第四章 应力应变关系
前一章引进了应力和应变的概念以及应力分析和应变分析的公式。应力分析仅用到力的平衡概念，应变分析仅用到几何关系和位移的连续性。这些都没有涉及到所研究物体的材料性质。本章开始将研究材料的性质。这些性质决定了各种材料特殊的应力－应变关系，显示出材料的力学性能。下面将着重描述低碳钢的力学性能，介绍各向同性材料的广义胡克定律。作为选读材料，将介绍各向异性的复合材料单层板的应力－应变关系。
§4-1 低碳钢的拉伸试验
在分别考虑了应力和应变后，从直觉上知道这两个量是互相关联的。事实上，在第一章的绪论里已经提到过应力应变之间的胡克定律。它描述了很大一类材料在小变形范围，在简单拉伸（压缩）条件下所具有的线性弹性的力学性能。低碳钢Q235是工程上常用的金属材料。这一节着重介绍低碳钢的力学性能，然后简单介绍其他一些材料的性能。
有关材料性能的知识来自于宏观的材料试验，以及从这些试验得出的宏观的、唯象的理论。固体物理学家一直在从原子和分子量级上研究这些力学性能的微观基础。力学家也已开始从细观尺度来分析材料的力学性能，并已经取得了很大进展。材料力学作为固体力学的入门课程，将只限于材料的宏观力学性能的描述。
为了确定应力与应变关系，最常用的办法是用单向拉伸（压缩）试验来测定材料的力学性质。这种试验通常是在常温（室温）
下对试件进行缓慢而平稳加载的静载试验。
一、低碳钢拉伸试验
按照我国的国家标准 “金属拉伸试验试样” （GB6397－86），将试件按规定做成标准的尺寸。图4－1所示是一根中间直径为d的圆杆型试件，两端的直径比中间部分大，以便于在试验机夹头上夹持。试
件中间取一段长度为l的等直部分作为标距。对圆截面标准试件，规定标距l与直径d的关系为 l=10d
，或l=5d，分别称为10倍试件和5倍试件。试件也可制成截面为矩形的平板型，平板试件的10倍与5倍试件的标距分别为l=
和
其中A为试件的横截面面积。l=，
在试件上安装测量伸长的传感器，然后开动试验机，缓慢加载。随着载荷F的增大，试件被逐渐拉长，产生伸长变形Δl。通过力和变形传感器同时记录F和Δl，作出试
图4－1F
件的力－伸长曲线（force-elongation curve），或称为拉伸图（tensile diagram）。
在试件的标距内，材料处于单向拉伸应力状态，轴向应力σ=F/A 在截面上均匀分布。其中A是试件加载前的截面积。这一应力称为工程应力。轴向应变ε=Δl/l。随着载荷的增加，试件的截面积在逐步减小，而应力σa=F/Aa（Aa为随加载而收缩的实际截面积）称为真应力（true stress）。
通常将试验测得的工程应力σ 和应变ε 绘制成应力－应变图（stress-strain diagram）。由于实际截面积在缩小，所以工
程应力始终小于真应力。但在从开始加载的大部分过程中截面积A的变化很小，为了方便起见，我们用工程应力来绘制应力－应变关系曲线。 图4－2所示是低碳钢的应
力－应变图，它描述了试件从加
载直到拉断的全过程的应力应
变关系。从图上可见，整个过程
可以分为四个阶段，体现了低碳
钢材料的力学特性。
1，弹性阶段：
从开始加载到A点，OA是一条直线，表明应力与应变成正比。这个阶段的应力应变关系可以表示成
σ=Eε （4－1）
其中比例常数 E 就是弹性模量。这一关系就是前面讲到的胡克定律。图上A点所对应的应
。低碳钢的比例极限σp≈200MPa。超过A点后，力σp，称为比例极限（proportional limit）
应力－应变曲线开始偏离原来的直线路径。图上AB段呈现非线性关系。在点B以内的范围，
试件的变形完全是弹性变形。也就是说，当卸载时，应力－应变曲线沿原路径返回，发生的变形可以全部恢复。超过B点后变形就不能完全恢复，材料将产生塑性变形（plastic deformation）。B点对应的应力称为弹性极限（elastic limit），记为σe。 并不是所有材料的应力－应变曲线从加载开始都有线
性阶段的。有些材料，比如橡胶，其应力－应变关系从一开始就呈非线性（图4－3）。尽管低碳钢在弹性极限前的应力
－应变曲线与橡胶的弹性曲线很不相同，但它们都是弹性变
形，即是能够完全恢复原状的变形。
低碳钢的弹性极限与比例极限非常接近，以至于很难区
分这两点。由于比例极限很接近弹性极限，所以应力－应变曲线有明显的线性弹性阶段，这类材料称为线弹性
图4－3
（linear−elastic）材料。如果比例极限远远低于弹性极限，在
材料的弹性极限内应力－应变呈明显的非线性关系，这类材料称为非线性弹性（nonlinear−elastic）材料。
在试件拉伸的同时，其横向的尺寸，即试件的直径会减小。这一现象称为泊松效应。
同样，如果试件受到轴向压缩，其侧向尺寸会增大。侧向应变可以由试件直径的相对缩小来测量出，即ε'=−Δd/d。负号表示这是收缩变形。在线性弹性阶段，我们发现侧向应变与轴向应变成比例关系，可以表示为
ε'=−με （4－2）
ε’是侧向应变，比例系数μ就是泊松比。工程材料的泊松比在0.2到0.5其中ε 是轴向应变，
之间。E和μ是表征线弹性的、均质的、各向同性材料的基本材料常数。
2，屈服阶段
低碳钢的拉伸应力－应变图上从B点到C点出现应力值上下抖动，应变增加较快的一段曲线。这一阶段表明材料开始了非弹性行为。
这种现象称为材料的屈服或流动（yielding）。工
程上常取应力值第一次返回的最低点应力为屈
服强度（yield strength）或称为屈服极限、流动
极限，记作σs。这是表示材料性质的一个重要指标。低碳钢Q235的屈服极限σS≈235MPa。
低碳钢材料屈服时，在抛光的试件表面能看到与试件轴向成45o的斜线，称为滑移线。我
们知道单向拉伸时，与加力方向成45o的斜面上切应力最大，其值为τ=σ/2。对于低碳钢来说，
切应力超过某极限值是引起晶格滑移的根本原
因。而晶格之间的滑移导致材料产生不可恢复
的塑性变形。
3，强化阶段：
试验发现有些材料，如钢，铝，铜等，在超过屈服点后，为了继续增加变形，应力需要继续增加。材料又恢复了对变形的抵抗能力。这种现象称为材料的强化，这一阶段称为强化阶段。如低碳钢，图4－2的CD阶段是强化阶段。在D点达到应力的最高点，该应力值称为材
图4－4
料的强度极限（ultimate strength），记为σb。低碳钢的强度极限σb ≈ 400 MPa。
超过了弹性极限后，材料就进入塑性变形阶段。在弹性阶段，完全卸载可以使试件完全恢复原状，没有残余变形。在塑性阶段卸载时，其卸载路径不是沿着原加载路径退回，而是沿着一条与初始线弹性部分平行的路径卸载。如图4－4（a）所示，加载时应力沿OA上升。假设A点已处塑性阶段，从A点卸载，则应力将沿AB卸载到B。OB是不可恢复的永久变形，即塑性变形。从图上可见，BE部分是已恢复的弹性应变。如果从B点开始第二次加载，应力将沿着BA路径上升。BA段将是弹性变形。如果在低于A点时卸载，应力将沿原路径回到B点。如果加载到A点后继续加载，从A点开始产生新的塑性变形。点A相当于第二次加载时的屈服点。它比初次加载时的屈服强度高。通过初次加载的塑性变
形来提高材料的屈服强度，这一现象称为应变硬化（strain hardening）。工程中将钢筋等材料进行预拉伸，使材料的屈服强度提高，这种做法称为冷作硬化。经冷作硬化处理过的材料，断裂时的残余变形有所减小。
应该指出，从塑性区的A点卸载到B点，再从点B加载时，卸载与加载并不是精确地沿同一条路径走的。如图4－4 （b）所示，实际上有一个迟滞回路存在。这个回路包围的一小块面积表示损耗的能量。
4，颈缩阶段：
超过强度极限后应力将下降，直到最后试件断裂（图4－2的DE段）。这一阶段试件截面积的减小不是在整个试件长度范围发生，而是试件的一个局部区域截面积急剧减小（图4－5）。这一现象称为“颈缩”（necking）。颈缩发生在试件较薄弱的部位。最后在颈缩部位试件断裂。 图4－5
二、伸长率和收缩率
试件断裂后，残余的塑性变形可以由断裂后的标距长度l1减去原长l得到。残余伸长量
，或称为延伸（l1－l）与原长度l之比定义为残余伸长率，简称伸长率（specific elongation）
率。记为
δ=
l1−l
×100% （4－3） l
伸长率δ是衡量材料塑性性能的一个重要指标。低碳钢的伸长率为20～30％。另一个衡量材料塑性性能的指标是截面收缩率，定义为 ψ=
A−A1
×100% （4－4） A
其中A是原截面面积，A1是试件拉断后，颈缩处最小截面的面积。低碳钢的截面收缩率约为60％。
工程上根据材料塑性变形的能力，将材料分为延性材料，（或称为塑性材料，ductile material），和脆性材料（brittle material）。通常将δ>5％的材料称为延性材料，如钢、铜、铝等；δ
§ 4-2 其他材料拉伸时的机械性能
一、其他塑性材料
其他许多金属材料的应力－应变图显示它们也有很好的塑性。其中16锰钢是常用的低合金钢。如图4－6所示，16锰钢的应力－应变曲线与Q235钢很相似，其弹性模量与Q235钢几乎一样，它的抗拉强度σb和流动极限σs较Q235钢有明显的提高。
从图4－6可见，有些金属材料的 σ (MPa)
应力－应变曲线没有明显的屈服阶段，也很难精确地确定比例极限或弹性极
限。没有明显屈服阶段的材料，不存在
屈服极限σs。其他三个阶段仍然比较明
显。对这些材料，我国的标准规定，取
对应于试件卸载后产生0.2%的残余应变的应力值，作为材料的屈服强度，称为名义屈服强度。具体的方法是（图4－7），从原点作应力－应变曲线的切
