二面角的几种求法
4.1概念法
顾名思义,概念法指的是利用概念直接解答问题。
例1:如图2所示,在四面体ABCD 中,AC =AB =1, CD =BD =2, AD =3。求二面角A -BC -D 的大小。
图2
分析:四面体ABCD 的各个棱长都已经给出来了,这是一个典型的根据长度求角度的问题。
解:设线段BC 的中点是E ,接AE 和DE 。
CD =BD =2,根据已知的条件AC =AB =1,可以知道AE ⊥BC 且DE ⊥BC 。又BC
是平面ABC 和平面DBC 的交线。
根据定义,可以得出:∠AED 即为二面角A -BC -D 的平面角。
可以求出AE =
,DE ,并且AD =3。 2
根据余弦定理知:
AE +DE -AD
=
2AE ⨯DE
2
2
2
cos ∠AED =
2
+2-32
7=- 47
即二面角A -BC -D 的大小为π-arccos 。
4
同样,例2也是用概念法直接解决问题的。
例2:如图3所示,ABCD 是正方形,PB ⊥平面ABCD ,PB =AB =1,求二面角
A -PD -C 的大小。
图3
解:作辅助线CE ⊥PD 于点E ,连接AC 、AE 。
由于AD =CD ,PA =PC ,所以三角形PAD ≅三角形PCD 。即AE ⊥PD 。由于
CE ⊥PD ,所以∠AEC 即为所求的二面角的大小。
通过计算可以得到:PC
,PD =,又CD =1,在三角形PCD 中可以计算
得到CE =
。由此可以得到:AE =CE =
,又AC =。 2
2
2
22
+-2AE +CE -AC 1由余弦定理:cos ∠AEC ===- 22AE ⋅AC 22⋅3
2π
即:∠AEC =。
34.2空间变换法
空间变换法指的是基本的空间方法,包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。
下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。
例3:如图4所示,现有平面α和平面β,它们的交线是直线DE ,点F 在平面α内,点C 在平面β内。求二面角F -DE -C 的大小。
图4
分析:过点C 作辅助线CA 垂直于DE ,作CB 垂直于平面β于点B 。 4.2.1补角法
直接求解二面角F -DE -C 的大小是有些困难的,那么可以先求解二面角
C -DE -B 。因为二面角F -DE -C 与二面角C -DE -B 是互补的关系,现在先求出
二面角C -DE -B 后,二面角F -DE -C 的大小就很容易计算了。 4.2.2三垂线法
由于CA ⊥DE ,CB ⊥平面β。那么根据三垂线定理可以得知:CA 在平面β内的射影AB 垂直于两平面的交线DE 。即AC ⊥DE 且AB ⊥DE ,根据定义可知,二面角
C -DE -B 的大小即为∠CAB 的大小。那么二面角F -DE -C 的大小可以用补角法得
到。
4.2.3切平面法
切面法的基本思想是做一个垂面,它垂直于两个平面的交线,在所得的图形中就可以很容易观察与计算二面角。如图4所示,可以作平面CAB 垂直于两个平面的交线
DE ,平面CAB 与平面α的交线是AC ,平面CAB 与平面β的交线是AB ,根据二面
角的定义知∠CAB 即为所求二面角的补角,根据补角法,可以求出二面角F -DE -C 的大小。
下面用例4来详细讲解一下切平面法。
例4: 在图5中,PA ⊥平面ABC ,∠ABC =90o 。其中PA =AB =
1,PB =BC =E 是PC 的中点,DE ⊥PC 。求二面角C -BD -E 的大小。
图5
解:由于E 是PC 的中点,且∆PBC 是等腰三角形,那么BD ⊥PC 。 又DE ⊥PC ,可以推出:PC ⊥平面BDE 。所以:PC ⊥BD 。 又PA ⊥平面ABC ,则BD ⊥PA ,所以BD ⊥平面PAC 。 可以得出:平面PAC 是平面CBD 和平面EBD 的公共切平面。 由此,根据切平面法知∠CDE 即为所求二面角的平面角。 由于V CDE ≈∆CPA ,那么:
CD =
CE CA ⋅CP =2=
,DE =CE CA ⋅PA =1=
。
又:CE =
12PC ===1。 在三角形CDE 中根据余弦定理可知:
42
2
2
cos ∠CDE =CD +DE -CE +1-1
2
1
2CD ⋅DE ===2
