正定Hermite矩阵的性质aa

Journal of Southwest University for Nationalities⋅Natural Science Edition ___________________________________________________________________

文章编号: 1003-2843(2010)01-0016-05

第36卷第1期

西南民族大学学报·自然科学版

Jan. 2010

正定Hermite 矩阵的性质

刘兴祥, 黄美愿

(延安大学数学与计算机科学学院, 陕西延安 716000)

摘 要：Hermite 矩阵在酉空间、酉变换及复二次型中都有很重要的地位. 一方面是对称矩阵的自然推广；另一方面它在复矩阵中的地位相当于实数在复数中的地位. 文中主要给出正定Hermite 矩阵子式阵正定性的判定、正定Hermite 矩阵行列式、迹的多个不等式以及有关Hadamard 乘积的行列式的不等式, 同时也给出正定Hermite 二次型的标准型. 关键词：正定Hermite 矩阵; 行列式; 迹; 子式阵; 不等式; 正定Hermite 二次型 中图分类号: O241. 6 文献标识码: A

1 引言

Hermite 矩阵是在研究酉空间时给出的, 与欧几里德空间中实对称矩阵一样, 因而也可以说实对称矩阵是

它的特例. Hermite 矩阵与正定矩阵是矩阵理论中比较重要的概念, 它们在数学、物理中有许多重要的应用. 以下对正定Hermite 矩阵若干性质以及正定Hermite 二次型的共轭相合标准型进行研究.

在以下文中约定：A 表示A 的共轭转置、A 表示A 的转置、A 表示A 的共轭、det A 表示A 的行列式、

H

T

trA 表示A 的迹、I 表示单位矩阵、F r m ×n 表示数域F 上秩为r 的m ×n 阶矩阵、C 表示复数域.

2 预备知识

定义1[1,2] 设

A ∈C n ×n , A =A H ，则称A 为n 阶Hermite 矩阵. 如果对任意X ∈C n ×1且X ≠0, 都有

X H AX >0, 则称A 为n 阶正定的Hermite 矩阵.

T

定义2[3] 设A 为n 阶Hermite 矩阵, 记X =(x 1, " , x n ) ∈C n ×1, 则称

f (x 1, " , x n ) =a 1111+a 1212+" +a 1n 1x n

+a 21x 2x 1+a 22x 2x 2+" +a 2n x 2x n +" +a n 1x n x 1+a n 2x n x 2+" +a nn x n x n

=

∑∑

i =1

n n

a ij i x j =X

H

A X .

j =1

为n 元Hermite 二次型, 并称A 为n 元Hermite 二次型f (x 1, " , x n ) 的矩阵, 同时称A 的秩为n 元

Hermite 二次型f (x 1, " , x n ) 的秩. 如果对任意0≠X =(x 1, " , x n ) T ∈C n ×1, 都有f (x 1, " , x n ) =X H A X >0, 则称f 为n 阶正定Hermite 二次型.

n ×n H

定义3[4] 设A , B ∈C n ×n , 如果存在P ∈C n 有P AP =B , 那么就称B 共轭相合于A (也称A 与B 共轭

相合).

n ×n

定义4 设正定的Hermite 二次型f (X ) 与f (Y ) 的矩阵分别为A 与B , 且存在P ∈C n 有P H AP =B , 则称

___________________________

收稿日期：2009-12-05

作者简介：刘兴祥(1964-), 陕西合阳人, 延安大学副教授, 研究方向: 矩阵理论及其在数学建模中的应用.

第1期 线性变换X =PY 为共轭相合变换.

⎡i 1" i k ⎤

定义5 设A ∈F , A 的k (1≤k ≤n −1) 阶子式det A ⎢⎥(其中1≤i 1≤i 2≤" ≤i k ≤n ,

" j j k ⎦⎣1

k

1≤j 1≤j 2≤" ≤j k ≤n ) 作元素构成的s =C n 阶矩阵称为A 的k 阶子式阵, 其记做

[5]

n ×n

⎡⎡i " i k ⎤⎤

C k (A ) =⎢det A ⎢1⎥. ⎥

⎣j 1" j k ⎦⎦⎣

H H

定义6[1,10] 一个满足条件A A =AA =I 的矩阵A ∈C n ×n 叫做酉矩阵. 定义7[6] 设A , B ∈C m ×n , 则称

⎡a 11b 11" a 1n b 1n ⎤

⎥∈n ×n 为A 和B 的Hadamard 积(或schur 积).