线，在横轴上ε = 0.2% 的A点开始，作与此切线的平行线，与应力－应变曲线相交与B点，对应的应力就是该材料的名义屈服强度，记为σ0.2。
图4－6
二、脆性材料
工程上常用的脆性材料有铸铁、混凝土、陶瓷等。在拉伸试验时，它们从开始受拉伸直至断裂，试件的变形都非常小。图4－8所示是灰口铸铁的应力－应变曲线。由图可见在拉伸过程中没有屈服现象。试件断裂时变形很小，断裂后的横截面几乎没有什么变化。材料的伸长率很小，δ ≈0.5-0.6%。脆性材料一般拉伸强度很低，抗压强度比抗拉强度高得多。工程中主要应用其抗压性能。例如在钢筋混凝土构件中，混凝土主要用来承受压力，设计中甚至忽略其抗拉能力，只考虑其抗压能力。另一个重要特征是，脆性材料的断裂总
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
图4－7
图4－8
是突然发生。不象塑性材料那样，断裂以前发生很大塑性变形，同时也可吸收很多能量，有破坏的前兆，提醒人们的注意。因此，脆性材料不宜制作承受动载荷的重要部件。
需要指出的是，通常所说的延性材料和脆性材料，是按材料在常温下，以低应变率的
拉伸试验所得的伸长率 δ 来区分的。实际上，材料的延性或脆性并非是固定不变的性质。在一定条件下（如温度、变形速度、应力状态等）材料性能是会变化的。例如，在常温下静载试验表现为延性的低碳钢，在低温下可以象铸铁一样呈现脆性。
§ 4-3 压缩时材料的力学性能
压缩试验的金属试件通常做成短圆柱形，高度约为直径的1.5−3.0倍。这是为了避免试件在压缩时产生失稳。压缩试验同样可以得到材料的应力－应变曲线。
一、塑性材料
低碳钢
0 2 4 6 8 10
灰口铸铁
图4－9
图4－10
图4－9中的实线是低碳钢压缩时的应力－应变曲线，虚线是拉伸时的曲线。由图可见，当应力小于屈服极限时，压缩的性质与拉伸时很相似。其比例极限，屈服极限，弹性模量都与拉伸试验时的值很接近。低碳钢压缩时也有屈服现象，但屈服阶段比较短暂。超过屈服极限后，圆柱形试件端面与试验机接触的表面由于受摩擦力作用，使试件的横向变形受阻，所以试件逐渐呈鼓形。随着载荷的增加，试件被压成饼状，但并不破坏，因此无法测出其抗压强度极限。
二、脆性材料
图4－10中的实线是灰口铸铁压缩时的应力－应变曲线。铸铁压缩时，应力应变曲线没有明显的直线部分，也没有屈服现象。铸铁试件受压时，随着压力的增加，试件呈鼓状。最后铸铁试（a）（b） 件沿45°－55°斜截面破坏（图4－11a）。破坏时
图4－11
的最大压应力称为抗压强度极限。脆性材料的抗
压强度极限σ－b比拉伸时的强度极限σb大得多。铸铁的抗压强度比抗拉强度约大2－4倍。
铸铁还有价廉、耐磨、浇铸性能好等优点，可用于制造机器的机座、机床床身等承压为主的构件。而石料的压缩破坏形式与铸铁不同（见图4－11b），破坏时材料沿许多纵向截面裂开。
§ 4-4 线弹性应力－应变关系，广义胡克定律
在材料的拉伸和压缩试验中，试件的被测试部分处于单向应力状态。通过实验测得轴向应力和轴向应变的关系曲线。现在的问题是，如果在一般应力状态下，应力与应变之间会有怎样的关系？这一节将建立线弹性范围内各向同性材料所有六个应力分量与六个应变分量之间的关系。
一般应力状态下有三个正应力分量，三个切应力分量。一般的应变状态有三个正应变分量和三个切应变分量。如果每一个应力分量与每一个应变分量都成线性关系，那么共有六个方程，可以将六个应变分量用六个应力分量来表示。
一、广义胡克定律
图4－12所示单元体，当只有沿x方向的正应力σx作用时，这个方向的正应变εx可以表示为
εx=
σx
E
这是单向应力状态的胡克定律。对于各向同性材料，轴向拉伸时的侧向收缩应变在y方向和z方向是相等的，它们可以表示为 εy=εz=−μεx=−μ
σx
E
如果该单元体上还存在沿y方向的正应力σy，以及沿z方向的正应力σz的作用，由于应力与应变成线性关系，所以某一方向的应变可以由各项应力在此方向的应变叠加产生。由σy产生的应变将是 εy=
σy
E
由σz产生的应变将是
, εx=εz=−μεy=−μ
σy
E
εz=
σz
E
， εx=εy=−μεz=−μ
σz
E
将以上三个正应力产生的应变叠加，可以得出三个正应变分量与三个正应力分量之间的关系为 εx=
1[σx−μ(σy+σz)] E1
εy=[σy−μ(σz+σx)] （4－5a）
E1
εz=[σz−μ(σx+σy)]
E
图4－12
与单向拉伸时正应力与正应变的关系类似，可以通过纯剪切试验可以得到切应力和切应变的关系。实验证明切应变与切应力也成正比关系，它们可以写成
γ=
τ
G
这里的G就是剪切模量，代表材料抵抗剪切变形的能力。在一般应力状态下，每一个切应变分量只与其相应的切应力分量有关，即 γxy=
（4－5b）
GGG
可以证明，各向同性材料在正应力作用下只能产生正应变，不会产生切应变。如图4－13a所示，从某一各向同性材料中取出一单元体。假如单元体在x方向的正应力作用下
τxy
，γyz=
τyz
，γzx=
τzx
(a)
图4－13
(b)
产生了切应变。那么将材料绕x轴转180°后截取单元体，在同样的正应力作用下会产生一个符号相反的切应变（图4－13b）。既然材料是各向同性的，其应变应该与材料的取向无
关，这样就论证了正应力作用下不应该产生切应变。
切应力只能引起相对应的切应变，不会产生正应变，这一点可以论证如下。如图4－14a所示，从各向同性材料中截取一单元体。假如在切应力τzx的作用下单元体产生了沿z方向的正应变，现在假定将材料绕OA轴（图4－14b）转动180°后截取单元体，那么在切应
力τzx的作用下应该产生x方向的正应变。这一结果与各向同性材料的在相同应力作用下的应变应该与材料取向无关的要求相矛盾。所以切应力不应该产生正应变。类似地利用对称性还可证明每一个切应力分量只能产生与其相应的切应变，不会产生其他方向的切应变。
式（4－5）表示的六个应力－应变方程称为广义胡克定律（generalized Hooke’s law）。关于切应力和切应变的三个方程也说明，切应力为零的方向上切应变也为零。也就是说，受载各向同性材料的任一点处的应变主轴与该点的应力主轴相重合。
二、材料常数之间的关系
各向同性材料只有两个独立的材料
常数，所以材料常数E、G和μ之间有一
定的关系。为此，考虑在x-y坐标系中 处于纯剪切应力状态的一个单元体（图
4－15）。根据胡克定律：
τ γxy= G
该点的应力主轴在与x轴成45o的1-2方
向。这里应力和应变的下标1，2仅表示
它们是主轴1，2方向的量，主应力是 σ1=τ，σ2=−τ
应用广义胡克定律，相应的主应变为：
(1+μ)τ
EEσ−μσ1(1+μ)τ
=− ε2=2 EE
ε1=
σ1−μσ2
=
另一方面，利用1轴到x轴的应变变换，可以得到 γxy=−(ε1−ε2)sin(−2×45o)=ε1−ε2=
2(1+μ)
E
γxy的两个表达式必须相等，于是得到弹性模量E、剪切模量G和泊松比μ之间关系：
G=
E
（4－6）
2(1+μ)
二、体积弹性模量
将坐标轴方向取在应力主轴方向，原来边长为dx，dy，dz的微单元体，原体积为dV=dxdydz。在三个主应力作用下，其体积变为
dV1=(1+ε1)(1+ε2)(1+ε3)dxdydz
上式展开后略去高阶小量，得到
dV1=(1+ε1+ε2+ε3)dV 由此得到体积的变化率为 θ=
dV1−dV
=ε1+ε2+ε3 （4－7） dV
应用广义胡克定律可得
θ=
σ1−2μ
(σ1+σ2+σ3)=m （4－8） EK
σ1+σ2+σ3
3
（4－9）
式中 σm=
称为平均应力；
E
（4－10）
3(1−2μ)
称为体积模量（bulk modulus）。θ 也称为体积应变（bulk strain）。（4－8）式表明，单元体
K=
体积的改变只与平均应力有关。
例4－1 图4－16所示边长为a＝0.1m的铝质立方块，无间隙地嵌入钢制凹槽内。由于钢
F
σx
图4－16
块的体积大，其变形可以忽略不计。已知铝的弹性模量E=71GPa，泊松比μ＝0.3。铝块的上表面受到垂直向下的均布力作用，其合力为F＝100kN。试求该铝块的主应力和最大切应力。
解：铝块在y方向受压，产生侧向膨胀的倾向，由于受钢壁的阻碍，使其在x、z方向的应变为零。根据广义胡克定律（4－5a）： εx=
1
[σx−μ(σy+σz)]=0 （a） E1
εz=[σz−μ(σx+σy)]=0 （b）
E
F100×103N
根据y方向平衡条件可知 σy=−2=−=−10.0MPa
a0.12m2
代入式（a）和（b），并求解，可得
σx=σz=
μ(1+μ)0.3×(1+0.3)
σ=(−10.0MPa)=−4.29MPa y22
1−μ1−0.3
按主应力的代数值排序，得到铝块的主应力为 σ1=σ2=−4.29MPa, σ3=−10.0MPa 最大切应力 τmax=
例4－2 图4－17所示圆筒型薄壁压力容器，内部储存气体的压力为p。圆筒的中面的直径为D＝800mm，容器壁的厚度为t＝5mm。忽略容器的自重。容器钢材的弹性模量E＝200GPa，泊松比μ＝0.3。从粘贴在筒表面沿周向的应变片测得εθ=600×10−6。试求筒内气体的压力p，以及筒的纵向应变εx。
解：从第三章例题3－6的分析可知，筒壁的周向和轴向应力分别为σθ=
