概率论与数理统计1-6章作业及参考答案高等教育出版社

第一章

（本章计算概率的习题除3~6以外，其余均需写出事件假设及概率公式，不能只有算式） 1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1）同时抛三颗色子，记录三颗色子的点数之和；

（2）将一枚硬币抛三次，(i)观察各次正反面出现的结果；(ii)观察正面总共出现的次数；（3）对一目标进行射击，直到命中5次为止，记录射击次数；（4）将一单位长的线段分成3段，观察各段的长度；

（5）袋中装有4个白球和5个红球，不放回地依次从袋中每次取一球，直到首次取到红球为止，记录取球情况。解：(1)

Ω={3, 4,..., 18}

(2) (i ) Ω={TTT , TTH , THT , THH , HTT , HTH , HHT , HHH }, (ii ) Ω={0, 1, 2, 3} (3) Ω={5, 6,..... }

(4) Ω={(x , y , z )x +y +z =1, x , y , z >0, x , y , z ∈R } (5) Ω=｛红，白红，白白红，白白白红，白白白白红｝

2. 设A ，B ，C 为随机试验的三个随机事件，试将下列各事件用A ，B ，C 表示出来。（1）仅仅A 发生；（2）三个事件都发生；（3）A 与B 均发生，C 不发生；（4）至少有一个事件发生；（5）至少有两个事件发生；（6）恰有一个事件发生；（7）恰有两个事件发生；（8）没有一个事件发生；（9）不多于两个事件发生。解：

3. 辆公共汽车出发前载有5名乘客，每位乘客独立在7个站中的任意一站离开，求下列事件的概率：

（1）第7站恰有两位乘客离去；

（2）没有两位及两位以上乘客在同一站离去。

解：

4. 一公司有16名员工，若每个员工随机地在一个月的22天工作日中挑选一天值班，问：不会出现有两个及以上的员工挑选同一天值班的概率是多少？

16C

22⋅16!

解：

2216

5. 一元件盒中有50个元件，其中25件一等品，15件二等品，10件次品，从中任取10件，求：

（1）恰有两件一等品，两件二等品的概率；（2）恰有两件一等品的概率；（3）没有次品的概率。

2262810

C 40C 25*C 15*C 10C 25*C 25

2) 3) 10 解：1) 1010

C 50C 50C 50

6. 一种福利彩票，它从1，2，…，35中开出7个基本号码（全不相同），再从1,2, …，10中开出一个特殊号码，计算出下列奖项的中奖概率。（不需算出结果）（1）特等奖（7个基本号码及特殊号码全中）；

（2）一等奖（7个基本号码全中或中6个基本号码及特殊号码）；（3）二等奖（中6个基本号码）；

161611

C 9+C 7C 28C 7C 28C 91

（3）解：（1） 71 （2） 7171

C 35C 10C 35C 10C 35C 10

7. 将3个球随机地放入4个盒子中去，求盒子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。解：设A i ＝｛盒子中球的最大个数为i ｝i =1,2,3

1C 4⋅3! 3

P (A 1) =3=，（盒中球数为1,1,1,0的情况）

48121C 4C 3⋅C 39

P (A 2) ==，（盒中球数为1,2,0,0的情况） 3

4161C 41

P (A 3) =3=，（盒中球数为3,0,0,0的情况）

416

8. 不断抛掷两颗色子，设A={两颗色子点数之和为5}，B={两颗色子点数之和为7}，求A 在B 之前发生的概率。

解：设C={A在B

之前发生},

C =

∪

C n

n =1∞

9. 设A ，B 是试验E 的两个事件，且P(A)=1/3, P(B)=1/2．在以下各种情况下计算P (B （1）A ⊂B ；（2）A 与B 互不相容；（3）P(AB)=1/8 解：

10. 设P (A ) > 0， P (B ) > 0 ，将下列四个数：

P (A ) 、P (AB ) 、P (A ∪B ) 、P (A ) + P (B ) 用“≤”连接它们，并指出在什么情况下等号成立. 解：P (AB ) ≤ P (A ) ≤ P (A ∪B ) ≤ P (A ) + P (B ) 当AB ＝A 时，第一个等号成立；当A ∪B ＝A 时，第二个等号成立；

当A ，B 互不相容时，第三个等号成立；

11. 现有两种报警系统A 与B ，每种系统单独使用时，系统A 有效的概率是0.92, 系统B 为0.93。两种系统装置在一起后，至少有一个系统有效的概率是0.988，求（1）两个系统均有效的概率；

（2）两个系统中仅有一个有效的概率。解：由题知

(1)

(2)

12. 已知 A 1和A 2同时发生，则A 必发生，证明：P(A)≥P(A1)+ P(A2)-1 解：

13. 已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/16，计算A, B, C全不发生的概率。

14.

将两颗色子同时抛一次，已知两颗色子点数之和为奇数，求它们点数之和小于8的概率。解：

15. 10件产品中有6件正品，4件次品，对它们逐一进行检查，求下列事件的概率（1）第4次才发现第一个次品；

（2）第1、3、5次抽到正品，2、4次抽到次品。解：设A i ＝｛第i 次抽到正品｝i=1,2,3,4,5

P (A 1A 2A 3A 4) =P (A 1) P (A 2|A 1) P (A 3|A 1A 2) P (A 4|A 1A 2A 3)

(1)

65444

=⋅⋅⋅=

10987105

P (A 1A 2A 3A 4A 5) =P (A 1) P (A 2|A 1) P (A 3|A 1A 2) P (A 4|A 1A 2A 3) P (A 5|A 1A 2A 3A 4)

(2)

645341

=⋅⋅⋅⋅=

10987621

注意：此题用古典概率做对也算对

16. 某人忘记电话号码的最后一个数字，他仅记得最后一位是偶数。现在他试着拨最后一个号码，求他拨号不超过三次而接通电话的概率。解：

17. 某型号的显像管主要由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品概率分别占总数的25%, 50%, 25%. 甲、乙、丙三个厂家的产品在规定时间内能正常工作的概率分别是0.1, 0.2, 0.4. 求一个随机选取的显像管能在规定时间内正常工作的概率。解：

18. 已知一批产品中96%是合格品，用某种检验方法辨认出合格品为合格品的概率为0.98, 而误认废品是合格品的概率为0.05, 求检查合格的一件产品确系合格的概率。解：

＝0.9979

19. 某超市销售一批照相机共10台，其中有3台次品，7台正品。某顾客去选购时，超市已售出2台，该顾客从剩下的8台中任选一台，（1）求该顾客购买到正品的概率；(2) 若该顾客购买的相机经检验为正品，则已售出的2台均为次品的概率是多少？解：设A={该顾客买到正品}；B i ={已售出的2台相机中有i 台次品},i=0,1,2

C 725C 3C 76C 32721

⋅+2⋅=(1) P (A ) =∑P (B k ) P (A B k ) =2⋅+ 2

C 8C 8C 830k =0101010

(2) P (B 2A ) =

P (A |B 2) P (B 2)

∑P (B ) P (A B )

k =0

20. 设甲、乙、丙三导弹向同一敌机射击，甲、乙、丙击中敌机的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 如果只有一弹击中，飞机坠毁的概率为0.2；如两弹击中，飞机坠毁的概率为0.6；如三弹击中，飞机坠毁的概率为0.9。（1）求飞机坠毁的概率；（2）若飞机已经坠毁，问飞机最有可能是被几颗导弹击中的？

解设 A ={飞机坠毁}，B k ={恰有k 弹击中飞机}，k =0,1,2,3，构成完备事件组。假定三发导弹击中飞机是相互独立的，有

P (B 0) =(1−0. 4)(1−0. 5)(1−0. 7) =0. 09

P (B 1) =0. 4×(1−0. 5)(1−0. 7) +(1−0. 4) ×0. 5×(1−0. 7)

+(1−0. 4)(1−0. 5) ×0. 7=0. 36P

(B 2) =0. 4×0. 5×(1−0. 7) +(1−0. 4) ×0. 5×0. 7

+0. 4×(1−0. 5) ×0. 7=0. 41

P (B 3) =0. 4×0. 5×0. 7=0. 14

（1）根据全概率公式

P (A ) =∑P (B k ) P (A B k ) =0×0. 09+0. 2×0. 36+0. 6×0. 41+0. 9×0. 14=0. 444

k =0

（2）由贝叶斯公式

P (B 2A ) =

P (B 2) P (A B 2) 0. 41×0. 6P (AB 2) ==≈0. 554

P (A ) 0. 444P (A )

同理，可算出P (B 1A ) =0.164 , P (B 3A ) =0.284, 可见，飞机最由可能是被2颗导弹击中的。 21. 设袋中装有4个球：1白，1红， 1黄，还有1个涂了红、白、黄三种颜色。现从袋中

任取一球，设A={该球涂有白色}，B={该球涂有红色}，C={该球涂有黄色}，试讨论事件A, B, C的独立性。

22.