A D B =⎢#%#⎢⎥C

⎢⎣a 11b 11" a mn b mn ⎥⎦

H n ×n

引理1[3] Hermite 二次型f (X ) =X AX 经线性变换X =CY (其中C ∈C n ) 仍化成Hermite 二次型,

且其秩不变.

引理2[1] 设A ∈C n ×n 为Hermite 矩阵, 则A 是正定Hermite 矩阵当且仅当存在P ∈C n

n ×n

H

n ×n

有A =P P .

H

引理3[7] 设P ∈C n , 若A ∈C n ×n 为正定的Hermite 矩阵, 则P AP 也为正定的Hermite 矩阵. 引理4[6] 设A ∈C n ×n , 则C k (A H ) =[C k (A )]H .

引理5[5] 设A , B ∈C n ×n , 则C k (AB ) =C k (A ) C k (B ) , 且A 与C k (A ) 的可逆性相同. 引理6[6] 设A 、B ∈C n ×n 为正定Hermite 矩阵, 则B A 的所有特征值是正的.

引理7[8] 设A 、B ∈C n ×n 为正定的Hermite 矩阵, 则存在酉矩阵P ∈C n ×n , 使得P AP 和P BP 同为对角阵, 当且仅当AB =BA .

引理8[9] (Minkowski 不等式) 若实数x i , y i 非负, 且0

n

1p

n

1p

n

1p

H

H

−1

[∑(x i +y i ) p ]≥[∑x i ]+[∑y i ].

p

p

i =1

i =1

i =1

引理9[9] 若实数x i , y i 非负, 且1≤p ≤2, 则

∑(x +y )

i

i

n

p

∑(x +y )

i

i

i =1

i =1n

≤

∑x ∑x

i =1i =1n

i

n

p

i

+

p −1

∑y ∑y

i =1i =1n

i

n

p

i p −1

.

p −1

引理10

[8]

若A 、B ∈C

n ×n

为正定Hermite 矩阵, 且tr (A ) >0, tr (B ) >0, 则

tr (A +B ) 2tr (A ) 2tr (B ) 2

. ≤+

tr (A +B ) tr (B ) 2tr (B )

引理11[6] 对于任何A ∈C n ×n 及α∈R , 均有tr (αA ) =αtr (A ) .

n ×n

,2, " , n ) 为正定Hermite 矩阵, 则 引理12[8] 设A =(a ij ), B =(b ij ) ∈C (i , j =1

det A det B ≤det(A D B ) ≤(∏a kk )(∏b kk ) .

k =1

k =1

n

n

3 主要结果

3.1 正定Hermite 二次型

西南民族大学学报·自然科学版

H

×n

定理1 正定Hermite 二次型f (X ) =X AX 经线性变换X =CY [C ∈C n n ], 仍化成正定Hermite 二次

型, 且其秩不变.

证明 由引理1知f (Y ) 仍为Hermite 二次型且其秩不变. 又因为

f (X ) =X H AX =(CY ) H A (CY ) =Y H (C H AC ) Y =f (Y )

当f (X ) 为正定Hermite 二次型时, 由定义2知：对任意X =(x 1, " , x n ) T ∈C n ×1且X ≠0, 都有

f (x 1, " , x n ) =X H AX >0. 而当Y =(y 1, " , y n ) T ∈C n ×1且Y ≠0时, X =CY ∈C n ×1 , 且X ≠0.

故f (Y ) =(CY ) A (CY ) =X AX =f (X ) >0. 即f (Y ) 也为正定Hermite 二次型. 因此当f (X ) 为正定

H

H

Hermite 二次型时, f (Y ) 也为正定Hermite 二次型.

H n ×n

定理2 正定Hermite 二次型f (X ) =X A X 都可经过共轭相合变换X =PY , P ∈C n , 化成共轭相合标准

型f (Y ) =y 1y 1+y 2y 2+" +y n y n .

n ×n ×n

证明 由引理2知, 存在P ∈C n 有A =P P , 即A =P IP , I =(P ) AP . 即存在P =Q ∈C n n , 使得

H H −1H −1−1

I =Q H AQ .