σ1−σ3
2
=2.86MPa
pD
， 2t
pD
，处于沿轴向和周向双向拉伸的应力状态。根据广义胡克定律 4t
1pD
(2−μ) εθ=(σθ−μσx)=
E4Et
σx=
所以
4Etεθ4×200×109Pa×0.005m
p==×600⋅10−6=1.76MPa
D(2−μ)0.8m×(2−0.3)
轴向应变
1pD
(1−2μ)εx=(σx−μσθ)=
E4Et
6
1.76×10Pa×0.8m−6
=(120.3)14010=×−×
4×200×109Pa×0.005m
例4－3 钢制圆杆的直径d＝2cm，上端固定，下端受拉力F的作用（图4－18）。假设圆杆中间部分截面上的应力均匀分布，处于单向拉伸状态。在圆杆表面测得与轴向成30°方
向的应变为ε30=410×10−6。钢的弹性模量E＝200GPa，泊松比μ=0.3。试求力F的大小。 解：假定拉杆横截面上的正应力为σ。作单向拉伸状态的应力圆。圆上的点X对应于圆杆x截面上的正应力σ。法向与杆的轴向成30°的a截面与应力圆上的点A相对应。从应力圆可知，截面a的正应力和切应力分别为
σa=σ，
τa=
x 34
31σ
）
F
图4－18
与截面a垂直的截面a’上的正应力和切应力为
σa'=σ
τa'=根据广义胡克定律 ε30=
14 1131
(σa−μσa')=(σ−μσ)
4EE4
4Eε304×200×109Pa×410×10−6
σ===121.5MPa
3−μ2.7
所以 F=
πd2
4
σ=
π×0.022m2
4
×121.5×106Pa=38.16kN
例4－4如图4－19所示，一个高度为h，宽度为b，长度为l的弹性正六面体，在外力作用以前正好嵌在相距h的两个刚性壁之间。以弹性体的中心为坐标原点建立坐标系。已知
材料的弹性模量为E，泊松比为μ。当沿x方向有一对F力作用时，求物体的应力和应变。
解：为了将问题简化为理想的模型，作如下的假设：
1，x方向的作用力F看作均匀分布在两个端面上的正应力；
2，z方向不受约束，所以z方向的正应力为零σz=0，物体处于x－y平面内的平面应力状态；
3，在y方向受刚性壁的约束，所以假设y方向的应变为零εy=0，即在x－z平面内处于平面应变状态；
4，忽略两刚性壁与物体间的摩擦力；
5，物体与刚性壁的接触面上的正应力均匀分布。
F
图4－19
由题意可知，σx=−
从式（4－5）可知 εx=
F
，σy=constant，σz=0，τxy=τyz=τxz=0。 bh
111
(σx−μσy)，εy=(σy−μσx)，εz=−μ(σx+σy) EEE
γxy=γyz=γzx=0
F bh
由于εy=0，所以 σy=μσx=−μ
1(μ2−1)
εx=(σx−μσy)=F
EEbh1μ(1+μ)
F εz=−μ(σx+σy)=
EEbh
§ 4-5 热应变
除了应力以外，温度的改变也能引起材料的变形。对于各向同性材料，温度的改变可以在各个方向上引起均匀的正应变，其数值为
εxT=αΔT, εyT=αΔT, εzT=αΔT （4－11a）
。ΔT=T－T0为温度式中的系数α是材料的热膨胀系数，上标T表示热应变（thermal strain）
的变化。对于各向同性材料，温度变化不会引起切应变，即
TT
γxy=γTyz=γxz=0 （4－11b）
在小变形情况下，热应变可以与应力引起的应变直接叠加，这样，各向同性材料在应力和温度作用下的热弹性应力应变关系可以写成
1
[σx−μ(σy+σz)]＋αΔT E1
εy=[σy−μ(σz+σx)]＋αΔT (4－12a)
E1
εz=[σz−μ(σx+σy)]+αΔT
Eτττ
γyz=yz ， γzx=zx， γxy=xy （4－12b）
GGG
εx=
弹性体内一点处的总应变是应力引起的弹性应变和温度引起的热应变两部分之和。用εe表
示由应力引起的弹性应变，εT表示由温度引起的热应变。那么，总应变可以写成
ε=εe+εT （4－13）
当材料在某一方向受到约束而不能产生应变时，该方向总应变为零。
静不定结构在温度变化时，由于材料的热膨胀受到约束，结构会产生热应力（thermal stress）。静定结构的构件能够自由伸缩，温度变化时不会产生热应力。 例4－5 图4－20所示两端固定的钢制蒸汽管
道，长度为l。钢的弹性模量E＝200GPa，热膨
−6
胀系数α=12.5×10/C°。安装时温度为T0，
求温度升高ΔT＝30°时管道内的热应力。 解：管道的温度应变
图4－20
εT=αΔT
由于两端受约束，管道的总应变为零。根据式（4－13） εe=所以
σ=−αΔT⋅E=−12.5×10−6×30×200×109Pa=−75MPa
可见温度升高30°时管道内已产生相当高的热应力。这个结果与管道的长度无关。但如果管道很长，可能引起失稳。工程中常在蒸汽管道中设置弯头，来避免产生过高的热应力。铁轨在两段连接处预留一定的间隙，房屋中间预留伸缩缝，这些措施都是为了减小对热膨胀的约束，降低热应力。
例4－6一个正六面体钢块（图4－21），体积为90×50×40mm3。两端受固定的刚性物体阻碍。其右端正好与刚性体接触，左端离刚性体有0.02mm间隙。钢块的上表面受均布力作用，合力值为F＝700kN。钢的弹性模量E=207GPa，泊松比μ＝0.3，热膨胀系数
σ
E
=−εT=−αΔT
α=11×10−6/°C。当温度上升15°C时，求钢块的应力和体积的变化。
解：由题意知，
700×103N
=−194.4MPa， σz=0 σy=−
0.09×0.04m
z
图4－21
x方向允许最大的伸长为0.02mm，先假设变形后钢块充满了间隙，即 εx=
0.02mm
=222.2×10−6
90mm
这一应变由弹性应变和热应变两部分组成。根据式（4－13），
1
εx=[σx−μ(σy+σz)]＋αΔT
E
6
σ−0.3×(−194.4×10+0)Pa−6−6
=x111015222.210=×+××
207×109Pa
所以 σx=−46.48MPa。
计算结果σx为负值，即钢块在x方向受压，证明先前关于间隙被充满的假设是正确的。
为了求体积变化，需要知道另两个应变值：
1
εy=σy−μ(σx+σz)]＋αΔT
E
−194.4×106Pa−0.3×(−46.48×106+0)Pa =+11×10−6×15=−707×10−6
9
207×10Pa
1
εz=[σz−μ(σx+σy)]＋αΔT
E
66
0−0.3×(−46.48×10−194.4×10)Pa =+11×10−6×15=514×10−6
9
207×10Pa
体积应变
θ=εx+εy+εz=29.5×10−6
所以钢块的体积变化为
ΔV=Vθ=90×50×40mm3×29.5×10−6=5.31mm3
*§ 4-6 复合材料的应力－应变关系
复合材料（composite material）是由两种或两种以上材料组合而成的材料。制成纤维形状的材料比块状的同一种材料的强度高得多。普通平板玻璃的强度很低，但玻璃纤维的
强度高达3400－4800MPa，比普通钢的强度高10倍。纤维的直径很细，不能单独用纤维来承力，必需将大量的纤维埋到基体材料里才能做成承力构件。常用的纤维有玻璃纤维、石墨纤维、硼纤维等，常用的基体材料有环氧树脂、铝合金等。复合材料已广泛用于航空航天运载器、火箭、卫星、地面交通工具、舰船、潜艇，化工容器以及赛车、赛艇等各种工业和民用产品的制造。复合材料力学的研究已成为专门的学科。单向纤维增强复合材料（unidirectional fiber reinforced composites）是一种各向异性材料。这一节将简单介绍单向长纤维复合的单层板（lamina）的线弹性应力－应变关系。
一、单层板在材料主轴方向的应力－应变关系
图4－22a是单层的纤维增强板的示意图。实际的纤维直径是微米量级，而层板的厚度是毫米量级。所以层板仍然假设为均匀连续的正交异性材料。将坐标轴设置在三个正交的材料主轴方向：1轴沿纤维方向，2轴沿与纤维垂直的方向，3轴沿板的厚度方向。注意这一节的上下标1，2，3不代表应力和应变主轴方向。假设单层板处于平面应力状态：
(a)
图4－22
σ3＝0，τ13＝0，τ23＝0
正应力σ1的作用会引起1轴方向的伸长应变和2轴方向的收缩应变，它们分别为（图4－22b） 1ε1=
σ1
E1
， 1ε2=−μ12
σ1
E1
式中的上标1表示应力方向。同样，2轴方向的正应力σ2的作用会引起2轴方向的伸长应变和1轴方向的收缩应变
2ε2=
σ2
E2
， 2ε1=−μ21
σ2
E2
其中E1和E2分别为1轴和2轴方向的弹性模量，μij为i方向的应力作用时引起j轴方向应变的泊松比，即 μij=−
εj
（4－14） εi
−μ21−μ12
所以，由σ1和σ2引起的在1轴和2轴方向的正应变分别为 ε1= ε2=
σ1
E1
σ2
E2
（4－15a） （4－15b）
σ2
E2
σ1
E1
在1-2平面内的切应变 γ12 与切应力τ12成线性关系： γ12=
τ12
G12
（4－15c）
式中G12为1－2平面的剪切模量。将上述方程写成矩阵形式：
⎧⎫
⎪ε1⎪⎡S11⎪⎪⎢
⎨ε2⎬=⎢S21
⎪γ⎪⎢0⎪12⎪⎣⎩2⎭
式中
S11=
S12S220
0⎤⎧σ1⎫
⎪⎪0⎥⎥⎨σ2⎬ (4－16)
⎪⎪2S66⎥⎦⎩τ12⎭
μμ111
，S12=－21， S21=－12， S22=， S66=
G12E1E2E1E2
