坐标方程步骤：（1）建极坐标系，设动点M (ρ, θ) ；(2)找几何约束条件；
(3)把几何约束条件转化为ρ与θ关系；(4)化简。
3. 常见圆的极坐标方程：
(1)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程 ；
(2)圆心在位于C (a , 0) ，半径为r 的圆的极坐标方程 ；
(3)圆心在位于C (a , π) ，半径为r 的圆的极坐标方程 。
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