令 X =QY , 则f (X ) =X AX =(QY ) A (QY )

H

H

=Y H (Q H AQ ) Y =Y H IY =Y H Y =y 1y 1+y 2y 2+" +y n y n

即 f (Y ) =y 1y 1+y 2y 2+" +y n y n .

因为每个正定Hermite 二次型完全被它的系数矩阵(正定Hermite 矩阵) 所确定, 所以研究正定Hermite 二次型同研究正定Hermite 矩阵是相当的. 3.2 正定Hermite 矩阵

定理3 共轭相合的两个Hermite 矩阵A 与B 有相同的正定性.

证明 由n 阶Hermite 矩阵A 、B 共轭相合可得, 存在P ∈C n , 使得B =P AP 由引理3可得, A 与B 有相同的正定性.

定理4 正定Hermite 矩阵A 的k 阶子式阵C k (A ) 仍为正定Hermite 矩阵.

证明 由于A 为Hermite 矩阵, 即A =A . 故C k (A ) =C k (A ) =[C k (A )], 再由定义1知：C k (A ) 为

n ×n H Hermite 矩阵．又因为A 为正定Hermite 矩阵, 所以由引理2知：存在P ∈C n , 使得A =P P . 从而

H

n ×n

H

H H

C k (A ) =C k (P H P ) =C k (P H ) C k (P ) =[C k (P )]H C k (P )

因此, 结合引理4与引理2可得：C k (A ) 也为正定Hermite 矩阵. 定理5 设A 、B ∈C n ×n 为正定Hermite 矩阵, 则

det[tA +(1−t ) B ]≥(detA ) t (detB ) 1−t , t ∈[0,1].

证明 因为A 、B 均为Hermite 矩阵, 且t ∈[0,1], 所以tA +(1−t ) B 仍为Hermite 矩阵. 从而, det [tA +(1−t ) B ],detA ,det B 均为实数, 故不等式有意义.

令C =B A , 则由引理6可得：C 有正特征值λ1, λ2, " , λn . 将不等式左边变形为：

−1

det[B (tB −1A +(1−t ) I )]=det[tC +(1−t ) I ]

于是不等式等价于：

det[tC +(1−t ) I ]≥(detA ) t (detB −1) t =[det(B A ) ]=(detC )

−1

t

t

n

t ∈[0,1].

n

将行列式表示成特征值的乘积可进一步得到等价形式：∏[t λi +(1−t )]≥∏λi t , t ∈[0,1].

i =1

i =1

为此只须证明t λ+(1−t ) ≥λt , t ∈[0,1].

第1期 此不等式是成立的, 因为它可以写成

tf (1)+(1−t ) f (0)≥f (t ), t ∈[0,1]

而f (t ) =λ是凸函数, 当t =0或 t =1时取等号. 推论1 设A 、B 为n 阶正定Hermite 矩阵, 则det(证明 当t =

t

A +B

≥det A det B . 2

1

时, 由定理5可直接得出结论. 2

1

注释 特殊的当t =, 且A =[a ], B =[b ] a , b >0时, 推论1中的不等式变形为：

2

a +b

≥, a , b >0． 2

此不等式也就是我们中学阶段所学过的均值不等式.

定理6 设A 、B 、C 为n 阶正定Hermite 矩阵, 且满足AB =BA , A +B

m

m

=C m m ∈Z +, 则

(1)(trA ) +(trB ) ≤(trC ) ；

m m m

tr (C m +1) tr (B m +1) tr (A m +1)

≤+. (2)

trC trB trA

证明 (1)由引理7可得：存在酉矩阵P ∈C n

n ×n

, 使得A 0=P AP 和B 0=P BP 同为对角阵. 记

H H

C 0=P H CP , 则易知：A 0m +B 0m =C 0m . 分别设 A 0m , B 0m , C 0m 对角线上的元素依次为：λA 1, " , λAn ,

λB 1, " , λBn , λC 1, " , λCn ．

由A 、B 、C 的正定性知：C 0酉相似于对角线上元素依次为：(λC 1) , " ,(λCn ) 的对角阵. 故 (trC ) =(trC 0) =[再由引理8可得：

m

m

1m 1m

∑(λ

i =1

n

n

Ai

+λBi ) ].