上式的[Sij]称为柔度矩阵。可以证明这是对称矩阵，即有
S21=S12， 或者
μ12
E1
μ21
E2
这样，表征单层板的应力－应变关系需要四个独立弹性系数：E1， E2， μ12， G12。而泊松比μ21可以从上式得到 μ21=
E2
μ12 （4－17） E1
0⎤⎧ε1⎫⎪⎪0⎥⎥⎨ε2⎬ （4－18）
⎪γ⎪⎥⎩Q66⎦12⎭
将式（4－16）求逆，可以得到应力用应变的表达式
⎧σ1⎫⎡Q11Q12
⎪⎪⎢
⎨σ2⎬=⎢Q21Q22
⎪τ⎪⎢00⎩12⎭⎣
式中[Qij]称为刚度矩阵，其系数用工程常数可以表示为
Q11＝
E1
1－μ12μ21
Q12＝Q21=
μ12E2μ21E1
=
1－μ12μ211－μ12μ21
Q22＝
E2
1－μ12μ21
Q66=G12
二、 单层板在任意方向上的应力－应变关系
前面建立了沿材料主轴方向的应力－应变关系。但是实际应用中的复合材料层合板需要由许多层不同方向放置的单层板叠合而成，各单层板材料主轴方向与层合板的轴线方向（x-y坐标方向）并不重合（图4－23）。假定单层板的纤维方向与x轴成α角，现在需要建立x-y坐标方向的应力－应变关系。 由应力变换式（3－7）可知
⎧σx⎫⎧σ1⎫
⎪⎪⎪⎪
⎨σ2⎬=[T]⎨σy⎬ （4－19）
⎪τ⎪⎪τ⎪⎩12⎭⎩xy⎭
由应变变换式（3－33）可知
⎧⎫⎧⎫
⎪ε⎪⎪ε1⎪x⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨ε2⎬=[T]⎨εy⎬ （4－20）
⎪γ⎪⎪γ⎪⎪12⎪⎪xy⎪
⎪⎩2⎭⎩2⎪⎭
式中
⎡l2m22ml⎤⎢⎥
[T]=⎢m2l2−2ml⎥
⎢−mlmll2−m2⎥⎣⎦
l=cosα, m=cos(90o−α)=sinα 根据式（4－16），材料主轴方向的应力－应变关系为
x
图4－23
⎧ε1⎫⎧σ1⎫
⎪⎪⎪⎪
⎨ε2⎬=[S]⎨σ2⎬
⎪γ⎪⎪τ⎪⎩12⎭⎩12⎭
利用方程（4－19）、（4－20）和（4－16）可以证明x-y坐标系的应力－应变关系为
⎧εx⎫⎧σx⎫⎡11
⎪⎪⎪⎪⎢
⎤ ⎨εy⎬=⎡⎨⎣⎦σy⎬=⎢12
⎪γ⎪⎪τ⎪⎢S⎩xy⎭⎩xy⎭⎣16
式中
12
22S26
16⎤⎧σx⎫⎥⎪⎪
26⎥⎨σy⎬ （4－21）
⎪⎪S66⎥⎦⎩τxy⎭
11=S11l4+（2S12+S66)m2l2+S22m4 12=(S11+S22−S66)m2l2+S12(m4+l4) 22=S11m4+(2S12+S66)m2l2+S22l4
16=(2S11−2S12−S66)ml3−(2S22−2S12−S66)m3l 26=(2S11−2S12−S66)m3l−(2S22−2S12−S66)ml3 66=2(2S11+2S22−4S12−S66)m2l2+S66(m4+l4)
(a)
图4－24
(b)
由上式可见，当0°
应。如图4－24a所示，在单向应力σx作用下，材料不仅有沿x方向轴向的伸长，而且有剪切变形产生。或者在纯剪切应力τxy作用下(图4－24b)，材料不仅有剪切变形，而且有轴向变形产生。这是复合材料有别于各向同性材料的很重要的特点。
例4－7 玻璃纤维/环氧树脂的材料常数为 E1＝38.6 GPa，E2＝8.27 GPa，G12＝4.14 GPa，μ21＝0.26。纤维与x轴成30°。试分析（1）正应力σx=100MPa作用时的拉剪偶合效应；（2）切应力τxy=100MPa作用时的拉剪偶合效应。 解：
先计算材料主轴方向的柔度矩阵系数： α=30°，l=cosα=0.866， m=sinα=0.5
S11=
1
=0.259×10−10/Pa E1
S12=－
μ21
E2
=−0.314×10−10/Pa
1
=1.209×10−10/Pa E21
=2.415×10−10/Pa S66=G12S22=
根据式（4－21）计算偏轴的柔度矩阵系数为
S11＝0.555×10－10/Pa，S12＝－0.374×10－10/Pa，S22＝1.096×10－10/Pa，
16＝－0.480×10－10/Pa，26＝－0.342×10－10/Pa，66＝2.175×10－10/Pa （1）如果σx=100 MPa 单独作用，根据式（4－21）
εx=11σx＝0.00555
εy=12σx＝−0.00374 γxy=16σx＝−0.00480
由此可见，在x方向拉应力作用下，不仅有x方向的伸长和y方向的收缩变形，而且还有剪切变形。
（2）如果τxy=100 MPa 单独作用，那么 εx=16τxy＝−0.00480 εy=26τxy＝−0.00342 γxy=S66τxy＝0.02175
由此可见，在切应力单独作用下，不仅有剪切变形，而且还有x方向和y方向的收缩变形发生。这就是各向异性材料的拉伸－剪切耦合效应。
§ 4-7 复杂应力状态下的应变能
仍然回到各向同性材料的情况。如图4－25a所示，假定单元体在σx作用下，正x面上的力σxdydz在伸长量εxdx上做功。在线弹性体中应变的增长与应力成正比，因此当应力和应变的最终值达到σx和εx时，储存在微单元体内的应变能为 dU=
11
(σxdydz)(εxdx)=σxεxdV 22
z
如果有切应力τxy作用在单元体上，如图4－25b所示，这时作用在正y面上的力τxydxdz在移动的距离γxydy上做功，所以储存在微单元体中的应变能（strain energy）为
dU=11(τxydxdz)(γxydy)=τxyγxydV 22
对于其他应力分量也可得出类似的结果。单元体的应变能由各个分量产生的应变能相加得到。那么单位体积内的应变能，即应变能密度（density of strain energy）为
udU1=(σxεx+σyεy+σzεz+τxyγxy+τyzγyz+τzxγzx) （4－22） dV2
1∫(σxεx+σyεy+σzεz+τxyγxy+τyzγyz+τzxγzx)dV （4－23） 2V储存在整个物体中的应变能为 U＝∫udV=V
如果使坐标系取向与三个主应力一致，下面的分析将表明，总的应变能可以分为两个部分。一部分能量与材料的体积变化相关，另一部分与材料的形状变化有关。用矩阵形式将应力分解为两部分：
0⎞⎛σ1−σm00⎞⎛σ100⎞⎛σm0⎟⎜⎟⎜⎟⎜＝0σ00σ0+0σ−σ02m2m⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎜00σ⎟⎜0⎟⎜σ3−σm⎟0σm⎠⎝003⎠⎠⎝⎝ （4－24） 0⎞⎛σ'100⎞⎛σm0⎜⎟⎜⎟ =⎜0σm0⎟+⎜0σ'20⎟⎜0⎜0σm⎟0σ'3⎟⎝⎠⎝0⎠
其中σ1'=σ1−σm，σ2'=σ2−σm，σ3'=σ3−σm称为应力偏量（deviation of stress）。式（4－24）给出的应力分解可以用图4－26表示。
在式（4－22）中，如果坐标系与应力主轴方向重合，用1，2，3代替三个下标x，y，z，并且利用广义胡克定律，将主应变用主应力表示，可以得到应变能密度用主应力的表
图4－26
达式：
u=1μ(σ12+σ22+σ32)−(σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1) （4－25） 2EE
用式（4－24）将主应力分解为两部分：σi=σm+(σi−σm)=σm+σi' (i=1,2,3)。下面分别考虑这两部分应力所对应的应变能密度。
100
1，在三向都是平均应力σm的作用下，得到的是对应于体积变化的应变能密度。以
，得到 σ1=σ2=σ3=σm代入式（4－25）
uv=3(1−2μ)21−2μ(σ1+σ2+σ3)2 （4－26） σm=2E6E
11σm2=σmθ （4－27） 2K2由式（4－8）可知，上式也可以用体积模量表示为 uv=
式（4－27）的uV就是体积改变应变能密度。三个主应力相等的应力状态也称为静水应力状态（hydrostatic stress state）。
2，当三个方向受应力偏量σ'i（i＝1,2,3）作用时，因为此时的平均应力
σm'=(σ1+σ2+σ3−3σm)=0
所以在应力偏量作用下微单元的体积不变，只发生形状改变。相应的应变能密度称为形状改变应变能密度。在式（4－25）中用σ1', ',σ2 'σ3代替σ1, σ2, σ3，可以得到形状改变应变能密度
ud=131+μ[(σ1−σ2)2+(σ2−σ3)2+(σ3−σ1)2] (4－28） 6E
进一步可以验证
u＝uV+ud （4－29）
上式表示，应变能可以分解成两部分：体积改变应变能和形状改变应变能。前者（式4－
27）只与平均应力有关，平均应力引起物体的体积改变。后者（式4－28）只与三个主应力间的差值有关，这部分能量引起物体的形状改变，与体积变化无关。
结束语
材料的应力－应变关系体现了材料固有的力学性能。不同的材料会有完全不同的应力－应变关系。完整的应力－应变曲线往往无法用一个简单的数学方程来表达。如果限于小应变范围内，许多材料的应力应变关系可以用简单的线性弹性关系来表达。前面一章的应力分析和应变分析以及这一章介绍的应力－应变关系，提供了分析问题的基础。在后续课程中，将用平面截面假设引进几何协调关系，将一个原为三维的应力分析、应变分析问题简化为杆、轴和梁这一类细长杆件的一维的内力和变形问题。三个基本关系将表现为内力和载荷的平衡关系，杆件轴线的变形几何关系以及内力和变形之间的物理关系。
101
