高中物理05天体运动

学科：物理复习内容：天体运动

预计用时：4-6学时

【考纲要求】

1．万有引力定律的应用、人造地球卫星的运动（限于轨道） II 2．宇宙速度 I

【知识网络】

【知识归纳】

【基础知识】

一、万有引力定律

1．万有引力定律的内容和公式

宇宙间的一切物体都是互相吸引的．两个物体间的引力的大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．

m 1m 2

公式：F ＝G r ，其中

G ＝6.67×10

－11

N·m 2/kg 2，叫引力常量．

2．适用条件：公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体也可视为质量集中于球心的质点，r 是两球心间的距离．

二、应用万有引力定律分析天体的运动

1．基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．

Mm v 22π22

m =m ωR =m () R =m (2πf ) 2R 2

R T G R

应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算 2．天体质量M 、密度ρ的估算：

4π2Mm 22

测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径R 和周期T ，由G R ＝m T R 得M ＝M M 3πR 3

==3244π2R 3V 3GT R 0πR 0

3GT ， ρ＝．（R 0为天体的半径）

3π

当卫星沿天体表面绕天体运行时，R ＝R 0，则 ρ＝GT

3．卫星的绕行速度、角速度、周期与半径R 的关系

GM Mm v 2

=m 2

R 得v ＝R ，（1）由G R

所以R 越大，v 越小．

GM Mm

（2）由G R ＝m ω2R ，得ω＝R ，

所以R 越大，ω越小．

4π2R 3Mm 4π2

=m 2R 2

GM T （3）由G R 得T ＝

所以R 越大，T 越大． 4．三种宇宙速度

（1）第一宇宙速度（环绕速度）：v 1＝7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度．

（2）第二宇宙速度（脱离速度）：v 2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．（3）第三宇宙速度（逃逸速度）：v 3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度． 5．地球同步卫星

所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，和地球自转具有同周期的卫星，T ＝24 h ．同步卫星必须位于赤道正上方距地面高度h ≈3.6×104 km处．【知识进阶】

1．重力和万有引力

重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的．物体的重力和地球对该物体的万

Mm 2

有引力差别很小，一般可认为二者大小相等．即mg ＝G R 0，式中g 为地球表面附近的重

v 1Mm

=G 2R R 0，也可以力加速度，R 0为地球的半径．所以在求第一宇宙速度时，可以用m 0

v 1

=mg R 用m 0．

2．随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度

放于地面上的物体随地球自转所需的向心力是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供；而环绕地球运行的卫星所需的向心力完全由地球对它的引力提供．两个向心力的数值相差很多，如质量为1 kg的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有0.034 N，而它所受地球引力约为9.8 N．

对应的两个向心加速度的计算方法也不同：物体随地球自转的向心加速度a 1＝ω2R 0＝

(

2π2) R 0T ，式中T 为地球自转周期，R 0为地球半径；卫星绕地球环绕运行的向心加速度ɑ2

GM 2

＝r ，式中M 为地球质量，r 为卫星与地心的距离．

3．运行速度和发射速度

GM v 2GM

m 2

r ，该速度指的是人造地球卫星在轨r ＝m r 得v ＝对于人造地球卫星，由

道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小．但由于人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，增大势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需要的发射速度却越大．

【例题解析】

问题1：会讨论重力加速度g 随离地面高度h 的变化情况。

例1、设地球表面的重力加速度为g, 物体在距地心4R （R 是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g , ，则g/g, 为

A 、1； B 、1/9； C 、1/4； D 、1/16。分析与解：因为g= G

M , M

,g = G, 所以g/g, =1/16,即D 选项正确。 22R (R +3R )

问题2：会用万有引力定律求天体的质量。

通过观天体卫星运动的周期T 和轨道半径r 或天体表面的重力加速度g 和天体的半径R ，就可以求出天体的质量M 。

例2、已知地球绕太阳公转的轨道半径r=1.49⨯1011m, 公转的周期T= 3.16⨯107s, 求太阳的质量M 。

分析与解：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得： G

Mm 2

=mr(2π/T) 2r

M=4π2r 3/GT2=1.96 ⨯1030kg.

例3 、宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L 。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。求该星球的质量M 。

分析与解：设抛出点的高度为h, 第一次平抛的水平射程为x, 则有 x 2+h2=L2

由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到2x, 可得

（2x ）2+h2=(3L) 2

设该星球上的重力加速度为g ，由平抛运动的规律得： h=

gt 2

由万有引力定律与牛顿第二定律得： mg= G

23LR 2

联立以上各式解得M=。 2

3Gt

问题3：会用万有引力定律求卫星的高度。

通过观测卫星的周期T 和行星表面的重力加速度g 及行星的半径R 可以求出卫星的高度。

例4、已知地球半径约为R=6.4⨯106m, 又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约 m.(结果只保留一位有效数字) 。

分析与解：因为mg= G

Mm Mm

，而G =mr(2π/T)2 22R r

所以，r=

gR 2T 28=410m. ⨯2

4π

问题4：会用万有引力定律计算天体的平均密度。

通过观测天体表面运动卫星的周期T ，，就可以求出天体的密度ρ。

例5、如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T ，则可估算此恒星的密度为多少?

