数学解题大赛决赛卷（初一）
（时间：100分钟 满分：100）
班级 姓名 得分
说明：（本卷共10题，解答题要根据题意列出方程求解） (第1题) （每小题4分共12分） （1）填空
1＋2＋3＋4＋5＋ ＋2005＋2006
＝__________．
1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛ 1－⎪ 1－⎪ 1－⎪ 1－⎪ 1－⎪ 1－⎪⎝1004⎭⎝1005⎭⎝1006⎭⎝1007⎭⎝2005⎭⎝2006⎭
（2）填空：如图：a , b , c , d , e , f 均为有理数，图中各行、各列以及两对角线上的三个数之和都相等，则
ab +cd +ef
的值是
a +b +c +d +e +f
（3）填空：为了确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文2a+b，2b+c，c+5d，2d ，例如，明文1，2，3，4对应密文4，7，23，8，当接收方收到密文7，13，38，14时，则解密得到的明文是 （第2题）（8分）计算定义新运算*为:a *b =a +b -
a ⨯b
，那么求20*20*2005*5*5 4
（第3题）（10分）一个长方形如图所示恰分成六个正方形, 其中最小的正方形面积是1 平方厘米. 求这个长方形的面积. （列一元一次方程解）. （可以在图中标记）
（第4题）（10分）已知方程组⎨
⎧x +my =11
有正整数解, 求整数m 的值
⎩x +3=2y
（第5题）（10分）根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高 _________ cm ，放入一个大球水面升高 _________ cm ； （2）如果要使水面上升到50cm ，应放入大球、小球各多少个？
（第6题）（10分）白雪纷飞元旦将至，小邓写信给小学同学，问候元旦节日．折叠长方形信纸、装入标准信封时发现：若将信纸如图①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时，宽绰有3.8cm ；若将信纸如图②三等分折叠后，同样方法装入时，宽绰1.4cm ．试求信纸的纸长与信封的口宽．
（第7题）（10分）阅读下列材料，填空即可：
将1, -
11111
, , -, , -23456
按一定规律排成下表
:
从表中可以看到, 第4行中自左向右第3个数是
11
, 第5行中自左向右第2个数是-, 那么第199行中自左向右第912
8个数是______, 第1998行中自左向右第11个数是_____.
（第8题）（10分）画图并填空，无需写过程
两条平行直线上各有n 个点，用这n 个点按如下规则连接线段：
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点； ②符合①要求的线段必须全部画出．
图（1）展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；图（2）展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2．试回答下列问题：
（I ）当n=3时，请在图（3）中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数是 _________ ； （II ）试猜想当有n 对点时，按上述规则画出的图形中，最少有 _________ 个三角形； （III ）当n=2012时，按上述规则画出的图形中，最少有 _________ 个三角形．
（第9题）（10分）某中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名七年级的学生到某地参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km 的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．
（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；
（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案（方程），使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性． （1）
（2）
（第10题）（10分）少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x 1，只显示不运算，接着再输入整数x 2后则显示|x1-x 2|的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从1到1991这一千九百九十一个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为p ．试求出p 的最大值，并说明理由．
1. （1） . （2）
(3)设解密得到的明文分别是a ，b ，c ，d ．依题意，得
，
1+2+3+4+5++2005+2006
(1-)(1-)(1-)(1-) (1-)(1-)
[***********]052006
1+2+3+4+5++2005+2006
=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
[***********]052006=2⨯(1+2+3+4+5++2005+2006) 2006⨯(1+2006)
2
=2006⨯2007=4026042=2⨯
11 12
解得．
∴明文为：1，5，3，7．
2:2005，
3：图中的正方形分别标以A,B,C,D,E,F, 显然最小的正方形A 的面积是1 平方厘米, 它的边为长1厘米.
设最大正方形B 的边长为x 厘米, 则C 的边长为(x-1)厘米,D 的边长为(x-2)厘米,E 的边长为(x-3)厘米,F 的边长也为(x-3)厘米.