设事件

A ，B ，C 相互独立，且P(A)=1/4, P(B)=1/3, P(C)=1/2. 试求：（1）三个事件都不发生的概率；

（2）三个事件至少有一个发生的概率；（3）三个事件恰好有一个发生的概率；（4）至多有两个事件发生的概率。解：

23. 设有事件A 1, , A n ，在下列各种条件下怎样求A 1, , A n 至少有一个发生的概率。（1）A 1, , A n 互不相容；（2）A 1, , A n 相互独立；（3）一般情形。解：(1) 由概率的有限可加性可得

p = P (A 1)+ P (A 2)+ …+ P (A n )

(2)

(3)用加法定理公式得

第二章习题

1. 设F 1(x ), F 2(x ) 为两个分布函数，问：

（1）F 1(x ) +F 2(x ) 是否分布函数？（2）F 1(x ) F 2(x ) 是否分布函数？给出证明。解：(1) 不是，因为0≤F 1(x ) +F 2(x ) ≤2或lim [F 1(x ) +F 2(x )]=2

x →+∞

（2）是。

因F 1(x ), F 2(x ) 分别单调不降故F 1(x ) F 2(x ) 单调不降；

因0≤F i (x ) ≤1，lim F i (x ) =0，lim F i (x ) =1, i =1, 2，容易得到0≤F 1(x ) F 1(x ) ≤1，

x →−∞

x →+∞

x →−∞

lim F 1(x ) F 2(x ) =0，lim F 1(x ) F 2(x ) =1。

x →+∞

因F 1(x ), F 2(x ) 分别右连续故F 1(x ) F 2(x ) 右连续。

2. 一批晶体管中有个9个合格品和3个不合格品，从中任取一个安装在电子设备上。若取

出不合格品不再放回，求取得合格品前已取出的不合格品个数的分布律和分布函数。解：

1 2 3

9/44

9/220

1/220

⎧0, x

F (x ) =⎨21/22, 1≤x

⎪219/220, 2≤x

注意区间的左闭右开！

3. 做一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p ，求：（1） n 次试验中成功次数X 的分布律；

（2）在n 次成功之前已经失败次数Y 的分布律；（3）首次成功时试验次数Z 的分布律。解：1) P {X =k }=C n p (1−p )

k k

n −k

, k =0, 1, 2..., n 或X ~B (n , p )

2) P {Y =k }=C n +k −1p (1−p ), k =0, 1, 2...

3) P {Z =k }=p (1−p )

k −1

, k =1, 2...

4. 一批产品共有25件，其中5件次品，从中随机地一个一个取出检查，共取4次，设X

为其中的次品数，若

（1）每次取出的产品仍放回；（2）每次取出的产品不再放回。写出两种情况下X 的分布律。解：（1） X ~B ⎛4, 1⎞, 故分布律为⎜⎟

5⎝⎠

P (X =k ) =C 4k (0.2)k (0.8)4−k , k =0,1, 2,3, 4

4−k

C 5k *C 20

(2) P (X =k )=4

C 25

k =0, 1, 2, 3, 4

5. 一放射源放射出的粒子穿透某一屏蔽的概率是0.01，现放射出100个粒子，求至少有6

个粒子穿透屏蔽的概率。

解：设放射出的100个粒子中穿透屏蔽的粒子数为X ，则

X~B(100,0.01), 所求概率为P {X ≥6}

由于n=100较大，而p=0.01很小，故X 近似服从参数λ=np=1的泊松分布。于是

≈0. 000594 P {X ≥6}≈∑e ! k k =6

+∞

−1

6. 随机变量X 的分布函数为

F (x ) =A +Barctgx ,

求：

（1）系数A ，B ；

（2） X 落在区间（－1，1）的概率；（3） X 的概率密度。解：

x ∈R

7. 从一批子弹中任意抽出5发试射，若没有一发子弹落在靶心2厘米以外，则接受该批子

弹。设弹着点与靶心的距离X （厘米）的概率密度为

⎧⎪Axe −x , 0

⎪0, 其他⎩

试求：(1)系数A ；（2）X 的分布函数F (x ); （3）该批子弹被接受的概率。

解：

（2）F (x ) =

∫

−∞

⎧0, x

−x 2⎪2−1e ⎪x 2

f (t ) dt =⎨∫0≤x

⎪⎩1, x ≥3

（3）

该批子弹被接受的概率为P {Y =5}=(

1−e 5

−9

1−e

−4

8. 在长为L 的线段上随机选取一点，将其分为两段，求短的一段与长的一段之比小于1/4

的概率？解：

9. 一电子信号在(0,T)时间内随机出现，设0

(2) 已知信号在t 0时刻前没有出现，求它在（t 0, t 1）内出现的概率。解：设电子信号出现的时间为X ，则X~U(0,T) (1) P{t 0

t 1−t 0

P {t 0

==10 (2) P {X t 0}=

0T −t 0P {X >t 0}

10. 两台新的电子仪器寿命分别为X 1, X 2，X 1~N (42, 36) ，X 2~N (45, 9) , 若需连续使用仪器46小时，问选用哪一台仪器较好？解：

46−42

) ≈1−Φ(0. 67) ≈0. 25146 46−45

P {X 2>46}=1−Φ() ≈1−Φ(0. 33) ≈0. 3707

3P {X 1>46}=1−Φ(

选用第二台仪器比较好

11. 设测量误差X ~N (0, 102) ，求在100次独立重复测量中至少有3次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松分布求其近似值。

解：设100次独立重复测量中测量误差的绝对值大于19.6的次数为Y ，计算

19. 6−0−19. 6−0

P {|X |>19. 6}=1−P {|X |≤19. 6}=1−(Φ() −Φ()) =2−2Φ(1. 96) =0. 05

1010

则Y~B(100,0.05), 近似服从参数为5的泊松分布

于是 P {Y ≥3}≈∑e ≈0. 8753

k ! k =3

+∞

−5

12. 设某电子元件寿命X （小时）服从参数为λ的指数分布。若要求该元件寿命在1200小

；时以上的概率达到0.96，求λ的最大取值（λ称为该元件的失效率）解：0. 96≤P {X >1200}=

∫

+∞

1200

λe −λx d x =e −1200λ⇒λ≤−

ln 0. 96

≈3. 4×10−5 1200

失效率λ不能超过3. 4×10

−5

13. 假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数N(t) 服从参数为λt 的泊松分布。（1）求相继两次故障之间的时间间隔T 的概率分布；

（2）求在设备已无故障工作8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。

⎧0, t

解：（1）F T (t ) =P {T ≤t }=⎨ (λt ) 0−λt −λt

1P {N (t ) 0}1e 1e , t 0−==−=−≥⎪0! ⎩

可见T 服从参数为λ的指数分布

（2）利用指数分布的无后效性有P {T >16|T >8}=P {T >8}=1−F T (8) =e

−8λ

第 3 章习题

1. 二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F (x , y ) =A (B +arctg x 2)(C +arctg y

(x , y ) ∈R 2，

试求：（1）系数A ，B ，C ；（2）边缘分布函数。

解：

2. 袋中有4个球，分别标有数字1, 2, 2, 3, 从中随机取出一球, 再取第二次，分别以X, Y

记第一次、第二次取到球上的号码，求 (1) ( X , Y )的联合分布律; (2) ( X , Y )的边缘分布律；解：

其中

其余概率类似

3. 随机变量(X，Y)

求：(1) a 的值； (2) (X，解：(1) 由归一性知a =1/3;

⎧⎪0, x

⎨5/12, x ≥2, −1≤y

⎪⎪1/2, 1≤x

4. 假设（X ，Y ）的联合概率密度为

⎧Cx 2y , x 2≤y ≤1;

f (x , y ) =⎨

⎩0, 其其

试求：（1）常数C ；（2）P {X ≥Y }；（3）P ≤Y ≤1} 。解：（1）（2）

（3）P {1/4≤Y ≤1}=

1/4≤y ≤1

∫∫f (x , y ) dxdy =

1/4

∫

212127x ydx = 4128−y

5. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为

⎧12e −(3x +4y ) , x >0, y >0;

f (x , y ) =⎨

⎩0, 其其.

试求：（1）P {0≤X ≤1, 0≤Y ≤2}；（2）联合分布函数F (x , y ) . 解：

6. 甲乙两人约定在下午1点到2点之间的任意时刻独立到达某车站乘坐公交车，这段时间

内共有四班公交车，其们开车的时刻分别为1:15, 1:30, 1:45; 2:00. 若他们约定：（1）见车就乘；（2）最多等一辆车。求他们乘同一辆车的概率。解：

7. 设二维随机变量（X ，

问α和β取什么值时，解：

若X 与Y 相互独立，则1/3（1/9+α）＝1/9, 1/3(1/18+β)= 1/18, 得α＝2/9, β= 1/9.

8. 设随机变量X 与Y 相互独立，且P{X=1}= P{Y=1}=p, P{X=0}= P{Y=0}=1-p（0

定义随机变量Z 为 Z =⎨

⎧0, X +Y 为为数

⎩1, 其其;

（1）求X ，Z 的联合分布律；

（2）问p 取何值时，X 与Z 相互独立？解： (1)

P {X =0, Z =0}=P {X =0, X +Y =1}=P {X =0, Y =1}=P {X =0}P {Y =1}=p (1−p )

P {X =0, Z =1}=P {X =0, X +Y =0}=P {X =0, Y =0}=P {X =0}P {Y =0}=(1−p ) 2 P {X =1, Z =0}=P {X =1, X +Y =1}=P {X =1, Y =0}=P {X =1}P {Y =0}=p (1−p ) P {X =1, Z =1}=P {X =1, }

P {Y =1}=p 2

(2)在上表中求得X ，Z 的边缘分布律

由相互独立的充要条件p ij =p i . ⋅p . j 知当p=1/2时，X ，Z 相互独立。

9. 设（X ，Y ）的联合概率密度为

⎧Cxy 2, 0

f (x , y ) =⎨

⎩0, 其其

确定常数C ，并讨论X 与Y 的独立性。解：

10. 设（X ，Y ）的联合概率密度为 f (x , y ) =⎨问X 与Y 是否相互独立？解：

⎧8xy , 0≤x ≤y ≤1;

⎩0, 其其

11. 设某动物生蛋的数目X ~P (λ) 。若每个蛋能发育成小动物的概率是p ，且各个蛋能否发育成小动物是相互独立的。证明：该动物的后代数目服从泊松分布。解：设该动物的后代数目为Y ，由题意知

k k

P (Y =k |X =n ) =C n p (1−p ) n −k , k =0, 1, " , n

而 P (X =n ) =所以

λn

n !

e −λ, n =0, 1, 2, "

P (X =n , Y =k ) =P (Y =k |X =n ) P (X =n )

=C p (1−p )

∞

k n −k

λn

n !

−λ

e −λ(λp ) k (λ(1−p )) n −k

=, k ≤n , n =0, 1, 2,...

k ! (n −k )!

∞

e −λ(λp ) k (λ(1−p )) n −k

P (Y =k ) =∑P (X =n , Y =k ) =∑

k ! (n −k )! n =k n =k

e (λp )

k !

−λk

(λ(1−p )) ∑(n −k )! n =k

∞

n −k

e (λp ) λ(1−p ) e

=k !

