系统动态性能指标间的联系及闭环零_极点和动态性能之间的关系

第29卷 第6期 兵器与装备

四川兵工学报2008年12月

系统动态性能指标间的联系及闭环零、

极点和动态性能之间的关系

马宁波1,王春平1,李 波2

(1.军械工程学院,石家庄 050003;2.63981部队,武汉 430311)

摘要:控制系统的动态性能指标和闭环零、极点之间存在着一定的关系,系统的时域和频域动态性能指标之间也存在关联性,研究这些关系对于系统的设计和分析都具有实际意义.关键词:控制系统;动态性能;时频关联;极点配置中图分类号:E072文献标识码:A 控制系统的动态性能,是控制系统暂态响应时的性能,在很大程度上是由闭环系统的零点和极点决定的,线性系统的动态性能主要取决于系统极点的位置.极点配置就是通过一个状态反馈,使闭环系统的极点配置在希望的位置上,从而使系统具有较满意的性能.

文章编号:1006-0707(2008)06-0061-03

的响应速度;增大 可降低超调量,减少振荡次数,减弱系统的振荡性能; 过大,系统调整时间长, 过小,系统振荡大,瞬态特性差.因此,系统的响应速度与振荡性能之间存在矛盾,既要减弱系统的振荡性能,又要使系统具有一定的响应速度,折中选取合适的 n和 值才能实现.通常是根据对最大超调量的要求来确定阻尼比 ,一般选取 =25%~1.5%,此时 =0.4~0.8.工程设计中一般取 =0.707作为最佳阻尼比,此时 和ts均较小,使系统同时兼顾了快速性和平稳性两方面的要求.1.2 谐振和带宽

在线性定常系统的频率特性分析时,通过Nyquist图和Bode图在极坐标平面和对数坐标平面上图示二阶系统的频率特性,从而获得实验性质的闭环系统的频域品质指标.当0 0.707时,系统将在谐振频率

r= n

(1)

1-2

1 控制系统动态性能指标

1.1 时域调整时间与最大超调量

二阶控制系统的时域动态性能指标主要有上升时间tr,峰值时间tp,调整时间ts,最大超调量 和振荡次数N等,分别表征系统的时域动态快速性与平稳性.二阶系统在欠阻尼0 1单位阶跃输入下,在过渡过程中,满足y(t)-y( )

1lnn

y( )( 为误差限)不等式所需要的1

时间为系统过渡过程的调整时间ts:

ts

(3)

处获得谐振峰值:

1

(4)2 1-

一般规定幅频特性A( )的数值A(0)下降3dB或下Mr=

降到0.707A(0)时的频率称为系统的截止频率 b,频率0~ b为带宽:

b= n

2

1-2 +

3

( =0.05).系统从一种稳态n

到达另一种稳态时,由于惯性作用会产生超调,最大超调

当0

=e- /

1-

100%(2)

4 -4 +2

(5)

调整时间直接反映控制系统动态快速性,最大超调量则是反映系统响应平稳性的性能指标.二阶控制系统的各时域性能指标都只与特征参数 n和 有关,要使二阶系统具有满意的动态性能指标,必须选择合适的 n和 .提高 n可减少上升时间、峰值时间和调整时间,提高二阶系统

控制系统的谐振频率 r在一定程度上反映了系统瞬态响应的速度, r值越大,则瞬态响应越快.带宽 b则表

征系统允许工作的最高频率范围,带宽大,系统的动态性能好;对系统响应的快速性而言,带宽越大,响应的快速性越好,即过渡过程的调整时间越小.

收稿日期:2008-06-17

作者简介:马宁波(1981 ),男,陕西西安人,硕士研究生,主要从事火力控制工程研究.

62四川兵工学报

的时域和频域动态性能指标反应了系统瞬态过程的性能

2 控制系统时频性能指标的关联性

标准二阶系统的时域和频域性能指标都只与系统特征参数 n和 有关,因此,消去中间变量后系统时频指标之间具有确切关联性,可从不同分析域反映系统动态性能[1-3].

