反比例函数解析式的确定
确定反比例函数的解析式是研究反比例函数的重要内容，由于反比例函数的表达式y ＝k （k 为常数，k ≠0）的结构比较简单，只有一个待定系数k ，即确x
定了k ，也就确定了反比例函数的关系式. 现说明如下，供同学们学习时参考.
一、利用反比例函数的定义
例1 已知函数y ＝2(a +1)x 2a +5是反比例函数，试求出a 的值，并写出函数关系式.
分析 由反比例函数的定义自变量的指数是－1，从而列式求解.
解 依题意，得2a +5＝－1，且a +1≠0，解得a ＝－3，
所以此反比例函数的解析式为y ＝－4. x
说明 利用反比例函数的定义确定解析式时除了要掌握其一般外，还要注意掌握由一般式得到的另一种表达方式y ＝kx －1（k 为常数，k ≠0），从而列式求解.
二、利用图象过已知点求解
例2 已知反比例函数的图象经过点(1，－2) ，则此函数关系式是＿＿＿. 2
分析 设出此反比例函数的解析式，再利用待定系数法求出比例系数即可.
k 1. 因为反比例函数的图象经过点(，－2) ， x 2
1k 所以－2＝，解得k ＝－1，所以此函数关系式是y ＝－. x
2解 设此函数关系式是y ＝
说明 待定系数法在确定函数关系式时经常要用到，同学们一定要通过具体例子体会.
三、从图象中获取信息
例3 若双曲线y ＝
＿＿.
分析 要确定其解析式，只要求出比例系数k 即可，而图象中可知，双曲线经过点(1，2) ，于是利用待定系数法即求.
解 因为双曲线经过点(1，2) ，所以有2＝
所以反比例函数的解析式是y ＝
k 的部分图像如图所示，那么反比例函数的解析式是＿x k ，解得
12. x x
说明 求解此类问题时除了要能运用待定系数法法外，还要发挥数形结合的作用.
四、利用反比例函数的比例系数的几何意义
例4 一个反比例函数在第三象限的图象如图，若点P 是图象上任意一点，PA ⊥x 轴于A ，O 是原点，若△PAO 的面积是. 14
分析 若设点P (x ，y ) ，则由△PAO 的面积是
反比例函数的解析式. 1，可求得xy ，从而求得这个4
1111，所以xy ＝，所以xy ＝±， 4242
1而反比例函数的图象在第三象限，所以xy ＞0，所以xy ＝， 2
1即这个反比例函数的解析式为y ＝. 2x
1说明 在本题的求解过程中除了要考虑利用△PAO 的面积等于k 外，还要2解 设点P (x ，y ) ，因为△PAO 的面积是
注意双曲线的分布情况，从而准确地确定k 的符号，以避免错误的出现.
五、利用一次函数
例5 若一次函数y ＝2x +3的图象与反比例函数y ＝
(－2，m ) ， 试求反比例函数的解析式.
分析 由于点(－2，m ) 是一次函数与反比例函数图象的交点，所以可先代入一次函数的解析式求出m 后，再代入反比例函数的解析式求得比例系数k .
解 因为点(－2，m ) 在一次函数y ＝2x +3的图象上，所以有m ＝2×(－2)+3， 解得m ＝－1，所以交点是(－2，－1) ，
此时点(－2，－1) 也在反比例函数y ＝k k 的图象上，所以有－1＝，解得x 2k 的图象有一个交点是x k ＝2.
所以反比例函数的解析式是y ＝2. x
说明 在研究反比例函数时，一次函数好象是其的孪生兄弟，总是成对出现，
求解时一定要注意发挥一次函数的作用.
六、利用问题中的等量关系
1例6 若梯形的下底长为x ，上底长为下底长的，高为y ，面积为60，则3
y 与x 的函数关系是＿＿＿. （不考虑x 的取值范围）
分析 要求本题中y 与x 的函数关系，只需利用梯形的面积公式这一等量关系，将这两个变量表示出来，并化简即得.
1190(x +x ) ×y ＝60，化简，得y ＝， 23x
90所以y 与x 的函数关系是y ＝. x 解 由梯形的面积分式，得
说明 从实际问题中求解函数关系式与列方程解应用题基本相似，其关键是要能找到一个等量关系.