1m m

n

1m m

n

1m m

1m m

(trC ) =(trC 0) =[∑(λAi +λBi ) ]≥[∑(λAi ) ]+[∑(λBi ) ]

m

m

i =1

i =1

i =1

=(trA 0) m +(trB 0) m =(trA ) m +(trB ) m ．

(2)因为

tr (W )

=trW

m +1

∑(λ

i =1n i =1

n

Wi

)

m +1m 1m

, (W =A , B , C ) ,

∑(λ

Wi

)

则由(1)的证明过程中可得：

tr (C m +1)

=trC

由引理9可得：

∑(λ

i =1n i =1

n

C

i

)

m +1m 1m

=

∑(λ

i =1n i =1

n

A

i

+λi )

B

m +1m 1m

．

∑(λ

C

i

)

∑(λ

A

i

+λi B )

tr (C m +1)

=trC

∑(λ

i =1n i =1

n

C

i

)

m +1m

∑(λ

i

1C m

=

∑(λ

i =1n i =1

n

A

i

+λi )

B

m +1m

)

∑(λ

A

i

+λi )

1B m

西南民族大学学报·自然科学版

≤

∑(λ

i =1

n i =1

n

A

i

)

m +1m

∑(λ

n

i

1A m

+

∑(λ

i =1n i =1

n

B

i

)

m +1m

)

∑(λ

i

1B m

)

tr (A m +1) tr (B m +1) =+.

trA trB

定理7 设A ,2, " , k ) 为n 阶正定Hermite 矩阵, i (i =1λi ∈R +(i =1, 2, " , n ) 为实数, 则

tr (∑λi A i ) 2tr (∑λi A i )

i =1i =1

n

tr (A i ) 2

≤∑λi .

tr (A ) i =1i

n

利用引理10、引理11及数学归纳法可以证明.

定理8 设A i ∈C n ×n (i =1,2, " , k ) 为正定Hermite 阵, A i =(a st ) (s , t =1, 2, " , n ) , 则

(i )

∏det A ≤det(A D A D"D A ) ≤∏(∏a

i

1

2

k k n

(i )

k jj

) .

i =1i =1j =1

利用引理12及数学归纳法可以证明.

4 结束语

总之, 从正定Hermite 矩阵出发, 探讨了有关正定Hermite 二次型的共轭相合标准型、正定Hermite 矩阵

行列式、迹的多个不等式, 以及与共轭相合有关的重要性质. 当然, 正定Hermite 矩阵和正定Hermite 二次型在实际生活中也有着广泛的理论应用, 例如在控制论、优化理论、微分方程等, 这又有待于进一步的探讨.

参考文献：

[1] 方保　, 周继东, 李医民. 矩阵论[M]. 北京: 清华大学出版社, 2004: 62-117.

[2] ROGER A. HORN AND R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Posts and Telecom Press, 2005:167-176. [3] 万志超, 李兆强. Hermite 二次型的标准型[J]. 重庆科技学院学报: 自然科学版, 2009, 11(1): 129-136. [4] 张贤科, 许甫华. 高等代数[M]. 北京: 清华大学出版社, 1997: 221-292.

[5] 蒋忠樟. 高等代数典型问题研究[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 109-172. [6] 陈景良, 陈向晖. 特殊矩阵[M]. 北京: 清华大学出版社, 2000: 45-207.

[7] 任芳国, 冯孝周. 浅谈Hermite 矩阵的学习[J]. 陕西师范大学继续教育学报(西安), 2004, 21(3): 102-105. [8] 王桂松, 吴密霞, 贾忠贞. 矩阵不等式[M]. 北京: 科学出版社, 2006: 12-136.

[9] 郑锡陆. 实正定和反对称矩阵若干不等式[J]. 杭州师范学院学报: 自然科学版, 2006, 5(1): 29-30. [10] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数[M]. 3版. 北京: 高等教育出版社, 2006.

Properties of positive definite Hermite matrix

LIU Xing-xiang, HUANG Mei-yuan

(Department of Mathematics and Computer Science,Yan’an University, Yan’an 716000, P.R.C.)