2.1 谐振频率乘调整时间与谐振峰值

谐振频率 r和调整时间ts都取决于系统特征参数 n

和 ,由式(1)和式(3)联立求解消去中间变量 n获得 r与ts之间的直接关联性:

1

(6)

由式(6)可知 r乘ts仅与 有关.对给定阻尼比、调整时间与系统的谐振频率成反比,即谐振频率高的系统,其

rts=

1-2 ln

反应速度快;反之则反应速度慢.从式(4)求得 后代入式(6)得谐振频率乘调整时间与谐振峰值的关联:

rts=

2

Mr-1Mr-ln

2MrMr-1

(7)

1

参数,各指标间存在一定关联性和制约性,实际系统调节时,快速性和平稳性两大性能要求往往矛盾,可根据系统用途,通过调节实际系统的内部参数影响其振荡频率和阻尼系数,折中改善系统快速性和平稳性.

3 系统零、极点和动态性能指标的关系

控制系统分析、设计的重要评价取决于系统的单位阶跃响应,因此着重分析闭环零、极点分布与系统阶跃响应的关系[4].

3.1 系统的单位阶跃响应

h(t)=A0+ Akeskt

k=1n

K* (-zj)A0=

i=1

m

(-si)

m

j=1

n

r-1 Mr+

2.2 截止频率乘调整时间与谐振峰值联立求解获得 b与ts的直接关联性:

Ak=

K* (sk-zj)sk (zk-sj)

i=1i jm

b和ts也都取决于特征参数 n和 ,由式(1)和式(5)1

(8) 从式(8)可知,当阻尼比 给定后,控制系统的频宽与调整时间成反比关系.即控制系统的频宽越大,则该系统

bts=

1-2 2+

4 -4 +2ln

3.2 闭环零、极点分布与系统动态性能的定性关系一个控制系统总是希望它的输出量尽可能地复现给

定输入量,要求动态过程的快速性、平稳性要好一些.要保证这些要求,闭环零、极点应如何分布呢?

1)由单位阶跃响应的表达式可以看出,Akek对应极点sk的输出瞬态分量,干扰对系统的影响可视为多个瞬态响应的叠加.

2)为了保证系统稳定,闭环极点都必须分布在[s]平面的左半开平面.

3)如果没有闭环零点,则闭环极点完全决定了阶跃响应的形式,闭环极点均为负数极点,则时间响应一定是单调衰减的;闭环极点为负实部共轭极点时,则时间响应为振荡衰减,极点离虚轴越远衰减越快.如果有闭环零点,则一般使阶跃响应加快,但超调量增加.

4)如果要求系统的快速性好,应使阶跃响应衰减得快些,则闭环极点应远离虚轴.即,极点越远离虚轴,系统的调节时间ts越小,根据调节时间ts与谐振频率 r和频宽 b都成反比的关系,这时 r和 b越大,这都反映了闭环极点远离虚轴则系统的快速性好.

5)工程应用中的实际控制系统,大多是复杂的高阶系统.对高阶系统的研究,往往通过建立主导极点概念,将高阶系统简化为二阶及以下的低阶系统的串并联组合.这样就可以通过研究简化得来的二阶系统性能,对复杂系统进行校正,从而获得满足设计指标和使用要求的高阶系统性能.典型的二阶系统的传递函数为

2n

s+2 ns+ n

则系统的2个极点为f(s)=

s1,- st

1反应输入信号的快速性便越好.这充分证明,频宽是表征控制系统的反应速度的重要指标.由式(4)求出 ,代入式(8)得截止频率乘调整时间与谐振峰值的关联:

bts=

Mr-1+Mr-2Mr-1Mr-1

ln

2Mr

M2r+

Mr-1

(9)

利用上述方法也可推导出频率指标 r, b,Mr与时域

指标tr,tp的关联.