根据矩形对边相等, 得2(x-3)+(x-2)=x+(x-1) 即 3x-8=2x-1 所以 x=7(厘米)
于是,C 的边长为6厘米,D 的边长为5厘米,E 和F 的边长均为4厘米. 长方形的面积为 (7+6)×(7+4)=13×11=143(平方厘米).
⎧x +my =11144. 解：由方程组⎨消去x ，解得y =。
m +2x +3=2y ⎩
依题意得，y 是正整数，所以m +2是14的正约数， 则得，m +2=1，2，7，14
因此m 的值为－1，0，5，12。
经检验：m =12不合题意舍去。故m 的值为－1，0，5。
5. 解：（1）设一个小球使水面升高x 厘米，由图意，得3x=32﹣26，解得x=2； 设一个大球使水面升高y 厘米，由图意，得2y=32﹣26，解得：y=3． 所以，放入一个小球水面升高2cm ，放入一个大球水面升高3cm ；
（2）设应放入大球m 个，小球10-m 个．可列一元一次方程，本案列了2元，由题意，
得解得：
，
答：如果要使水面上升到50cm ，应放入大球4个，小球6个．
6：设信纸的纸长为xcm ， 根据题意得：+3.8=+1.4， 解得x=28.8；
所以信封的口宽为
+3.8=11（cm ），
答：信纸的纸长为28.8cm ，信封的口宽为11cm ．
7. 解：这个数串中奇号项为正，偶号项为负. 第
n
所以第198行第198个数是数串中的第19701项.
因此，第199行的第8个数是数串中的第19701＋8＝19709项. 同理，这个表中第1997行结束时，共排了
所以第1997行第1997个数是数串中的第1995003项，第1998行第11个数应是数串中的第1995003＋11＝1995014项.
8. 解：（1）
此时图中三角形的个数是：4个； 故答案为：4．
（2）当有n 对点时，最少可以画2（n ﹣1）个三角形； 故答案为：2（n ﹣1）；
（3）2×（2012﹣1）=4022个．
当n=2012时，最少可以画4022个三角形． 故答案为：4022． 9. 解：（1）
（分钟），
∵45＞42， ∴不能在限定时间内到达考场．
（2）方案1：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．
先将4人用车送到考场所需时间为
（分钟）．
0.25小时另外4人步行了1.25km ，此时他们与考场的距离为15﹣1.25=13.75（km ），
设汽车返回t （h ）后先步行的4人相遇， 5t+60t=13.75， 解得
．
．
．
汽车由相遇点再去考场所需时间也是所以用这一方案送这8人到考场共需
所以这8个人能在截止进考场的时刻前赶到．
方案2，8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点xkm 的A 处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场， 由A 处步行前考场需汽车从出发点到A 处需
，
先步行的4人走了
， ，
设汽车返回t （h ）后与先步行的4人相遇，则有解得
，
．
．
所以相遇点与考场的距离为：由相遇点坐车到考场需：
所以先步行的4人到考场的总时间为：先坐车的4人到考场的总时间为：他们同时到达则有：解得x=13．
将x=13代入上式，可得他们赶到考场所需时间为：∵37＜42，
∴他们能在截止进考场的时刻前到达考场．
，
， ，
（分钟）．
10: 由于输入的数都是非负数．当x 1≥0，x 2≥0时，|x1-x 2|不超过x 1，x 2中最大的数．对x 1≥0，x 2≥0，x 3≥0，则||x1-x 2|-x3|不超过x 1，x 2，x 3中最大的数．小明输入这1991个数设次序是x 1，x 2，…，x 1991，相当于计算：||…||x1-x 2|-x3|……-x 1990|-x1991|=P．因此P 的值≤1991．
另外从运算奇偶性分析，x 1，x 2为整数．
|x1-x 2|与x 1+x2奇偶性相同．因此P 与x 1+x2+…+x1991的奇偶性相同．
但x 1+x2+…+x1991=1+2+…1991=偶数．于是断定P ≤1990．我们证明P 可以取到1990． 对1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0．
|||(4k+1)-(4k+3)|(4k+4)|-(4k+2)=|0，对k=0，1，2，…均成立．因此，1-1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0．而后||1989-1990|-1991|=1990．
数学解题大赛决赛卷（初一）
（时间：100分钟 满分：100）
班级 姓名 得分
说明：（本卷共10题，解答题要根据题意列出方程求解） (第1题) （每小题4分共12分） （1）填空
1＋2＋3＋4＋5＋ ＋2005＋2006
＝__________．
1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛ 1－⎪ 1－⎪ 1－⎪ 1－⎪ 1－⎪ 1－⎪⎝1004⎭⎝1005⎭⎝1006⎭⎝1007⎭⎝2005⎭⎝2006⎭
（2）填空：如图：a , b , c , d , e , f 均为有理数，图中各行、各列以及两对角线上的三个数之和都相等，则
ab +cd +ef