分析与解：设此恒星的半径为R ，质量为M ，由于卫星做匀速圆周运动，则有

Mm 4π24π2R 3

G 2=mR2, 所以，M= 2

R T GT

而恒星的体积V=

4M 3π

πR 3，所以恒星的密度ρ==。 23V GT

例6、一均匀球体以角速度ω绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？

分析与解：设球体质量为M ，半径为R ，设想有一质量为m 的质点绕此球体表面附近做匀速圆周运动，则

Mm 224=mωR, 所以，ωπG ρ。 00=2

43ω23ω2

由于ω≤ω0得ω≤πG ρ，则ρ≥，即此球的最小密度为。

34πG 4πG

问题5：会用万有引力定律推导恒量关系式。

例7、行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的卫星运转周期是T ，试证明：ρT 2是一个常量，即对任何行星都相同。

4π2R 3

证明：因为行星的质量M=（R 是行星的半径），行星的体积 2

GT 4M 3π

， πR 3，所以行星的平均密度ρ==2

3V GT

3π

即ρT 2=，是一个常量，对任何行星都相同。

r 3

例8、设卫星做圆周运动的轨道半径为r, 运动周期为T ，试证明：2是一个常数，即

r 3

对于同一天体的所有卫星来说，2均相等。

Mm r 3GM r 32

证明：由G 2= mr(2π/T)得2=，即对于同一天体的所有卫星来说，2均2

4πr T T

相等。

问题6：会求解卫星运动与光学问题的综合题

例9、某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g, 地球自转周期为T ，不考虑大气对光的折射。

分析与解：设所求的时间为t ，用m 、M 分别表示卫星和地球的质量，r 表示卫星到地心的距离. 有

mM 2π2

=mr ()

T r 2

春分时，太阳光直射地球赤道，如图5-1所示，图中圆E 表示赤道，S 表示卫星，A 表示观察者，O 表示地心. 由图17可看出当卫星S 绕地心O 转到图示位置以后（设

图5-1

地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它. 据此再考虑到对称性，有

r sin θ=R

2θ

T 2πM

G 2=g R t =

4π2R 3

由以上各式可解得 t =a r c s 2)

πgT

问题7：错误地认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同。例10、某卫星沿椭圆轨道绕行星运行，近地点离行星中心的距离是a, 远地点离行星中心的距离为b, 若卫星在近地点的速率为V a , 则卫星在远地点时的速率V b 多少？

V a Mm

错解：卫星运行所受的万有引力提供向心力，在近地点时，有G 2=m ，在远

a a

V b 2V Mm a b

地点时有G 2=m ，上述两式相比得a =，故V b =a 。

b b b V b a

分析纠错：以上错误在于认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同。实际做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于R 。所以，在

V a 2V b 2V Mm Mm b

近地点时有G 2=m ，在远地点时有G 2=m ，上述两式相比得a =，故

R R a b V b a a

V b =V a 。

问题8：利用错误方法求卫星运动的加速度的大小。例11、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图5-2所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：

A 、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。

图5-2

B 、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。 C 、卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2

上经过Q 点时的加速度。

D 、卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3

上经过P 点时的加速度。

Mm V 2GM 2

错解：因为G 2=mr ω=m ，所以V=，

r r r

ω=

，即B 选项正确，A 选项错误。 r 3

因为卫星在轨道1上经过Q 点时的速度等于它在轨道2上经过Q 点时的速度，而在

V 2V 2Q 点轨道的曲率半径r 1a 2=，即C 选项正确。

r 2r 1

分析纠错：B 选项正确，但C 选项错误。根据牛顿第二定律可得a =

F GM

=2，即卫m r

星的加速度a 只与卫星到地心的距离r 有关，所以C 选项错误，D 选项正确。

问题9：错误认为卫星克服阻力做功后，卫星轨道半径将变大。

例12、一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作用则将会出现：

A 、速度变小； B、动能增大； C 、角速度变小； D、半径变大。

错解：当卫星受到阻力作用时，由于卫星克服阻力做功，故动能减小，速度变小，为了继续环绕地球，由于卫星速度V =故ω变小，可见应该选A 、C 、D 。

分析纠错：当卫星受到阻力作用后，其总机械能要减小，卫星必定只能降至低轨道上飞行，故R 减小。由V =项正确。

问题10：混淆稳定运动和变轨运动

例13、如图5-3所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是：

A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度； B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度； C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等候同一轨道上的c ；

D ．a 卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。错解：c 加速可追上b ，错选C 。

分析纠错：因为b 、c 在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小

均相等。又b 、c 轨道半径大于a 的轨道半径，由V =GM /r 知，V b =Vc 当c 加速时，c 受到的万有引力Fmv/r, 故它将偏离原轨道做向心运动。所以无论如何c 也追不上b ，b 也等不到c ，故C 选项错。对这一选项，不能用V =/r 来分析b 、c 轨道半径的变化情况。

对a 卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视为稳定运行，由V =GM /r 知，r 减小时V 逐渐增大，故D 选项正确。

V GM

可知，V 减小则半径R 必增大，又因ω=，

r r

可知，V 要增大，动能、角速度也要增大。可见只有B 选r

5-3

问题11：混淆连续物和卫星群

例14、根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群。可测出环中各层的线速度V 与该层到土星中心的距离R 之间的关系。下列判断正确的是：

A 、若V 与R 成正比，则环为连续物； B 、若V 与R 成正比，则环为小卫星群； C 、若V 与R 成反比，则环为连续物； D 、若V 与R 成反比，则环为小卫星群。错解：选BD 。

分析纠错：连续物是指和天体连在一起的物体，其角速度和天体相同，其线速度V 与r 成正比。而对卫星来讲，其线速度V /r ，即V 与r 的平方根成反比。由上面分析可知，连续物线速度V 与r 成正比；小卫星群V 与R 成反比。故选A 、D 。

【达标检测】

【基础练习】

1．可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道

①与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆 ②与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆

③与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的 ④与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的上述说法正确的是