2.3 谐振峰值与最大超调量

频域相对谐振峰值Mr与时域最大超调量 具有确切关联性.由式(2)和(4)可得:

=exp-

r-Mr-1Mr- 100%

(10)

Mr+Mr和 均由控制系统的阻尼比 所确定,均随 的减小而增大.当 >0.4时,Mr和 存在相近的关系,对于很小的 值,Mr将变得很大, 的值却不会超过1.对某一控制系统来说,在时域中 大,反映到频域里Mr也大,反之亦然.因此,Mr是度量控制系统振荡程度的一项频域指标,Mr值表征了系统的相对稳定性.一般而言,Mr越大,系统阶跃响应的超调量也越大,意味着系统的平稳性较差.在二阶系统设计中,希望选取Mr

,

马宁波,等:系统动态性能指标间的联系及闭环零、极点和动态性能之间的关系

要求系统平稳性好,则系统的超调量和谐振峰值应该小.如前所述,一般情况下系统的超调量和谐振峰值同方

向变化,而二阶系统的超调量取决于极点的负实部和虚轴之比,因此改变系统极点负实部和虚轴的比值,就可以改变系统的超调量和谐振峰值,从而影响系统的平稳性.但是,如前面所说,系统的快速性和平稳性之间存在矛盾,为了兼顾二者,复数极点最好设在[s]平面中与负实轴成 45 夹角线附近.因为此时对应的阻尼比( =0.707)为最佳阻尼比,这时系统的平稳性和快速性都较理想.

6)远离虚轴的闭环极点(或零点)对瞬态响应的影响很小.一般情况下,若某一极点比其他极点远离虚轴4~6倍时,则它对瞬态响应的影响可略去不计.

7)要求系统快速性好,还可以调整系数Ak,应使其分母大,分子小,所以,应使闭环极点间的间距(si-sj)大,零点zj应靠近极点sk.离虚轴最近的极点对应的暂态分量Akek衰减得最慢,对系统的动态过程起决定性作用.系统的调节时间ts主要取决于这一极点的实部绝对值,如果能使一零点靠近甚至等于该极点,则该极点对应的暂态分量将很小,甚至为零,它对系统的影响就可以忽略不计,从而对系统动态过程起决定作用的极点就让位于离虚轴次近的极点,使系统的快速性有所提高.一对靠得很近(工程上认为他们的间距小于它们本身到原点距离的1/10)的闭环零、极点构成偶极子.利用偶极子的概念,有意识地在系统中加入适当的零点,以抵消对系统影响较大的极点,可以改善系统的性能;在[s]平面上,最靠近虚轴而附近又没有

st

63

零点的闭环极点,对系统动态过程的影响最大,称为主导极点.一般其他极点的实部绝对值比主导极点的实部绝对值大6倍以上的,可忽略不计,工程上常用主导极点代替所有极点来估算系统的动态性能.

4 结束语

控制系统的基本性能要求归纳为稳定性、快速性和准确性.三大性能要求都通过时域和频域的量化性能指标来衡量.标准二阶系统的时频性能指标都仅与系统特征参数无阻尼固有频率 n和阻尼比 有关,各性能指标之间具有相互制约性和时频关联性.因此,建立系统性能指标的时频关系,以及零、极点配置和系统性能指标之间的关系对于分析和设计满足动态性能的控制系统具有实际意义.

参考文献:

[1] 齐晓慧,杨润生,李洪儒.兵器控制工程[M].北京:兵

器工业出版社,2002.[2] 杨叔子.机械工程控制基础[M].武汉:华中科技大学

出版社,2003.[3] Katsuhiko.现代控制工程[M].北京:电子工业出版

社,2002.

[4] 陆锦军.控制系统中相关性能指标之间关系分析[J].

南通职业大学学报,2004(4):26.

(上接第52页)的影响.在确定备件品种的多属性粗糙集方法中,用扩展优势关系代替经典粗糙集中的不可分辨关系,可获得分类决策规则,为解决不完备信息系统下的确定备件品种多属性决策问题,提供了一种有效的方法.

京:科学出版社,2003.

[3] 徐泽水.求解不确定型多属性决策问题的一种新方法

[J].系统工程学报,2002(2):177.[4] 何亚群,胡寿松.不完全信息的多属性粗糙决策分析

方法[J].系统工程学报,2004(2):117.[5] 黄建新,杨建军,张志峰.基于不完备信息的粗糙集确

定备件品种[J].装备指挥技术学院学报,2005(6):44.

[6] 葛涛,齐艳平,高鲁.基于模糊综合评判的备件品种量

化方法[J].系统仿真学报,2001(11):301.