3那么∠CDE =60o 。
即求二面角C -BD -E 的大小是60o 。
4.2.4补形法
以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法,以下通过一个单独的例子来讲解第四种方法——补形法。
例5:在图6中,PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是一个直角梯形,其中PA =1,
AD =1,CD =1,AB =
1
。∠BAD =∠ADC =90︒。求平面PAD 与平面PBC 所成二2
面角的大小。
图6
解:延长直线DA 与BC ,它们相交于点E ,连接PE 。
由题意可知,BA 平行于CD ,AB 的长度是CD 的一半,且BA ⊥AD ,BA ⊥PA ,那么BA ⊥平面PED ,CD ⊥平面PED ,AE =
1,PE 。
在三角形PED
中,PD =PE =,ED =AE +AD =2。那么根据勾股定理可知
∠DPE =90︒,即DP ⊥PE 。
CD ⊥平面PED ,DP ⊥PE ,且DP 是CP 在平面PED 内的射影,根据三垂线定理
知:CP ⊥PE 。
又DP ⊥PE ,即∠CPD 即为所求的二面角。
在Rt ∆CDP 中,CD =
1,PD
PC =
。那么cos ∠CPD =
3
。
即:∠CPD =
arccos
所以平面PAD 与平面PBC
所成二面角的大小是 在有些问题中,所给的图形不是能够很好观测到二面角的平面角,可以通过补形的方法来观测二面角的平面角。在例5中,很好的运用了补形法和三垂线法来解决问题,这也告诉我们,可以在一个问题中使用多种方法来达到解决问题目的。
4.3空间向量法
4.3.1二面角和两平面的夹角之间的关系
两平面的夹角有两个,它们之间互补,取它们中角度较小的为θ1,那么θ1的取值范
π
围是(0,]。而二面角是指两个特定的半平面所组成的图形,二面角θ2的取值范围是
2
(0,π) 。
但是我们可以利用两个平面的夹角来求二面角,它们之间的关系具体如下: 如果0≤θ2≤如果
π
2
,θ2=θ1。(1)
π
2
≤θ2≤π,θ2=π-θ1。(2)
因此,在用空间向量法求解二面角的时候,必须先判断二面角的大小是锐角还是钝角,然后由以上发现的规律来求解。当然,前提是先求出两平面的夹角。
4.3.2平面法向量的求法
两平面间的夹角一般根据两平面的法向量来求。如果平面方程已知,平面的法向量可以直接给出,如果平面方程未知,法向量可以根据平面内的三个点的坐标求出来。如图7所示:
例6:如图7所示在平面α内,已知三点X =(x 1, y 1, z 1) ,Y =(x 2, y 2, z 2) ,
Z =(x 3, y 3, z 3) 。
图7
v
下面求解平面α的一个法向量n 。 解法一:
求平面的法向量的大小,可以用该平面内的两个向量的矢性积来求,即:
v uu u v uu u v n =XY ⨯XZ
u u u v u u u v
又XY ={x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1},XZ ={x 3-x 1, y 3-y 1, z 3-z 3} 可以求出:
v y 2-y 1n ={
y 3-y 1
z 2-z 1z 2-z 1
,
z 3-z 3z 3-z 3
x 2-x 1x 2-x 1
,
x 3-x 1x 3-x 1
y 2-y 1y 3-y 1
解法二:
设平面α的方程为Ax +By +Cz +D =0
将点X ,Y ,Z 的坐标分别代入方程可以解出系数A ,B ,C ,D 。
在此特别强调一下,三个点带入方程后得到的应该是一个四元三次方程,可能无解,如果有解,那么一定有无数多个解。可以通过解方程,将A ,B ,C 全部用D 表示,这样就可以得到一个形如2Dx +5Dy +4Dz +D =0的方程,可以将新得到的方程两边同时除以D (D 一定不等于0,否则A =B =C =D =0,方程无意义),那么就可以得到平面的方程2x +5y +4z +1=0。
v
得到了平面的一般方程,即得平面的法向量坐标n ={A , B , C }。 解法三:
uu u v uu u v
在图7中,由所给的信息,可以求出向量XY 、XZ 的大小。设平面α的一个法向
v
量n ={x , y , z }。
