运筹学灵敏度分析题

运筹学灵敏度举例

1．已知以下线性规划问题

max z= 2x1 +x2

s.t.

x1 +2x2 -x1 x1,

x2,

-x3 +x3 x3

≤8 ≤4 ≥0 0 0 0 8/2 12/3

+x2 -2x3

的最优单纯形表如下：

z x1 x5

(1) 求使最优基保持不变的c2=1的变化范围

C 2 -1 1+

CB 2 0

z x1 x5

3-≥0，≤3，即c2≤4。当c2=5，即

=4

z x1 x5

x

2进基，x1离基

z x2 x5

新的最优解为x1=0，x2=0，x3=0，x4=0，x5=0，max z=20 (2) 对c1=2进行灵敏度分析

C 1 -1 0 0 2+

CB 2+ 0

z x1 x5

z x

x x x x 0 RHS 3203/2

30，3，当≥-3/2时，即c1≥1/2时，最优基保持不变。 202

当c1=4时，=4-2=2，最优基保持不变，最优解的目标函数制为z=16+8=32。

1（3）增加一个新的变量x6，c6=4，a6。

2

1

z6c6Wa6c6204242

2

T



1011

Y6Ba6 

1123

1

新的单纯形表为

z x1 x5

x6进基，x5离基

z x1 x6

新的最优解为x1=4，x2=0，x3=0，x4=0，x5=0，x6=4，max z=24。

（4）增加一个新的约束x2+x3≥2，求新的最优基和最优解。

z x1 x5 x6

z

x

x 3/1

x 3/1

x

x

x

RHS

用对偶单纯形法求解

z x

z x1 x5 x2

x x x x x RHS 新的最优解为x1=4，x2=2，x3=0，x4=0，x5=6，x6=0，max z=10。

2．

(1)利润最大化的线性规划模型为： max z= 25x1 +12x2 +14x3 s.t.

3x1 2x1 x1 x1,

+2x2

+3x2 x2, x x x x +x3 +2x3

x3,

+15x4 +4x4 +3x4 +2x4 x4 x x x x ≤2400 ≤3200 ≤1800 ≥0 x x x x RHS RHS 单纯形表为： z x

z x5 x6 x7

x1进基，x5离基 z x

z x1 x6 x7

x3进基，x6离基

z x1 x3 x7 x2进基，x1离基

z x2 x3 x7 最优解为：x1=0，x2=400，x3=1600，x4=0，x5=0，x6=0，x7=600，max z=27200

即最优生产计划为：产品A不生产；产品B生产400万件；产品C生产1600万件； 产品D不生产，最大利润：27200万元。

原料甲：耗用2400吨，没有剩余；原料乙：耗用3200吨，没有剩余；原料丙：耗用1200吨，剩余600吨。

（问三种原料的利用率？）

（2） 产品A利润变化范围： -C -25+ -12 -CB -12 -14 0

z x2 x3 x7

-14 -15 0 0 0 0 -1-≤0，≥-1，-c1’=-c1+≥-25-1=-26，即c1≤26（万元/万件）

产品B利润变化范围： -C -25 -12+ z x

x -CB

z

-12+ x2 -14 x3 0

x7

-14 x -15 x 0 x 0 x 0 x 0 RHS 101215/4084/5

，，-1≤≤12，-13≤-12+≤0，-13≤-c2’≤0，



61/201241/4016

即：0≤c2’≤13。

产品C利润的变化范围： -C -25 -12 -14+ -CB -12

z x2

-15 0 0 0 0 -14+ x3

0 x7

101213/20，14 41/208

-1≤≤8，-15≤-14+≤-6，-15≤-c3’≤-6，6≤c3’≤15

产品D的变化范围 -C z -CB -12 -14 0

z x2 x3 x7

-25 x

-12 x -14 x -15+

x 0 x 0 x 0 x 0 RHS -21-≤0，≥-21，-15+≥-36，-c4’≥-36，c4’≤36。

（3） 求三种原料的影子价格和四种产品的机会成本

由最优单纯形表可知，原料甲、乙、丙的影子价格分别为：

6万元/吨、4万元/吨、0万元/吨。 产品A、B、C、D的机会成本分别为（

qa

ii1

m

ij

）：

26万元/万件、12万元/万件、14万元/万件、36万元/万件。 产品A、D在最优解中不安排生产的原因是机会成本大于利润。

（4） 在最优解中，原料甲的影子价格（6万元/吨）最大，因此这种原料最紧缺。如果原料A增加120吨，最优单纯形表的右边常数成为：

1/21/4024001204006001000

B1b01/2032001600016000

3/23/411800600180420

因此最优基保持不变，影子价格不变，原料的紧缺程度不变。

运筹学灵敏度举例

1．已知以下线性规划问题

max z= 2x1 +x2

s.t.