Abstract:Hermite matrix holds an important position in unitary space, unitary transformation and complex quadratic form. On the one hand, it is the natural generalization of the real symmetry matrix; on the other hand, its role of complex matrix is equivalent to the real numbers in the plural. This paper presents the judgment of positive definite sub-type array of positive definite Hermite matrix, several determinant and trace inequalities of positive definite Hermite matrix, as well as a determinant inequality for Hadamard products of positive definite Hermite . Finally standard form of positive definite Hermite matrix is discussed in this paper.

form Key words: positive definiteHermite matrix; determinant; trace; sub-type array; positive definite Hermite quadratic

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文章编号: 1003-2843(2010)01-0016-05

第36卷第1期

西南民族大学学报·自然科学版

Jan. 2010

正定Hermite 矩阵的性质

刘兴祥, 黄美愿

(延安大学数学与计算机科学学院, 陕西延安 716000)

摘 要：Hermite 矩阵在酉空间、酉变换及复二次型中都有很重要的地位. 一方面是对称矩阵的自然推广；另一方面它在复矩阵中的地位相当于实数在复数中的地位. 文中主要给出正定Hermite 矩阵子式阵正定性的判定、正定Hermite 矩阵行列式、迹的多个不等式以及有关Hadamard 乘积的行列式的不等式, 同时也给出正定Hermite 二次型的标准型. 关键词：正定Hermite 矩阵; 行列式; 迹; 子式阵; 不等式; 正定Hermite 二次型 中图分类号: O241. 6 文献标识码: A

1 引言

Hermite 矩阵是在研究酉空间时给出的, 与欧几里德空间中实对称矩阵一样, 因而也可以说实对称矩阵是

它的特例. Hermite 矩阵与正定矩阵是矩阵理论中比较重要的概念, 它们在数学、物理中有许多重要的应用. 以下对正定Hermite 矩阵若干性质以及正定Hermite 二次型的共轭相合标准型进行研究.

在以下文中约定：A 表示A 的共轭转置、A 表示A 的转置、A 表示A 的共轭、det A 表示A 的行列式、

H

T

trA 表示A 的迹、I 表示单位矩阵、F r m ×n 表示数域F 上秩为r 的m ×n 阶矩阵、C 表示复数域.

2 预备知识

定义1[1,2] 设

A ∈C n ×n , A =A H ，则称A 为n 阶Hermite 矩阵. 如果对任意X ∈C n ×1且X ≠0, 都有

X H AX >0, 则称A 为n 阶正定的Hermite 矩阵.

T

定义2[3] 设A 为n 阶Hermite 矩阵, 记X =(x 1, " , x n ) ∈C n ×1, 则称

f (x 1, " , x n ) =a 1111+a 1212+" +a 1n 1x n

+a 21x 2x 1+a 22x 2x 2+" +a 2n x 2x n +" +a n 1x n x 1+a n 2x n x 2+" +a nn x n x n

=

∑∑

i =1

n n

a ij i x j =X

H

A X .

j =1

为n 元Hermite 二次型, 并称A 为n 元Hermite 二次型f (x 1, " , x n ) 的矩阵, 同时称A 的秩为n 元

Hermite 二次型f (x 1, " , x n ) 的秩. 如果对任意0≠X =(x 1, " , x n ) T ∈C n ×1, 都有f (x 1, " , x n ) =X H A X >0, 则称f 为n 阶正定Hermite 二次型.

n ×n H

定义3[4] 设A , B ∈C n ×n , 如果存在P ∈C n 有P AP =B , 那么就称B 共轭相合于A (也称A 与B 共轭

相合).

n ×n

定义4 设正定的Hermite 二次型f (X ) 与f (Y ) 的矩阵分别为A 与B , 且存在P ∈C n 有P H AP =B , 则称

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收稿日期：2009-12-05

作者简介：刘兴祥(1964-), 陕西合阳人, 延安大学副教授, 研究方向: 矩阵理论及其在数学建模中的应用.

第1期 线性变换X =PY 为共轭相合变换.

