圆锥曲线与方程 李布
第二章 圆锥曲线与方程
2.1曲线与方程
2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程
一、教学目标 (一) 知识教学点
使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二) 能力训练点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力． (三) 学科渗透点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础． 二、教材分析
1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法． (动点的轨迹方法．
() 教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，的精神．
三、教学过程 学生探究过程： (一) 复习引入
大家知道， (1) (2)
今天在上面已 (二) 1) 的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐
例1(1)22k 的动点P 的轨迹方程；
(2)过点A(a，+y2=R2(a＞R ＞o) 的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析：
动点P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．
解：设动点P(x，y) ，则有|OP|=2R或|OP|=0．
即x 2+y2=4R2或x 2+y2=0．
故所求动点P 的轨迹方程为x 2+y2=4R2或x 2+y2=0． 对(2)分析：
题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为： 设弦的中点为M(x，y) ，连结OM ，
圆锥曲线与方程 李布
则OM ⊥AM ． ∵k OM ·k AM =-1，
其轨迹是以OA 为直径的圆在圆O 内的一段弧(不含端点) ． 2．定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．
直平分线l 交半径OQ 于点P(见图2－45) ，当Q
分析：
∵点P 在AQ ∴|PQ|=|PA|．
又P 在半径OQ
∴
故P 写出
⊥|PA|=|PQ|． 又P ∴
由椭圆定义可知：P 点轨迹是以O 、A 为焦点的椭圆．
圆锥曲线与方程 李布
3．相关点法
若动点P(x，y) 随已知曲线上的点Q(x0，y 0) 的变动而变动，且x 0、y 0可用x 、y 表示，则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法) ．
例3 已知抛物线y 2=x+1，定点A(3，1) 、B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP ∶PA=1∶2，当B 点在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程． 分析：
P 点运动的原因是B 点在抛物线上运动，因此B 可作为相关点，应先找出点P 与点B 的联系．
解：设点P(x，y) ，且设点B(x0，y 0
)
∵BP
∶PA=1
∶2，且
P 为线段AB 的内分点．
4
例4 y 2
y
轴上的双曲
曲线方程． 分析：
因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y 轴上，所以可设双曲线方
圆锥曲线与方程 李布
ax 2-4b 2x+a2b 2=0
∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax 2-4b 2x+a2b 2=0应有等根． ∴△=1664-4Q 4b 2=0，即a 2=2b． (以下由学生完成
)
由弦长公式得：
即a 2b 2=4b2-a 2．
(三) 巩固练习
1．△
ABC 一边的两个端点是B(0，C(0，-6)
2．点P 与一定点F(2，0) x=8的距离的比是1∶2，求点P 的轨迹方
3．求抛物线
y 2＞
0)
方程． 答案：
义法)
由中点坐标公式得：
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(四) 、教学反思
求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍． 五、布置作业
1．两定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹方程． 2．动点P 到点F 1(1，0) 的距离比它到F 2(3，0) 的距离少2，求P 点的轨迹．
3．已知圆x 2+y2=4上有定点A(2，0) ，过定点A 作弦AB 3|AB|=2|AB|，求动点P 的轨迹方程．作业答案：
1．以两定点A 、B 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为M 的轨迹方程x 2+y2=4
2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F 2|∴P 点只能在x 轴上且x ＜1
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第二章 圆锥曲线与方程
2.1曲线与方程
2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程
一、教学目标 (一) 知识教学点
使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二) 能力训练点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力． (三) 学科渗透点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础． 二、教材分析
1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法． (动点的轨迹方法．
() 教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，的精神．
三、教学过程 学生探究过程： (一) 复习引入
大家知道， (1) (2)
今天在上面已 (二) 1) 的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐
例1(1)22k 的动点P 的轨迹方程；
(2)过点A(a，+y2=R2(a＞R ＞o) 的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析：
动点P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．
解：设动点P(x，y) ，则有|OP|=2R或|OP|=0．
即x 2+y2=4R2或x 2+y2=0．
故所求动点P 的轨迹方程为x 2+y2=4R2或x 2+y2=0． 对(2)分析：
题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为： 设弦的中点为M(x，y) ，连结OM ，
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则OM ⊥AM ． ∵k OM ·k AM =-1，
其轨迹是以OA 为直径的圆在圆O 内的一段弧(不含端点) ． 2．定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．
直平分线l 交半径OQ 于点P(见图2－45) ，当Q
分析：
∵点P 在AQ ∴|PQ|=|PA|．
又P 在半径OQ
∴
故P 写出
⊥|PA|=|PQ|． 又P ∴
由椭圆定义可知：P 点轨迹是以O 、A 为焦点的椭圆．
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3．相关点法
若动点P(x，y) 随已知曲线上的点Q(x0，y 0) 的变动而变动，且x 0、y 0可用x 、y 表示，则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法) ．
例3 已知抛物线y 2=x+1，定点A(3，1) 、B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP ∶PA=1∶2，当B 点在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程． 分析：
P 点运动的原因是B 点在抛物线上运动，因此B 可作为相关点，应先找出点P 与点B 的联系．
解：设点P(x，y) ，且设点B(x0，y 0
)
∵BP
∶PA=1
∶2，且
P 为线段AB 的内分点．
4
例4 y 2
y
轴上的双曲
曲线方程． 分析：
因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y 轴上，所以可设双曲线方
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ax 2-4b 2x+a2b 2=0
∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax 2-4b 2x+a2b 2=0应有等根． ∴△=1664-4Q 4b 2=0，即a 2=2b． (以下由学生完成
)
由弦长公式得：
即a 2b 2=4b2-a 2．
(三) 巩固练习
1．△
ABC 一边的两个端点是B(0，C(0，-6)
2．点P 与一定点F(2，0) x=8的距离的比是1∶2，求点P 的轨迹方
3．求抛物线
y 2＞
0)
方程． 答案：
义法)
由中点坐标公式得：
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(四) 、教学反思
求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍． 五、布置作业
1．两定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹方程． 2．动点P 到点F 1(1，0) 的距离比它到F 2(3，0) 的距离少2，求P 点的轨迹．
3．已知圆x 2+y2=4上有定点A(2，0) ，过定点A 作弦AB 3|AB|=2|AB|，求动点P 的轨迹方程．作业答案：
1．以两定点A 、B 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为M 的轨迹方程x 2+y2=4
2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F 2|∴P 点只能在x 轴上且x ＜1