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连用乘法公式解题的六个方面

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陕西省礼泉县教育局教研室吴健邮编713200

作者简介：吴健，大学文化，国家奥数教练、陕西省咸阳市有突出贡献专家、咸阳市三〃五人才、咸阳市新世纪学术带头人、咸阳市十大杰出人物、咸阳市优秀人才、政协委员.陕西省礼泉县教研室职员，现任中国管理科学研究院特邀研究员、中国教育学会数学研究发展中心会员、世界人物出版社特邀顾问编委，发现杂志社副理事长等50余家学术组织职务。在《中学生数学》、《中学生数理化》、《中学数学教学参考》、《数理天地》、《香港现代教学论坛杂志》、《数理化解题研究》、《理科考试研究》、《数理化学习》、《数学大世界》、《中学理科》、《中学课程辅导》、《新课程》、《初中生数学学习》、《语数外学习》、《中学理科》、《中学生语数外》、《中学生学习报》、《数学报》、《学习报》、《数学周报》等80余种国家级、省级以上国内外专业学术杂志发表数学﹙学法文章、教研教法文章﹚科研论文1000余篇，刊发奥数讲座300余篇期，为各类数学竞赛编拟赛题600余道，科研成果荣获世界特等奖、国际优秀论文奖、全国特等奖、全国一、二等奖等奖项100余项.培养的学生在全国各类数学竞赛中获奖并考上全国著名高校的本科生和研究生近千人次,荣获改革开放三十年中国专家贡献奖﹙改革开放三十年贡献人物﹚、中华百业英才新闻人物奖、全国希望杯竞赛命题奖、全国教学先进个人、全国奥数优秀教练、优秀指导教师、首届咸阳市十大杰出新闻人物奖、市青年突击手等.

在学习乘法公式时，除了掌握公式的特点和基本用法外，还应注意式子的结构特征及变化特点，巧妙变形，创造条件，灵活连用乘法公式解题.现举例说明如下.

1. 位置变形后连续运用乘法公式

例1 化简﹙n+m﹚﹙n2+m2﹚﹙-n4-m4﹚﹙-n+m﹚

分析：观察式子的结构特征，若将﹙-n4-m4﹚变为-﹙m4+ n4)可连续运用平方差公式. 解：原式= - ﹙m+n﹚（m- n﹚﹙m2+ n2﹚﹙m4+ n4)

= -（m2- n2﹚﹙m2+ n2﹚﹙m4+ n4）

= -﹙m4+ n4）﹙m4- n4）= -﹙m8-n8)= n8- m8.

2. 符号变形后连续运用乘法公式

2 4例2. 化简﹙a-2﹚﹙- 2- a﹚﹙4+a﹚﹙16+a)

分析：观察式子的结构特征，发现将﹙- 2- a﹚变为- ﹙a+2﹚后，连续运用平方差公式既简单又快捷。

解：原式= - ﹙a+2﹚﹙a-2﹚﹙a2+4﹚﹙a 4+16) = -﹙a2-4﹚﹙a2+4﹚﹙a 4+16)

= -﹙a 4+16 ) ﹙a 4 - 16) = -（ a8- 256）= 256- a8 .

3 .指数变形后连续运用乘法公式

例3 化简﹙a2n+4﹚2 ﹙an+2﹚2 ﹙a4n+16﹚2 ﹙an-2﹚2.

分析：将括号逐一展开，运算十分复杂，若逆用幂的运算法则及灵活运用乘法交换律、结合律连用平方差公式即可将式子化简.

解：原式=〔﹙an+2﹚﹙an-2﹚﹙a2n+4﹚﹙a4n+16﹚〕2

=〔﹙a2n-4﹚﹙a2n+4﹚﹙a4n+16﹚〕2

=〔﹙a4n-16﹚﹙a4n+16﹚〕2

= ﹙a8n-256 〕2=a16n- 512a8n+ 65536.

4. 分组变形后连续运用乘法公式

例4 化简(2a+3b-4c+5)(2a-3b+4c+5).

分析：两个因式中的项数相同，并且第一项与第四项分别相同，第二项与第三项仅符号相反，添加括号，分别把两个因式中的一、四项分为一组，二、三项分为一组，便可用平方差公式进行计算．

解：原式=[(2a+5)+( 3b-4c) ][(2a+5)-(3b-4c)]

=(2a+5)2-(3b-4c )2=4a2+20a+25-9b2+24bc-16c2=4a2-9b2-1 6c2+ 20a+24bc+ 25.

