工程矩阵理论试卷样卷10c
一、已知矩阵A = 1、证明：V 是C
2⨯2
⎛11⎫2⨯22⨯2
⎪，C 的子集V =X AX =O , X ∈C
⎝-1-1⎭
{}
的子空间；
2、求V 的一组基及V 的维数；
3、证明A ∈V ，并求A 在上小题所提基下的坐标； 4、试给出C
2⨯2
2⨯2
=V ⊕W =V ⊕W ' 的两个不同的子空间W 及W ' ，使得C
解：1、设x , y ∈V ，k ∈F
A (x +y ) =Ax +Ay =O A (kx ) =k (Ax ) =O
所以，V 对加法和数乘封闭，故V 是C
2⨯2
的子空间。
⎛a b ⎫
2、设X = ⎪
c d ⎝⎭
⎛11⎫⎛11⎫⎛a b ⎫⎛a +c b +d ⎫X = ⎪ ⎪⋅ ⎪= ⎪=O
⎝-1-1⎭⎝-1-1⎭⎝c d ⎭⎝-a -c -b -d ⎭
b ⎫⎧a +c =0⎛a ⎛10⎫⎛01⎫ ⎨ X = ⎪，所以V 的基为α1= ⎪, α2= ⎪，2维。
b +d =0-a -b -100-1⎩⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3、A =
⎛11⎫⎛10⎫⎛01⎫
=1⋅+1⋅⎪ ⎪ ⎪，A 在α1, α2下的坐标为(1, 1) 。
⎝-1-1⎭⎝-10⎭⎝0-1⎭
⊥2⨯2
=V ⊕W ，则有4、V 实际为A 核子空间，V =K (A ) ，令W =V 即可构成C
（此处概念有点不清楚，是否正确，请周老师W =V ⊥=K ⊥(A ) =R (A H ) =A H 的极大线性无关组。指教！） A
H
⎛1-1⎫⎛1⎫H
A ，的极大线性无关组为= ⎪ ⎪。
⎝1-1⎭⎝1⎭
⎛2a c ⎫ ⎪
二、假设3维线性空间V 上的线性变换f 在V 的基α1, α2, α3下的矩阵为J = 02b ⎪。问：当a , b , c , d
00-1⎪⎝⎭⎛200⎫
⎪
满足什么条件时，存在V 的一组基，使得f 的矩阵是K = 2d 0⎪？
222⎪⎝⎭
解：
J 、K 为同一线性变换下的矩阵，故J ∽K ，有相同的jordan 标准形，相同的特征值，相同的迹，
相同的秩。
⎛200⎫
⎪
根据J 、K 迹相同(即主对角元素的和相同) 得：d =-1，K = 2-10⎪，
222⎪⎝⎭
λ-2
λI -K =-2
-2
00
0=(λ+1)(λ-2) 2，
λ-2
λ+1
-2
⎛000⎫⎛-100⎫ ⎪ ⎪
λ=2时，r (2I -K ) =r -230⎪=2，求得J K = 021⎪
-2-20⎪ 002⎪⎝⎭⎝⎭
λ-2
λI -J =
-a -c
-b =(λ+1)(λ-2) 2 λ+1
λ-2
⎛0-a -c ⎫ ⎪
λ=2时，r (2I -J ) =r 00-b ⎪=2
003⎪⎝⎭
∴b ≠0，a =c =0 或b =0，ac ≠0
三、设矩阵A =
⎛11⎫2⨯22⨯2
C f ，上的变换定义如下： f (X ) =XA , ∀X ∈C ⎪
⎝-1-1⎭
1、证明：f 是线性变换； 2、求f 在C
2⨯2
⎛10⎫⎛01⎫⎛00⎫⎛00⎫
的基E 11= ⎪E 12= ⎪E 21= ⎪E 22= ⎪下的矩阵M ；
00001001⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3、求f 的值域R (f ) 及核子空间K (f ) 的基及它们的维数；
4、试求M 的jordan 标准形，并写出f 的最小多项式； 5、问：能否找到C 2⨯2
的基，使得f 的矩阵为对角阵？为什么？
解：
1、证明：设x , y ∈C 2⨯2, k ∈F
f (x +y ) =(x +y ) A =xA +yA =f (x ) +f (y ) f (kx ) =(kx ) A =k (xA ) =kf (x )
故f 关于加法和数乘封闭，f 为线性变换。 2、f (X ) =XA
f (E ) =⎛ 11⎫⎛10⎫⎛10⎫⎛11⎫⎛01⎫⎛0111⎝-1-1⎪⎭⎝00⎪⎭= ⎝-10⎪⎭ f (E ⎫
12
) = ⎝-1-1⎪⎭⎝00⎪⎭= ⎝0-1⎪⎭ f (E ⎛11⎫⎛00⎫⎛10⎫⎛11⎫⎛21) = ⎝-1-1⎪⎭⎝10⎪⎭= ⎝-10⎪⎭ f (E 22
