因材施教，分层教学案例分析
作者：卢浩 殷金俊
来源：《理科考试研究·高中》2014年第02期
解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废.据此笔者认为：解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维. 即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关.
一、判别式——解题时时显神功
案例1 已知双曲线C∶y22-x22=1，直线l过点A（2，0），斜率为k，当0
分析1 解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与l平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式Δ=0. 由此出发，可设计如右解题思路：
解题过程略.
分析2 如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线l的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路： 简解 设点M（x，2+x2）为双曲线C上支上任一点，则点M到直线l的距离为： |kx-2+x2-2k|k2+1
=2 （0
于是，问题即可转化为如上关于x的方程.
由于0|x|>kx，从而有
|kx-2+x2-2k|=-kx+2+x2+2k.
于是关于x的方程（*）
-kx+2+x2+2=2（k2+1）
（2+x2）2=（2（k2+1））-2k+kx）2，
2（k2+1）-2+kx>0
（k2-1）x2+2k（2（k2+1）-2k）x
+（2（k2+1）-2k）2-2=0，
2（k2+1）-2k+kx>0.
由0
方程（k2-1）x2+2k（2（k2+1）-2）x+（2（k2+1）-2）2-2=0的二根同正，故2（k2+1）-2k+kx>0恒成立，于是（*）等价于（k2-1）x2+2k（2（k2+1）-2k）x+（2（k2+1）-2k）2-2=0. 由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式Δ=0，就可解得k=255.
点评 上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.
二、判别式与韦达定理——二者联用显奇效
案例2 已知椭圆C： x2+2y2=8和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使APPB=-AQQB，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.
分析 这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手.其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.
由于点Q（x，y）的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将x，y与k联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：APPB=-AQQB来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到x=4（xA+xB）-2xAxB8-（xA+xB），要建立x与k的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经 做到心中有数.
在得到x=f（k）之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于x，y的方程（不含k），则可由y=k（x-4）+1解得k=
y-1x-4，直接代入x=f（k）即可得到轨迹方程.从而简化消去参数的过程.
简解 设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），则由APPB=-AQQB可得 ：4-x1x2-4=x-x1x2-x，
解之得：x=4（x1+x2）-2x1x28-（x1+x2）. （1）
设直线AB的方程为：y=k（x-4）+1，代入椭圆C的方程，消去y得出关于x的一元二次方程：
（2k2+1）x2+4k（1-4k）x+2（1-4k）2-8=0. （2）
因材施教，分层教学案例分析
作者：卢浩 殷金俊
来源：《理科考试研究·高中》2014年第02期
解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废.据此笔者认为：解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维. 即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关.
一、判别式——解题时时显神功
案例1 已知双曲线C∶y22-x22=1，直线l过点A（2，0），斜率为k，当0
分析1 解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与l平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式Δ=0. 由此出发，可设计如右解题思路：
解题过程略.
分析2 如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线l的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路： 简解 设点M（x，2+x2）为双曲线C上支上任一点，则点M到直线l的距离为： |kx-2+x2-2k|k2+1
=2 （0
于是，问题即可转化为如上关于x的方程.
由于0|x|>kx，从而有
|kx-2+x2-2k|=-kx+2+x2+2k.
于是关于x的方程（*）
-kx+2+x2+2=2（k2+1）
（2+x2）2=（2（k2+1））-2k+kx）2，
2（k2+1）-2+kx>0
（k2-1）x2+2k（2（k2+1）-2k）x
+（2（k2+1）-2k）2-2=0，
2（k2+1）-2k+kx>0.
由0
方程（k2-1）x2+2k（2（k2+1）-2）x+（2（k2+1）-2）2-2=0的二根同正，故2（k2+1）-2k+kx>0恒成立，于是（*）等价于（k2-1）x2+2k（2（k2+1）-2k）x+（2（k2+1）-2k）2-2=0. 由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式Δ=0，就可解得k=255.
点评 上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.
二、判别式与韦达定理——二者联用显奇效
案例2 已知椭圆C： x2+2y2=8和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使APPB=-AQQB，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.
分析 这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手.其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.
由于点Q（x，y）的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将x，y与k联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：APPB=-AQQB来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到x=4（xA+xB）-2xAxB8-（xA+xB），要建立x与k的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经 做到心中有数.
在得到x=f（k）之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于x，y的方程（不含k），则可由y=k（x-4）+1解得k=
y-1x-4，直接代入x=f（k）即可得到轨迹方程.从而简化消去参数的过程.
简解 设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），则由APPB=-AQQB可得 ：4-x1x2-4=x-x1x2-x，
解之得：x=4（x1+x2）-2x1x28-（x1+x2）. （1）
设直线AB的方程为：y=k（x-4）+1，代入椭圆C的方程，消去y得出关于x的一元二次方程：
（2k2+1）x2+4k（1-4k）x+2（1-4k）2-8=0. （2）