A ．①② C ．②③④

B ．③④ D ．②③

2．下列关于地球同步通信卫星的说法中，正确的是

A ．为避免通信卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上

B ．通信卫星定点在地球上空某处，各个通信卫星的角速度相同，但线速度大小可以不同

C ．不同国家发射通信卫星的地点不同，这些卫星轨道不一定在同一平面内 D ．通信卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上

3．如图5-4所示，在同一轨道平面上，绕地球做圆周运动的卫星A 、B 和C ，某时刻恰好在同一直线上，当卫星B 运转一周时，下列说法正确的有

图5-4

A ．因为各卫星的角速度ωA ＝ωB ＝ωC ，所以各卫星仍在原位置上

B ．因为各卫星运转周期T A ＜T B ＜T C ，所以卫星A 超前于卫星B ，卫星C 滞后于卫星B C ．因为各卫星运转频率f A ＞f B ＞f C ，所以卫星A 滞后于卫星B ，卫星C 超前于卫星B D ．因为各卫星的线速度v A ＜v B ＜v C ，所以卫星A 超前于卫星B ，卫星C 滞后于卫星B 4．如图5-5所示，a 、b 、c 是地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造卫星，a 、b 质量相同，且小于c 的质量，下列判断正确的是

图5-5

A ． b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度 B ．b 、c 的周期相等，且小于a 的周期

C ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度 D ．b 所需的向心力最小

5．下列各组物理数据中，能够估算出月球质量的是

①月球绕地球运行的周期及月、地中心间的距离 ②绕月球表面运行的飞船的周期及月球的半径 ③绕月球表面运行的飞船的周期及线速度 ④月球表面的重力加速度以上结论正确的是 A ．①② C ．②③

B ．③④ D ．①④

6．土星外层上有一个环．为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系来判断：

①若v ∝R ，则该层是土星的一部分 ②若v 2∝R ，则该层是土星的卫星群

③若v ∝R ，则该层是土星的一部分 1

④若v 2∝R ，则该层是土星的卫星群

以上判断正确的是 A ．①② C ．②③

B ．③④ D ．①④

7．人造地球卫星运行时，其轨道半径为月球轨道平均半径的3，则此卫星运行的周期大约

是

A ．1 d～4 d之间

B ．4 d～8 d之间 D ．大于16 d

C ．8 d～16 d之间

8．某天体的半径为地球半径的2倍，质量为地球质量的1/8倍，则该天体的第一宇宙速度的大小为______．

9．我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的飞行轨道是不同的．“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为T 1＝12 h ；“风云二号”是同步轨道卫星，其轨道平面就是赤道平面，周期为T 2＝24 h．两颗卫星相比：______离地面较高；______运行速度大．若某天上午8点“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号” 下一次通过该小岛上空将是______．

10．宇宙飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站，可以采取的措施是

A ．只能从较低轨道上加速 B ．只能从较高轨道上加速

C ．只能从同空间同一高度轨道上加速 D ．无论在什么轨道上，只要加速都行

11．科学探测表明，月球上至少存在丰富的氧、硅、铝、铁等资源．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长期的开采后，月球和地球仍可看做均匀球体，

月球仍沿开采前的轨道运动，则与开采前相比

①地球与月球间的万有引力将变大 ②地球与月球间的万有引力将变小 ③月球绕地球运动的周期将变大 ④月球绕地球运动的周期将变小以上判断正确的是 A ．①③ C ．①④

B ．②④ D ．②③

12．一组太空人乘坐太空穿梭机，去修理位于离地球表面6.0×105 m 的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H ，机组人员使穿梭机S 进入与H 相同的轨道并关闭助推火箭，而望远镜则在穿梭机前方数公里处．如图5-6所示，设G 为引力常量而M 为地球质量（已知地球半径为6.4×106 m）

图5-6

（1）在穿梭机内，一质量为70 kg的太空人的视重是多少? （2）计算轨道上的重力加速度及穿梭机在轨道上的速率和周期．

（3）穿梭机须首先进入半径较小的轨道，才有较大的角速度追上望远镜，试判断穿梭机要进入较低轨道时应在原轨道上加速还是减速？说明理由．

13．1986年2月20日发射升空的“和平号”空间站，在服役15年后于2001年3月23日坠落在南太平洋．“和平号”风风雨雨15年铸就了辉煌业绩，已成为航天史上的永恒篇章．“和平号”空间站总质量137 t，工做容积超过400 m2，是迄今为止人类探索太空规模最大的航天器，有“人造天宫”之称．在太空运行的这一“庞然大物”按照地面指令准确溅落在预定海域，这在人类历史上还是第一次．“和平号”空间站正常运转时，距离地面的平均高度大约为350 km ．为保证空间站最终安全坠毁，俄罗斯航天局地面控制中心对空间站的运行做了精心安排和控制．在坠毁前空间站已经顺利进入指定的低空轨道，此时“和平号”距离地面

的高度大约为240 km．在“和平号”沿指定的低空轨道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低2.7 km ．设“和平号”空间站正常运转时沿高度为350 km圆形轨道运行，在坠落前沿高度为240 km 的指定圆形低空轨道运行，而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化很小，因此计算时对空间站的每一周的运动都可以做为匀速圆周运动处理．

（1）简要说明，为什么空间站在沿圆轨道正常运行过程中，其运动速率是不变的．（2）空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值多大? 计算结果保留2位有效数字．

（3）空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大? 计算中取地球半径R ＝6.4×103 km，计算结果保留1位有效数字．

14．海洋占地球面积的71%，它接受来自太阳的辐射能比陆地上要大得多，根据联合国教科文组织提供的材料，全世界海洋能的可再生量，从理论上说近800亿kW ，其中海洋潮汐能量含量巨大．海洋潮汐是由于月球和太阳引力的做用而引起的海水周期性涨落现象，理论