) = ⎝-1-1⎪00⎫⎭⎝01⎪⎭=⎛ 01⎫
⎝0-1⎪⎭
⎛ 1010⎫
f (E E 0101⎪11E 12E 21E 22) =(11E 12E 21E 22) ⎪=(E E E E ) M -10-10⎪11122122⎝0-10-1⎪⎭3、R (f ) =L (f (E f (E ⎛10⎫⎛01⎫
11), f (E 12), f (E 21), 22)) ，R (f ) 的基 ⎝-10⎪，⎭ ⎝0-1⎪，2维。⎭
K (f ) :M x
=O ，K (f ) 的基⎛ 10⎫⎝-10⎪，⎛⎭ 01⎫
⎝0-1⎪，2维。
⎭
λ-1
0-104、
λI -M =
0λ-10-1
10λ+10=λ4
10λ+1
⎛ 0100⎫
J 0000⎪M =
⎪ m 0001⎪(λ) =λ2 ⎝0000⎪⎭
5、不能找到
四、求下列矩阵的广义逆矩阵：
⎛111⎫ ⎪
1、A = 1-10⎪；
000⎪⎝⎭
⎛111⎫⎛102⎫
⎪ ⎪
解： A = 1-10⎪→ 012⎪
000⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭
⎛11⎫
⎪⎛10
-1⎪⋅ A 3⨯3=B ⨯3C 2⨯2=3 1
00⎪⎝01⎝⎭
+
H
H -1
1
2
⎫⎪ ⎭
A =C (CC
2、B =α
T
⎛1
) B (B ) B =
⎝0
H
-1
H
01
22
⎫⎪⎭
H
⎛1 (⎝0012⎫⎛⎪102⎭⎝⎫
⎪⎭
1H 2-112
⎛11⎫⎛11⎫ ⎪ ⎪-) 1(-11-1⎪ ⎪ 00⎪ 00⎪⎝⎭⎝⎭
H
⎛1⎫1
1⎪) 1- ⎪1= 0⎪0⎝⎭
H
β，其中α=(a 1a 2⋅⋅⋅a n ) ，β=(b 1b 2⋅⋅⋅b n ) 。
T
解：r (B ) =r (αβ) =1
故对B 进行满秩分解，B n ⨯n =M n ⨯1N 1⨯n =αT β
A +=βT (ββT ) -1((αT ) T ⋅αT ) -1⋅(αT ) T
=βT (ββT ) -1(α⋅αT ) -1⋅α
T T =βα=B
五、已知矩阵A 的特征多项式与最小多项式相等，均为(λ-λ0) ，给出A , A , e , e 形。
解：A : 根据矩阵A 的特征多项式与最小多项式相等，均为(λ-λ0) 4，可得
4
2A
A 2
可能的jordan 标准
⎛ λ0100⎫J 0λ0
1
0⎪A =
⎪ 00λ0
1⎪ ⎝0
λ⎪0⎭
A 2： A 2∽J 2A
∽J A 2
⎛2λ0
10⎫ λ01
00⎫1
00⎫⎛2J 2= 0λ0⎪⎛λ00
1
⎪ λ0
1
0⎪
λ0⎪ 0λ2
2λ0
1⎪⎪A 00λ0
1⎪⋅ 00
λ0
1⎪= 0λ2
⎝0
00λ⎪ 00⎭⎝00
λ⎪
00
2λ⎪0⎪0⎭ ⎝
λ2⎪0⎭
⎛2
λ0*
00⎫J = 0λ2
*
0⎪A 2
⎪ 00λ2
*⎪ ⎪⎝
00
λ2⎪0⎭
⎛λ2
01
00⎫⎛λ2
2
010 当λ= 00
0⎪ ⎪λ2
0=0, , 则J λ0
A 2
00λ2
1⎪或
J 2
= 0 0
⎪A 00λ2
⎝
00
λ2⎪ 0
0⎭
⎝
00
e A ： 令f (x ) =e x ，g (x ) =a +bx +cx 2+dx 3
f (λ0) =g (λ0) e λ0=a +b λ0+c λ230+d λ0 f '(λ0) =g '(λ0) e λ0=b +2c λ0+3d λ20 f ''(λ0) =g ''(λ0)
e λ0=2c +6d λ0 f '''(λ0) =g '''(λ0)
e λ0=6d
求出a , b , c , d 代入，求出f (A ) =e A
=g (A ) =a +bA +cA 2
+dA 3
e A 2： 令f (x ) =e x 2
，g (x ) =a +bx +cx 2+dx 3
f (λ0) =g (λ0) e
λ2
=a +b λ0+c λ20+d λ30
f '(λ0) =g '(λ0) 2xe λ0=b +2c λ0+3d λ20 f ''(λ0) =g ''(λ0)
2e λ0(2λ0+1) =2c +6d λ0
0⎫0⎪⎪0⎪⎪λ2⎪0⎭
f '''(λ020) =g '''(λ0)