第四章 应力应变关系
前一章引进了应力和应变的概念以及应力分析和应变分析的公式。应力分析仅用到力的平衡概念，应变分析仅用到几何关系和位移的连续性。这些都没有涉及到所研究物体的材料性质。本章开始将研究材料的性质。这些性质决定了各种材料特殊的应力－应变关系，显示出材料的力学性能。下面将着重描述低碳钢的力学性能，介绍各向同性材料的广义胡克定律。作为选读材料，将介绍各向异性的复合材料单层板的应力－应变关系。
§4-1 低碳钢的拉伸试验
在分别考虑了应力和应变后，从直觉上知道这两个量是互相关联的。事实上，在第一章的绪论里已经提到过应力应变之间的胡克定律。它描述了很大一类材料在小变形范围，在简单拉伸（压缩）条件下所具有的线性弹性的力学性能。低碳钢Q235是工程上常用的金属材料。这一节着重介绍低碳钢的力学性能，然后简单介绍其他一些材料的性能。
有关材料性能的知识来自于宏观的材料试验，以及从这些试验得出的宏观的、唯象的理论。固体物理学家一直在从原子和分子量级上研究这些力学性能的微观基础。力学家也已开始从细观尺度来分析材料的力学性能，并已经取得了很大进展。材料力学作为固体力学的入门课程，将只限于材料的宏观力学性能的描述。
为了确定应力与应变关系，最常用的办法是用单向拉伸（压缩）试验来测定材料的力学性质。这种试验通常是在常温（室温）
下对试件进行缓慢而平稳加载的静载试验。
一、低碳钢拉伸试验
按照我国的国家标准 “金属拉伸试验试样” （GB6397－86），将试件按规定做成标准的尺寸。图4－1所示是一根中间直径为d的圆杆型试件，两端的直径比中间部分大，以便于在试验机夹头上夹持。试
件中间取一段长度为l的等直部分作为标距。对圆截面标准试件，规定标距l与直径d的关系为 l=10d
，或l=5d，分别称为10倍试件和5倍试件。试件也可制成截面为矩形的平板型，平板试件的10倍与5倍试件的标距分别为l=
和
其中A为试件的横截面面积。l=，
在试件上安装测量伸长的传感器，然后开动试验机，缓慢加载。随着载荷F的增大，试件被逐渐拉长，产生伸长变形Δl。通过力和变形传感器同时记录F和Δl，作出试
图4－1F
件的力－伸长曲线（force-elongation curve），或称为拉伸图（tensile diagram）。
在试件的标距内，材料处于单向拉伸应力状态，轴向应力σ=F/A 在截面上均匀分布。其中A是试件加载前的截面积。这一应力称为工程应力。轴向应变ε=Δl/l。随着载荷的增加，试件的截面积在逐步减小，而应力σa=F/Aa（Aa为随加载而收缩的实际截面积）称为真应力（true stress）。
通常将试验测得的工程应力σ 和应变ε 绘制成应力－应变图（stress-strain diagram）。由于实际截面积在缩小，所以工
程应力始终小于真应力。但在从开始加载的大部分过程中截面积A的变化很小，为了方便起见，我们用工程应力来绘制应力－应变关系曲线。 图4－2所示是低碳钢的应
力－应变图，它描述了试件从加
载直到拉断的全过程的应力应
变关系。从图上可见，整个过程
可以分为四个阶段，体现了低碳
钢材料的力学特性。
1，弹性阶段：
从开始加载到A点，OA是一条直线，表明应力与应变成正比。这个阶段的应力应变关系可以表示成
σ=Eε （4－1）
其中比例常数 E 就是弹性模量。这一关系就是前面讲到的胡克定律。图上A点所对应的应
。低碳钢的比例极限σp≈200MPa。超过A点后，力σp，称为比例极限（proportional limit）
应力－应变曲线开始偏离原来的直线路径。图上AB段呈现非线性关系。在点B以内的范围，
试件的变形完全是弹性变形。也就是说，当卸载时，应力－应变曲线沿原路径返回，发生的变形可以全部恢复。超过B点后变形就不能完全恢复，材料将产生塑性变形（plastic deformation）。B点对应的应力称为弹性极限（elastic limit），记为σe。 并不是所有材料的应力－应变曲线从加载开始都有线
性阶段的。有些材料，比如橡胶，其应力－应变关系从一开始就呈非线性（图4－3）。尽管低碳钢在弹性极限前的应力
－应变曲线与橡胶的弹性曲线很不相同，但它们都是弹性变
形，即是能够完全恢复原状的变形。
低碳钢的弹性极限与比例极限非常接近，以至于很难区
分这两点。由于比例极限很接近弹性极限，所以应力－应变曲线有明显的线性弹性阶段，这类材料称为线弹性
图4－3
（linear−elastic）材料。如果比例极限远远低于弹性极限，在
材料的弹性极限内应力－应变呈明显的非线性关系，这类材料称为非线性弹性（nonlinear−elastic）材料。
在试件拉伸的同时，其横向的尺寸，即试件的直径会减小。这一现象称为泊松效应。
同样，如果试件受到轴向压缩，其侧向尺寸会增大。侧向应变可以由试件直径的相对缩小来测量出，即ε'=−Δd/d。负号表示这是收缩变形。在线性弹性阶段，我们发现侧向应变与轴向应变成比例关系，可以表示为
ε'=−με （4－2）
ε’是侧向应变，比例系数μ就是泊松比。工程材料的泊松比在0.2到0.5其中ε 是轴向应变，
之间。E和μ是表征线弹性的、均质的、各向同性材料的基本材料常数。
2，屈服阶段
低碳钢的拉伸应力－应变图上从B点到C点出现应力值上下抖动，应变增加较快的一段曲线。这一阶段表明材料开始了非弹性行为。
这种现象称为材料的屈服或流动（yielding）。工
程上常取应力值第一次返回的最低点应力为屈
服强度（yield strength）或称为屈服极限、流动
极限，记作σs。这是表示材料性质的一个重要指标。低碳钢Q235的屈服极限σS≈235MPa。
低碳钢材料屈服时，在抛光的试件表面能看到与试件轴向成45o的斜线，称为滑移线。我
们知道单向拉伸时，与加力方向成45o的斜面上切应力最大，其值为τ=σ/2。对于低碳钢来说，
切应力超过某极限值是引起晶格滑移的根本原
因。而晶格之间的滑移导致材料产生不可恢复
的塑性变形。
3，强化阶段：
试验发现有些材料，如钢，铝，铜等，在超过屈服点后，为了继续增加变形，应力需要继续增加。材料又恢复了对变形的抵抗能力。这种现象称为材料的强化，这一阶段称为强化阶段。如低碳钢，图4－2的CD阶段是强化阶段。在D点达到应力的最高点，该应力值称为材
图4－4
料的强度极限（ultimate strength），记为σb。低碳钢的强度极限σb ≈ 400 MPa。
超过了弹性极限后，材料就进入塑性变形阶段。在弹性阶段，完全卸载可以使试件完全恢复原状，没有残余变形。在塑性阶段卸载时，其卸载路径不是沿着原加载路径退回，而是沿着一条与初始线弹性部分平行的路径卸载。如图4－4（a）所示，加载时应力沿OA上升。假设A点已处塑性阶段，从A点卸载，则应力将沿AB卸载到B。OB是不可恢复的永久变形，即塑性变形。从图上可见，BE部分是已恢复的弹性应变。如果从B点开始第二次加载，应力将沿着BA路径上升。BA段将是弹性变形。如果在低于A点时卸载，应力将沿原路径回到B点。如果加载到A点后继续加载，从A点开始产生新的塑性变形。点A相当于第二次加载时的屈服点。它比初次加载时的屈服强度高。通过初次加载的塑性变
形来提高材料的屈服强度，这一现象称为应变硬化（strain hardening）。工程中将钢筋等材料进行预拉伸，使材料的屈服强度提高，这种做法称为冷作硬化。经冷作硬化处理过的材料，断裂时的残余变形有所减小。
应该指出，从塑性区的A点卸载到B点，再从点B加载时，卸载与加载并不是精确地沿同一条路径走的。如图4－4 （b）所示，实际上有一个迟滞回路存在。这个回路包围的一小块面积表示损耗的能量。
4，颈缩阶段：
超过强度极限后应力将下降，直到最后试件断裂（图4－2的DE段）。这一阶段试件截面积的减小不是在整个试件长度范围发生，而是试件的一个局部区域截面积急剧减小（图4－5）。这一现象称为“颈缩”（necking）。颈缩发生在试件较薄弱的部位。最后在颈缩部位试件断裂。 图4－5
二、伸长率和收缩率
试件断裂后，残余的塑性变形可以由断裂后的标距长度l1减去原长l得到。残余伸长量
，或称为延伸（l1－l）与原长度l之比定义为残余伸长率，简称伸长率（specific elongation）
率。记为
δ=
l1−l
×100% （4－3） l
伸长率δ是衡量材料塑性性能的一个重要指标。低碳钢的伸长率为20～30％。另一个衡量材料塑性性能的指标是截面收缩率，定义为 ψ=
A−A1
×100% （4－4） A
其中A是原截面面积，A1是试件拉断后，颈缩处最小截面的面积。低碳钢的截面收缩率约为60％。
工程上根据材料塑性变形的能力，将材料分为延性材料，（或称为塑性材料，ductile material），和脆性材料（brittle material）。通常将δ>5％的材料称为延性材料，如钢、铜、铝等；δ
§ 4-2 其他材料拉伸时的机械性能
一、其他塑性材料
其他许多金属材料的应力－应变图显示它们也有很好的塑性。其中16锰钢是常用的低合金钢。如图4－6所示，16锰钢的应力－应变曲线与Q235钢很相似，其弹性模量与Q235钢几乎一样，它的抗拉强度σb和流动极限σs较Q235钢有明显的提高。
从图4－6可见，有些金属材料的 σ (MPa)
应力－应变曲线没有明显的屈服阶段，也很难精确地确定比例极限或弹性极
限。没有明显屈服阶段的材料，不存在
屈服极限σs。其他三个阶段仍然比较明
显。对这些材料，我国的标准规定，取