反比例函数解析式的确定
确定反比例函数的解析式是研究反比例函数的重要内容，由于反比例函数的表达式y ＝k （k 为常数，k ≠0）的结构比较简单，只有一个待定系数k ，即确x
定了k ，也就确定了反比例函数的关系式. 现说明如下，供同学们学习时参考.
一、利用反比例函数的定义
例1 已知函数y ＝2(a +1)x 2a +5是反比例函数，试求出a 的值，并写出函数关系式.
分析 由反比例函数的定义自变量的指数是－1，从而列式求解.
解 依题意，得2a +5＝－1，且a +1≠0，解得a ＝－3，
所以此反比例函数的解析式为y ＝－4. x
说明 利用反比例函数的定义确定解析式时除了要掌握其一般外，还要注意掌握由一般式得到的另一种表达方式y ＝kx －1（k 为常数，k ≠0），从而列式求解.
二、利用图象过已知点求解
例2 已知反比例函数的图象经过点(1，－2) ，则此函数关系式是＿＿＿. 2
分析 设出此反比例函数的解析式，再利用待定系数法求出比例系数即可.
k 1. 因为反比例函数的图象经过点(，－2) ， x 2
1k 所以－2＝，解得k ＝－1，所以此函数关系式是y ＝－. x
2解 设此函数关系式是y ＝
说明 待定系数法在确定函数关系式时经常要用到，同学们一定要通过具体例子体会.
三、从图象中获取信息
例3 若双曲线y ＝
＿＿.
分析 要确定其解析式，只要求出比例系数k 即可，而图象中可知，双曲线经过点(1，2) ，于是利用待定系数法即求.
解 因为双曲线经过点(1，2) ，所以有2＝
所以反比例函数的解析式是y ＝
k 的部分图像如图所示，那么反比例函数的解析式是＿x k ，解得
12. x x
说明 求解此类问题时除了要能运用待定系数法法外，还要发挥数形结合的作用.
四、利用反比例函数的比例系数的几何意义
例4 一个反比例函数在第三象限的图象如图，若点P 是图象上任意一点，PA ⊥x 轴于A ，O 是原点，若△PAO 的面积是. 14
分析 若设点P (x ，y ) ，则由△PAO 的面积是
反比例函数的解析式. 1，可求得xy ，从而求得这个4
1111，所以xy ＝，所以xy ＝±， 4242
1而反比例函数的图象在第三象限，所以xy ＞0，所以xy ＝， 2
1即这个反比例函数的解析式为y ＝. 2x
1说明 在本题的求解过程中除了要考虑利用△PAO 的面积等于k 外，还要2解 设点P (x ，y ) ，因为△PAO 的面积是
注意双曲线的分布情况，从而准确地确定k 的符号，以避免错误的出现.
五、利用一次函数
例5 若一次函数y ＝2x +3的图象与反比例函数y ＝
(－2，m ) ， 试求反比例函数的解析式.
分析 由于点(－2，m ) 是一次函数与反比例函数图象的交点，所以可先代入一次函数的解析式求出m 后，再代入反比例函数的解析式求得比例系数k .
解 因为点(－2，m ) 在一次函数y ＝2x +3的图象上，所以有m ＝2×(－2)+3， 解得m ＝－1，所以交点是(－2，－1) ，
此时点(－2，－1) 也在反比例函数y ＝k k 的图象上，所以有－1＝，解得x 2k 的图象有一个交点是x k ＝2.
所以反比例函数的解析式是y ＝2. x
说明 在研究反比例函数时，一次函数好象是其的孪生兄弟，总是成对出现，
求解时一定要注意发挥一次函数的作用.
六、利用问题中的等量关系
1例6 若梯形的下底长为x ，上底长为下底长的，高为y ，面积为60，则3
y 与x 的函数关系是＿＿＿. （不考虑x 的取值范围）
分析 要求本题中y 与x 的函数关系，只需利用梯形的面积公式这一等量关系，将这两个变量表示出来，并化简即得.
1190(x +x ) ×y ＝60，化简，得y ＝， 23x
90所以y 与x 的函数关系是y ＝. x 解 由梯形的面积分式，得
说明 从实际问题中求解函数关系式与列方程解应用题基本相似，其关键是要能找到一个等量关系.