参考文献:

[1] 张文修,吴伟志,梁吉业.粗糙集理论与方法[M].北

京:科学出版社,2001.[2] 张文修,梁怡,吴伟志.信息系统与知识发现[M].北

第29卷 第6期 兵器与装备

四川兵工学报2008年12月

系统动态性能指标间的联系及闭环零、

极点和动态性能之间的关系

马宁波1,王春平1,李 波2

(1.军械工程学院,石家庄 050003;2.63981部队,武汉 430311)

摘要:控制系统的动态性能指标和闭环零、极点之间存在着一定的关系,系统的时域和频域动态性能指标之间也存在关联性,研究这些关系对于系统的设计和分析都具有实际意义.关键词:控制系统;动态性能;时频关联;极点配置中图分类号:E072文献标识码:A 控制系统的动态性能,是控制系统暂态响应时的性能,在很大程度上是由闭环系统的零点和极点决定的,线性系统的动态性能主要取决于系统极点的位置.极点配置就是通过一个状态反馈,使闭环系统的极点配置在希望的位置上,从而使系统具有较满意的性能.

文章编号:1006-0707(2008)06-0061-03

的响应速度;增大 可降低超调量,减少振荡次数,减弱系统的振荡性能; 过大,系统调整时间长, 过小,系统振荡大,瞬态特性差.因此,系统的响应速度与振荡性能之间存在矛盾,既要减弱系统的振荡性能,又要使系统具有一定的响应速度,折中选取合适的 n和 值才能实现.通常是根据对最大超调量的要求来确定阻尼比 ,一般选取 =25%~1.5%,此时 =0.4~0.8.工程设计中一般取 =0.707作为最佳阻尼比,此时 和ts均较小,使系统同时兼顾了快速性和平稳性两方面的要求.1.2 谐振和带宽

在线性定常系统的频率特性分析时,通过Nyquist图和Bode图在极坐标平面和对数坐标平面上图示二阶系统的频率特性,从而获得实验性质的闭环系统的频域品质指标.当0 0.707时,系统将在谐振频率

r= n

(1)

1-2

1 控制系统动态性能指标

1.1 时域调整时间与最大超调量

二阶控制系统的时域动态性能指标主要有上升时间tr,峰值时间tp,调整时间ts,最大超调量 和振荡次数N等,分别表征系统的时域动态快速性与平稳性.二阶系统在欠阻尼0 1单位阶跃输入下,在过渡过程中,满足y(t)-y( )

1lnn

y( )( 为误差限)不等式所需要的1

时间为系统过渡过程的调整时间ts:

ts

(3)

处获得谐振峰值:

1

(4)2 1-

一般规定幅频特性A( )的数值A(0)下降3dB或下Mr=

降到0.707A(0)时的频率称为系统的截止频率 b,频率0~ b为带宽:

b= n

2

1-2 +

3

( =0.05).系统从一种稳态n

到达另一种稳态时,由于惯性作用会产生超调,最大超调

当0

=e- /

1-

100%(2)

4 -4 +2

(5)

调整时间直接反映控制系统动态快速性,最大超调量则是反映系统响应平稳性的性能指标.二阶控制系统的各时域性能指标都只与特征参数 n和 有关,要使二阶系统具有满意的动态性能指标,必须选择合适的 n和 .提高 n可减少上升时间、峰值时间和调整时间,提高二阶系统

控制系统的谐振频率 r在一定程度上反映了系统瞬态响应的速度, r值越大,则瞬态响应越快.带宽 b则表

征系统允许工作的最高频率范围,带宽大,系统的动态性能好;对系统响应的快速性而言,带宽越大,响应的快速性越好,即过渡过程的调整时间越小.

收稿日期:2008-06-17

作者简介:马宁波(1981 ),男,陕西西安人,硕士研究生,主要从事火力控制工程研究.

62四川兵工学报

的时域和频域动态性能指标反应了系统瞬态过程的性能

2 控制系统时频性能指标的关联性

标准二阶系统的时域和频域性能指标都只与系统特征参数 n和 有关,因此,消去中间变量后系统时频指标之间具有确切关联性,可从不同分析域反映系统动态性能[1-3].