对应于试件卸载后产生0.2%的残余应变的应力值，作为材料的屈服强度，称为名义屈服强度。具体的方法是（图4－7），从原点作应力－应变曲线的切
线，在横轴上ε = 0.2% 的A点开始，作与此切线的平行线，与应力－应变曲线相交与B点，对应的应力就是该材料的名义屈服强度，记为σ0.2。
图4－6
二、脆性材料
工程上常用的脆性材料有铸铁、混凝土、陶瓷等。在拉伸试验时，它们从开始受拉伸直至断裂，试件的变形都非常小。图4－8所示是灰口铸铁的应力－应变曲线。由图可见在拉伸过程中没有屈服现象。试件断裂时变形很小，断裂后的横截面几乎没有什么变化。材料的伸长率很小，δ ≈0.5-0.6%。脆性材料一般拉伸强度很低，抗压强度比抗拉强度高得多。工程中主要应用其抗压性能。例如在钢筋混凝土构件中，混凝土主要用来承受压力，设计中甚至忽略其抗拉能力，只考虑其抗压能力。另一个重要特征是，脆性材料的断裂总
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
图4－7
图4－8
是突然发生。不象塑性材料那样，断裂以前发生很大塑性变形，同时也可吸收很多能量，有破坏的前兆，提醒人们的注意。因此，脆性材料不宜制作承受动载荷的重要部件。
需要指出的是，通常所说的延性材料和脆性材料，是按材料在常温下，以低应变率的
拉伸试验所得的伸长率 δ 来区分的。实际上，材料的延性或脆性并非是固定不变的性质。在一定条件下（如温度、变形速度、应力状态等）材料性能是会变化的。例如，在常温下静载试验表现为延性的低碳钢，在低温下可以象铸铁一样呈现脆性。
§ 4-3 压缩时材料的力学性能
压缩试验的金属试件通常做成短圆柱形，高度约为直径的1.5−3.0倍。这是为了避免试件在压缩时产生失稳。压缩试验同样可以得到材料的应力－应变曲线。
一、塑性材料
低碳钢
0 2 4 6 8 10
灰口铸铁
图4－9
图4－10
图4－9中的实线是低碳钢压缩时的应力－应变曲线，虚线是拉伸时的曲线。由图可见，当应力小于屈服极限时，压缩的性质与拉伸时很相似。其比例极限，屈服极限，弹性模量都与拉伸试验时的值很接近。低碳钢压缩时也有屈服现象，但屈服阶段比较短暂。超过屈服极限后，圆柱形试件端面与试验机接触的表面由于受摩擦力作用，使试件的横向变形受阻，所以试件逐渐呈鼓形。随着载荷的增加，试件被压成饼状，但并不破坏，因此无法测出其抗压强度极限。
二、脆性材料
图4－10中的实线是灰口铸铁压缩时的应力－应变曲线。铸铁压缩时，应力应变曲线没有明显的直线部分，也没有屈服现象。铸铁试件受压时，随着压力的增加，试件呈鼓状。最后铸铁试（a）（b） 件沿45°－55°斜截面破坏（图4－11a）。破坏时
图4－11
的最大压应力称为抗压强度极限。脆性材料的抗
压强度极限σ－b比拉伸时的强度极限σb大得多。铸铁的抗压强度比抗拉强度约大2－4倍。
铸铁还有价廉、耐磨、浇铸性能好等优点，可用于制造机器的机座、机床床身等承压为主的构件。而石料的压缩破坏形式与铸铁不同（见图4－11b），破坏时材料沿许多纵向截面裂开。
§ 4-4 线弹性应力－应变关系，广义胡克定律
在材料的拉伸和压缩试验中，试件的被测试部分处于单向应力状态。通过实验测得轴向应力和轴向应变的关系曲线。现在的问题是，如果在一般应力状态下，应力与应变之间会有怎样的关系？这一节将建立线弹性范围内各向同性材料所有六个应力分量与六个应变分量之间的关系。
一般应力状态下有三个正应力分量，三个切应力分量。一般的应变状态有三个正应变分量和三个切应变分量。如果每一个应力分量与每一个应变分量都成线性关系，那么共有六个方程，可以将六个应变分量用六个应力分量来表示。
一、广义胡克定律
图4－12所示单元体，当只有沿x方向的正应力σx作用时，这个方向的正应变εx可以表示为
εx=
σx
E
这是单向应力状态的胡克定律。对于各向同性材料，轴向拉伸时的侧向收缩应变在y方向和z方向是相等的，它们可以表示为 εy=εz=−μεx=−μ
σx
E
如果该单元体上还存在沿y方向的正应力σy，以及沿z方向的正应力σz的作用，由于应力与应变成线性关系，所以某一方向的应变可以由各项应力在此方向的应变叠加产生。由σy产生的应变将是 εy=
σy
E
由σz产生的应变将是
, εx=εz=−μεy=−μ
σy
E
εz=
σz
E
， εx=εy=−μεz=−μ
σz
E
将以上三个正应力产生的应变叠加，可以得出三个正应变分量与三个正应力分量之间的关系为 εx=
1[σx−μ(σy+σz)] E1
εy=[σy−μ(σz+σx)] （4－5a）
E1
εz=[σz−μ(σx+σy)]
E
图4－12
与单向拉伸时正应力与正应变的关系类似，可以通过纯剪切试验可以得到切应力和切应变的关系。实验证明切应变与切应力也成正比关系，它们可以写成
γ=
τ
G
这里的G就是剪切模量，代表材料抵抗剪切变形的能力。在一般应力状态下，每一个切应变分量只与其相应的切应力分量有关，即 γxy=
（4－5b）
GGG
可以证明，各向同性材料在正应力作用下只能产生正应变，不会产生切应变。如图4－13a所示，从某一各向同性材料中取出一单元体。假如单元体在x方向的正应力作用下
τxy
，γyz=
τyz
，γzx=
τzx
(a)
图4－13
(b)
产生了切应变。那么将材料绕x轴转180°后截取单元体，在同样的正应力作用下会产生一个符号相反的切应变（图4－13b）。既然材料是各向同性的，其应变应该与材料的取向无
关，这样就论证了正应力作用下不应该产生切应变。
切应力只能引起相对应的切应变，不会产生正应变，这一点可以论证如下。如图4－14a所示，从各向同性材料中截取一单元体。假如在切应力τzx的作用下单元体产生了沿z方向的正应变，现在假定将材料绕OA轴（图4－14b）转动180°后截取单元体，那么在切应
力τzx的作用下应该产生x方向的正应变。这一结果与各向同性材料的在相同应力作用下的应变应该与材料取向无关的要求相矛盾。所以切应力不应该产生正应变。类似地利用对称性还可证明每一个切应力分量只能产生与其相应的切应变，不会产生其他方向的切应变。
式（4－5）表示的六个应力－应变方程称为广义胡克定律（generalized Hooke’s law）。关于切应力和切应变的三个方程也说明，切应力为零的方向上切应变也为零。也就是说，受载各向同性材料的任一点处的应变主轴与该点的应力主轴相重合。
二、材料常数之间的关系
各向同性材料只有两个独立的材料
常数，所以材料常数E、G和μ之间有一
定的关系。为此，考虑在x-y坐标系中 处于纯剪切应力状态的一个单元体（图
4－15）。根据胡克定律：
τ γxy= G
该点的应力主轴在与x轴成45o的1-2方
向。这里应力和应变的下标1，2仅表示
它们是主轴1，2方向的量，主应力是 σ1=τ，σ2=−τ
应用广义胡克定律，相应的主应变为：
(1+μ)τ
EEσ−μσ1(1+μ)τ
=− ε2=2 EE
ε1=
σ1−μσ2
=
另一方面，利用1轴到x轴的应变变换，可以得到 γxy=−(ε1−ε2)sin(−2×45o)=ε1−ε2=
2(1+μ)
E
γxy的两个表达式必须相等，于是得到弹性模量E、剪切模量G和泊松比μ之间关系：
G=
E
（4－6）
2(1+μ)
二、体积弹性模量
将坐标轴方向取在应力主轴方向，原来边长为dx，dy，dz的微单元体，原体积为dV=dxdydz。在三个主应力作用下，其体积变为
dV1=(1+ε1)(1+ε2)(1+ε3)dxdydz
上式展开后略去高阶小量，得到
dV1=(1+ε1+ε2+ε3)dV 由此得到体积的变化率为 θ=
dV1−dV
=ε1+ε2+ε3 （4－7） dV
应用广义胡克定律可得
θ=
σ1−2μ
(σ1+σ2+σ3)=m （4－8） EK
σ1+σ2+σ3
3
（4－9）
式中 σm=
称为平均应力；
E
（4－10）
3(1−2μ)
称为体积模量（bulk modulus）。θ 也称为体积应变（bulk strain）。（4－8）式表明，单元体
K=
体积的改变只与平均应力有关。
例4－1 图4－16所示边长为a＝0.1m的铝质立方块，无间隙地嵌入钢制凹槽内。由于钢
F
σx
图4－16
块的体积大，其变形可以忽略不计。已知铝的弹性模量E=71GPa，泊松比μ＝0.3。铝块的上表面受到垂直向下的均布力作用，其合力为F＝100kN。试求该铝块的主应力和最大切应力。
解：铝块在y方向受压，产生侧向膨胀的倾向，由于受钢壁的阻碍，使其在x、z方向的应变为零。根据广义胡克定律（4－5a）： εx=
1
[σx−μ(σy+σz)]=0 （a） E1
εz=[σz−μ(σx+σy)]=0 （b）
E
F100×103N
根据y方向平衡条件可知 σy=−2=−=−10.0MPa
a0.12m2
代入式（a）和（b），并求解，可得
σx=σz=
μ(1+μ)0.3×(1+0.3)
σ=(−10.0MPa)=−4.29MPa y22
1−μ1−0.3
按主应力的代数值排序，得到铝块的主应力为 σ1=σ2=−4.29MPa, σ3=−10.0MPa 最大切应力 τmax=
例4－2 图4－17所示圆筒型薄壁压力容器，内部储存气体的压力为p。圆筒的中面的直径为D＝800mm，容器壁的厚度为t＝5mm。忽略容器的自重。容器钢材的弹性模量E＝200GPa，泊松比μ＝0.3。从粘贴在筒表面沿周向的应变片测得εθ=600×10−6。试求筒内气体的压力p，以及筒的纵向应变εx。
解：从第三章例题3－6的分析可知，筒壁的周向和轴向应力分别为σθ=