−λk −λp

(λp )

, k =0, 1, 2, " k !

12. 设（X ，Y ）的联合概率密度为

xy ⎧2

⎪, 0≤x ≤1, 0≤y ≤2; x + f (x , y ) =⎨3⎪0, 其其⎩

（1）求的条件概率密度f Y |X (y |x ) ； ( 2 ) 求 P {Y >1|X =1/2}。

解：(1)f X

(x ) =

∫

+∞

−∞

2x ⎧22xy 2

⎪∫0(x +) dy ＝2x +, 0

f (x , y ) dy =⎨33

⎪⎩0, 其其

3x +y

f (x , y ) ⎧⎪, 0

(2) 当0

f X (x ) ⎪0, 其其

⎩

3y 1⎧⎪+, 0

f Y |X (y |) =⎨105

2⎪0, 其其

⎩

P {Y >1|X =1/2}=∫

+∞

3y 3

f Y |X (y |x ) dy =∫(+) dy =

11055

13. 设二维随机变量（X ，Y ）在（1，0），（0，1），（－1，0），（0，－1）四点构成的正方

形上服从均匀分布，

（1）求条件概率密度f Y |X (y |x ) ；（2）计算概率P {Y >

y=x+1

y=-x+1 |X

⎧1

⎪, (x , y ) ∈D ;

解：（1）f (x , y ) =⎨2 y=-x-1y=x-1

⎪⎩0, (x , y ) ∉D .

f X (x ) =∫

+∞

−∞

⎧1+x , −1≤x

⎪

f (x , y ) dy =⎨1−x , 0≤x ≤1;

⎪0, 其他. ⎩

⎧1

, −x −1

当-1

f X (x ) ⎪

0, 其其⎩⎧1

, x −1

当0

f X (x ) ⎪

0, 其其⎩

当x ≤−1或x ≥1时，f Y |X (y |x ) 不存在

（3）由于（X ，Y ）是二维均匀分布，所以

P {X 11=1/8=1 P {Y >|X

227/87P {X

14. 已知离散型随机变量X 的分布律为

π/21/2

π 1/4

试求Y =解：

X +2和Z =cos X 的分布律。 3

15. 设X

~N (μ, σ) ，写出（

）

；

（

）

的概率密度。

解：

16.

设随机变量

的概率密度为

⎧x ⎪ f (x ) =⎨2, 0≤x ≤2; ⎪⎩0, 其其

求Y =X (2−X ) 的分布函数和概率密度。

解：由X 的概率密度形式易知 P {0≤X ≤2}=1, 而P {0≤Y ≤1}=P {0≤X (2−X ) ≤1}=1

F Y (y ) =P {Y ≤y }=P {X (2−X ) ≤y }

⎧

0, y

⎨1−P {X (2−X ) >y }=1−P {1−−y

∫1+−y x 1−−y dx =1−−y , 0≤y ≤1

⎩

1, y ≥12

⎧1

f ⎪

, 0

⎪⎩

0, 其其

17. 设随机变量X 具有严格单调上升连续的分布函数F(x ), 求Y=F(X)的分布函数。解：

⎧0, y

Y (y ⎨P {X ≤F −1(y )}=F (F −1(y )) =y , 0≤y

⎪⎩

1, y ≥1

18. 设随机变量X ，Y 相互独立，且分别服从参数为λ1和型λ2的泊松分布，

（1）证明：X+Y服从参数为λ1+λ2的泊松分布；

（2）对给定的X+Y，X 的条件分布是二项分布：P {X =k |X +Y =n }~B (n ,

λ1λ1+λ

解：（1）P (X =k ) =

λk

1−λ1

k !

e , k =0, 1, 2, " P (Y =l ) =

λ2−λ2l !

e , l =0, 1, 2, "

P (X +Y =n ) =∑P {X =k }P {Y =n −k }

k =0

n −k

(k n −k

(λ1+λ2) n =∑

λk

1−λ1

λ2λλ1+λ2) n 2

e −λ1λ2e −k k n −k e −(λ1+λ2)

=k =0

k !

(n −k )!

−n ! ∑n ! =C n λ1λ2=(λk =0k ! (n −k )! n ! ∑1+λ2) n k =0n !

（2）

n =0, 1, 2, "

P {X =k |X +Y =n }=

P {X =k , X +Y =n }P {X =k , Y =n −k }

P {X +Y =n }P {X =k }

k 1

n −k

λ1k

λλ2λ1⎞k ! (n −k )! k ⎛⎜⎟n ! C ==n ⎜−(1+2) n

e k ! (n −k )! (λ1+λ2) λ1+λ2⎟n ⎝⎠(λ1+λ2) n !

−λ1

λ2n −k

e −λ2

⎛λ2⎞⎜⎜λ+λ⎟⎟⎝12⎠

n −k

19. 设随机变量X 和Y 的联合概率密度为

1−2x 2+y 2)

f (x , y ) =e , (x , y ) ∈R 2

2π

计算概率P {−2

20. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为

⎧2e −(x

+2y ) , x >0, y >0;

f (x , y ) =⎨

⎩0, 其其

求随机变量Z=X+2Y的分布函数和概率密度。解：

21. 随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为λ的指数分布，Y~U(0, h), 求X+Y的概率密

度。解：

22. 一射手向某个靶子射击，设靶心为坐标原点，弹着点坐标（X ，Y ）服从二维正态分布

N(0,1;0, 1;0). 求弹着点与靶心的距离Z 的概率密度函数。解：（X ，Y ）的联合概率密度为

1−2(x 2+y 2)

f (x , y ) =e , (x , y ) ∈R 2

2π

弹着点与靶心的距离Z 的分布函数为

F Z (z ) =P {Z ≤z }=P X 2+Y 2≤z }

⎧0, z

⎪12212

−x +y ) −r 2z π=⎨1212222−z 2/2

+≤===−P {X Y z }e dxdy e rdrd θ1e , z ≥0∫∫∫⎪0∫02π2π

x 2+y 2≤z 2⎩

第四章

1. 一箱产品中有3件正品和2件次品，不放回任取两件，X 表示得到的次品数，求平均次

品数E(X)

2. 地面雷达搜索飞机，在时间(0,t)内发现飞机的概率是P (t ) =1−e −λt , (λ>0) ，试求发现飞

机所需的平均搜索时间。

0≤x ≤1⎧x ,

⎪3. 设随机变量X 的概率密度为f (x ) =⎨2−x , 1

4. 设随机变量ξ服从几何分布：P (ξ=k ) =pq k (q =1−p ), k =0, 1, 2, " ，求E (ξ), D (ξ) . 解：E (ξ

) =∑kP {ξ=k }=∑kpq =pq ∑kq

k =0

k =1

+∞

k −1

⎡⎛+∞k ⎞⎤q

⎟x =pq ⎢⎜' =⎜∑⎟x ⎥

⎣⎝k =1⎠⎦x =q p

E (ξ) =∑k P {ξ=k }=∑k pq =pq ∑k 2q k −1

k =0

k =1

+∞+∞+∞

=pq ∑k (k +1−1) q

k =1

+∞

k −1

=pq ∑k (k +1) q

k =1

+∞

k −1

−pq ∑kq k −1

k =1

+∞

″⎤⎡⎛+∞

⎞q 2q 2q −pq (2−p ) q k +1⎥⎟=pq ⎢⎜x −=pq −==x ∑32⎟⎥⎢⎜p p p p p 2⎝k =1⎠

⎣⎦x =q (2−p ) q q 2q

D (ξ) =E (ξ) −E (ξ) =−=

p 2p 2p 2

5. 已知随机变量X~P(λ), 试求E (1) .

1+X

⎧e −x , x >0

6. 随机变量X 的概率密度为f (x ) =⎨，试求Y=2X和Z =e −2X 的数学期望。

⎩0, x ≤0

7. 设某种产品每周的需求量X~U(10,30)，而经销商进货数量为区间[10,30]中的某一整数。

商店每销售一件商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一件商品亏损100元；若供不应求可从外部调货，但此时每件商品仅获利300元。为使该商店每周所获平均利润至少为9280元，试确定最少进货量。

解：设商店的进货量为n （10≤n ≤30）, 则商店每周所获利润为

⎧500X −100(n −X ) =600X −100n , X ≤n ,

g (X ) =⎨

⎩500n +300(X −n ) =300X +200n , X >n

E [g (X )]==

∫

+∞

−∞

g (x ) f X (x ) dx =

130

g (x ) dx 20∫10

301⎡n

x n dx −+(600100) (300x +200n ) dx ⎤∫∫⎢⎥n ⎦

20⎣10

1=−150n 2+7000n +105000≥92802062⇒≤n ≤26⇒n =21

[]

⎧12y 2, 0≤y ≤x ≤1

8. 设(X, Y) 的联合概率密度为f (x , y ) =⎨，求E(X), E(Y), E(XY),

⎩0, 其它

E(X2+Y2).

