11. 坐标法
坐标法是解析几何最基本的方法，它的思路是，通过建立平面坐标系(直角坐标系或极坐标系等) ，把几何问题转化为代数问题(或代数问题转化为几何问题) ，从而利用代数知识(或解析几何知识) 使问题得以解决．
(一) 坐标法解证几何题
例1 在△ABC 中，已知BC=a，CA=b，AB=c，S 为三角形面
【证明】 如图2－1，以边AB 的中点O 为坐标系原点、AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，设A 、B 、C 的坐标分别为(-m，0) 、(m，0) 、(p，q)(m＞0，q ＞0) ，则a 2=|BC|2=(m-p)2＋q 2=m2+p2＋q 2-2mp ，b 2=|AC|2=(p＋m) 2＋q 2=p2＋m 2＋q 2-2mp ，c 2=4m2，S ＝mq ．
例2 已知：AB 是半圆的直径，且AB=2r，直线L 与BA
的延长
与L 的距离分别为MP 、NQ ，且MP=MA，NQ=NA．求证：AM ＋AN=AB． 【分析】 由|MA|=|MP|和|NA|=|NQ|，知M 、N 在以A 为焦点的抛物线上，因此M 、N 是半圆与抛物线的两个交点，从而本题可考虑用直角坐标法和极坐标法求解．
【证法1】 如图2－2，以AT 的中点O 为坐标原点，射线OB 为x 轴的正方向，建立直角坐标系．
∴ M、N 是以A 为焦点，L 为准线的抛物线上的点． ∵ p=|AT|=2a，
∴ 抛物线的方程为
y 2=4ax ①
由已知，得半圆的方程为
[x-(a+r)]2＋y 2=r2(y≥
0) ②
把①代入②中，整理，得
x 2-2(r-a)x＋a 2+2ar=0．
设M 、N 两点的横坐标分别为x 1、x 2，则
x 1+x2=2r-2a．
∵ |AM|+|NA|=a＋x 1＋a ＋x 2 ＝2a ＋2r-2a ＝2r ， ∴ |AM|＋|AN|=|AB|．
【证法2】 如图2－2，以A 为极点，射线AB 为极轴，建立极坐标系，则半圆的方程为
∴ M、N 在以A 为极点、L 为准线的抛物线上． 又p=|AT|=2a，
从①、②中消去cos θ，得
ρ2-2r ρ+4ar＝0．
从而由韦达定理，得
|MA|＋|NA|=ρ1＋ρ2=2r．
故 |AM|＋|AN|＝|AB|．
【解说】 由以上两例，可总结出坐标法解证几何题的思路模式图为：
(二) 坐标法解证代数题
【证明】 由已知条件，得 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋
y
直线的距离不大于半径，即
∴ (z-a)2≤a 2-2z 2，又a ＞0，
【解说】 本例利用方程的几何意义，把已知条件转化为直线与圆的位置，从而由点到直线的距离公式，使问题获解．
【证明】 如图2－3，建立直角坐标系，设圆O 的半径为1． ∵ α、β是方程acos θ＋bsin θ=c在(0，π) 内的两个根， ∴ acosα＋bsin α=c，acos β＋bsin β=c，
从而点A(cosα，sin α) ，B(cosβ，sin β) 是直线ax+by=c与⊙O 的两个交点．
【解说】 由以上两例，可总结出坐标法解证代数题的思路模式为：
【巩固练习】
用坐标法解证下列各题：
1．在锐角△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且|AD|=|BC|，M 是BC 的中点，H 是垂心，求证：|MH|＋|HD|=|BM|．
2．在锐角△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，H 为AD 上一点，BH 、CH 分别交AC 、AB 于E 、F ，求证：∠EDA=∠ADF ．
3．在△ABC 中，AB=AC，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AC 于E ，M 是DE 的中点，求证：AM ⊥BE ．
6．关于θ的方程 acosθ＋bsin θ=0(a2＋b 2≠0) 有两个相异实根α、β，m 、n ∈R ，求证：
巩固练习答案或提示
1．以D 为坐标原点，DC 为x 轴，DA 为y 轴，设点B(b，0) 、
2．以D 为原点，DC 为x 轴，DA 为y 轴，设点A 、B 、C 、H
坐标分别为(0，a) 、(b，0) 、(c，0) 、(0，h) ，则直线AC 的方程为
3．以D 为原点，DC 为x 轴、DA 为y 轴，设A 、B 、C 的坐标
如图2－4，当直线y=x-u过点A(1，0) 时，u=1．当直线与半圆相切
5．在直角坐标系中，设M(1，2) 、P(sinθ，cos θ) ，则P 为⊙O ：x 2+y2=1上任一点，f(θ) 为MP 的斜率，由图(图由读者自画) 易知，过M 作⊙O 的两条切线中，斜率存在的那一条直线的斜率，即为所求的最小值．
设这切线的方程为y-2=k(x-1)，则由点到直线的距离公式，可得
k=
6．由已知可得，直线 ax＋by=0与单位圆x 2＋y 2=1有两个不同的交点A(cosα，sin α) 、B(cosβ，sin β) ，又P(m，n) 是任一点，则|PA|＋|PB|≥|AB|＝2，即