u u u v u u u v
若XY ={a 1, b 1, c 1},XZ ={a 2, b 2, c 2}。 v uu u v v uu u v
由n ⋅XY =0,n ⋅XZ =0可以得到:
⎧a 1x +b 1y +c 1z =0
⎨
⎩a 2x +b 2y +c 2z =0
可以求解出x ,y ,z 的关系。此方程一定有无数多个解,可以将x ,y 用z 表示。
v v
如n ={2z ,4z , z },由此可知向量n ={2,4,1}是平面α的一个法向量。
4.3.3两平面夹角的公式
u v u u v
θ两平面相交时,定义它们之间的夹角为它们法向量的夹角为〈n 1, n 2〉,其中u v
。于是:
n i ={A i , B i , C i },i =1, 2
u v u u v
n 1⋅n 2
cos θ==
n 1⨯n 2
4.3.4两平面的夹角转化成二面角
利用上述方法,先求出两平面的法向量,再求两平面的夹角,最后可以根据(1)、(2)求出二面角的大小。
例7:如图8所示,四边形ABCD 是一个矩形,点E 和点F 分别在边AD 和边AB 上,其中AE =AF =ED =4,FB =6。现在以直线EF 为折痕,将三角形AEF 折起,得到三角形A ' EF ,同时使得平面A ' EF 与底面ABCD 垂直。求二面角A ' -FB -C 的大小。
图8
解:以点A 为坐标原点,建立如图8所示的直角坐标系A -xyz ,设点H 是线段EF 的中点,连接A ' H 。可以得到:
u u u v u u v
A
(0,0,0),A ,C (10,8,0),F
(4,0,0),FA ' ={-,FB ={6,0,0}。
uuuu v uu u v
A ' E =A ' F 由于,所以A ' H ⊥EF 。
又平面A ' EF 与底面ABCD 垂直。 uuuu v
所以:A ' H ⊥平面ABCD 。
u u u v
即HA ' =是底面ABCD 的一个法向量。
v uuu v v uu v v
设n =(x , y , z ) 是平面A ' FB 的一个法向量。那么:n ⋅FA ' =0,n ⋅FB =0
⎧⎪-2x +2y +=0即:⎨
6x =0⎪⎩
v
那么:x =0,y =-
2,z =
n ={0,-。
uuu v v
uuu v v HA ' ⋅n cos = =
HA ' ⋅n 即二面角A ' -FB -
C 的大小为4.4另类方法
比较常用的另类方法是四面体体积法、角度法和面积摄影法。
4.4.1四面体体积法
例8:如图9所示,在空间四面体A -BCD 中,四面体的所有棱长都是1,求二面角A -BD -C 的大小。
图9
分析:过点A 作辅助线AO ⊥平面BCD 于点O ,过点A 作辅助线AE ⊥BD 于点E ,连接直线EO ,∠AEO =θ,sin θ=
AO
。由于四面体A -BCD 是一个正四面体, ∠AEO AE
即为所求二面角。(也可以推导出当四面体不是正四面体时∠AEO 同样是所求的二面角)
正四面体A -BCD 的棱长是1,可以求出正四面体A -
BCD 的体积是
12
V A -BCD =
1
AO ⨯S BCD 3
AO
⨯S BCD ⨯(BD ⨯AE ) AE 2sin θ⋅S BCD ⋅S ABD ==
3BD 3BD
BD =
1,S ABD =S BCD =
124
根据已知条件可知:V A -BCD =
可以求出:sin θ=
,即:θ=arcsin 。 33
当四面体A -BCD 不是正四面体时也可以用这种方法求解,只需要知道体积、两个面的面积、公共边的长度就可以解出二面角的大小了。
4.4.2角度法
例9:如图10所示,以点A 为顶点的三条射线分别是AB 、AC 、AD ,其中AB 、AD 的夹角是θ1,AB 、AC 的夹角是θ2,AC 、AD 的夹角是θ3。现在要求二面角
C -AB -D 的大小。
图10
分析:现在设CB ⊥AB ,并且DB ⊥AB (由于AB 、AC 、AD 的长度没有给出,这样的假设是合理可行的),那么∠CBD 即为所求二面角的大小。
根据已知条件可以得到:
BD =AB ⨯tan θ1, AD =AB
cos θ1
AB
cos θ2 BC =AB ⨯tan θ2, AC =