9. 设随机变量X 1, X 2, " , X n 相互独立，都服从区间(0, θ) 上的均匀分布，求

Y =max{X 1, X 2, " , X n }的数学期望和方差。

⎧0, x

⎧1/θ, 0≤x ≤θ⎪

解：若X ~U (0, θ) ，则F X (x ) =⎨x /θ, 0≤x ≤θ，f X (x ) =⎨

⎩0, 其其⎪1, x ≥θ

⎩F Y (y ) =P {Y ≤y }=P {max{X 1, X 2, " , X n }≤y }=P {X 1≤y , X 2≤y , " , X n ≤y }=P {X 1≤y }P {X 2≤y }" P {X n ≤y }=[F X (y ) ]

⎧0, 其其⎪n −1

f Y (y ) =F Y ′(y ) =n [F X (y ) ]f X (y ) =⎨n ⎛y ⎞n −1

⎪θ⎜θ⎟, 0≤y ≤θ⎩⎝⎠E (Y ) =∫

n ⎛y ⎞y ⎜⎟θ⎝θ⎠

n −1

dy =

n −1

θn ∫0

y n dy =

n θ n +1

θ2 n +2

E (Y ) =∫

n ⎛y ⎞y ⎜⎟θ⎝θ⎠

dy =

θn ∫0

y n +1dy =

n 3+n 2+n 2

D (Y ) =E (Y ) −E (Y ) =2

(n +2)(n +1)

10. 民航机场的送客汽车载有20名乘客，从机场开出，乘客可以在10个车站下车，如果到

达某一车站时无顾客下车，则在该站不停车。设随机变量X 表示停车次数，假定每个乘客在各个车站下车是等可能的，求平均停车次数。

⎧0, 第i 站有人下车

，于是停车次数X =∑X i 解：设X i =⎨

1, 第i 站无人下车i =1⎩

10109209

P {X i =0}=，于是E (X ) =∑E (X i ) =∑P (X i =1) =10(1−() 20)

1010i =1i =1

11. 证明：如果随机变量

ξ, η 相互独立，则

D (ξη) =D (ξ) D (η) +E 2(ξ) D (η) +E 2(η) D (ξ) 证明：

E (ξη) =E (ξ) E (η)

E (ξ2η2) =E (ξ2) E (η2) =[D (ξ) +E 2(ξ)][D (η) +E 2(η)] D (ξη) =E (ξ2η2) −E 2(ξη)

=[D (ξ) +E 2(ξ)][D (η) +E 2(η)]−E 2(ξ) E 2(η) =D (ξ) D (η) +E 2(ξ) D (η) +E 2(η) D (ξ)

12. 设(X,Y)的联合概率密度为f (x , y ) =⎨

立性。

⎧1, 0≤x ≤1, |y |

，判断X 与Y 的相关性和独

0, 其其⎩

又f X (x ) =

∫

+∞

−∞

+∞⎧1−|y |,−1

f (x , y ) dy =⎨，f Y (x ) =∫f (x , y ) dx =⎨−∞0, 0, ⎩其其⎩其其

可见，在区域D ={0≤x ≤1, |y |

D(X-Y).

14. 设二维正态随机变量, (X , Y ) ~N (1, 32; 0, 42; −) ，设Z =

12X Y

+，试求： 32

(1) Z 的数学期望和方差； (2) ρXZ ；

(3) 判断X 与Z 的独立性。

第 5 章习题

1. 设噪声电压X 1, X 2, " X 100相互独立且都服从区间(0,6)上的均匀分布，用切比雪夫不等

式估计叠加后的总噪声电压Y =

∑X

k =1

100

在260到340之间的概率。

100

⎛100⎞62

解: 由题意知 E (Y ) =E ⎜⎜∑X k ⎟⎟=100×3=300, D (Y ) =∑D (X k ) =100×12=300

k =1⎝k =1⎠

P {260≤Y ≤340}=P Y −E (Y ) ≤40}≥

D (Y ) 3 =

40216

2. 叙述随机变量序列服从大数定律的定义，并说明其含义。随机变量序列{X n }服从大数定律是指对于任意的ε ＞ 0，有

n n

lim P {|1∑X i −1∑E (X i ) |

n →∞n i =1n i =1

其含义为当n 足够大时，{X k } 的前n 项算术平均将紧密地聚集在其数学期望的附近

3. 设{X k }为相互独立的随机变量序列，且

P {X k =k α}=P {X k =−k α}=1/2, k =1, 2, "

证明：当α≤0时，{X k }服从大数定律。证明：{X k }为相互独立的随机变量序列， E (X k ) =

1α1α

k −k =0, k =1, 2, " 期望存在 22

D (X k ) =E (X k ) =

12α

(k +k 2α) =k 2α≤1(α≤0), 方差一致有界，满足切比雪夫大数定律的2

条件，故{X k }服从大数定律

4. 对敌人的阵地进行100次炮击，每次炮击时炮弹命中颗数的均值为4，方差为2.25。求在100次炮击中有380颗到420颗炮弹命中目标的概率。

解：设X i 为第i 次炮击命中目标的炮弹数，则X i 相互独立，且服从相同分布，E(Xi )=4,

100

⎞⎛100⎞D(Xi )=2.25. E ⎛由独立同分布中心极限定理， ⎜⎟⎜=X 400, D X ⎜∑k ⎟⎜∑k ⎟⎟=225,

⎝k =1⎠⎝k =1⎠

所求为

P {380≤∑X k ≤420}

k =1100

X k −400

380−400∑420−400 =P {≤k =1≤225225225

444

≈Φ() −Φ(−=2Φ() −1≈0. 816

333

100

5. 独立重复地抛掷一枚均匀硬币ｎ=1200次，用X n 表示正面出现的次数，分别用切比雪夫不等式和中心极限定理计算满足P {|X n −1|

n 2出解释。

X ⎞1⎛X ⎞1 解：用切比雪夫不等式：X n ~B (1200, 1⇒E ⎛⎜n ⎟=, D ⎜n ⎟=2⎝n ⎠2⎝n ⎠4800

P {|

X n 11/4800

−|

说明：抛硬币1200次，可以99%的把握保证正面出现的频率和概率的误差控制在0.1443的范围内

用中心极限定理X n ~B (1200, ) ，E (X n )=600, D (X n )=300，由于ｎ=1200很大，故认为X n −600近似服从标准正态分布。

3X n 1X 11

−|

−1200δX n −6001200δ

[1**********]0δ120δ120δ

−1≥0. 99⇒Φ(≥0. 995⇒≈2Φ(≥2. 58⇒δ≥0.0372333=P {

说明：抛硬币1200次，可以99%的把握保证正面出现的频率和概率的误差控制在0.0372的范围内

结论：中心极限定理估算概率比切比雪夫不等式精确得多。

6. 某系统由相互独立的ｎ个部件组成，每个部件的可靠性（正常工作的概率）为0.9，且

至少有80%的部件正常工作，才能使整个系统工作. 问ｎ至少为多大，才能使系统的可靠性为95%.

解：设X 为系统中正常工作的部件数, 则由题意知X~ B (n, 0.9)

E(X)=np =0.9n D(X)= np(1-p)=0.09n

由棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理知

0. 95≤P {0. 8n ≤X ≤n }

0. 8n −0. 9n X −0. 9n n −0. 9n =P {≤≤0. 3n 0. 3n 0. 3 ≈Φ(⇒Φ(

n n n ) −Φ(−) =2Φ() −1333) ≥0. 975=Φ(1.96)3

由分布函数单调增加性知n ≥1.96⇒n ≥35

7. 在计算机模拟中，假设已经产生区间(0,1)上均匀分布的48个随机数X 1, X 2, " , X 48，则

148

说明其中道理和应假设满足什么条件。可用∑X i −12来模拟标准正态分布的随机数，

2i =1

⎞⎞⎛48⎛48

解：应假设这些随机数X 1, X 2, " , X 48是相互独立的，E ⎜⎟⎜X 24, D X =⎟=4, ⎜∑i ⎟⎜∑i ⎟

⎝i =1⎠⎝i =1⎠这里累加的变量个数48比较多，于是运用独立同分布中心极限定理，

∑X

i =1

−24

148

=∑X i −12就近似服从标准正态分布。 2i =1

第 6 章

1. 设电子元件的寿命(小时) 服从参数λ=0. 0015的指数分布，今测试６个元件，记录下它

们各自失效的时间。问：

(1) 这里的总体和样本分别是什么？ (2) 写出样本的联合概率密度；

(3) 设有样本的一组观测值：600, 670, 640, 700, 620,610, 试计算样本均值和样本方差。解：(1)总体：电子元件的寿命X(小时) ；样本：测试的6个元件的寿命X 1, X 2, , X 6

(2) 由于样本X 1, X 2, , X 6相互独立，与总体X 同分布，故其联合概率密度为：

f (x 1, x 2, , x 6) =∏

i =1

⎧−0. 0015∑x i ⎪0. 00156e i =1

, x i >0(i =1,..., 6) f X (x i ) =⎨

⎪0. 其它⎩

16162

(3) =∑x i =640; ∑(x i −) =1480

6i =15i =1

1n 1n

2. 设=∑x i , =∑y i , 证明：

n i =1n i =11n 1n 22

（１）∑(x i −) =∑x i −2；

n i =1n i =11n 1n

（２）∑(x i −) (y i −) =∑x i y i −

n i =1n i =1

证明：

1n 1n 2

(1) ∑(x i −) =∑(x i 2−2x i +2) n i =1n i =1

n n 1n 2

=(∑x i −2∑x i +∑2) n i =1i =1i =1

(2) ∑(x i −y i −)

n i =1

=∑(x i y i −x i −i +) n i =1=

∑(x i y i −n −n +n ) n i =1

1n 21n 222

=∑x i −2+=∑x i −2

n i =1n i =1

=∑x i y i −n i =1

3. 设总体X ~N (12, 22), X 1, X 2, , X 5为其样本， (1) 求样本均值大于13的概率；

(2) 求样本均值与总体均值之差的绝对值大于１的概率。解：(1)~n (12, )

⇒P {>13}=1−P {≤13}=1−P {

5−12≤=1−Φ() ≈1−Φ(1. 118) ≈0. 132222/55−12

|≤}=2(1−Φ()) ≈0. 264

222/5

(2) P {|−12|>1}=1−P {|−12|≤1}=1−P {|

4. 设总体X ~N (5, 62) ，n 和分别为样本容量和样本均值，问：样本容量至少应取多大，

才能使样本均值位于区间(3,7)的概率不小于0.9。解：~n (5,

⇒P {3

3−5−57−5n −5n n

36/n 336/n 6/n 6/n

n n

) ≥0. 95⇒≥1. 645⇒n ≥24. 433

故样本容量至少应该取25。

5. 设总体X ~N (20, 3) ，分别取样本容量10及15的两个样本，1和2分别为两个样本

的样本均值，求P {|1−2|>0. 3}。解：X ~N (20, 3), E (X ) =20, D (X ) =3

110311=∑X i ~N (20, ), 2=

10i =110151

~(20, X N ) ∑j

5j =11

又1和2相互独立，故1−2~N (0, 0. 5)