的值是
a +b +c +d +e +f
（3）填空：为了确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文2a+b，2b+c，c+5d，2d ，例如，明文1，2，3，4对应密文4，7，23，8，当接收方收到密文7，13，38，14时，则解密得到的明文是 （第2题）（8分）计算定义新运算*为:a *b =a +b -
a ⨯b
，那么求20*20*2005*5*5 4
（第3题）（10分）一个长方形如图所示恰分成六个正方形, 其中最小的正方形面积是1 平方厘米. 求这个长方形的面积. （列一元一次方程解）. （可以在图中标记）
（第4题）（10分）已知方程组⎨
⎧x +my =11
有正整数解, 求整数m 的值
⎩x +3=2y
（第5题）（10分）根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高 _________ cm ，放入一个大球水面升高 _________ cm ； （2）如果要使水面上升到50cm ，应放入大球、小球各多少个？
（第6题）（10分）白雪纷飞元旦将至，小邓写信给小学同学，问候元旦节日．折叠长方形信纸、装入标准信封时发现：若将信纸如图①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时，宽绰有3.8cm ；若将信纸如图②三等分折叠后，同样方法装入时，宽绰1.4cm ．试求信纸的纸长与信封的口宽．
（第7题）（10分）阅读下列材料，填空即可：
将1, -
11111
, , -, , -23456
按一定规律排成下表
:
从表中可以看到, 第4行中自左向右第3个数是
11
, 第5行中自左向右第2个数是-, 那么第199行中自左向右第912
8个数是______, 第1998行中自左向右第11个数是_____.
（第8题）（10分）画图并填空，无需写过程
两条平行直线上各有n 个点，用这n 个点按如下规则连接线段：
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点； ②符合①要求的线段必须全部画出．
图（1）展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；图（2）展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2．试回答下列问题：
（I ）当n=3时，请在图（3）中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数是 _________ ； （II ）试猜想当有n 对点时，按上述规则画出的图形中，最少有 _________ 个三角形； （III ）当n=2012时，按上述规则画出的图形中，最少有 _________ 个三角形．
（第9题）（10分）某中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名七年级的学生到某地参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km 的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．
（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；
（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案（方程），使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性． （1）
（2）
（第10题）（10分）少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x 1，只显示不运算，接着再输入整数x 2后则显示|x1-x 2|的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从1到1991这一千九百九十一个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为p ．试求出p 的最大值，并说明理由．
1. （1） . （2）
(3)设解密得到的明文分别是a ，b ，c ，d ．依题意，得
，
1+2+3+4+5++2005+2006
(1-)(1-)(1-)(1-) (1-)(1-)
[***********]052006
1+2+3+4+5++2005+2006
=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
[***********]052006=2⨯(1+2+3+4+5++2005+2006) 2006⨯(1+2006)
2
=2006⨯2007=4026042=2⨯
11 12
解得．
∴明文为：1，5，3，7．
2:2005，
3：图中的正方形分别标以A,B,C,D,E,F, 显然最小的正方形A 的面积是1 平方厘米, 它的边为长1厘米.
设最大正方形B 的边长为x 厘米, 则C 的边长为(x-1)厘米,D 的边长为(x-2)厘米,E 的边长为(x-3)厘米,F 的边长也为(x-3)厘米.