M 月

(r ) 月地证明：月球对海水的引潮力（f 潮）与(r 月地) 成反比，即：（f 潮），月与M 月成正比，月＝Ｋ

M 日

同理可证：（f 潮）日＝K (r 日地)

潮水潮汐能的大小随潮差而变，潮差越大则潮汐能越大．加拿大的芬迪湾、法国的塞纳河口、我国的钱塘江、印度和孟加拉国的恒河口等等，都是世界上潮差较大的地区．1980年我国建成的浙江温岭县江厦潮汐电站，其装机总容量为3000 kW，规模居世界第二，仅次于法国的朗斯潮汐电站．

已知地球半径为6.4×106 m，月球绕地球可近似看做圆周运动，估算月球到地心的距离r 月地＝？根据有关数字解释：为什么月球对潮汐现象起主要做用? （M 月＝7.35×1022 kg，M 日＝1.99×1030 kg，r 日地＝1.50×108 km）

【能力提高】

1．在地球（看做质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面的说法中正确的是

A ．它们的质量可能不同 B ．它们的速度可能不同 C ．它们的向心加速度可能不同 D ．它们离地心的距离可能不同

2．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3．轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点（如图5-7），则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是

图5-7

A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B ．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度

C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度 D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点的加速度

a 2b 2c

3．地球同步卫星到地心的距离r 可由r 2＝4 求出．已知式中a 的单位是m ，ｂ的单位

是s ，c 的单位是m/s2，则

A ．a 是地球半径，b 是地球自转的周期，c 是地球表面处的重力加速度 B ．a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是同步卫星的加速度 C ．a 是赤道周长，b 是地球自转周期，c 是同步卫星的加速度

D ．a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是地球表面处的重力加速度

4．把太阳系各行星的运动近似看做匀速圆周运动，则离太阳越远的行星

A ．周期越小 C ．角速度越小

B ．线速度越小 D ．加速度越小

5．某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力做用，绕地球运转的轨道会慢慢改变．每次测量中卫星的运动可近似看做圆周运动．某次测量卫星的轨道半径为r 1，后来变为r 2，r 2＜r 1，以E r1、E r2表示卫星在这两个轨道上的动能，T 1、T 2表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则

A ．E r2＜E r1，T 2＜T 1 C ．E r2＞E r1，T 2＜T 1

B ．E r2＜E r1，T 2＞T 1 D ．E r2＞E r1，T 2＞T 1

6．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动．由此能得到半径为R 、密度为ρ、质量为M 且均匀分布的星球的最小自转周期T ．下列表达式中正确的是

A ．T ＝2πC ．T ＝

B ．T ＝2π

3R 3/GM

/G ρ D ．T ＝π/G ρ

7．某人在半径为R 的星球上以速度v 0竖直上抛一物体，经时间t 物体落回抛出点．那么，飞船在该星球表面附近环绕星球做匀速圆周运动的速度应为___________．

【解析】该星球表面的重力加速度为

2v 0

g ＝t

飞船在该星球表面的环绕速度为

v 2

mg ＝m R

2Rv 0

gR =

t v ＝

2Rv 0

【答案】

8．图5-8为一名宇航员“漂浮”在地球外层空间的照片，根据照片展现的情景提出两个与物理知识有关的问题（所提的问题可以涉及力学、电磁学、热学、光学、原子物理学等各个部分．只需提出问题，不必做出回答和解释）：

图5-8

例：这名“漂浮”在空中的宇航员相对地球是运动还是静止的?

（1）______________________________________________________________ （2）______________________________________________________________

9．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球．经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离L ．若抛出时的初速增大到2倍，则抛出点与落地

点之间的距离为3L ．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G ．求该星球的质量M ．

10． 2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α＝40°，已知地球半径R 、地球自转周期T 、地球表面重力加速度g （视为常量）和光速c ．试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）．

11．一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g 行，行星的质量

R 行

M 与卫星的质量m 之比m ＝81，行星的半径R 行与卫星的半径R 卫之比R 卫＝3．6，行星

与卫星间的距离r 与行星的半径R 行之比R 行＝60．设卫星表面的重力加速度为g 卫，在卫

星表面有：

mg 卫2

G r

„„

经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的三千六百分之一．上述结果是否正确？若正确，列式证明；若错误，求出正确结果．

12．已知火星的半径为地球半径的一半，火星的质量为地球质量的1/9，已知一物体在地球上的重力比在火星上的重力大49 N，求这个物体的质量是多少．

参考答案：

【基础练习】

1.B 2.D 3.B 4.D 5.C 6.D 7.B 8. 1.98 km/s 9. “风云二号”；“风云一号”；第二天上午8点 10.A 11.B 12. 【解析】（1）穿梭机内的人处于完全失重状态，故视重为零．

Mm GM

（2）由mg ＝G r ，得g ＝r GM 2

则g ′＝r '

g 'r 2(6. 4⨯106) 2

=2=g r '(6. 0⨯105+6. 4⨯106) 2≈0.84

所以g ′＝0.84g ＝0.84×9.8 m/s2＝8.2 m/s2；

Mm v 2

=m 2

r ，由G r

GM GM , v '=r r ' 得v ＝

v 'r 6. 4⨯106

===0. 9656v 6. 0⨯10+6. 4⨯10'r

v ′＝0.96v ＝0.96×7.9 km/s＝7.6 km/s；

2πr

, T 由v ＝得： 2πr '

T ＝v

2⨯3. 14⨯(6. 4⨯106+6⨯105)