⎡i 1" i k ⎤

定义5 设A ∈F , A 的k (1≤k ≤n −1) 阶子式det A ⎢⎥(其中1≤i 1≤i 2≤" ≤i k ≤n ,

" j j k ⎦⎣1

k

1≤j 1≤j 2≤" ≤j k ≤n ) 作元素构成的s =C n 阶矩阵称为A 的k 阶子式阵, 其记做

[5]

n ×n

⎡⎡i " i k ⎤⎤

C k (A ) =⎢det A ⎢1⎥. ⎥

⎣j 1" j k ⎦⎦⎣

H H

定义6[1,10] 一个满足条件A A =AA =I 的矩阵A ∈C n ×n 叫做酉矩阵. 定义7[6] 设A , B ∈C m ×n , 则称

⎡a 11b 11" a 1n b 1n ⎤

⎥∈n ×n 为A 和B 的Hadamard 积(或schur 积).

A D B =⎢#%#⎢⎥C

⎢⎣a 11b 11" a mn b mn ⎥⎦

H n ×n

引理1[3] Hermite 二次型f (X ) =X AX 经线性变换X =CY (其中C ∈C n ) 仍化成Hermite 二次型,

且其秩不变.

引理2[1] 设A ∈C n ×n 为Hermite 矩阵, 则A 是正定Hermite 矩阵当且仅当存在P ∈C n

n ×n

H

n ×n

有A =P P .

H

引理3[7] 设P ∈C n , 若A ∈C n ×n 为正定的Hermite 矩阵, 则P AP 也为正定的Hermite 矩阵. 引理4[6] 设A ∈C n ×n , 则C k (A H ) =[C k (A )]H .

引理5[5] 设A , B ∈C n ×n , 则C k (AB ) =C k (A ) C k (B ) , 且A 与C k (A ) 的可逆性相同. 引理6[6] 设A 、B ∈C n ×n 为正定Hermite 矩阵, 则B A 的所有特征值是正的.

引理7[8] 设A 、B ∈C n ×n 为正定的Hermite 矩阵, 则存在酉矩阵P ∈C n ×n , 使得P AP 和P BP 同为对角阵, 当且仅当AB =BA .

引理8[9] (Minkowski 不等式) 若实数x i , y i 非负, 且0

n

1p

n

1p

n

1p

H

H

−1

[∑(x i +y i ) p ]≥[∑x i ]+[∑y i ].

p

p

i =1

i =1

i =1

引理9[9] 若实数x i , y i 非负, 且1≤p ≤2, 则

∑(x +y )

i

i

n

p

∑(x +y )

i

i

i =1

i =1n

≤

∑x ∑x

i =1i =1n

i

n

p

i

+

p −1

∑y ∑y

i =1i =1n

i

n

p

i p −1

.

p −1

引理10

[8]

若A 、B ∈C

n ×n

为正定Hermite 矩阵, 且tr (A ) >0, tr (B ) >0, 则

tr (A +B ) 2tr (A ) 2tr (B ) 2

. ≤+

tr (A +B ) tr (B ) 2tr (B )

引理11[6] 对于任何A ∈C n ×n 及α∈R , 均有tr (αA ) =αtr (A ) .

n ×n

,2, " , n ) 为正定Hermite 矩阵, 则 引理12[8] 设A =(a ij ), B =(b ij ) ∈C (i , j =1

det A det B ≤det(A D B ) ≤(∏a kk )(∏b kk ) .

k =1

k =1

n

n

3 主要结果

3.1 正定Hermite 二次型

西南民族大学学报·自然科学版

H

×n

定理1 正定Hermite 二次型f (X ) =X AX 经线性变换X =CY [C ∈C n n ], 仍化成正定Hermite 二次

型, 且其秩不变.

证明 由引理1知f (Y ) 仍为Hermite 二次型且其秩不变. 又因为

f (X ) =X H AX =(CY ) H A (CY ) =Y H (C H AC ) Y =f (Y )

当f (X ) 为正定Hermite 二次型时, 由定义2知：对任意X =(x 1, " , x n ) T ∈C n ×1且X ≠0, 都有

f (x 1, " , x n ) =X H AX >0. 而当Y =(y 1, " , y n ) T ∈C n ×1且Y ≠0时, X =CY ∈C n ×1 , 且X ≠0.