222 又CD =AC +AD -2AC ⋅AD ⋅cos θ3 将AD =2AB cos θ12、AC =AB cos θ2带入得到: CD =AB (2cos θ311+-) 22cos θ1cos θ2cos θ1⋅cos θ2
在三角形BCD 中,
BC +BD -CD cos ∠CBD = 2BC ⋅BD 222
AB ⋅tan 2θ1+AB ⋅tan 2θ2-AB (
=22222cos θ311+-) cos 2θ1cos 2θ2cos θ1⋅cos θ22AB ⋅tan θ1⋅
tan θ2
11
(tan2θ1-
=2cos θ3112) +(tanθ-) +2cos 2θ1cos 2θ2cos θ1⋅cos θ2 2tan θ1⋅tan θ2
2cos θ3-1-1cos θ1⋅cos θ2 =2tan θ1⋅tan θ2
=cos θ3-cos θ1⋅cos θ2 cos θ1⋅cos θ2
cos θ3-cos θ1⋅cos θ2 cos θ1⋅cos θ2即:∠CBD =arccos
通过这种方法,可以在没有任何长度条件的情况下求解出二面角的大小,因此,该方法是一个比较特殊实用的方法。
4.4.3面积射影法
例10:如图11所示,在空间直角坐标系O -XYZ 中,点A 、B 、C 分别在X 、Y 、Z 轴上,现在要求二面角O -AB -C 的大小θ。
图11
分析:作CD ⊥AB 并且CD 与AB 相交于点D 。连接OD 。根据三垂线定理可知:OD ⊥AB 。即:∠CDO 即为所求二面角θ。
在∆CAB 中,S ∆CAB =
在∆OAB 中,S ∆OAB 1CD ⋅AB 。 21=OD ⋅AB 。 2
并且OD =CD ⋅cos θ。
12
∆OAB 是∆CAB 在平面XOY 内的射影。 由以上的条件可以得到: S ∆OAB
S ∆CAB 1OD ⋅AB OD ===cos θ 1CD CD ⋅AB 2
即:θ=arccos OD S ∆OAB (其中∆OAB 是∆CAB 在平面XOY 内的射影。) =arccos S ∆CAB CD 用另外一种简便语言表示就是: θ=arccos S 三角形
S
射影三角形
13
二面角的几种求法
4.1概念法
顾名思义,概念法指的是利用概念直接解答问题。
例1:如图2所示,在四面体ABCD 中,AC =AB =1, CD =BD =2, AD =3。求二面角A -BC -D 的大小。
图2
分析:四面体ABCD 的各个棱长都已经给出来了,这是一个典型的根据长度求角度的问题。
解:设线段BC 的中点是E ,接AE 和DE 。
CD =BD =2,根据已知的条件AC =AB =1,可以知道AE ⊥BC 且DE ⊥BC 。又BC
是平面ABC 和平面DBC 的交线。
根据定义,可以得出:∠AED 即为二面角A -BC -D 的平面角。
可以求出AE =
,DE ,并且AD =3。 2
根据余弦定理知:
AE +DE -AD
=
2AE ⨯DE
2
2
2
cos ∠AED =
2
+2-32
7=- 47
即二面角A -BC -D 的大小为π-arccos 。
4
同样,例2也是用概念法直接解决问题的。
例2:如图3所示,ABCD 是正方形,PB ⊥平面ABCD ,PB =AB =1,求二面角
A -PD -C 的大小。
图3
解:作辅助线CE ⊥PD 于点E ,连接AC 、AE 。
由于AD =CD ,PA =PC ,所以三角形PAD ≅三角形PCD 。即AE ⊥PD 。由于
CE ⊥PD ,所以∠AEC 即为所求的二面角的大小。
通过计算可以得到:PC
,PD =,又CD =1,在三角形PCD 中可以计算
得到CE =
。由此可以得到:AE =CE =
,又AC =。 2
2
2
22
+-2AE +CE -AC 1由余弦定理:cos ∠AEC ===- 22AE ⋅AC 22⋅3
2π
即:∠AEC =。
34.2空间变换法
空间变换法指的是基本的空间方法,包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。
下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。
例3:如图4所示,现有平面α和平面β,它们的交线是直线DE ,点F 在平面α内,点C 在平面β内。求二面角F -DE -C 的大小。
图4