7. 6⨯103＝ s

≈5.8×103 s

Mm v 2

=m 2

r 知穿梭机要进入较低轨道，必须有万有引力大于穿梭机做圆周r （3）由G

v 2v 2Mm

运动所需向心力，故当v 减小时，m r 才减小，则G r ＞m r ，使穿梭机的轨道半径减

小．

v 2Mm 2

【答案】（1）0；（2）8.2 m/s2；7.6 km/s；5.8×103 s；（3）应减速，使G r ＞m r ，

从而使穿梭机靠近圆心，半径r 减小．

13.（1）空间站沿圆轨道运行过程中，仍受万有引力作用，所受到的万有引力与空间站运行方向垂直，引力对空间站不做功，因此空间站沿圆轨道运行过程中，其运行速率是不变的．

（2）不论空间站沿正常轨道运行，还是沿指定的低空轨道运行时，都是万有引力恰好

=ma 2

提供空间站运行时所需要的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G r

空间站运行时向心加速度是a ＝G r

空间站沿正常轨道运行时的加速度与在沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值是

a 1r 26. 642

=2=() =0. 9842=0. 97a 2r 16. 75

（3）万有引力提供空间站运行时的向心力，有

Mm 4π2

=mr 22r T G

=mg , 2R 不计地球自转的影响，根据G 有GM ＝R 2g

则空间站在指定的低空轨道空间站运行的周期为

r r 2πr

=2πr =2

GM R R g T ＝2πr

≈5.3×103 s

r 2⨯3. 14⨯6. 64⨯1064

=66. 4⨯10 s 6g 6. 4⨯10

=16

设一昼夜的时间t ，则每昼夜空间站在指定的低空轨道绕地球运行圈数为n ＝T

空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均减小

Δh ＝2.7 km/n＝2.7 km/16＝0.17 km．

【答案】（1）万有引力跟速度方向垂直，不改变速度大小，仅改变速度方向；（2）0.97；（3）0.2 km

14. 【解析】地球表面重力加速度g 和月球的公转周期T 可认为已知．

M 地

则：g ＝G R

①

M 地m 月

G r 月地

24π2

=m 月2r 月地

②

gR 2T 23() 2

由①②得：r 月地＝4π

代入数据得：r 月地＝3.84×105m

M 月r 日地37. 35⨯10221. 50⨯1083

=() =⨯() 305

(f ) M r 1. 99⨯103. 84⨯10日月地又因为：潮日≈2.18

即：月球的引潮力约是太阳引潮力的2.18倍，因此月球对潮汐起主要做用．

(f 潮) 月

(f ) 【答案】 3.84×10m ；潮日

=2. 18

【能力提高】

2Rv 0

t 1.A 2.BD 3.AD 4.BCD 5.C 6.AD 7.

8. 只要属于与照片情景有关的物理问题均可．例如（1）宇航员是否受地球吸引力作用? （2）此宇航员受力是否平衡? （3）宇航员背后的天空为什么是黑暗的?

9. 设抛出点的高度为h ，第一次水平位移为x ，则有x 2＋h 2＝L 2„①，同理对于第二次平抛

过程有：（2x ）2＋h 2＝（3L ）2„②，由①②解得h ＝

3．该行星上重力加速度为g ，由

1Mm

=mg 22

2R 平抛运动规律得：h ＝gt „③，由万有引力与牛顿第二定律得G „④，联立以

2LR 2

上各式可解得M ＝3Gt ．

10. 设m 为卫星质量，M 为地球质量，r 为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度，由万有引力定律和牛顿定律有

Mm 2

=mr ω2

G r

式中G 为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，有

2πMm

=mg 2

T R ω＝；因G 得：

R 2gT 23

() 22

GM ＝gR ，r ＝4π；设嘉峪关到同步卫星的距离为L ，由余弦定理L ＝L

r +R -2rR cos α，所求时间为t ＝c ，由以上各式得

1R 2gT 22/3R 2gT 232

() +R -2R () cos α22c 4π4πt ＝

Mm 2

11. G r ＝mg 卫中的g 卫并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动

的向心加速度．

正确的解法是：卫星表面的重力加速度为

g 卫＝G R 卫

行星表面的重力加速度为

g 行＝

M R 行

g 卫m R 行2

=⋅()

M R 卫＝0.16 所以 g 行

即g 卫＝0.16g 行．

12. 设质量为m 的物体在地球表面受到地球引力

M 0m

F 0＝G R 0

=mg

0．

质量为m 的物体在火星表面受到火星的引力

M 0m Mm 4M 0m 44=G =⋅=F =mg 0022R 999R R 0(0) 2

2F ＝G

则此物体在地表和火表的重力差．

ΔF ＝F 0－F ＝9F 0

ΔF ＝9F 0＝9mg 0

9∆F

所以m ＝5g 0＝9 kg

学科：物理复习内容：天体运动

预计用时：4-6学时

【考纲要求】

1．万有引力定律的应用、人造地球卫星的运动（限于轨道） II 2．宇宙速度 I

【知识网络】

【知识归纳】

【基础知识】

一、万有引力定律

1．万有引力定律的内容和公式

宇宙间的一切物体都是互相吸引的．两个物体间的引力的大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．

m 1m 2

公式：F ＝G r ，其中

G ＝6.67×10

－11

N·m 2/kg 2，叫引力常量．

二、应用万有引力定律分析天体的运动

1．基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．

Mm v 22π22

m =m ωR =m () R =m (2πf ) 2R 2

R T G R

应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算 2．天体质量M 、密度ρ的估算：

4π2Mm 22

测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径R 和周期T ，由G R ＝m T R 得M ＝M M 3πR 3