故f (Y ) =(CY ) A (CY ) =X AX =f (X ) >0. 即f (Y ) 也为正定Hermite 二次型. 因此当f (X ) 为正定

H

H

Hermite 二次型时, f (Y ) 也为正定Hermite 二次型.

H n ×n

定理2 正定Hermite 二次型f (X ) =X A X 都可经过共轭相合变换X =PY , P ∈C n , 化成共轭相合标准

型f (Y ) =y 1y 1+y 2y 2+" +y n y n .

n ×n ×n

证明 由引理2知, 存在P ∈C n 有A =P P , 即A =P IP , I =(P ) AP . 即存在P =Q ∈C n n , 使得

H H −1H −1−1

I =Q H AQ .

令 X =QY , 则f (X ) =X AX =(QY ) A (QY )

H

H

=Y H (Q H AQ ) Y =Y H IY =Y H Y =y 1y 1+y 2y 2+" +y n y n

即 f (Y ) =y 1y 1+y 2y 2+" +y n y n .

因为每个正定Hermite 二次型完全被它的系数矩阵(正定Hermite 矩阵) 所确定, 所以研究正定Hermite 二次型同研究正定Hermite 矩阵是相当的. 3.2 正定Hermite 矩阵

定理3 共轭相合的两个Hermite 矩阵A 与B 有相同的正定性.

证明 由n 阶Hermite 矩阵A 、B 共轭相合可得, 存在P ∈C n , 使得B =P AP 由引理3可得, A 与B 有相同的正定性.

定理4 正定Hermite 矩阵A 的k 阶子式阵C k (A ) 仍为正定Hermite 矩阵.

证明 由于A 为Hermite 矩阵, 即A =A . 故C k (A ) =C k (A ) =[C k (A )], 再由定义1知：C k (A ) 为

n ×n H Hermite 矩阵．又因为A 为正定Hermite 矩阵, 所以由引理2知：存在P ∈C n , 使得A =P P . 从而

H

n ×n

H

H H

C k (A ) =C k (P H P ) =C k (P H ) C k (P ) =[C k (P )]H C k (P )

因此, 结合引理4与引理2可得：C k (A ) 也为正定Hermite 矩阵. 定理5 设A 、B ∈C n ×n 为正定Hermite 矩阵, 则

det[tA +(1−t ) B ]≥(detA ) t (detB ) 1−t , t ∈[0,1].

证明 因为A 、B 均为Hermite 矩阵, 且t ∈[0,1], 所以tA +(1−t ) B 仍为Hermite 矩阵. 从而, det [tA +(1−t ) B ],detA ,det B 均为实数, 故不等式有意义.

令C =B A , 则由引理6可得：C 有正特征值λ1, λ2, " , λn . 将不等式左边变形为：

−1

det[B (tB −1A +(1−t ) I )]=det[tC +(1−t ) I ]

于是不等式等价于：

det[tC +(1−t ) I ]≥(detA ) t (detB −1) t =[det(B A ) ]=(detC )

−1

t

t

n

t ∈[0,1].

n

将行列式表示成特征值的乘积可进一步得到等价形式：∏[t λi +(1−t )]≥∏λi t , t ∈[0,1].

i =1

i =1

为此只须证明t λ+(1−t ) ≥λt , t ∈[0,1].

第1期 此不等式是成立的, 因为它可以写成

tf (1)+(1−t ) f (0)≥f (t ), t ∈[0,1]

而f (t ) =λ是凸函数, 当t =0或 t =1时取等号. 推论1 设A 、B 为n 阶正定Hermite 矩阵, 则det(证明 当t =

t

A +B

≥det A det B . 2

1

时, 由定理5可直接得出结论. 2

1

注释 特殊的当t =, 且A =[a ], B =[b ] a , b >0时, 推论1中的不等式变形为：

2

a +b

≥, a , b >0． 2

此不等式也就是我们中学阶段所学过的均值不等式.