分析:过点C 作辅助线CA 垂直于DE ,作CB 垂直于平面β于点B 。 4.2.1补角法
直接求解二面角F -DE -C 的大小是有些困难的,那么可以先求解二面角
C -DE -B 。因为二面角F -DE -C 与二面角C -DE -B 是互补的关系,现在先求出
二面角C -DE -B 后,二面角F -DE -C 的大小就很容易计算了。 4.2.2三垂线法
由于CA ⊥DE ,CB ⊥平面β。那么根据三垂线定理可以得知:CA 在平面β内的射影AB 垂直于两平面的交线DE 。即AC ⊥DE 且AB ⊥DE ,根据定义可知,二面角
C -DE -B 的大小即为∠CAB 的大小。那么二面角F -DE -C 的大小可以用补角法得
到。
4.2.3切平面法
切面法的基本思想是做一个垂面,它垂直于两个平面的交线,在所得的图形中就可以很容易观察与计算二面角。如图4所示,可以作平面CAB 垂直于两个平面的交线
DE ,平面CAB 与平面α的交线是AC ,平面CAB 与平面β的交线是AB ,根据二面
角的定义知∠CAB 即为所求二面角的补角,根据补角法,可以求出二面角F -DE -C 的大小。
下面用例4来详细讲解一下切平面法。
例4: 在图5中,PA ⊥平面ABC ,∠ABC =90o 。其中PA =AB =
1,PB =BC =E 是PC 的中点,DE ⊥PC 。求二面角C -BD -E 的大小。
图5
解:由于E 是PC 的中点,且∆PBC 是等腰三角形,那么BD ⊥PC 。 又DE ⊥PC ,可以推出:PC ⊥平面BDE 。所以:PC ⊥BD 。 又PA ⊥平面ABC ,则BD ⊥PA ,所以BD ⊥平面PAC 。 可以得出:平面PAC 是平面CBD 和平面EBD 的公共切平面。 由此,根据切平面法知∠CDE 即为所求二面角的平面角。 由于V CDE ≈∆CPA ,那么:
CD =
CE CA ⋅CP =2=
,DE =CE CA ⋅PA =1=
。
又:CE =
12PC ===1。 在三角形CDE 中根据余弦定理可知:
42
2
2
cos ∠CDE =CD +DE -CE +1-1
2
1
2CD ⋅DE ===2
3那么∠CDE =60o 。
即求二面角C -BD -E 的大小是60o 。
4.2.4补形法
以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法,以下通过一个单独的例子来讲解第四种方法——补形法。
例5:在图6中,PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是一个直角梯形,其中PA =1,
AD =1,CD =1,AB =
1
。∠BAD =∠ADC =90︒。求平面PAD 与平面PBC 所成二2
面角的大小。
图6
解:延长直线DA 与BC ,它们相交于点E ,连接PE 。
由题意可知,BA 平行于CD ,AB 的长度是CD 的一半,且BA ⊥AD ,BA ⊥PA ,那么BA ⊥平面PED ,CD ⊥平面PED ,AE =
1,PE 。
在三角形PED
中,PD =PE =,ED =AE +AD =2。那么根据勾股定理可知
∠DPE =90︒,即DP ⊥PE 。
CD ⊥平面PED ,DP ⊥PE ,且DP 是CP 在平面PED 内的射影,根据三垂线定理
知:CP ⊥PE 。
又DP ⊥PE ,即∠CPD 即为所求的二面角。
在Rt ∆CDP 中,CD =
1,PD
PC =
。那么cos ∠CPD =
3
。
即:∠CPD =
arccos
所以平面PAD 与平面PBC
所成二面角的大小是 在有些问题中,所给的图形不是能够很好观测到二面角的平面角,可以通过补形的方法来观测二面角的平面角。在例5中,很好的运用了补形法和三垂线法来解决问题,这也告诉我们,可以在一个问题中使用多种方法来达到解决问题目的。
4.3空间向量法
4.3.1二面角和两平面的夹角之间的关系
两平面的夹角有两个,它们之间互补,取它们中角度较小的为θ1,那么θ1的取值范
π
围是(0,]。而二面角是指两个特定的半平面所组成的图形,二面角θ2的取值范围是
2
(0,π) 。
但是我们可以利用两个平面的夹角来求二面角,它们之间的关系具体如下: 如果0≤θ2≤如果
π
2
,θ2=θ1。(1)
π
2
≤θ2≤π,θ2=π-θ1。(2)