11. 坐标法
坐标法是解析几何最基本的方法，它的思路是，通过建立平面坐标系(直角坐标系或极坐标系等) ，把几何问题转化为代数问题(或代数问题转化为几何问题) ，从而利用代数知识(或解析几何知识) 使问题得以解决．
(一) 坐标法解证几何题
例1 在△ABC 中，已知BC=a，CA=b，AB=c，S 为三角形面
【证明】 如图2－1，以边AB 的中点O 为坐标系原点、AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，设A 、B 、C 的坐标分别为(-m，0) 、(m，0) 、(p，q)(m＞0，q ＞0) ，则a 2=|BC|2=(m-p)2＋q 2=m2+p2＋q 2-2mp ，b 2=|AC|2=(p＋m) 2＋q 2=p2＋m 2＋q 2-2mp ，c 2=4m2，S ＝mq ．
例2 已知：AB 是半圆的直径，且AB=2r，直线L 与BA
的延长
与L 的距离分别为MP 、NQ ，且MP=MA，NQ=NA．求证：AM ＋AN=AB． 【分析】 由|MA|=|MP|和|NA|=|NQ|，知M 、N 在以A 为焦点的抛物线上，因此M 、N 是半圆与抛物线的两个交点，从而本题可考虑用直角坐标法和极坐标法求解．
【证法1】 如图2－2，以AT 的中点O 为坐标原点，射线OB 为x 轴的正方向，建立直角坐标系．
∴ M、N 是以A 为焦点，L 为准线的抛物线上的点． ∵ p=|AT|=2a，
∴ 抛物线的方程为
y 2=4ax ①
由已知，得半圆的方程为
[x-(a+r)]2＋y 2=r2(y≥
0) ②
把①代入②中，整理，得
x 2-2(r-a)x＋a 2+2ar=0．
设M 、N 两点的横坐标分别为x 1、x 2，则
x 1+x2=2r-2a．
∵ |AM|+|NA|=a＋x 1＋a ＋x 2 ＝2a ＋2r-2a ＝2r ， ∴ |AM|＋|AN|=|AB|．
【证法2】 如图2－2，以A 为极点，射线AB 为极轴，建立极坐标系，则半圆的方程为
∴ M、N 在以A 为极点、L 为准线的抛物线上． 又p=|AT|=2a，
从①、②中消去cos θ，得
ρ2-2r ρ+4ar＝0．
从而由韦达定理，得
|MA|＋|NA|=ρ1＋ρ2=2r．
故 |AM|＋|AN|＝|AB|．
【解说】 由以上两例，可总结出坐标法解证几何题的思路模式图为：
(二) 坐标法解证代数题
【证明】 由已知条件，得 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋
y
直线的距离不大于半径，即
∴ (z-a)2≤a 2-2z 2，又a ＞0，
【解说】 本例利用方程的几何意义，把已知条件转化为直线与圆的位置，从而由点到直线的距离公式，使问题获解．
【证明】 如图2－3，建立直角坐标系，设圆O 的半径为1． ∵ α、β是方程acos θ＋bsin θ=c在(0，π) 内的两个根， ∴ acosα＋bsin α=c，acos β＋bsin β=c，
从而点A(cosα，sin α) ，B(cosβ，sin β) 是直线ax+by=c与⊙O 的两个交点．
【解说】 由以上两例，可总结出坐标法解证代数题的思路模式为：
【巩固练习】
用坐标法解证下列各题：
1．在锐角△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且|AD|=|BC|，M 是BC 的中点，H 是垂心，求证：|MH|＋|HD|=|BM|．
2．在锐角△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，H 为AD 上一点，BH 、CH 分别交AC 、AB 于E 、F ，求证：∠EDA=∠ADF ．
3．在△ABC 中，AB=AC，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AC 于E ，M 是DE 的中点，求证：AM ⊥BE ．
6．关于θ的方程 acosθ＋bsin θ=0(a2＋b 2≠0) 有两个相异实根α、β，m 、n ∈R ，求证：
巩固练习答案或提示
1．以D 为坐标原点，DC 为x 轴，DA 为y 轴，设点B(b，0) 、
2．以D 为原点，DC 为x 轴，DA 为y 轴，设点A 、B 、C 、H
坐标分别为(0，a) 、(b，0) 、(c，0) 、(0，h) ，则直线AC 的方程为
3．以D 为原点，DC 为x 轴、DA 为y 轴，设A 、B 、C 的坐标
如图2－4，当直线y=x-u过点A(1，0) 时，u=1．当直线与半圆相切
5．在直角坐标系中，设M(1，2) 、P(sinθ，cos θ) ，则P 为⊙O ：x 2+y2=1上任一点，f(θ) 为MP 的斜率，由图(图由读者自画) 易知，过M 作⊙O 的两条切线中，斜率存在的那一条直线的斜率，即为所求的最小值．
设这切线的方程为y-2=k(x-1)，则由点到直线的距离公式，可得
k=
6．由已知可得，直线 ax＋by=0与单位圆x 2＋y 2=1有两个不同的交点A(cosα，sin α) 、B(cosβ，sin β) ，又P(m，n) 是任一点，则|PA|＋|PB|≥|AB|＝2，即