定理6 设A 、B 、C 为n 阶正定Hermite 矩阵, 且满足AB =BA , A +B

m

m

=C m m ∈Z +, 则

(1)(trA ) +(trB ) ≤(trC ) ；

m m m

tr (C m +1) tr (B m +1) tr (A m +1)

≤+. (2)

trC trB trA

证明 (1)由引理7可得：存在酉矩阵P ∈C n

n ×n

, 使得A 0=P AP 和B 0=P BP 同为对角阵. 记

H H

C 0=P H CP , 则易知：A 0m +B 0m =C 0m . 分别设 A 0m , B 0m , C 0m 对角线上的元素依次为：λA 1, " , λAn ,

λB 1, " , λBn , λC 1, " , λCn ．

由A 、B 、C 的正定性知：C 0酉相似于对角线上元素依次为：(λC 1) , " ,(λCn ) 的对角阵. 故 (trC ) =(trC 0) =[再由引理8可得：

m

m

1m 1m

∑(λ

i =1

n

n

Ai

+λBi ) ].

1m m

n

1m m

n

1m m

1m m

(trC ) =(trC 0) =[∑(λAi +λBi ) ]≥[∑(λAi ) ]+[∑(λBi ) ]

m

m

i =1

i =1

i =1

=(trA 0) m +(trB 0) m =(trA ) m +(trB ) m ．

(2)因为

tr (W )

=trW

m +1

∑(λ

i =1n i =1

n

Wi

)

m +1m 1m

, (W =A , B , C ) ,

∑(λ

Wi

)

则由(1)的证明过程中可得：

tr (C m +1)

=trC

由引理9可得：

∑(λ

i =1n i =1

n

C

i

)

m +1m 1m

=

∑(λ

i =1n i =1

n

A

i

+λi )

B

m +1m 1m

．

∑(λ

C

i

)

∑(λ

A

i

+λi B )

tr (C m +1)

=trC

∑(λ

i =1n i =1

n

C

i

)

m +1m

∑(λ

i

1C m

=

∑(λ

i =1n i =1

n

A

i

+λi )

B

m +1m

)

∑(λ

A

i

+λi )

1B m

西南民族大学学报·自然科学版

≤

∑(λ

i =1

n i =1

n

A

i

)

m +1m

∑(λ

n

i

1A m

+

∑(λ

i =1n i =1

n

B

i

)

m +1m

)

∑(λ

i

1B m

)

tr (A m +1) tr (B m +1) =+.

trA trB

定理7 设A ,2, " , k ) 为n 阶正定Hermite 矩阵, i (i =1λi ∈R +(i =1, 2, " , n ) 为实数, 则

tr (∑λi A i ) 2tr (∑λi A i )

i =1i =1

n

tr (A i ) 2

≤∑λi .

tr (A ) i =1i

n

利用引理10、引理11及数学归纳法可以证明.

定理8 设A i ∈C n ×n (i =1,2, " , k ) 为正定Hermite 阵, A i =(a st ) (s , t =1, 2, " , n ) , 则

(i )

∏det A ≤det(A D A D"D A ) ≤∏(∏a

i

1

2

k k n

(i )

k jj

) .

i =1i =1j =1

利用引理12及数学归纳法可以证明.

4 结束语

总之, 从正定Hermite 矩阵出发, 探讨了有关正定Hermite 二次型的共轭相合标准型、正定Hermite 矩阵

行列式、迹的多个不等式, 以及与共轭相合有关的重要性质. 当然, 正定Hermite 矩阵和正定Hermite 二次型在实际生活中也有着广泛的理论应用, 例如在控制论、优化理论、微分方程等, 这又有待于进一步的探讨.

参考文献：

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Properties of positive definite Hermite matrix

LIU Xing-xiang, HUANG Mei-yuan

(Department of Mathematics and Computer Science,Yan’an University, Yan’an 716000, P.R.C.)

Abstract:Hermite matrix holds an important position in unitary space, unitary transformation and complex quadratic form. On the one hand, it is the natural generalization of the real symmetry matrix; on the other hand, its role of complex matrix is equivalent to the real numbers in the plural. This paper presents the judgment of positive definite sub-type array of positive definite Hermite matrix, several determinant and trace inequalities of positive definite Hermite matrix, as well as a determinant inequality for Hadamard products of positive definite Hermite . Finally standard form of positive definite Hermite matrix is discussed in this paper.

form Key words: positive definiteHermite matrix; determinant; trace; sub-type array; positive definite Hermite quadratic