P {|1−2|>0. 3}=1−P {|1−2|≤0. 3}0. 3

. 5

=2−2×Φ(0. 424) =0. 6744 =2−2Φ(

115

6. 设总体X ~N (μ, σ) ，X 1, X 2, , X 20为其样本，S =(X i −2为样本方差，∑19i =1

222

求P {0. 4σ≤S ≤2σ}。

解：∵X ~N (μ, σ), ∴

S 2~χ2(19)

P {0. 4σ2≤S 2≤2σ2}=P {7. 6≤=P {

S 2≤38}

S 2>7. 6}−P {

S 2>38}

=0. 99−0. 005=0. 985

设总体X ~N (μ, σ) , X 1, X 2, , X n , X n +1

为其样本，记=∑X i ,

n i =1

1n X −S =∑(X i −) 2，确定统计量n +1

S n i =1

n −1

的抽样分布。 n +1

解：∵X ~N (μ, σ), ∴X n +1~N (μ, σ), ~N (μ,

σ2

)

X n +1与 X 相互独立⇒X n +1−~N (0, (1+) σ2)

⇒U =

X n +1−n +1n

~N (0, 1) 而V =

S 2~χ2(n −1)

U 与 V 相互独立⇒

U X −=n +1

n +1/(n −1) σ

n X n +1−S

n −1

~t (n −1) n +1

nS 2X n +1−=

(n −1) σ2S

n −1

~t (n −1) n +1

(X 1−X 2) 2

的分布。 8. 设总体X ~N (0, σ) , X 1, X 2, X 3, X 4为其样本，试确定2

(X 3+X 4)

⎛X −X 2⎞2

解：X 1−X 2~N (0, 2σ) ⇒U =⎜1⎟~χ2(1)

2σ⎠⎝

⎛X +X 4⎞

X 3+X 4~N (0, 2σ2) ⇒V =⎜3⎟~χ2(1)

2σ⎠⎝

由样本的独立性知U ，V 相互独立

(X 1−X 2) 2U /1

故=~F (1, 1) (X 3+X 4) 2V /1

第一章

（本章计算概率的习题除3~6以外，其余均需写出事件假设及概率公式，不能只有算式） 1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1）同时抛三颗色子，记录三颗色子的点数之和；

（5）袋中装有4个白球和5个红球，不放回地依次从袋中每次取一球，直到首次取到红球为止，记录取球情况。解：(1)

Ω={3, 4,..., 18}

(2) (i ) Ω={TTT , TTH , THT , THH , HTT , HTH , HHT , HHH }, (ii ) Ω={0, 1, 2, 3} (3) Ω={5, 6,..... }

(4) Ω={(x , y , z )x +y +z =1, x , y , z >0, x , y , z ∈R } (5) Ω=｛红，白红，白白红，白白白红，白白白白红｝

3. 辆公共汽车出发前载有5名乘客，每位乘客独立在7个站中的任意一站离开，求下列事件的概率：

（1）第7站恰有两位乘客离去；

（2）没有两位及两位以上乘客在同一站离去。

解：

4. 一公司有16名员工，若每个员工随机地在一个月的22天工作日中挑选一天值班，问：不会出现有两个及以上的员工挑选同一天值班的概率是多少？

16C

22⋅16!

解：

2216

5. 一元件盒中有50个元件，其中25件一等品，15件二等品，10件次品，从中任取10件，求：

（1）恰有两件一等品，两件二等品的概率；（2）恰有两件一等品的概率；（3）没有次品的概率。

2262810

C 40C 25*C 15*C 10C 25*C 25

2) 3) 10 解：1) 1010

C 50C 50C 50

（2）一等奖（7个基本号码全中或中6个基本号码及特殊号码）；（3）二等奖（中6个基本号码）；

161611

C 9+C 7C 28C 7C 28C 91

（3）解：（1） 71 （2） 7171

C 35C 10C 35C 10C 35C 10

7. 将3个球随机地放入4个盒子中去，求盒子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。解：设A i ＝｛盒子中球的最大个数为i ｝i =1,2,3

1C 4⋅3! 3

P (A 1) =3=，（盒中球数为1,1,1,0的情况）

48121C 4C 3⋅C 39

P (A 2) ==，（盒中球数为1,2,0,0的情况） 3

4161C 41

P (A 3) =3=，（盒中球数为3,0,0,0的情况）

416

8. 不断抛掷两颗色子，设A={两颗色子点数之和为5}，B={两颗色子点数之和为7}，求A 在B 之前发生的概率。

解：设C={A在B

之前发生},

C =

∪

C n

n =1∞

9. 设A ，B 是试验E 的两个事件，且P(A)=1/3, P(B)=1/2．在以下各种情况下计算P (B （1）A ⊂B ；（2）A 与B 互不相容；（3）P(AB)=1/8 解：

10. 设P (A ) > 0， P (B ) > 0 ，将下列四个数：

当A ，B 互不相容时，第三个等号成立；

（2）两个系统中仅有一个有效的概率。解：由题知

(1)

(2)

12. 已知 A 1和A 2同时发生，则A 必发生，证明：P(A)≥P(A1)+ P(A2)-1 解：

13. 已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/16，计算A, B, C全不发生的概率。

14.

将两颗色子同时抛一次，已知两颗色子点数之和为奇数，求它们点数之和小于8的概率。解：

15. 10件产品中有6件正品，4件次品，对它们逐一进行检查，求下列事件的概率（1）第4次才发现第一个次品；

（2）第1、3、5次抽到正品，2、4次抽到次品。解：设A i ＝｛第i 次抽到正品｝i=1,2,3,4,5

P (A 1A 2A 3A 4) =P (A 1) P (A 2|A 1) P (A 3|A 1A 2) P (A 4|A 1A 2A 3)

(1)

65444

=⋅⋅⋅=

10987105

P (A 1A 2A 3A 4A 5) =P (A 1) P (A 2|A 1) P (A 3|A 1A 2) P (A 4|A 1A 2A 3) P (A 5|A 1A 2A 3A 4)

(2)

645341

=⋅⋅⋅⋅=

10987621

注意：此题用古典概率做对也算对

16. 某人忘记电话号码的最后一个数字，他仅记得最后一位是偶数。现在他试着拨最后一个号码，求他拨号不超过三次而接通电话的概率。解：

＝0.9979

C 725C 3C 76C 32721

⋅+2⋅=(1) P (A ) =∑P (B k ) P (A B k ) =2⋅+ 2

C 8C 8C 830k =0101010

(2) P (B 2A ) =

P (A |B 2) P (B 2)

∑P (B ) P (A B )

k =0

解设 A ={飞机坠毁}，B k ={恰有k 弹击中飞机}，k =0,1,2,3，构成完备事件组。假定三发导弹击中飞机是相互独立的，有

P (B 0) =(1−0. 4)(1−0. 5)(1−0. 7) =0. 09

P (B 1) =0. 4×(1−0. 5)(1−0. 7) +(1−0. 4) ×0. 5×(1−0. 7)

+(1−0. 4)(1−0. 5) ×0. 7=0. 36P

(B 2) =0. 4×0. 5×(1−0. 7) +(1−0. 4) ×0. 5×0. 7

+0. 4×(1−0. 5) ×0. 7=0. 41

P (B 3) =0. 4×0. 5×0. 7=0. 14

（1）根据全概率公式

P (A ) =∑P (B k ) P (A B k ) =0×0. 09+0. 2×0. 36+0. 6×0. 41+0. 9×0. 14=0. 444

k =0

（2）由贝叶斯公式

P (B 2A ) =

P (B 2) P (A B 2) 0. 41×0. 6P (AB 2) ==≈0. 554

P (A ) 0. 444P (A )

任取一球，设A={该球涂有白色}，B={该球涂有红色}，C={该球涂有黄色}，试讨论事件A, B, C的独立性。

22.

设事件

A ，B ，C 相互独立，且P(A)=1/4, P(B)=1/3, P(C)=1/2. 试求：（1）三个事件都不发生的概率；

（2）三个事件至少有一个发生的概率；（3）三个事件恰好有一个发生的概率；（4）至多有两个事件发生的概率。解：

p = P (A 1)+ P (A 2)+ …+ P (A n )

(2)

(3)用加法定理公式得

第二章习题

1. 设F 1(x ), F 2(x ) 为两个分布函数，问：

（1）F 1(x ) +F 2(x ) 是否分布函数？（2）F 1(x ) F 2(x ) 是否分布函数？给出证明。解：(1) 不是，因为0≤F 1(x ) +F 2(x ) ≤2或lim [F 1(x ) +F 2(x )]=2

x →+∞

（2）是。

因F 1(x ), F 2(x ) 分别单调不降故F 1(x ) F 2(x ) 单调不降；

因0≤F i (x ) ≤1，lim F i (x ) =0，lim F i (x ) =1, i =1, 2，容易得到0≤F 1(x ) F 1(x ) ≤1，

x →−∞

x →+∞

x →−∞

lim F 1(x ) F 2(x ) =0，lim F 1(x ) F 2(x ) =1。

x →+∞

因F 1(x ), F 2(x ) 分别右连续故F 1(x ) F 2(x ) 右连续。

2. 一批晶体管中有个9个合格品和3个不合格品，从中任取一个安装在电子设备上。若取

出不合格品不再放回，求取得合格品前已取出的不合格品个数的分布律和分布函数。解：

1 2 3

9/44

9/220

1/220

⎧0, x

F (x ) =⎨21/22, 1≤x

⎪219/220, 2≤x

注意区间的左闭右开！

3. 做一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p ，求：（1） n 次试验中成功次数X 的分布律；

（2）在n 次成功之前已经失败次数Y 的分布律；（3）首次成功时试验次数Z 的分布律。解：1) P {X =k }=C n p (1−p )

k k

n −k

, k =0, 1, 2..., n 或X ~B (n , p )

2) P {Y =k }=C n +k −1p (1−p ), k =0, 1, 2...

3) P {Z =k }=p (1−p )

k −1

, k =1, 2...