2.1 谐振频率乘调整时间与谐振峰值

谐振频率 r和调整时间ts都取决于系统特征参数 n

和 ,由式(1)和式(3)联立求解消去中间变量 n获得 r与ts之间的直接关联性:

1

(6)

由式(6)可知 r乘ts仅与 有关.对给定阻尼比、调整时间与系统的谐振频率成反比,即谐振频率高的系统,其

rts=

1-2 ln

反应速度快;反之则反应速度慢.从式(4)求得 后代入式(6)得谐振频率乘调整时间与谐振峰值的关联:

rts=

2

Mr-1Mr-ln

2MrMr-1

(7)

1

参数,各指标间存在一定关联性和制约性,实际系统调节时,快速性和平稳性两大性能要求往往矛盾,可根据系统用途,通过调节实际系统的内部参数影响其振荡频率和阻尼系数,折中改善系统快速性和平稳性.

3 系统零、极点和动态性能指标的关系

控制系统分析、设计的重要评价取决于系统的单位阶跃响应,因此着重分析闭环零、极点分布与系统阶跃响应的关系[4].

3.1 系统的单位阶跃响应

h(t)=A0+ Akeskt

k=1n

K* (-zj)A0=

i=1

m

(-si)

m

j=1

n

r-1 Mr+

2.2 截止频率乘调整时间与谐振峰值联立求解获得 b与ts的直接关联性:

Ak=

K* (sk-zj)sk (zk-sj)

i=1i jm

b和ts也都取决于特征参数 n和 ,由式(1)和式(5)1

(8) 从式(8)可知,当阻尼比 给定后,控制系统的频宽与调整时间成反比关系.即控制系统的频宽越大,则该系统

bts=

1-2 2+

4 -4 +2ln

3.2 闭环零、极点分布与系统动态性能的定性关系一个控制系统总是希望它的输出量尽可能地复现给

定输入量,要求动态过程的快速性、平稳性要好一些.要保证这些要求,闭环零、极点应如何分布呢?

1)由单位阶跃响应的表达式可以看出,Akek对应极点sk的输出瞬态分量,干扰对系统的影响可视为多个瞬态响应的叠加.

2)为了保证系统稳定,闭环极点都必须分布在[s]平面的左半开平面.

3)如果没有闭环零点,则闭环极点完全决定了阶跃响应的形式,闭环极点均为负数极点,则时间响应一定是单调衰减的;闭环极点为负实部共轭极点时,则时间响应为振荡衰减,极点离虚轴越远衰减越快.如果有闭环零点,则一般使阶跃响应加快,但超调量增加.

4)如果要求系统的快速性好,应使阶跃响应衰减得快些,则闭环极点应远离虚轴.即,极点越远离虚轴,系统的调节时间ts越小,根据调节时间ts与谐振频率 r和频宽 b都成反比的关系,这时 r和 b越大,这都反映了闭环极点远离虚轴则系统的快速性好.

5)工程应用中的实际控制系统,大多是复杂的高阶系统.对高阶系统的研究,往往通过建立主导极点概念,将高阶系统简化为二阶及以下的低阶系统的串并联组合.这样就可以通过研究简化得来的二阶系统性能,对复杂系统进行校正,从而获得满足设计指标和使用要求的高阶系统性能.典型的二阶系统的传递函数为

2n

s+2 ns+ n

则系统的2个极点为f(s)=

s1,- st

1反应输入信号的快速性便越好.这充分证明,频宽是表征控制系统的反应速度的重要指标.由式(4)求出 ,代入式(8)得截止频率乘调整时间与谐振峰值的关联:

bts=

Mr-1+Mr-2Mr-1Mr-1

ln

2Mr

M2r+

Mr-1

(9)

利用上述方法也可推导出频率指标 r, b,Mr与时域

指标tr,tp的关联.