根据矩形对边相等, 得2(x-3)+(x-2)=x+(x-1) 即 3x-8=2x-1 所以 x=7(厘米)
于是,C 的边长为6厘米,D 的边长为5厘米,E 和F 的边长均为4厘米. 长方形的面积为 (7+6)×(7+4)=13×11=143(平方厘米).
⎧x +my =11144. 解：由方程组⎨消去x ，解得y =。
m +2x +3=2y ⎩
依题意得，y 是正整数，所以m +2是14的正约数， 则得，m +2=1，2，7，14
因此m 的值为－1，0，5，12。
经检验：m =12不合题意舍去。故m 的值为－1，0，5。
5. 解：（1）设一个小球使水面升高x 厘米，由图意，得3x=32﹣26，解得x=2； 设一个大球使水面升高y 厘米，由图意，得2y=32﹣26，解得：y=3． 所以，放入一个小球水面升高2cm ，放入一个大球水面升高3cm ；
（2）设应放入大球m 个，小球10-m 个．可列一元一次方程，本案列了2元，由题意，
得解得：
，
答：如果要使水面上升到50cm ，应放入大球4个，小球6个．
6：设信纸的纸长为xcm ， 根据题意得：+3.8=+1.4， 解得x=28.8；
所以信封的口宽为
+3.8=11（cm ），
答：信纸的纸长为28.8cm ，信封的口宽为11cm ．
7. 解：这个数串中奇号项为正，偶号项为负. 第
n
所以第198行第198个数是数串中的第19701项.
因此，第199行的第8个数是数串中的第19701＋8＝19709项. 同理，这个表中第1997行结束时，共排了
所以第1997行第1997个数是数串中的第1995003项，第1998行第11个数应是数串中的第1995003＋11＝1995014项.
8. 解：（1）
此时图中三角形的个数是：4个； 故答案为：4．
（2）当有n 对点时，最少可以画2（n ﹣1）个三角形； 故答案为：2（n ﹣1）；
（3）2×（2012﹣1）=4022个．
当n=2012时，最少可以画4022个三角形． 故答案为：4022． 9. 解：（1）
（分钟），
∵45＞42， ∴不能在限定时间内到达考场．
（2）方案1：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．
先将4人用车送到考场所需时间为
（分钟）．
0.25小时另外4人步行了1.25km ，此时他们与考场的距离为15﹣1.25=13.75（km ），
设汽车返回t （h ）后先步行的4人相遇， 5t+60t=13.75， 解得
．
．
．
汽车由相遇点再去考场所需时间也是所以用这一方案送这8人到考场共需
所以这8个人能在截止进考场的时刻前赶到．
方案2，8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点xkm 的A 处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场， 由A 处步行前考场需汽车从出发点到A 处需
，
先步行的4人走了
， ，
设汽车返回t （h ）后与先步行的4人相遇，则有解得
，
．
．
所以相遇点与考场的距离为：由相遇点坐车到考场需：
所以先步行的4人到考场的总时间为：先坐车的4人到考场的总时间为：他们同时到达则有：解得x=13．
将x=13代入上式，可得他们赶到考场所需时间为：∵37＜42，
∴他们能在截止进考场的时刻前到达考场．
，
， ，
（分钟）．
10: 由于输入的数都是非负数．当x 1≥0，x 2≥0时，|x1-x 2|不超过x 1，x 2中最大的数．对x 1≥0，x 2≥0，x 3≥0，则||x1-x 2|-x3|不超过x 1，x 2，x 3中最大的数．小明输入这1991个数设次序是x 1，x 2，…，x 1991，相当于计算：||…||x1-x 2|-x3|……-x 1990|-x1991|=P．因此P 的值≤1991．
另外从运算奇偶性分析，x 1，x 2为整数．
|x1-x 2|与x 1+x2奇偶性相同．因此P 与x 1+x2+…+x1991的奇偶性相同．
但x 1+x2+…+x1991=1+2+…1991=偶数．于是断定P ≤1990．我们证明P 可以取到1990． 对1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0．
|||(4k+1)-(4k+3)|(4k+4)|-(4k+2)=|0，对k=0，1，2，…均成立．因此，1-1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0．而后||1989-1990|-1991|=1990．