数学拓展训练之四

数学拓展训练之四（相似三角形）

1. 比例线段

①如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例.

②a,b,c,d 四个实数成比例可写成，其中b ，c 称做，

a ，d 称做 ③比例有如下基本性质：④一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。例1. 根据下列条件，求m ∶n 的值. (1) 3m =4n ； (2)

例2. 已知

x +y +z x y z

例3. 已知==，求的值.

x +y -z 234

2y +3x 3

=，求x ∶y 的值.

5y -3x 5

m n =. 53

例4. 如图，在△ABC 中，CD ，CE 是△ABC 上的高线，找出图中的一组比例线段，并说明理由．

2. 由平行线截得的比例线段

两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。例5. 如图，AB ‖CD ‖MN, 点M,N 分别在线段AD,BC 上。

DM AM DM

=____;=______;=_____.

AD AD (1)AM

(2)若AD=5，AM=3，CN=1.5，求BC=______. 练习：

（1）如图，在⊿ABC 中，DE ∥BC,AD=EC,BD=4，AE=3.则

（2）如图，AB 与CD 相交于点E ，AD ∥BC,

BE 3

= ,CE=2.则CD=_______. AE 4

3. 相似三角形

根据相似三角形的定义，你能归纳出相似三角形的性质吗？

性质：相似三角形的对应角

例6. 如图,D,E 分别是△ABC 的AB,AC 边上的点，△ADE ∽△ACB. ∠ADE ＝∠C ，AD ＝2cm,DB ＝

4cm,AC ＝10cm, 求AE 的长.

变式1. 如图,D 是△ABC 的边AB 上的点, △ACD ∽△ABC. ∠ACD ＝∠B ，AD ＝9cm, BD＝7cm,

求AC 的长.

变式2. 如图,D 、E 分别是△ABC 的边BA 、CA 延长线上的点, 点D 与点C 是对应点.

△ADE ∽△ACB.

AD ＝2 cm,AB＝6 cm,AC＝ 4 cm,求AE 的长.

4. 相似三角形的判定

（1）三角形相似判定的预备定理

预备定理：___________________的直线和其他两边(或延长线) 相交，所构成的

三角形与原三角形相似．

（2）三角形相似的判定方法

定理1：的两个三角形相似．定理2：的两个三角形相似．定理3：的两个三角形相似．例7．如图所示，AB ∥CD ∥EF ，AD ，BC 相交于点O ，找出图中的相似三角形．

例8. 如图所示，已知AB ∥CD ，AD ，BC 相交于E ，F 为EC 上一点，且∠EAF ＝∠C ，

求证：AF 2＝FE ·FB .

例9. 如图，BD,CE 是⊿ABC 的两条高线，∠A=600，求证：⊿ADE ∽ ⊿ABC

例10. 如图，已知O 为⊿ABC 内一点，A ’，B ’，C ’分别为OA ，OB ，OC 的中点，

求证：⊿A ’B ’C ’ ∽ ⊿ABC

例11. 如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F. 若AD ＝3，AB ＝5，求：

AG （1；

（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；（3）△ADE 与△ABC 的面积之比.

结论:相似三角形的周长之比等于____________，面积之比等于____________。