因此,在用空间向量法求解二面角的时候,必须先判断二面角的大小是锐角还是钝角,然后由以上发现的规律来求解。当然,前提是先求出两平面的夹角。
4.3.2平面法向量的求法
两平面间的夹角一般根据两平面的法向量来求。如果平面方程已知,平面的法向量可以直接给出,如果平面方程未知,法向量可以根据平面内的三个点的坐标求出来。如图7所示:
例6:如图7所示在平面α内,已知三点X =(x 1, y 1, z 1) ,Y =(x 2, y 2, z 2) ,
Z =(x 3, y 3, z 3) 。
图7
v
下面求解平面α的一个法向量n 。 解法一:
求平面的法向量的大小,可以用该平面内的两个向量的矢性积来求,即:
v uu u v uu u v n =XY ⨯XZ
u u u v u u u v
又XY ={x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1},XZ ={x 3-x 1, y 3-y 1, z 3-z 3} 可以求出:
v y 2-y 1n ={
y 3-y 1
z 2-z 1z 2-z 1
,
z 3-z 3z 3-z 3
x 2-x 1x 2-x 1
,
x 3-x 1x 3-x 1
y 2-y 1y 3-y 1
解法二:
设平面α的方程为Ax +By +Cz +D =0
将点X ,Y ,Z 的坐标分别代入方程可以解出系数A ,B ,C ,D 。
在此特别强调一下,三个点带入方程后得到的应该是一个四元三次方程,可能无解,如果有解,那么一定有无数多个解。可以通过解方程,将A ,B ,C 全部用D 表示,这样就可以得到一个形如2Dx +5Dy +4Dz +D =0的方程,可以将新得到的方程两边同时除以D (D 一定不等于0,否则A =B =C =D =0,方程无意义),那么就可以得到平面的方程2x +5y +4z +1=0。
v
得到了平面的一般方程,即得平面的法向量坐标n ={A , B , C }。 解法三:
uu u v uu u v
在图7中,由所给的信息,可以求出向量XY 、XZ 的大小。设平面α的一个法向
v
量n ={x , y , z }。
u u u v u u u v
若XY ={a 1, b 1, c 1},XZ ={a 2, b 2, c 2}。 v uu u v v uu u v
由n ⋅XY =0,n ⋅XZ =0可以得到:
⎧a 1x +b 1y +c 1z =0
⎨
⎩a 2x +b 2y +c 2z =0
可以求解出x ,y ,z 的关系。此方程一定有无数多个解,可以将x ,y 用z 表示。
v v
如n ={2z ,4z , z },由此可知向量n ={2,4,1}是平面α的一个法向量。
4.3.3两平面夹角的公式
u v u u v
θ两平面相交时,定义它们之间的夹角为它们法向量的夹角为〈n 1, n 2〉,其中u v
。于是:
n i ={A i , B i , C i },i =1, 2
u v u u v
n 1⋅n 2
cos θ==
n 1⨯n 2
4.3.4两平面的夹角转化成二面角
利用上述方法,先求出两平面的法向量,再求两平面的夹角,最后可以根据(1)、(2)求出二面角的大小。
例7:如图8所示,四边形ABCD 是一个矩形,点E 和点F 分别在边AD 和边AB 上,其中AE =AF =ED =4,FB =6。现在以直线EF 为折痕,将三角形AEF 折起,得到三角形A ' EF ,同时使得平面A ' EF 与底面ABCD 垂直。求二面角A ' -FB -C 的大小。
图8
解:以点A 为坐标原点,建立如图8所示的直角坐标系A -xyz ,设点H 是线段EF 的中点,连接A ' H 。可以得到:
u u u v u u v
A
(0,0,0),A ,C (10,8,0),F
(4,0,0),FA ' ={-,FB ={6,0,0}。
uuuu v uu u v
A ' E =A ' F 由于,所以A ' H ⊥EF 。
又平面A ' EF 与底面ABCD 垂直。 uuuu v
所以:A ' H ⊥平面ABCD 。
u u u v
即HA ' =是底面ABCD 的一个法向量。
v uuu v v uu v v
设n =(x , y , z ) 是平面A ' FB 的一个法向量。那么:n ⋅FA ' =0,n ⋅FB =0
⎧⎪-2x +2y +=0即:⎨
6x =0⎪⎩