5.拆项形后连续运用乘法公式

例5 化简（-2a-3b+9﹚﹙-2a+3b-1）

分析：初看两个因式不符合公式，似乎不能应用乘法公式求解，若将“9”拆成“5+4”，“-l”变成“-5+4”，便可用平方差公式来解.

解：原式=（-2a-3b+5+4﹚﹙-2a+3b-5+4）

=〔﹙4-2a〕-﹙3b-5﹚〕〔﹙4-2a〕+﹙3b-5﹚〕

=﹙4-2a〕2-﹙3b-5﹚2

=16-16a+4a2-9b2+30b-25=4a2-9b2-16a+30b-9.

6. 增加因子后连续运用乘法公式

例6 已知a= -1

2, 求 ﹙1+a﹚﹙1+a2 ﹚﹙1+a4﹚的值.

分析：由于1-a≠0 ,因此用“1-a”乘以﹙1+a﹚﹙1+a2 ﹚﹙1+a4﹚，再除以“1-a”其值不变，从而创造条件可连续运用平方差公式.

解：原式=1a1a1a21a4

1a

81a1a1a=1a1a =224441a1a

=1a

1a.

1112552当a=-时，原式==. 21384128同步训练：

1. 化简 ﹙a-b-c 〕﹙a-b+c ﹚﹙a+b-c 〕（a+b+c ﹚

2. 计算 1+15×﹙24+1﹚ ×﹙28+1﹚×„×﹙22n+1﹚.

3. 化简 ﹙m-3n-7p﹚﹙m-3n+3p﹚

4 . 计算 1+9×11×101×10001×100000001

5. .化简 ﹙x4+

参考答案

1. 原式= {〔﹙a+b〕+c〕〔﹙a+b〕-c〕} {〔﹙a-b〕+c〕〔﹙a-b〕-c〕}

=〔﹙a+b〕2 –c2

2 21a4)2 ﹙x2+1a2)2 ﹙x+1a)2 ﹙x-1a)2 〕〔 2a-b〕2 –c2 〕 2 = 〔a +2ab+ b - c2〕〔a -2ab+ b - c2〕

= 〔〔a 2+ b 2 - c2〕+2ab〕〔〔a 2+ b 2 - c2〕-2ab〕

=〔a 2+ b 2 - c2〕2-(2ab)2

= a4+b4+﹙- c2﹚2+2 a 2 b2+2 b2﹙- c2﹚+2﹙- c2﹚a2-4 a 2 b2

= a4+b4+c4-2 a 2 b2-2 b2 c2-2c2a2.

22. 提示：15=1×3×5，而“1”可拆成“2-1”，将“3”写成“2+1”，将5写成“2 +1”，

从而可连续运用平方差公式.

原式=1+﹙2-1﹚﹙2+1﹚﹙22+1〕﹙24+1﹚﹙28+1﹚×„×﹙22n+1﹚

=1+﹙22 -1﹚﹙22+1〕﹙24+1﹚ ﹙28+1﹚×„×﹙22n+1﹚

=1+﹙2 4 -1﹚﹙24+1﹚ ﹙28+1﹚×„×﹙22n+1﹚

=„

=1+﹙22n-1﹚﹙22n+1﹚=1+﹙2 4n -1﹚=2 4n .

3. 提示：将各因式中的部分项拆项变形，使之构成平方差的形式，然后运用平方差公式和完全平方公式。

原式=﹙m-3n-2p-5p﹚﹙m-3n-2p+5p﹚

=﹙m-3n-2p﹚2-﹙5p﹚2=m3n2p-25p2 2

=﹙m-3n﹚-2×﹙m-3n﹚×2p+﹙2p﹚-25p

=m+9n-21p-6mn-4mp+12np.

4.. 原式=1+﹙10-1﹚﹙10+1﹚﹙102+1〕﹙104+1﹚﹙108+1﹚ =1+ ﹙102-1)﹙102+1〕﹙104+1﹚﹙108+1﹚ =„=1+﹙108-1﹚﹙108+1﹚=1+﹙1016-1﹚=1016. 5 .原式 =〔﹙x-1222222﹚﹙x+1﹚﹙x2 +1﹚﹙x4 +1﹚ 〕2 aaa2a4 =„=﹙x8 – 1﹚2 = x16– 2x8

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