x1 +2x2 -x1 x1,

x2,

-x3 +x3 x3

≤8 ≤4 ≥0 0 0 0 8/2 12/3

+x2 -2x3

的最优单纯形表如下：

z x1 x5

(1) 求使最优基保持不变的c2=1的变化范围

C 2 -1 1+

CB 2 0

z x1 x5

3-≥0，≤3，即c2≤4。当c2=5，即

=4

z x1 x5

x

2进基，x1离基

z x2 x5

新的最优解为x1=0，x2=0，x3=0，x4=0，x5=0，max z=20 (2) 对c1=2进行灵敏度分析

C 1 -1 0 0 2+

CB 2+ 0

z x1 x5

z x

x x x x 0 RHS 3203/2

30，3，当≥-3/2时，即c1≥1/2时，最优基保持不变。 202

当c1=4时，=4-2=2，最优基保持不变，最优解的目标函数制为z=16+8=32。

1（3）增加一个新的变量x6，c6=4，a6。

2

1

z6c6Wa6c6204242

2

T



1011

Y6Ba6 

1123

1

新的单纯形表为

z x1 x5

x6进基，x5离基

z x1 x6

新的最优解为x1=4，x2=0，x3=0，x4=0，x5=0，x6=4，max z=24。

（4）增加一个新的约束x2+x3≥2，求新的最优基和最优解。

z x1 x5 x6

z

x

x 3/1

x 3/1

x

x

x

RHS

用对偶单纯形法求解

z x

z x1 x5 x2

x x x x x RHS 新的最优解为x1=4，x2=2，x3=0，x4=0，x5=6，x6=0，max z=10。

2．

(1)利润最大化的线性规划模型为： max z= 25x1 +12x2 +14x3 s.t.

3x1 2x1 x1 x1,

+2x2

+3x2 x2, x x x x +x3 +2x3

x3,

+15x4 +4x4 +3x4 +2x4 x4 x x x x ≤2400 ≤3200 ≤1800 ≥0 x x x x RHS RHS 单纯形表为： z x

z x5 x6 x7

x1进基，x5离基 z x

z x1 x6 x7

x3进基，x6离基

z x1 x3 x7 x2进基，x1离基

z x2 x3 x7 最优解为：x1=0，x2=400，x3=1600，x4=0，x5=0，x6=0，x7=600，max z=27200

即最优生产计划为：产品A不生产；产品B生产400万件；产品C生产1600万件； 产品D不生产，最大利润：27200万元。

原料甲：耗用2400吨，没有剩余；原料乙：耗用3200吨，没有剩余；原料丙：耗用1200吨，剩余600吨。

（问三种原料的利用率？）

（2） 产品A利润变化范围： -C -25+ -12 -CB -12 -14 0

z x2 x3 x7

-14 -15 0 0 0 0 -1-≤0，≥-1，-c1’=-c1+≥-25-1=-26，即c1≤26（万元/万件）

产品B利润变化范围： -C -25 -12+ z x

x -CB

z

-12+ x2 -14 x3 0

x7

-14 x -15 x 0 x 0 x 0 x 0 RHS 101215/4084/5

，，-1≤≤12，-13≤-12+≤0，-13≤-c2’≤0，



61/201241/4016

即：0≤c2’≤13。

产品C利润的变化范围： -C -25 -12 -14+ -CB -12

z x2

-15 0 0 0 0 -14+ x3

0 x7

101213/20，14 41/208

-1≤≤8，-15≤-14+≤-6，-15≤-c3’≤-6，6≤c3’≤15

产品D的变化范围 -C z -CB -12 -14 0

z x2 x3 x7

-25 x

-12 x -14 x -15+

x 0 x 0 x 0 x 0 RHS -21-≤0，≥-21，-15+≥-36，-c4’≥-36，c4’≤36。

（3） 求三种原料的影子价格和四种产品的机会成本

由最优单纯形表可知，原料甲、乙、丙的影子价格分别为：

6万元/吨、4万元/吨、0万元/吨。 产品A、B、C、D的机会成本分别为（

qa

ii1

m

ij

）：

26万元/万件、12万元/万件、14万元/万件、36万元/万件。 产品A、D在最优解中不安排生产的原因是机会成本大于利润。

（4） 在最优解中，原料甲的影子价格（6万元/吨）最大，因此这种原料最紧缺。如果原料A增加120吨，最优单纯形表的右边常数成为：

1/21/4024001204006001000

B1b01/2032001600016000

3/23/411800600180420

因此最优基保持不变，影子价格不变，原料的紧缺程度不变。