σ1−σ3
2
=2.86MPa
pD
， 2t
pD
，处于沿轴向和周向双向拉伸的应力状态。根据广义胡克定律 4t
1pD
(2−μ) εθ=(σθ−μσx)=
E4Et
σx=
所以
4Etεθ4×200×109Pa×0.005m
p==×600⋅10−6=1.76MPa
D(2−μ)0.8m×(2−0.3)
轴向应变
1pD
(1−2μ)εx=(σx−μσθ)=
E4Et
6
1.76×10Pa×0.8m−6
=(120.3)14010=×−×
4×200×109Pa×0.005m
例4－3 钢制圆杆的直径d＝2cm，上端固定，下端受拉力F的作用（图4－18）。假设圆杆中间部分截面上的应力均匀分布，处于单向拉伸状态。在圆杆表面测得与轴向成30°方
向的应变为ε30=410×10−6。钢的弹性模量E＝200GPa，泊松比μ=0.3。试求力F的大小。 解：假定拉杆横截面上的正应力为σ。作单向拉伸状态的应力圆。圆上的点X对应于圆杆x截面上的正应力σ。法向与杆的轴向成30°的a截面与应力圆上的点A相对应。从应力圆可知，截面a的正应力和切应力分别为
σa=σ，
τa=
x 34
31σ
）
F
图4－18
与截面a垂直的截面a’上的正应力和切应力为
σa'=σ
τa'=根据广义胡克定律 ε30=
14 1131
(σa−μσa')=(σ−μσ)
4EE4
4Eε304×200×109Pa×410×10−6
σ===121.5MPa
3−μ2.7
所以 F=
πd2
4
σ=
π×0.022m2
4
×121.5×106Pa=38.16kN
例4－4如图4－19所示，一个高度为h，宽度为b，长度为l的弹性正六面体，在外力作用以前正好嵌在相距h的两个刚性壁之间。以弹性体的中心为坐标原点建立坐标系。已知
材料的弹性模量为E，泊松比为μ。当沿x方向有一对F力作用时，求物体的应力和应变。
解：为了将问题简化为理想的模型，作如下的假设：
1，x方向的作用力F看作均匀分布在两个端面上的正应力；
2，z方向不受约束，所以z方向的正应力为零σz=0，物体处于x－y平面内的平面应力状态；
3，在y方向受刚性壁的约束，所以假设y方向的应变为零εy=0，即在x－z平面内处于平面应变状态；
4，忽略两刚性壁与物体间的摩擦力；
5，物体与刚性壁的接触面上的正应力均匀分布。
F
图4－19
由题意可知，σx=−
从式（4－5）可知 εx=
F
，σy=constant，σz=0，τxy=τyz=τxz=0。 bh
111
(σx−μσy)，εy=(σy−μσx)，εz=−μ(σx+σy) EEE
γxy=γyz=γzx=0
F bh
由于εy=0，所以 σy=μσx=−μ
1(μ2−1)
εx=(σx−μσy)=F
EEbh1μ(1+μ)
F εz=−μ(σx+σy)=
EEbh
§ 4-5 热应变
除了应力以外，温度的改变也能引起材料的变形。对于各向同性材料，温度的改变可以在各个方向上引起均匀的正应变，其数值为
εxT=αΔT, εyT=αΔT, εzT=αΔT （4－11a）
。ΔT=T－T0为温度式中的系数α是材料的热膨胀系数，上标T表示热应变（thermal strain）
的变化。对于各向同性材料，温度变化不会引起切应变，即
TT
γxy=γTyz=γxz=0 （4－11b）
在小变形情况下，热应变可以与应力引起的应变直接叠加，这样，各向同性材料在应力和温度作用下的热弹性应力应变关系可以写成
1
[σx−μ(σy+σz)]＋αΔT E1
εy=[σy−μ(σz+σx)]＋αΔT (4－12a)
E1
εz=[σz−μ(σx+σy)]+αΔT
Eτττ
γyz=yz ， γzx=zx， γxy=xy （4－12b）
GGG
εx=
弹性体内一点处的总应变是应力引起的弹性应变和温度引起的热应变两部分之和。用εe表
示由应力引起的弹性应变，εT表示由温度引起的热应变。那么，总应变可以写成
ε=εe+εT （4－13）
当材料在某一方向受到约束而不能产生应变时，该方向总应变为零。
静不定结构在温度变化时，由于材料的热膨胀受到约束，结构会产生热应力（thermal stress）。静定结构的构件能够自由伸缩，温度变化时不会产生热应力。 例4－5 图4－20所示两端固定的钢制蒸汽管
道，长度为l。钢的弹性模量E＝200GPa，热膨
−6
胀系数α=12.5×10/C°。安装时温度为T0，
求温度升高ΔT＝30°时管道内的热应力。 解：管道的温度应变
图4－20
εT=αΔT
由于两端受约束，管道的总应变为零。根据式（4－13） εe=所以
σ=−αΔT⋅E=−12.5×10−6×30×200×109Pa=−75MPa
可见温度升高30°时管道内已产生相当高的热应力。这个结果与管道的长度无关。但如果管道很长，可能引起失稳。工程中常在蒸汽管道中设置弯头，来避免产生过高的热应力。铁轨在两段连接处预留一定的间隙，房屋中间预留伸缩缝，这些措施都是为了减小对热膨胀的约束，降低热应力。
例4－6一个正六面体钢块（图4－21），体积为90×50×40mm3。两端受固定的刚性物体阻碍。其右端正好与刚性体接触，左端离刚性体有0.02mm间隙。钢块的上表面受均布力作用，合力值为F＝700kN。钢的弹性模量E=207GPa，泊松比μ＝0.3，热膨胀系数
σ
E
=−εT=−αΔT
α=11×10−6/°C。当温度上升15°C时，求钢块的应力和体积的变化。
解：由题意知，
700×103N
=−194.4MPa， σz=0 σy=−
0.09×0.04m
z
图4－21
x方向允许最大的伸长为0.02mm，先假设变形后钢块充满了间隙，即 εx=
0.02mm
=222.2×10−6
90mm
这一应变由弹性应变和热应变两部分组成。根据式（4－13），
1
εx=[σx−μ(σy+σz)]＋αΔT
E
6
σ−0.3×(−194.4×10+0)Pa−6−6
=x111015222.210=×+××
207×109Pa
所以 σx=−46.48MPa。
计算结果σx为负值，即钢块在x方向受压，证明先前关于间隙被充满的假设是正确的。
为了求体积变化，需要知道另两个应变值：
1
εy=σy−μ(σx+σz)]＋αΔT
E
−194.4×106Pa−0.3×(−46.48×106+0)Pa =+11×10−6×15=−707×10−6
9
207×10Pa
1
εz=[σz−μ(σx+σy)]＋αΔT
E
66
0−0.3×(−46.48×10−194.4×10)Pa =+11×10−6×15=514×10−6
9
207×10Pa
体积应变
θ=εx+εy+εz=29.5×10−6
所以钢块的体积变化为
ΔV=Vθ=90×50×40mm3×29.5×10−6=5.31mm3
*§ 4-6 复合材料的应力－应变关系
复合材料（composite material）是由两种或两种以上材料组合而成的材料。制成纤维形状的材料比块状的同一种材料的强度高得多。普通平板玻璃的强度很低，但玻璃纤维的
强度高达3400－4800MPa，比普通钢的强度高10倍。纤维的直径很细，不能单独用纤维来承力，必需将大量的纤维埋到基体材料里才能做成承力构件。常用的纤维有玻璃纤维、石墨纤维、硼纤维等，常用的基体材料有环氧树脂、铝合金等。复合材料已广泛用于航空航天运载器、火箭、卫星、地面交通工具、舰船、潜艇，化工容器以及赛车、赛艇等各种工业和民用产品的制造。复合材料力学的研究已成为专门的学科。单向纤维增强复合材料（unidirectional fiber reinforced composites）是一种各向异性材料。这一节将简单介绍单向长纤维复合的单层板（lamina）的线弹性应力－应变关系。
一、单层板在材料主轴方向的应力－应变关系
图4－22a是单层的纤维增强板的示意图。实际的纤维直径是微米量级，而层板的厚度是毫米量级。所以层板仍然假设为均匀连续的正交异性材料。将坐标轴设置在三个正交的材料主轴方向：1轴沿纤维方向，2轴沿与纤维垂直的方向，3轴沿板的厚度方向。注意这一节的上下标1，2，3不代表应力和应变主轴方向。假设单层板处于平面应力状态：
(a)
图4－22
σ3＝0，τ13＝0，τ23＝0
正应力σ1的作用会引起1轴方向的伸长应变和2轴方向的收缩应变，它们分别为（图4－22b） 1ε1=
σ1
E1
， 1ε2=−μ12
σ1
E1
式中的上标1表示应力方向。同样，2轴方向的正应力σ2的作用会引起2轴方向的伸长应变和1轴方向的收缩应变
2ε2=
σ2
E2
， 2ε1=−μ21
σ2
E2
其中E1和E2分别为1轴和2轴方向的弹性模量，μij为i方向的应力作用时引起j轴方向应变的泊松比，即 μij=−
εj
（4－14） εi
−μ21−μ12
所以，由σ1和σ2引起的在1轴和2轴方向的正应变分别为 ε1= ε2=
σ1
E1
σ2
E2
（4－15a） （4－15b）
σ2
E2
σ1
E1
在1-2平面内的切应变 γ12 与切应力τ12成线性关系： γ12=
τ12
G12
（4－15c）
式中G12为1－2平面的剪切模量。将上述方程写成矩阵形式：
⎧⎫
⎪ε1⎪⎡S11⎪⎪⎢
⎨ε2⎬=⎢S21
⎪γ⎪⎢0⎪12⎪⎣⎩2⎭
式中
S11=
S12S220
0⎤⎧σ1⎫
⎪⎪0⎥⎥⎨σ2⎬ (4－16)
⎪⎪2S66⎥⎦⎩τ12⎭
μμ111
，S12=－21， S21=－12， S22=， S66=
G12E1E2E1E2