4. 一批产品共有25件，其中5件次品，从中随机地一个一个取出检查，共取4次，设X

为其中的次品数，若

（1）每次取出的产品仍放回；（2）每次取出的产品不再放回。写出两种情况下X 的分布律。解：（1） X ~B ⎛4, 1⎞, 故分布律为⎜⎟

5⎝⎠

P (X =k ) =C 4k (0.2)k (0.8)4−k , k =0,1, 2,3, 4

4−k

C 5k *C 20

(2) P (X =k )=4

C 25

k =0, 1, 2, 3, 4

5. 一放射源放射出的粒子穿透某一屏蔽的概率是0.01，现放射出100个粒子，求至少有6

个粒子穿透屏蔽的概率。

解：设放射出的100个粒子中穿透屏蔽的粒子数为X ，则

X~B(100,0.01), 所求概率为P {X ≥6}

由于n=100较大，而p=0.01很小，故X 近似服从参数λ=np=1的泊松分布。于是

≈0. 000594 P {X ≥6}≈∑e ! k k =6

+∞

−1

6. 随机变量X 的分布函数为

F (x ) =A +Barctgx ,

求：

（1）系数A ，B ；

（2） X 落在区间（－1，1）的概率；（3） X 的概率密度。解：

x ∈R

7. 从一批子弹中任意抽出5发试射，若没有一发子弹落在靶心2厘米以外，则接受该批子

弹。设弹着点与靶心的距离X （厘米）的概率密度为

⎧⎪Axe −x , 0

⎪0, 其他⎩

试求：(1)系数A ；（2）X 的分布函数F (x ); （3）该批子弹被接受的概率。

解：

（2）F (x ) =

∫

−∞

⎧0, x

−x 2⎪2−1e ⎪x 2

f (t ) dt =⎨∫0≤x

⎪⎩1, x ≥3

（3）

该批子弹被接受的概率为P {Y =5}=(

1−e 5

−9

1−e

−4

8. 在长为L 的线段上随机选取一点，将其分为两段，求短的一段与长的一段之比小于1/4

的概率？解：

9. 一电子信号在(0,T)时间内随机出现，设0

(2) 已知信号在t 0时刻前没有出现，求它在（t 0, t 1）内出现的概率。解：设电子信号出现的时间为X ，则X~U(0,T) (1) P{t 0

t 1−t 0

P {t 0

==10 (2) P {X t 0}=

0T −t 0P {X >t 0}

10. 两台新的电子仪器寿命分别为X 1, X 2，X 1~N (42, 36) ，X 2~N (45, 9) , 若需连续使用仪器46小时，问选用哪一台仪器较好？解：

46−42

) ≈1−Φ(0. 67) ≈0. 25146 46−45

P {X 2>46}=1−Φ() ≈1−Φ(0. 33) ≈0. 3707

3P {X 1>46}=1−Φ(

选用第二台仪器比较好

11. 设测量误差X ~N (0, 102) ，求在100次独立重复测量中至少有3次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松分布求其近似值。

解：设100次独立重复测量中测量误差的绝对值大于19.6的次数为Y ，计算

19. 6−0−19. 6−0

P {|X |>19. 6}=1−P {|X |≤19. 6}=1−(Φ() −Φ()) =2−2Φ(1. 96) =0. 05

1010

则Y~B(100,0.05), 近似服从参数为5的泊松分布

于是 P {Y ≥3}≈∑e ≈0. 8753

k ! k =3

+∞

−5

12. 设某电子元件寿命X （小时）服从参数为λ的指数分布。若要求该元件寿命在1200小

；时以上的概率达到0.96，求λ的最大取值（λ称为该元件的失效率）解：0. 96≤P {X >1200}=

∫

+∞

1200

λe −λx d x =e −1200λ⇒λ≤−

ln 0. 96

≈3. 4×10−5 1200

失效率λ不能超过3. 4×10

−5

13. 假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数N(t) 服从参数为λt 的泊松分布。（1）求相继两次故障之间的时间间隔T 的概率分布；

（2）求在设备已无故障工作8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。

⎧0, t

解：（1）F T (t ) =P {T ≤t }=⎨ (λt ) 0−λt −λt

1P {N (t ) 0}1e 1e , t 0−==−=−≥⎪0! ⎩

可见T 服从参数为λ的指数分布

（2）利用指数分布的无后效性有P {T >16|T >8}=P {T >8}=1−F T (8) =e

−8λ

第 3 章习题

1. 二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F (x , y ) =A (B +arctg x 2)(C +arctg y

(x , y ) ∈R 2，

试求：（1）系数A ，B ，C ；（2）边缘分布函数。

解：

2. 袋中有4个球，分别标有数字1, 2, 2, 3, 从中随机取出一球, 再取第二次，分别以X, Y

记第一次、第二次取到球上的号码，求 (1) ( X , Y )的联合分布律; (2) ( X , Y )的边缘分布律；解：

其中

其余概率类似

3. 随机变量(X，Y)

求：(1) a 的值； (2) (X，解：(1) 由归一性知a =1/3;

⎧⎪0, x

⎨5/12, x ≥2, −1≤y

⎪⎪1/2, 1≤x

4. 假设（X ，Y ）的联合概率密度为

⎧Cx 2y , x 2≤y ≤1;

f (x , y ) =⎨

⎩0, 其其

试求：（1）常数C ；（2）P {X ≥Y }；（3）P ≤Y ≤1} 。解：（1）（2）

（3）P {1/4≤Y ≤1}=

1/4≤y ≤1

∫∫f (x , y ) dxdy =

1/4

∫

212127x ydx = 4128−y

5. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为

⎧12e −(3x +4y ) , x >0, y >0;

f (x , y ) =⎨

⎩0, 其其.

试求：（1）P {0≤X ≤1, 0≤Y ≤2}；（2）联合分布函数F (x , y ) . 解：

6. 甲乙两人约定在下午1点到2点之间的任意时刻独立到达某车站乘坐公交车，这段时间

内共有四班公交车，其们开车的时刻分别为1:15, 1:30, 1:45; 2:00. 若他们约定：（1）见车就乘；（2）最多等一辆车。求他们乘同一辆车的概率。解：

7. 设二维随机变量（X ，

问α和β取什么值时，解：

若X 与Y 相互独立，则1/3（1/9+α）＝1/9, 1/3(1/18+β)= 1/18, 得α＝2/9, β= 1/9.

8. 设随机变量X 与Y 相互独立，且P{X=1}= P{Y=1}=p, P{X=0}= P{Y=0}=1-p（0

定义随机变量Z 为 Z =⎨

⎧0, X +Y 为为数

⎩1, 其其;

（1）求X ，Z 的联合分布律；

（2）问p 取何值时，X 与Z 相互独立？解： (1)

P {X =0, Z =0}=P {X =0, X +Y =1}=P {X =0, Y =1}=P {X =0}P {Y =1}=p (1−p )

P {X =0, Z =1}=P {X =0, X +Y =0}=P {X =0, Y =0}=P {X =0}P {Y =0}=(1−p ) 2 P {X =1, Z =0}=P {X =1, X +Y =1}=P {X =1, Y =0}=P {X =1}P {Y =0}=p (1−p ) P {X =1, Z =1}=P {X =1, }

P {Y =1}=p 2

(2)在上表中求得X ，Z 的边缘分布律

由相互独立的充要条件p ij =p i . ⋅p . j 知当p=1/2时，X ，Z 相互独立。

9. 设（X ，Y ）的联合概率密度为

⎧Cxy 2, 0

f (x , y ) =⎨

⎩0, 其其

确定常数C ，并讨论X 与Y 的独立性。解：

10. 设（X ，Y ）的联合概率密度为 f (x , y ) =⎨问X 与Y 是否相互独立？解：

⎧8xy , 0≤x ≤y ≤1;

⎩0, 其其

k k

P (Y =k |X =n ) =C n p (1−p ) n −k , k =0, 1, " , n

而 P (X =n ) =所以

λn

n !

e −λ, n =0, 1, 2, "

P (X =n , Y =k ) =P (Y =k |X =n ) P (X =n )

=C p (1−p )

∞

k n −k

λn

n !

−λ

e −λ(λp ) k (λ(1−p )) n −k

=, k ≤n , n =0, 1, 2,...

k ! (n −k )!

∞

e −λ(λp ) k (λ(1−p )) n −k

P (Y =k ) =∑P (X =n , Y =k ) =∑

k ! (n −k )! n =k n =k

e (λp )

k !

−λk

(λ(1−p )) ∑(n −k )! n =k

∞

n −k

e (λp ) λ(1−p ) e

=k !

−λk −λp

(λp )

, k =0, 1, 2, " k !

12. 设（X ，Y ）的联合概率密度为

xy ⎧2

⎪, 0≤x ≤1, 0≤y ≤2; x + f (x , y ) =⎨3⎪0, 其其⎩

（1）求的条件概率密度f Y |X (y |x ) ； ( 2 ) 求 P {Y >1|X =1/2}。

解：(1)f X

(x ) =

∫

+∞

−∞

2x ⎧22xy 2

⎪∫0(x +) dy ＝2x +, 0

f (x , y ) dy =⎨33

⎪⎩0, 其其

3x +y

f (x , y ) ⎧⎪, 0

(2) 当0

f X (x ) ⎪0, 其其

⎩

3y 1⎧⎪+, 0

f Y |X (y |) =⎨105

2⎪0, 其其

⎩

P {Y >1|X =1/2}=∫

+∞

3y 3

f Y |X (y |x ) dy =∫(+) dy =

11055

13. 设二维随机变量（X ，Y ）在（1，0），（0，1），（－1，0），（0，－1）四点构成的正方

形上服从均匀分布，

（1）求条件概率密度f Y |X (y |x ) ；（2）计算概率P {Y >

y=x+1

y=-x+1 |X

⎧1

⎪, (x , y ) ∈D ;

解：（1）f (x , y ) =⎨2 y=-x-1y=x-1

⎪⎩0, (x , y ) ∉D .

f X (x ) =∫

+∞

−∞

⎧1+x , −1≤x

⎪

f (x , y ) dy =⎨1−x , 0≤x ≤1;

⎪0, 其他. ⎩

⎧1

, −x −1

当-1

f X (x ) ⎪

0, 其其⎩⎧1

, x −1

当0

f X (x ) ⎪

0, 其其⎩

当x ≤−1或x ≥1时，f Y |X (y |x ) 不存在

（3）由于（X ，Y ）是二维均匀分布，所以

P {X 11=1/8=1 P {Y >|X

227/87P {X

14. 已知离散型随机变量X 的分布律为

π/21/2

π 1/4

试求Y =解：

X +2和Z =cos X 的分布律。 3

15. 设X

~N (μ, σ) ，写出（

）

；

（

）

的概率密度。

解：

16.