2.3 谐振峰值与最大超调量

频域相对谐振峰值Mr与时域最大超调量 具有确切关联性.由式(2)和(4)可得:

=exp-

r-Mr-1Mr- 100%

(10)

Mr+Mr和 均由控制系统的阻尼比 所确定,均随 的减小而增大.当 >0.4时,Mr和 存在相近的关系,对于很小的 值,Mr将变得很大, 的值却不会超过1.对某一控制系统来说,在时域中 大,反映到频域里Mr也大,反之亦然.因此,Mr是度量控制系统振荡程度的一项频域指标,Mr值表征了系统的相对稳定性.一般而言,Mr越大,系统阶跃响应的超调量也越大,意味着系统的平稳性较差.在二阶系统设计中,希望选取Mr

,

马宁波,等:系统动态性能指标间的联系及闭环零、极点和动态性能之间的关系

要求系统平稳性好,则系统的超调量和谐振峰值应该小.如前所述,一般情况下系统的超调量和谐振峰值同方

向变化,而二阶系统的超调量取决于极点的负实部和虚轴之比,因此改变系统极点负实部和虚轴的比值,就可以改变系统的超调量和谐振峰值,从而影响系统的平稳性.但是,如前面所说,系统的快速性和平稳性之间存在矛盾,为了兼顾二者,复数极点最好设在[s]平面中与负实轴成 45 夹角线附近.因为此时对应的阻尼比( =0.707)为最佳阻尼比,这时系统的平稳性和快速性都较理想.

6)远离虚轴的闭环极点(或零点)对瞬态响应的影响很小.一般情况下,若某一极点比其他极点远离虚轴4~6倍时,则它对瞬态响应的影响可略去不计.

7)要求系统快速性好,还可以调整系数Ak,应使其分母大,分子小,所以,应使闭环极点间的间距(si-sj)大,零点zj应靠近极点sk.离虚轴最近的极点对应的暂态分量Akek衰减得最慢,对系统的动态过程起决定性作用.系统的调节时间ts主要取决于这一极点的实部绝对值,如果能使一零点靠近甚至等于该极点,则该极点对应的暂态分量将很小,甚至为零,它对系统的影响就可以忽略不计,从而对系统动态过程起决定作用的极点就让位于离虚轴次近的极点,使系统的快速性有所提高.一对靠得很近(工程上认为他们的间距小于它们本身到原点距离的1/10)的闭环零、极点构成偶极子.利用偶极子的概念,有意识地在系统中加入适当的零点,以抵消对系统影响较大的极点,可以改善系统的性能;在[s]平面上,最靠近虚轴而附近又没有

st

63

零点的闭环极点,对系统动态过程的影响最大,称为主导极点.一般其他极点的实部绝对值比主导极点的实部绝对值大6倍以上的,可忽略不计,工程上常用主导极点代替所有极点来估算系统的动态性能.

4 结束语

控制系统的基本性能要求归纳为稳定性、快速性和准确性.三大性能要求都通过时域和频域的量化性能指标来衡量.标准二阶系统的时频性能指标都仅与系统特征参数无阻尼固有频率 n和阻尼比 有关,各性能指标之间具有相互制约性和时频关联性.因此,建立系统性能指标的时频关系,以及零、极点配置和系统性能指标之间的关系对于分析和设计满足动态性能的控制系统具有实际意义.

参考文献:

[1] 齐晓慧,杨润生,李洪儒.兵器控制工程[M].北京:兵

器工业出版社,2002.[2] 杨叔子.机械工程控制基础[M].武汉:华中科技大学

出版社,2003.[3] Katsuhiko.现代控制工程[M].北京:电子工业出版

社,2002.

[4] 陆锦军.控制系统中相关性能指标之间关系分析[J].

南通职业大学学报,2004(4):26.

(上接第52页)的影响.在确定备件品种的多属性粗糙集方法中,用扩展优势关系代替经典粗糙集中的不可分辨关系,可获得分类决策规则,为解决不完备信息系统下的确定备件品种多属性决策问题,提供了一种有效的方法.

京:科学出版社,2003.

[3] 徐泽水.求解不确定型多属性决策问题的一种新方法

[J].系统工程学报,2002(2):177.[4] 何亚群,胡寿松.不完全信息的多属性粗糙决策分析

方法[J].系统工程学报,2004(2):117.[5] 黄建新,杨建军,张志峰.基于不完备信息的粗糙集确

定备件品种[J].装备指挥技术学院学报,2005(6):44.

[6] 葛涛,齐艳平,高鲁.基于模糊综合评判的备件品种量

化方法[J].系统仿真学报,2001(11):301.

参考文献:

[1] 张文修,吴伟志,梁吉业.粗糙集理论与方法[M].北

京:科学出版社,2001.[2] 张文修,梁怡,吴伟志.信息系统与知识发现[M].北