==3244π2R 3V 3GT R 0πR 0

3GT ， ρ＝．（R 0为天体的半径）

3π

当卫星沿天体表面绕天体运行时，R ＝R 0，则 ρ＝GT

3．卫星的绕行速度、角速度、周期与半径R 的关系

GM Mm v 2

=m 2

R 得v ＝R ，（1）由G R

所以R 越大，v 越小．

GM Mm

（2）由G R ＝m ω2R ，得ω＝R ，

所以R 越大，ω越小．

4π2R 3Mm 4π2

=m 2R 2

GM T （3）由G R 得T ＝

所以R 越大，T 越大． 4．三种宇宙速度

（1）第一宇宙速度（环绕速度）：v 1＝7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度．

1．重力和万有引力

重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的．物体的重力和地球对该物体的万

Mm 2

有引力差别很小，一般可认为二者大小相等．即mg ＝G R 0，式中g 为地球表面附近的重

v 1Mm

=G 2R R 0，也可以力加速度，R 0为地球的半径．所以在求第一宇宙速度时，可以用m 0

v 1

=mg R 用m 0．

2．随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度

对应的两个向心加速度的计算方法也不同：物体随地球自转的向心加速度a 1＝ω2R 0＝

(

2π2) R 0T ，式中T 为地球自转周期，R 0为地球半径；卫星绕地球环绕运行的向心加速度ɑ2

GM 2

＝r ，式中M 为地球质量，r 为卫星与地心的距离．

3．运行速度和发射速度

GM v 2GM

m 2

r ，该速度指的是人造地球卫星在轨r ＝m r 得v ＝对于人造地球卫星，由

【例题解析】

问题1：会讨论重力加速度g 随离地面高度h 的变化情况。

例1、设地球表面的重力加速度为g, 物体在距地心4R （R 是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g , ，则g/g, 为

A 、1； B 、1/9； C 、1/4； D 、1/16。分析与解：因为g= G

M , M

,g = G, 所以g/g, =1/16,即D 选项正确。 22R (R +3R )

问题2：会用万有引力定律求天体的质量。

通过观天体卫星运动的周期T 和轨道半径r 或天体表面的重力加速度g 和天体的半径R ，就可以求出天体的质量M 。

例2、已知地球绕太阳公转的轨道半径r=1.49⨯1011m, 公转的周期T= 3.16⨯107s, 求太阳的质量M 。

分析与解：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得： G

Mm 2

=mr(2π/T) 2r

M=4π2r 3/GT2=1.96 ⨯1030kg.

分析与解：设抛出点的高度为h, 第一次平抛的水平射程为x, 则有 x 2+h2=L2

由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到2x, 可得

（2x ）2+h2=(3L) 2

设该星球上的重力加速度为g ，由平抛运动的规律得： h=

gt 2

由万有引力定律与牛顿第二定律得： mg= G

23LR 2

联立以上各式解得M=。 2

3Gt

问题3：会用万有引力定律求卫星的高度。

通过观测卫星的周期T 和行星表面的重力加速度g 及行星的半径R 可以求出卫星的高度。

例4、已知地球半径约为R=6.4⨯106m, 又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约 m.(结果只保留一位有效数字) 。

分析与解：因为mg= G

Mm Mm

，而G =mr(2π/T)2 22R r

所以，r=

gR 2T 28=410m. ⨯2

4π

问题4：会用万有引力定律计算天体的平均密度。

通过观测天体表面运动卫星的周期T ，，就可以求出天体的密度ρ。

例5、如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T ，则可估算此恒星的密度为多少?

分析与解：设此恒星的半径为R ，质量为M ，由于卫星做匀速圆周运动，则有

Mm 4π24π2R 3

G 2=mR2, 所以，M= 2

R T GT

而恒星的体积V=

4M 3π

πR 3，所以恒星的密度ρ==。 23V GT

例6、一均匀球体以角速度ω绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？

分析与解：设球体质量为M ，半径为R ，设想有一质量为m 的质点绕此球体表面附近做匀速圆周运动，则

Mm 224=mωR, 所以，ωπG ρ。 00=2

43ω23ω2

由于ω≤ω0得ω≤πG ρ，则ρ≥，即此球的最小密度为。

34πG 4πG

问题5：会用万有引力定律推导恒量关系式。

例7、行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的卫星运转周期是T ，试证明：ρT 2是一个常量，即对任何行星都相同。

4π2R 3

证明：因为行星的质量M=（R 是行星的半径），行星的体积 2

GT 4M 3π

， πR 3，所以行星的平均密度ρ==2

3V GT

3π

即ρT 2=，是一个常量，对任何行星都相同。

r 3

例8、设卫星做圆周运动的轨道半径为r, 运动周期为T ，试证明：2是一个常数，即

r 3

对于同一天体的所有卫星来说，2均相等。

Mm r 3GM r 32

证明：由G 2= mr(2π/T)得2=，即对于同一天体的所有卫星来说，2均2

4πr T T

相等。

问题6：会求解卫星运动与光学问题的综合题

分析与解：设所求的时间为t ，用m 、M 分别表示卫星和地球的质量，r 表示卫星到地心的距离. 有

mM 2π2

=mr ()

T r 2

图5-1

地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它. 据此再考虑到对称性，有

r sin θ=R

2θ

T 2πM

G 2=g R t =

4π2R 3

由以上各式可解得 t =a r c s 2)

πgT

V a Mm

错解：卫星运行所受的万有引力提供向心力，在近地点时，有G 2=m ，在远

a a

V b 2V Mm a b

地点时有G 2=m ，上述两式相比得a =，故V b =a 。

b b b V b a

V a 2V b 2V Mm Mm b

近地点时有G 2=m ，在远地点时有G 2=m ，上述两式相比得a =，故

R R a b V b a a

V b =V a 。

A 、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。

图5-2

B 、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。 C 、卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2