设随机变量

的概率密度为

⎧x ⎪ f (x ) =⎨2, 0≤x ≤2; ⎪⎩0, 其其

求Y =X (2−X ) 的分布函数和概率密度。

解：由X 的概率密度形式易知 P {0≤X ≤2}=1, 而P {0≤Y ≤1}=P {0≤X (2−X ) ≤1}=1

F Y (y ) =P {Y ≤y }=P {X (2−X ) ≤y }

⎧

0, y

⎨1−P {X (2−X ) >y }=1−P {1−−y

∫1+−y x 1−−y dx =1−−y , 0≤y ≤1

⎩

1, y ≥12

⎧1

f ⎪

, 0

⎪⎩

0, 其其

17. 设随机变量X 具有严格单调上升连续的分布函数F(x ), 求Y=F(X)的分布函数。解：

⎧0, y

Y (y ⎨P {X ≤F −1(y )}=F (F −1(y )) =y , 0≤y

⎪⎩

1, y ≥1

18. 设随机变量X ，Y 相互独立，且分别服从参数为λ1和型λ2的泊松分布，

（1）证明：X+Y服从参数为λ1+λ2的泊松分布；

（2）对给定的X+Y，X 的条件分布是二项分布：P {X =k |X +Y =n }~B (n ,

λ1λ1+λ

解：（1）P (X =k ) =

λk

1−λ1

k !

e , k =0, 1, 2, " P (Y =l ) =

λ2−λ2l !

e , l =0, 1, 2, "

P (X +Y =n ) =∑P {X =k }P {Y =n −k }

k =0

n −k

(k n −k

(λ1+λ2) n =∑

λk

1−λ1

λ2λλ1+λ2) n 2

e −λ1λ2e −k k n −k e −(λ1+λ2)

=k =0

k !

(n −k )!

−n ! ∑n ! =C n λ1λ2=(λk =0k ! (n −k )! n ! ∑1+λ2) n k =0n !

（2）

n =0, 1, 2, "

P {X =k |X +Y =n }=

P {X =k , X +Y =n }P {X =k , Y =n −k }

P {X +Y =n }P {X =k }

k 1

n −k

λ1k

λλ2λ1⎞k ! (n −k )! k ⎛⎜⎟n ! C ==n ⎜−(1+2) n

e k ! (n −k )! (λ1+λ2) λ1+λ2⎟n ⎝⎠(λ1+λ2) n !

−λ1

λ2n −k

e −λ2

⎛λ2⎞⎜⎜λ+λ⎟⎟⎝12⎠

n −k

19. 设随机变量X 和Y 的联合概率密度为

1−2x 2+y 2)

f (x , y ) =e , (x , y ) ∈R 2

2π

计算概率P {−2

20. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为

⎧2e −(x

+2y ) , x >0, y >0;

f (x , y ) =⎨

⎩0, 其其

求随机变量Z=X+2Y的分布函数和概率密度。解：

21. 随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为λ的指数分布，Y~U(0, h), 求X+Y的概率密

度。解：

22. 一射手向某个靶子射击，设靶心为坐标原点，弹着点坐标（X ，Y ）服从二维正态分布

N(0,1;0, 1;0). 求弹着点与靶心的距离Z 的概率密度函数。解：（X ，Y ）的联合概率密度为

1−2(x 2+y 2)

f (x , y ) =e , (x , y ) ∈R 2

2π

弹着点与靶心的距离Z 的分布函数为

F Z (z ) =P {Z ≤z }=P X 2+Y 2≤z }

⎧0, z

⎪12212

−x +y ) −r 2z π=⎨1212222−z 2/2

+≤===−P {X Y z }e dxdy e rdrd θ1e , z ≥0∫∫∫⎪0∫02π2π

x 2+y 2≤z 2⎩

第四章

1. 一箱产品中有3件正品和2件次品，不放回任取两件，X 表示得到的次品数，求平均次

品数E(X)

2. 地面雷达搜索飞机，在时间(0,t)内发现飞机的概率是P (t ) =1−e −λt , (λ>0) ，试求发现飞

机所需的平均搜索时间。

0≤x ≤1⎧x ,

⎪3. 设随机变量X 的概率密度为f (x ) =⎨2−x , 1

4. 设随机变量ξ服从几何分布：P (ξ=k ) =pq k (q =1−p ), k =0, 1, 2, " ，求E (ξ), D (ξ) . 解：E (ξ

) =∑kP {ξ=k }=∑kpq =pq ∑kq

k =0

k =1

+∞

k −1

⎡⎛+∞k ⎞⎤q

⎟x =pq ⎢⎜' =⎜∑⎟x ⎥

⎣⎝k =1⎠⎦x =q p

E (ξ) =∑k P {ξ=k }=∑k pq =pq ∑k 2q k −1

k =0

k =1

+∞+∞+∞

=pq ∑k (k +1−1) q

k =1

+∞

k −1

=pq ∑k (k +1) q

k =1

+∞

k −1

−pq ∑kq k −1

k =1

+∞

″⎤⎡⎛+∞

⎞q 2q 2q −pq (2−p ) q k +1⎥⎟=pq ⎢⎜x −=pq −==x ∑32⎟⎥⎢⎜p p p p p 2⎝k =1⎠

⎣⎦x =q (2−p ) q q 2q

D (ξ) =E (ξ) −E (ξ) =−=

p 2p 2p 2

5. 已知随机变量X~P(λ), 试求E (1) .

1+X

⎧e −x , x >0

6. 随机变量X 的概率密度为f (x ) =⎨，试求Y=2X和Z =e −2X 的数学期望。

⎩0, x ≤0

7. 设某种产品每周的需求量X~U(10,30)，而经销商进货数量为区间[10,30]中的某一整数。

解：设商店的进货量为n （10≤n ≤30）, 则商店每周所获利润为

⎧500X −100(n −X ) =600X −100n , X ≤n ,

g (X ) =⎨

⎩500n +300(X −n ) =300X +200n , X >n

E [g (X )]==

∫

+∞

−∞

g (x ) f X (x ) dx =

130

g (x ) dx 20∫10

301⎡n

x n dx −+(600100) (300x +200n ) dx ⎤∫∫⎢⎥n ⎦

20⎣10

1=−150n 2+7000n +105000≥92802062⇒≤n ≤26⇒n =21

[]

⎧12y 2, 0≤y ≤x ≤1

8. 设(X, Y) 的联合概率密度为f (x , y ) =⎨，求E(X), E(Y), E(XY),

⎩0, 其它

E(X2+Y2).

9. 设随机变量X 1, X 2, " , X n 相互独立，都服从区间(0, θ) 上的均匀分布，求

Y =max{X 1, X 2, " , X n }的数学期望和方差。

⎧0, x

⎧1/θ, 0≤x ≤θ⎪

解：若X ~U (0, θ) ，则F X (x ) =⎨x /θ, 0≤x ≤θ，f X (x ) =⎨

⎩0, 其其⎪1, x ≥θ

⎩F Y (y ) =P {Y ≤y }=P {max{X 1, X 2, " , X n }≤y }=P {X 1≤y , X 2≤y , " , X n ≤y }=P {X 1≤y }P {X 2≤y }" P {X n ≤y }=[F X (y ) ]

⎧0, 其其⎪n −1

f Y (y ) =F Y ′(y ) =n [F X (y ) ]f X (y ) =⎨n ⎛y ⎞n −1

⎪θ⎜θ⎟, 0≤y ≤θ⎩⎝⎠E (Y ) =∫

n ⎛y ⎞y ⎜⎟θ⎝θ⎠

n −1

dy =

n −1

θn ∫0

y n dy =

n θ n +1

θ2 n +2

E (Y ) =∫

n ⎛y ⎞y ⎜⎟θ⎝θ⎠

dy =

θn ∫0

y n +1dy =

n 3+n 2+n 2

D (Y ) =E (Y ) −E (Y ) =2

(n +2)(n +1)

10. 民航机场的送客汽车载有20名乘客，从机场开出，乘客可以在10个车站下车，如果到

达某一车站时无顾客下车，则在该站不停车。设随机变量X 表示停车次数，假定每个乘客在各个车站下车是等可能的，求平均停车次数。

⎧0, 第i 站有人下车

，于是停车次数X =∑X i 解：设X i =⎨

1, 第i 站无人下车i =1⎩

10109209

P {X i =0}=，于是E (X ) =∑E (X i ) =∑P (X i =1) =10(1−() 20)

1010i =1i =1

11. 证明：如果随机变量

ξ, η 相互独立，则

D (ξη) =D (ξ) D (η) +E 2(ξ) D (η) +E 2(η) D (ξ) 证明：

E (ξη) =E (ξ) E (η)

E (ξ2η2) =E (ξ2) E (η2) =[D (ξ) +E 2(ξ)][D (η) +E 2(η)] D (ξη) =E (ξ2η2) −E 2(ξη)

=[D (ξ) +E 2(ξ)][D (η) +E 2(η)]−E 2(ξ) E 2(η) =D (ξ) D (η) +E 2(ξ) D (η) +E 2(η) D (ξ)

12. 设(X,Y)的联合概率密度为f (x , y ) =⎨

立性。

⎧1, 0≤x ≤1, |y |

，判断X 与Y 的相关性和独

0, 其其⎩

又f X (x ) =

∫

+∞

−∞

+∞⎧1−|y |,−1

f (x , y ) dy =⎨，f Y (x ) =∫f (x , y ) dx =⎨−∞0, 0, ⎩其其⎩其其

可见，在区域D ={0≤x ≤1, |y |

D(X-Y).