上式的[Sij]称为柔度矩阵。可以证明这是对称矩阵，即有
S21=S12， 或者
μ12
E1
μ21
E2
这样，表征单层板的应力－应变关系需要四个独立弹性系数：E1， E2， μ12， G12。而泊松比μ21可以从上式得到 μ21=
E2
μ12 （4－17） E1
0⎤⎧ε1⎫⎪⎪0⎥⎥⎨ε2⎬ （4－18）
⎪γ⎪⎥⎩Q66⎦12⎭
将式（4－16）求逆，可以得到应力用应变的表达式
⎧σ1⎫⎡Q11Q12
⎪⎪⎢
⎨σ2⎬=⎢Q21Q22
⎪τ⎪⎢00⎩12⎭⎣
式中[Qij]称为刚度矩阵，其系数用工程常数可以表示为
Q11＝
E1
1－μ12μ21
Q12＝Q21=
μ12E2μ21E1
=
1－μ12μ211－μ12μ21
Q22＝
E2
1－μ12μ21
Q66=G12
二、 单层板在任意方向上的应力－应变关系
前面建立了沿材料主轴方向的应力－应变关系。但是实际应用中的复合材料层合板需要由许多层不同方向放置的单层板叠合而成，各单层板材料主轴方向与层合板的轴线方向（x-y坐标方向）并不重合（图4－23）。假定单层板的纤维方向与x轴成α角，现在需要建立x-y坐标方向的应力－应变关系。 由应力变换式（3－7）可知
⎧σx⎫⎧σ1⎫
⎪⎪⎪⎪
⎨σ2⎬=[T]⎨σy⎬ （4－19）
⎪τ⎪⎪τ⎪⎩12⎭⎩xy⎭
由应变变换式（3－33）可知
⎧⎫⎧⎫
⎪ε⎪⎪ε1⎪x⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨ε2⎬=[T]⎨εy⎬ （4－20）
⎪γ⎪⎪γ⎪⎪12⎪⎪xy⎪
⎪⎩2⎭⎩2⎪⎭
式中
⎡l2m22ml⎤⎢⎥
[T]=⎢m2l2−2ml⎥
⎢−mlmll2−m2⎥⎣⎦
l=cosα, m=cos(90o−α)=sinα 根据式（4－16），材料主轴方向的应力－应变关系为
x
图4－23
⎧ε1⎫⎧σ1⎫
⎪⎪⎪⎪
⎨ε2⎬=[S]⎨σ2⎬
⎪γ⎪⎪τ⎪⎩12⎭⎩12⎭
利用方程（4－19）、（4－20）和（4－16）可以证明x-y坐标系的应力－应变关系为
⎧εx⎫⎧σx⎫⎡11
⎪⎪⎪⎪⎢
⎤ ⎨εy⎬=⎡⎨⎣⎦σy⎬=⎢12
⎪γ⎪⎪τ⎪⎢S⎩xy⎭⎩xy⎭⎣16
式中
12
22S26
16⎤⎧σx⎫⎥⎪⎪
26⎥⎨σy⎬ （4－21）
⎪⎪S66⎥⎦⎩τxy⎭
11=S11l4+（2S12+S66)m2l2+S22m4 12=(S11+S22−S66)m2l2+S12(m4+l4) 22=S11m4+(2S12+S66)m2l2+S22l4
16=(2S11−2S12−S66)ml3−(2S22−2S12−S66)m3l 26=(2S11−2S12−S66)m3l−(2S22−2S12−S66)ml3 66=2(2S11+2S22−4S12−S66)m2l2+S66(m4+l4)
(a)
图4－24
(b)
由上式可见，当0°
应。如图4－24a所示，在单向应力σx作用下，材料不仅有沿x方向轴向的伸长，而且有剪切变形产生。或者在纯剪切应力τxy作用下(图4－24b)，材料不仅有剪切变形，而且有轴向变形产生。这是复合材料有别于各向同性材料的很重要的特点。
例4－7 玻璃纤维/环氧树脂的材料常数为 E1＝38.6 GPa，E2＝8.27 GPa，G12＝4.14 GPa，μ21＝0.26。纤维与x轴成30°。试分析（1）正应力σx=100MPa作用时的拉剪偶合效应；（2）切应力τxy=100MPa作用时的拉剪偶合效应。 解：
先计算材料主轴方向的柔度矩阵系数： α=30°，l=cosα=0.866， m=sinα=0.5
S11=
1
=0.259×10−10/Pa E1
S12=－
μ21
E2
=−0.314×10−10/Pa
1
=1.209×10−10/Pa E21
=2.415×10−10/Pa S66=G12S22=
根据式（4－21）计算偏轴的柔度矩阵系数为
S11＝0.555×10－10/Pa，S12＝－0.374×10－10/Pa，S22＝1.096×10－10/Pa，
16＝－0.480×10－10/Pa，26＝－0.342×10－10/Pa，66＝2.175×10－10/Pa （1）如果σx=100 MPa 单独作用，根据式（4－21）
εx=11σx＝0.00555
εy=12σx＝−0.00374 γxy=16σx＝−0.00480
由此可见，在x方向拉应力作用下，不仅有x方向的伸长和y方向的收缩变形，而且还有剪切变形。
（2）如果τxy=100 MPa 单独作用，那么 εx=16τxy＝−0.00480 εy=26τxy＝−0.00342 γxy=S66τxy＝0.02175
由此可见，在切应力单独作用下，不仅有剪切变形，而且还有x方向和y方向的收缩变形发生。这就是各向异性材料的拉伸－剪切耦合效应。
§ 4-7 复杂应力状态下的应变能
仍然回到各向同性材料的情况。如图4－25a所示，假定单元体在σx作用下，正x面上的力σxdydz在伸长量εxdx上做功。在线弹性体中应变的增长与应力成正比，因此当应力和应变的最终值达到σx和εx时，储存在微单元体内的应变能为 dU=
11
(σxdydz)(εxdx)=σxεxdV 22
z
如果有切应力τxy作用在单元体上，如图4－25b所示，这时作用在正y面上的力τxydxdz在移动的距离γxydy上做功，所以储存在微单元体中的应变能（strain energy）为
dU=11(τxydxdz)(γxydy)=τxyγxydV 22
对于其他应力分量也可得出类似的结果。单元体的应变能由各个分量产生的应变能相加得到。那么单位体积内的应变能，即应变能密度（density of strain energy）为
udU1=(σxεx+σyεy+σzεz+τxyγxy+τyzγyz+τzxγzx) （4－22） dV2
1∫(σxεx+σyεy+σzεz+τxyγxy+τyzγyz+τzxγzx)dV （4－23） 2V储存在整个物体中的应变能为 U＝∫udV=V
如果使坐标系取向与三个主应力一致，下面的分析将表明，总的应变能可以分为两个部分。一部分能量与材料的体积变化相关，另一部分与材料的形状变化有关。用矩阵形式将应力分解为两部分：
0⎞⎛σ1−σm00⎞⎛σ100⎞⎛σm0⎟⎜⎟⎜⎟⎜＝0σ00σ0+0σ−σ02m2m⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎜00σ⎟⎜0⎟⎜σ3−σm⎟0σm⎠⎝003⎠⎠⎝⎝ （4－24） 0⎞⎛σ'100⎞⎛σm0⎜⎟⎜⎟ =⎜0σm0⎟+⎜0σ'20⎟⎜0⎜0σm⎟0σ'3⎟⎝⎠⎝0⎠
其中σ1'=σ1−σm，σ2'=σ2−σm，σ3'=σ3−σm称为应力偏量（deviation of stress）。式（4－24）给出的应力分解可以用图4－26表示。
在式（4－22）中，如果坐标系与应力主轴方向重合，用1，2，3代替三个下标x，y，z，并且利用广义胡克定律，将主应变用主应力表示，可以得到应变能密度用主应力的表
图4－26
达式：
u=1μ(σ12+σ22+σ32)−(σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1) （4－25） 2EE
用式（4－24）将主应力分解为两部分：σi=σm+(σi−σm)=σm+σi' (i=1,2,3)。下面分别考虑这两部分应力所对应的应变能密度。
100
1，在三向都是平均应力σm的作用下，得到的是对应于体积变化的应变能密度。以
，得到 σ1=σ2=σ3=σm代入式（4－25）
uv=3(1−2μ)21−2μ(σ1+σ2+σ3)2 （4－26） σm=2E6E
11σm2=σmθ （4－27） 2K2由式（4－8）可知，上式也可以用体积模量表示为 uv=
式（4－27）的uV就是体积改变应变能密度。三个主应力相等的应力状态也称为静水应力状态（hydrostatic stress state）。
2，当三个方向受应力偏量σ'i（i＝1,2,3）作用时，因为此时的平均应力
σm'=(σ1+σ2+σ3−3σm)=0
所以在应力偏量作用下微单元的体积不变，只发生形状改变。相应的应变能密度称为形状改变应变能密度。在式（4－25）中用σ1', ',σ2 'σ3代替σ1, σ2, σ3，可以得到形状改变应变能密度
ud=131+μ[(σ1−σ2)2+(σ2−σ3)2+(σ3−σ1)2] (4－28） 6E
进一步可以验证
u＝uV+ud （4－29）
上式表示，应变能可以分解成两部分：体积改变应变能和形状改变应变能。前者（式4－
27）只与平均应力有关，平均应力引起物体的体积改变。后者（式4－28）只与三个主应力间的差值有关，这部分能量引起物体的形状改变，与体积变化无关。
结束语
材料的应力－应变关系体现了材料固有的力学性能。不同的材料会有完全不同的应力－应变关系。完整的应力－应变曲线往往无法用一个简单的数学方程来表达。如果限于小应变范围内，许多材料的应力应变关系可以用简单的线性弹性关系来表达。前面一章的应力分析和应变分析以及这一章介绍的应力－应变关系，提供了分析问题的基础。在后续课程中，将用平面截面假设引进几何协调关系，将一个原为三维的应力分析、应变分析问题简化为杆、轴和梁这一类细长杆件的一维的内力和变形问题。三个基本关系将表现为内力和载荷的平衡关系，杆件轴线的变形几何关系以及内力和变形之间的物理关系。
101