上经过Q 点时的加速度。

D 、卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3

上经过P 点时的加速度。

Mm V 2GM 2

错解：因为G 2=mr ω=m ，所以V=，

r r r

ω=

，即B 选项正确，A 选项错误。 r 3

因为卫星在轨道1上经过Q 点时的速度等于它在轨道2上经过Q 点时的速度，而在

V 2V 2Q 点轨道的曲率半径r 1a 2=，即C 选项正确。

r 2r 1

分析纠错：B 选项正确，但C 选项错误。根据牛顿第二定律可得a =

F GM

=2，即卫m r

星的加速度a 只与卫星到地心的距离r 有关，所以C 选项错误，D 选项正确。

问题9：错误认为卫星克服阻力做功后，卫星轨道半径将变大。

例12、一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作用则将会出现：

A 、速度变小； B、动能增大； C 、角速度变小； D、半径变大。

分析纠错：当卫星受到阻力作用后，其总机械能要减小，卫星必定只能降至低轨道上飞行，故R 减小。由V =项正确。

问题10：混淆稳定运动和变轨运动

例13、如图5-3所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是：

D ．a 卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。错解：c 加速可追上b ，错选C 。

分析纠错：因为b 、c 在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小

V GM

可知，V 减小则半径R 必增大，又因ω=，

r r

可知，V 要增大，动能、角速度也要增大。可见只有B 选r

5-3

问题11：混淆连续物和卫星群

【达标检测】

【基础练习】

1．可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道

①与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆 ②与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆

A ．①② C ．②③④

B ．③④ D ．②③

2．下列关于地球同步通信卫星的说法中，正确的是

A ．为避免通信卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上

B ．通信卫星定点在地球上空某处，各个通信卫星的角速度相同，但线速度大小可以不同

C ．不同国家发射通信卫星的地点不同，这些卫星轨道不一定在同一平面内 D ．通信卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上

3．如图5-4所示，在同一轨道平面上，绕地球做圆周运动的卫星A 、B 和C ，某时刻恰好在同一直线上，当卫星B 运转一周时，下列说法正确的有

图5-4

A ．因为各卫星的角速度ωA ＝ωB ＝ωC ，所以各卫星仍在原位置上

图5-5

A ． b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度 B ．b 、c 的周期相等，且小于a 的周期

C ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度 D ．b 所需的向心力最小

5．下列各组物理数据中，能够估算出月球质量的是

B ．③④ D ．①④

6．土星外层上有一个环．为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系来判断：

①若v ∝R ，则该层是土星的一部分 ②若v 2∝R ，则该层是土星的卫星群

③若v ∝R ，则该层是土星的一部分 1

④若v 2∝R ，则该层是土星的卫星群

以上判断正确的是 A ．①② C ．②③

B ．③④ D ．①④

7．人造地球卫星运行时，其轨道半径为月球轨道平均半径的3，则此卫星运行的周期大约

是

A ．1 d～4 d之间

B ．4 d～8 d之间 D ．大于16 d

C ．8 d～16 d之间

8．某天体的半径为地球半径的2倍，质量为地球质量的1/8倍，则该天体的第一宇宙速度的大小为______．

10．宇宙飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站，可以采取的措施是

A ．只能从较低轨道上加速 B ．只能从较高轨道上加速

C ．只能从同空间同一高度轨道上加速 D ．无论在什么轨道上，只要加速都行

月球仍沿开采前的轨道运动，则与开采前相比

B ．②④ D ．②③

图5-6

（1）在穿梭机内，一质量为70 kg的太空人的视重是多少? （2）计算轨道上的重力加速度及穿梭机在轨道上的速率和周期．

（3）穿梭机须首先进入半径较小的轨道，才有较大的角速度追上望远镜，试判断穿梭机要进入较低轨道时应在原轨道上加速还是减速？说明理由．

（3）空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大? 计算中取地球半径R ＝6.4×103 km，计算结果保留1位有效数字．

M 月

(r ) 月地证明：月球对海水的引潮力（f 潮）与(r 月地) 成反比，即：（f 潮），月与M 月成正比，月＝Ｋ

M 日

同理可证：（f 潮）日＝K (r 日地)

【能力提高】

1．在地球（看做质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面的说法中正确的是

A ．它们的质量可能不同 B ．它们的速度可能不同 C ．它们的向心加速度可能不同 D ．它们离地心的距离可能不同

图5-7

A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B ．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度

C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度 D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点的加速度

a 2b 2c

3．地球同步卫星到地心的距离r 可由r 2＝4 求出．已知式中a 的单位是m ，ｂ的单位

是s ，c 的单位是m/s2，则

D ．a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是地球表面处的重力加速度

4．把太阳系各行星的运动近似看做匀速圆周运动，则离太阳越远的行星

A ．周期越小 C ．角速度越小

B ．线速度越小 D ．加速度越小

A ．E r2＜E r1，T 2＜T 1 C ．E r2＞E r1，T 2＜T 1

B ．E r2＜E r1，T 2＞T 1 D ．E r2＞E r1，T 2＞T 1

A ．T ＝2πC ．T ＝

B ．T ＝2π

3R 3/GM

/G ρ D ．T ＝π/G ρ

【解析】该星球表面的重力加速度为

2v 0

g ＝t

飞船在该星球表面的环绕速度为

v 2

mg ＝m R

2Rv 0

gR =

t v ＝

2Rv 0

【答案】

图5-8

例：这名“漂浮”在空中的宇航员相对地球是运动还是静止的?