v
那么:x =0,y =-
2,z =
n ={0,-。
uuu v v
uuu v v HA ' ⋅n cos = =
HA ' ⋅n 即二面角A ' -FB -
C 的大小为4.4另类方法
比较常用的另类方法是四面体体积法、角度法和面积摄影法。
4.4.1四面体体积法
例8:如图9所示,在空间四面体A -BCD 中,四面体的所有棱长都是1,求二面角A -BD -C 的大小。
图9
分析:过点A 作辅助线AO ⊥平面BCD 于点O ,过点A 作辅助线AE ⊥BD 于点E ,连接直线EO ,∠AEO =θ,sin θ=
AO
。由于四面体A -BCD 是一个正四面体, ∠AEO AE
即为所求二面角。(也可以推导出当四面体不是正四面体时∠AEO 同样是所求的二面角)
正四面体A -BCD 的棱长是1,可以求出正四面体A -
BCD 的体积是
12
V A -BCD =
1
AO ⨯S BCD 3
AO
⨯S BCD ⨯(BD ⨯AE ) AE 2sin θ⋅S BCD ⋅S ABD ==
3BD 3BD
BD =
1,S ABD =S BCD =
124
根据已知条件可知:V A -BCD =
可以求出:sin θ=
,即:θ=arcsin 。 33
当四面体A -BCD 不是正四面体时也可以用这种方法求解,只需要知道体积、两个面的面积、公共边的长度就可以解出二面角的大小了。
4.4.2角度法
例9:如图10所示,以点A 为顶点的三条射线分别是AB 、AC 、AD ,其中AB 、AD 的夹角是θ1,AB 、AC 的夹角是θ2,AC 、AD 的夹角是θ3。现在要求二面角
C -AB -D 的大小。
图10
分析:现在设CB ⊥AB ,并且DB ⊥AB (由于AB 、AC 、AD 的长度没有给出,这样的假设是合理可行的),那么∠CBD 即为所求二面角的大小。
根据已知条件可以得到:
BD =AB ⨯tan θ1, AD =AB
cos θ1
AB
cos θ2 BC =AB ⨯tan θ2, AC =
222 又CD =AC +AD -2AC ⋅AD ⋅cos θ3 将AD =2AB cos θ12、AC =AB cos θ2带入得到: CD =AB (2cos θ311+-) 22cos θ1cos θ2cos θ1⋅cos θ2
在三角形BCD 中,
BC +BD -CD cos ∠CBD = 2BC ⋅BD 222
AB ⋅tan 2θ1+AB ⋅tan 2θ2-AB (
=22222cos θ311+-) cos 2θ1cos 2θ2cos θ1⋅cos θ22AB ⋅tan θ1⋅
tan θ2
11
(tan2θ1-
=2cos θ3112) +(tanθ-) +2cos 2θ1cos 2θ2cos θ1⋅cos θ2 2tan θ1⋅tan θ2
2cos θ3-1-1cos θ1⋅cos θ2 =2tan θ1⋅tan θ2
=cos θ3-cos θ1⋅cos θ2 cos θ1⋅cos θ2
cos θ3-cos θ1⋅cos θ2 cos θ1⋅cos θ2即:∠CBD =arccos
通过这种方法,可以在没有任何长度条件的情况下求解出二面角的大小,因此,该方法是一个比较特殊实用的方法。
4.4.3面积射影法
例10:如图11所示,在空间直角坐标系O -XYZ 中,点A 、B 、C 分别在X 、Y 、Z 轴上,现在要求二面角O -AB -C 的大小θ。
图11
分析:作CD ⊥AB 并且CD 与AB 相交于点D 。连接OD 。根据三垂线定理可知:OD ⊥AB 。即:∠CDO 即为所求二面角θ。
在∆CAB 中,S ∆CAB =
在∆OAB 中,S ∆OAB 1CD ⋅AB 。 21=OD ⋅AB 。 2
并且OD =CD ⋅cos θ。
12
∆OAB 是∆CAB 在平面XOY 内的射影。 由以上的条件可以得到: S ∆OAB
S ∆CAB 1OD ⋅AB OD ===cos θ 1CD CD ⋅AB 2
即:θ=arccos OD S ∆OAB (其中∆OAB 是∆CAB 在平面XOY 内的射影。) =arccos S ∆CAB CD 用另外一种简便语言表示就是: θ=arccos S 三角形
S
射影三角形
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