14. 设二维正态随机变量, (X , Y ) ~N (1, 32; 0, 42; −) ，设Z =

12X Y

+，试求： 32

(1) Z 的数学期望和方差； (2) ρXZ ；

(3) 判断X 与Z 的独立性。

第 5 章习题

1. 设噪声电压X 1, X 2, " X 100相互独立且都服从区间(0,6)上的均匀分布，用切比雪夫不等

式估计叠加后的总噪声电压Y =

∑X

k =1

100

在260到340之间的概率。

100

⎛100⎞62

解: 由题意知 E (Y ) =E ⎜⎜∑X k ⎟⎟=100×3=300, D (Y ) =∑D (X k ) =100×12=300

k =1⎝k =1⎠

P {260≤Y ≤340}=P Y −E (Y ) ≤40}≥

D (Y ) 3 =

40216

2. 叙述随机变量序列服从大数定律的定义，并说明其含义。随机变量序列{X n }服从大数定律是指对于任意的ε ＞ 0，有

n n

lim P {|1∑X i −1∑E (X i ) |

n →∞n i =1n i =1

其含义为当n 足够大时，{X k } 的前n 项算术平均将紧密地聚集在其数学期望的附近

3. 设{X k }为相互独立的随机变量序列，且

P {X k =k α}=P {X k =−k α}=1/2, k =1, 2, "

证明：当α≤0时，{X k }服从大数定律。证明：{X k }为相互独立的随机变量序列， E (X k ) =

1α1α

k −k =0, k =1, 2, " 期望存在 22

D (X k ) =E (X k ) =

12α

(k +k 2α) =k 2α≤1(α≤0), 方差一致有界，满足切比雪夫大数定律的2

条件，故{X k }服从大数定律

4. 对敌人的阵地进行100次炮击，每次炮击时炮弹命中颗数的均值为4，方差为2.25。求在100次炮击中有380颗到420颗炮弹命中目标的概率。

解：设X i 为第i 次炮击命中目标的炮弹数，则X i 相互独立，且服从相同分布，E(Xi )=4,

100

⎞⎛100⎞D(Xi )=2.25. E ⎛由独立同分布中心极限定理， ⎜⎟⎜=X 400, D X ⎜∑k ⎟⎜∑k ⎟⎟=225,

⎝k =1⎠⎝k =1⎠

所求为

P {380≤∑X k ≤420}

k =1100

X k −400

380−400∑420−400 =P {≤k =1≤225225225

444

≈Φ() −Φ(−=2Φ() −1≈0. 816

333

100

5. 独立重复地抛掷一枚均匀硬币ｎ=1200次，用X n 表示正面出现的次数，分别用切比雪夫不等式和中心极限定理计算满足P {|X n −1|

n 2出解释。

X ⎞1⎛X ⎞1 解：用切比雪夫不等式：X n ~B (1200, 1⇒E ⎛⎜n ⎟=, D ⎜n ⎟=2⎝n ⎠2⎝n ⎠4800

P {|

X n 11/4800

−|

说明：抛硬币1200次，可以99%的把握保证正面出现的频率和概率的误差控制在0.1443的范围内

用中心极限定理X n ~B (1200, ) ，E (X n )=600, D (X n )=300，由于ｎ=1200很大，故认为X n −600近似服从标准正态分布。

3X n 1X 11

−|

−1200δX n −6001200δ

[1**********]0δ120δ120δ

−1≥0. 99⇒Φ(≥0. 995⇒≈2Φ(≥2. 58⇒δ≥0.0372333=P {

说明：抛硬币1200次，可以99%的把握保证正面出现的频率和概率的误差控制在0.0372的范围内

结论：中心极限定理估算概率比切比雪夫不等式精确得多。

6. 某系统由相互独立的ｎ个部件组成，每个部件的可靠性（正常工作的概率）为0.9，且

至少有80%的部件正常工作，才能使整个系统工作. 问ｎ至少为多大，才能使系统的可靠性为95%.

解：设X 为系统中正常工作的部件数, 则由题意知X~ B (n, 0.9)

E(X)=np =0.9n D(X)= np(1-p)=0.09n

由棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理知

0. 95≤P {0. 8n ≤X ≤n }

0. 8n −0. 9n X −0. 9n n −0. 9n =P {≤≤0. 3n 0. 3n 0. 3 ≈Φ(⇒Φ(

n n n ) −Φ(−) =2Φ() −1333) ≥0. 975=Φ(1.96)3

由分布函数单调增加性知n ≥1.96⇒n ≥35

7. 在计算机模拟中，假设已经产生区间(0,1)上均匀分布的48个随机数X 1, X 2, " , X 48，则

148

说明其中道理和应假设满足什么条件。可用∑X i −12来模拟标准正态分布的随机数，

2i =1

⎞⎞⎛48⎛48

解：应假设这些随机数X 1, X 2, " , X 48是相互独立的，E ⎜⎟⎜X 24, D X =⎟=4, ⎜∑i ⎟⎜∑i ⎟

⎝i =1⎠⎝i =1⎠这里累加的变量个数48比较多，于是运用独立同分布中心极限定理，

∑X

i =1

−24

148

=∑X i −12就近似服从标准正态分布。 2i =1

第 6 章

1. 设电子元件的寿命(小时) 服从参数λ=0. 0015的指数分布，今测试６个元件，记录下它

们各自失效的时间。问：

(1) 这里的总体和样本分别是什么？ (2) 写出样本的联合概率密度；

(2) 由于样本X 1, X 2, , X 6相互独立，与总体X 同分布，故其联合概率密度为：

f (x 1, x 2, , x 6) =∏

i =1

⎧−0. 0015∑x i ⎪0. 00156e i =1

, x i >0(i =1,..., 6) f X (x i ) =⎨

⎪0. 其它⎩

16162

(3) =∑x i =640; ∑(x i −) =1480

6i =15i =1

1n 1n

2. 设=∑x i , =∑y i , 证明：

n i =1n i =11n 1n 22

（１）∑(x i −) =∑x i −2；

n i =1n i =11n 1n

（２）∑(x i −) (y i −) =∑x i y i −

n i =1n i =1

证明：

1n 1n 2

(1) ∑(x i −) =∑(x i 2−2x i +2) n i =1n i =1

n n 1n 2

=(∑x i −2∑x i +∑2) n i =1i =1i =1

(2) ∑(x i −y i −)

n i =1

=∑(x i y i −x i −i +) n i =1=

∑(x i y i −n −n +n ) n i =1

1n 21n 222

=∑x i −2+=∑x i −2

n i =1n i =1

=∑x i y i −n i =1

3. 设总体X ~N (12, 22), X 1, X 2, , X 5为其样本， (1) 求样本均值大于13的概率；

(2) 求样本均值与总体均值之差的绝对值大于１的概率。解：(1)~n (12, )

⇒P {>13}=1−P {≤13}=1−P {

5−12≤=1−Φ() ≈1−Φ(1. 118) ≈0. 132222/55−12

|≤}=2(1−Φ()) ≈0. 264

222/5

(2) P {|−12|>1}=1−P {|−12|≤1}=1−P {|

4. 设总体X ~N (5, 62) ，n 和分别为样本容量和样本均值，问：样本容量至少应取多大，

才能使样本均值位于区间(3,7)的概率不小于0.9。解：~n (5,

⇒P {3

3−5−57−5n −5n n

36/n 336/n 6/n 6/n

n n

) ≥0. 95⇒≥1. 645⇒n ≥24. 433

故样本容量至少应该取25。

5. 设总体X ~N (20, 3) ，分别取样本容量10及15的两个样本，1和2分别为两个样本

的样本均值，求P {|1−2|>0. 3}。解：X ~N (20, 3), E (X ) =20, D (X ) =3

110311=∑X i ~N (20, ), 2=

10i =110151

~(20, X N ) ∑j

5j =11

又1和2相互独立，故1−2~N (0, 0. 5)

P {|1−2|>0. 3}=1−P {|1−2|≤0. 3}0. 3

. 5

=2−2×Φ(0. 424) =0. 6744 =2−2Φ(

115

6. 设总体X ~N (μ, σ) ，X 1, X 2, , X 20为其样本，S =(X i −2为样本方差，∑19i =1

222

求P {0. 4σ≤S ≤2σ}。

解：∵X ~N (μ, σ), ∴

S 2~χ2(19)

P {0. 4σ2≤S 2≤2σ2}=P {7. 6≤=P {

S 2≤38}

S 2>7. 6}−P {

S 2>38}

=0. 99−0. 005=0. 985

设总体X ~N (μ, σ) , X 1, X 2, , X n , X n +1

为其样本，记=∑X i ,

n i =1

1n X −S =∑(X i −) 2，确定统计量n +1

S n i =1

n −1

的抽样分布。 n +1

解：∵X ~N (μ, σ), ∴X n +1~N (μ, σ), ~N (μ,

σ2

)

X n +1与 X 相互独立⇒X n +1−~N (0, (1+) σ2)

⇒U =

X n +1−n +1n

~N (0, 1) 而V =

S 2~χ2(n −1)

U 与 V 相互独立⇒

U X −=n +1

n +1/(n −1) σ

n X n +1−S

n −1

~t (n −1) n +1

nS 2X n +1−=

(n −1) σ2S

n −1

~t (n −1) n +1

(X 1−X 2) 2

的分布。 8. 设总体X ~N (0, σ) , X 1, X 2, X 3, X 4为其样本，试确定2

(X 3+X 4)

⎛X −X 2⎞2

解：X 1−X 2~N (0, 2σ) ⇒U =⎜1⎟~χ2(1)

2σ⎠⎝

⎛X +X 4⎞

X 3+X 4~N (0, 2σ2) ⇒V =⎜3⎟~χ2(1)

2σ⎠⎝

由样本的独立性知U ，V 相互独立

(X 1−X 2) 2U /1

故=~F (1, 1) (X 3+X 4) 2V /1

概率论与数理统计1-6章作业及参考答案高等教育出版社

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