（1）______________________________________________________________ （2）______________________________________________________________

点之间的距离为3L ．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G ．求该星球的质量M ．

11．一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g 行，行星的质量

R 行

M 与卫星的质量m 之比m ＝81，行星的半径R 行与卫星的半径R 卫之比R 卫＝3．6，行星

与卫星间的距离r 与行星的半径R 行之比R 行＝60．设卫星表面的重力加速度为g 卫，在卫

星表面有：

mg 卫2

G r

„„

经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的三千六百分之一．上述结果是否正确？若正确，列式证明；若错误，求出正确结果．

12．已知火星的半径为地球半径的一半，火星的质量为地球质量的1/9，已知一物体在地球上的重力比在火星上的重力大49 N，求这个物体的质量是多少．

参考答案：

【基础练习】

Mm GM

（2）由mg ＝G r ，得g ＝r GM 2

则g ′＝r '

g 'r 2(6. 4⨯106) 2

=2=g r '(6. 0⨯105+6. 4⨯106) 2≈0.84

所以g ′＝0.84g ＝0.84×9.8 m/s2＝8.2 m/s2；

Mm v 2

=m 2

r ，由G r

GM GM , v '=r r ' 得v ＝

v 'r 6. 4⨯106

===0. 9656v 6. 0⨯10+6. 4⨯10'r

v ′＝0.96v ＝0.96×7.9 km/s＝7.6 km/s；

2πr

, T 由v ＝得： 2πr '

T ＝v

2⨯3. 14⨯(6. 4⨯106+6⨯105)

7. 6⨯103＝ s

≈5.8×103 s

Mm v 2

=m 2

r 知穿梭机要进入较低轨道，必须有万有引力大于穿梭机做圆周r （3）由G

v 2v 2Mm

运动所需向心力，故当v 减小时，m r 才减小，则G r ＞m r ，使穿梭机的轨道半径减

小．

v 2Mm 2

【答案】（1）0；（2）8.2 m/s2；7.6 km/s；5.8×103 s；（3）应减速，使G r ＞m r ，

从而使穿梭机靠近圆心，半径r 减小．

（2）不论空间站沿正常轨道运行，还是沿指定的低空轨道运行时，都是万有引力恰好

=ma 2

提供空间站运行时所需要的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G r

空间站运行时向心加速度是a ＝G r

空间站沿正常轨道运行时的加速度与在沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值是

a 1r 26. 642

=2=() =0. 9842=0. 97a 2r 16. 75

（3）万有引力提供空间站运行时的向心力，有

Mm 4π2

=mr 22r T G

=mg , 2R 不计地球自转的影响，根据G 有GM ＝R 2g

则空间站在指定的低空轨道空间站运行的周期为

r r 2πr

=2πr =2

GM R R g T ＝2πr

≈5.3×103 s

r 2⨯3. 14⨯6. 64⨯1064

=66. 4⨯10 s 6g 6. 4⨯10

=16

设一昼夜的时间t ，则每昼夜空间站在指定的低空轨道绕地球运行圈数为n ＝T

空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均减小

Δh ＝2.7 km/n＝2.7 km/16＝0.17 km．

【答案】（1）万有引力跟速度方向垂直，不改变速度大小，仅改变速度方向；（2）0.97；（3）0.2 km

14. 【解析】地球表面重力加速度g 和月球的公转周期T 可认为已知．

M 地

则：g ＝G R

①

M 地m 月

G r 月地

24π2

=m 月2r 月地

②

gR 2T 23() 2

由①②得：r 月地＝4π

代入数据得：r 月地＝3.84×105m

M 月r 日地37. 35⨯10221. 50⨯1083

=() =⨯() 305

(f ) M r 1. 99⨯103. 84⨯10日月地又因为：潮日≈2.18

即：月球的引潮力约是太阳引潮力的2.18倍，因此月球对潮汐起主要做用．

(f 潮) 月

(f ) 【答案】 3.84×10m ；潮日

=2. 18

【能力提高】

2Rv 0

t 1.A 2.BD 3.AD 4.BCD 5.C 6.AD 7.

9. 设抛出点的高度为h ，第一次水平位移为x ，则有x 2＋h 2＝L 2„①，同理对于第二次平抛

过程有：（2x ）2＋h 2＝（3L ）2„②，由①②解得h ＝

3．该行星上重力加速度为g ，由

1Mm

=mg 22

2R 平抛运动规律得：h ＝gt „③，由万有引力与牛顿第二定律得G „④，联立以

2LR 2

上各式可解得M ＝3Gt ．

10. 设m 为卫星质量，M 为地球质量，r 为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度，由万有引力定律和牛顿定律有

Mm 2

=mr ω2

G r

式中G 为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，有

2πMm

=mg 2

T R ω＝；因G 得：

R 2gT 23

() 22

GM ＝gR ，r ＝4π；设嘉峪关到同步卫星的距离为L ，由余弦定理L ＝L

r +R -2rR cos α，所求时间为t ＝c ，由以上各式得

1R 2gT 22/3R 2gT 232

() +R -2R () cos α22c 4π4πt ＝

Mm 2

11. G r ＝mg 卫中的g 卫并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动

的向心加速度．

正确的解法是：卫星表面的重力加速度为

g 卫＝G R 卫

行星表面的重力加速度为

g 行＝

M R 行

g 卫m R 行2

=⋅()

M R 卫＝0.16 所以 g 行

即g 卫＝0.16g 行．

12. 设质量为m 的物体在地球表面受到地球引力

M 0m

F 0＝G R 0

=mg

0．

质量为m 的物体在火星表面受到火星的引力

M 0m Mm 4M 0m 44=G =⋅=F =mg 0022R 999R R 0(0) 2

2F ＝G

则此物体在地表和火表的重力差．

ΔF ＝F 0－F ＝9F 0

ΔF ＝9F 0＝9mg 0

9∆F

所以m ＝5g 0＝9 kg

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