4λ0e λ(2λ0+2λ0+1) =6d
求出a , b , c , d 代入，求出f (A ) =e A 2
=g (A ) =a +bA +cA 2+dA 3
六、矩阵函数：
⎛1、设A = 100⎫ 100⎪⎪，求矩阵函数e At ，并给出e At
的特征多项式。
⎝011⎪⎭
解：求e
At
：
λ-1
00
λI -A =-1
λ
0=λ(λ-1) 2
0-1λ-1
0⎛ r (I -A ) =-1
1=2∴J 00⎫⎪
0A =0
-1
01⎪ 1
⎝00⎪⎭
1m A (λ) =λ(λ-1) 2
令f (x ) =e xt ，g (x ) =a +bx +cx 2
f (0) =g (0) e 0=1=a f (1) =g (1)
e t =a +b +c f '(1) =g '(1) te t =b +2c
a =1
b =2e t -te t -2
c =te t -e t +1
f (A ) =e At =g (A ) =aI +bA +cA 2=I +(2e t -te t -2) A +(te t -e t +1) A 2
求e
At
的特征多项式：
A 的特征值λ为0, 1，f (A ) 的特征值即为f (λ) ，故e At 的特征值为e 0⋅t =1，e 1⋅t =e t 。
⎛2、设A = 000⎫ -121⎪⎪，试将A 2e At 表示成关于A 的次数不超过2的多项式，并求A 2e A
。
⎝1-10⎪⎭
⎛100⎫ ⎪2
解：λI -A =1λ-2-1=λ(λ-1) ，当λ=1时，r (I -A ) =r 1-1-1⎪=2
-111⎪-11λ⎝⎭
⎛000⎫
⎪
∴J A = 011⎪
001⎪⎝⎭
令 f (x ) =x 2e xt
λ00
m (λ) =λ(λ-1) 2
g (x ) =a +bx +cx 2 0=a
f (0) =g (0)
f (1) =g (1)
f '(1) =g '(1)
e t =a +b +c
2xe xt +x 2te xt =b +2cx
2e xt +te t =b +2c
求出a , b , c 代入，求出f (A ) =A 2e At =g (A ) =a +bA +cA 2
3
七、设R 的子空间V =(x , y , z ) 2x -y +3z =0，η=(1, 1, 1)，求η0∈V 使得-η0=min -ξ。
{}
ξ∈V
该题与“工程矩阵理论试卷样卷10a ”第三题类似，为找正投影问题。
八、证明题：
2
1、证明：若酉矩阵A 满足A -3A +2I =0，则A =I 。
证明：令f (x ) =x -3x +2
2
f (A ) =A -3A +2I =0，∴f (x ) 为A 的化零多项式，
2
∴A 的特征值一定是f (x ) 的根，λ1=1（重数未知），λ2=2（重数未知），
⎛1*⎫
⎪
⋅⋅⋅* ⎪ ⎪10
设J A = ⎪ （*可能为0，也可能为1）
2* ⎪
⋅⋅⋅*⎪ ⎪ ⎪2⎝⎭
A 为酉矩阵，∴A 一定相似于I ，即J A ∽I ，由此得λ2=2的重数为0，
⎛J 1*⎫ ⋅⋅⋅*⎪⎛10⎫⎪，（*只可能为0），J ⋅⋅⋅0⎪A = A =⎝1⎪
⎭ ⎝1⎪=I ⎪⎭
U H AU =I
∴A =UIU
H
=I
∴得证。
、设H 阵A ，B 均是正定的，证明：AB 的特征值均为正实数。 该题与“工程矩阵理论试卷样卷10a ”第七题第二小题相同。
2
工程矩阵理论试卷样卷10c
一、已知矩阵A = 1、证明：V 是C
2⨯2
⎛11⎫2⨯22⨯2
⎪，C 的子集V =X AX =O , X ∈C
⎝-1-1⎭
{}
的子空间；
2、求V 的一组基及V 的维数；
3、证明A ∈V ，并求A 在上小题所提基下的坐标； 4、试给出C
2⨯2
2⨯2
=V ⊕W =V ⊕W ' 的两个不同的子空间W 及W ' ，使得C
解：1、设x , y ∈V ，k ∈F
A (x +y ) =Ax +Ay =O A (kx ) =k (Ax ) =O
所以，V 对加法和数乘封闭，故V 是C
2⨯2
的子空间。
⎛a b ⎫
2、设X = ⎪
c d ⎝⎭
⎛11⎫⎛11⎫⎛a b ⎫⎛a +c b +d ⎫X = ⎪ ⎪⋅ ⎪= ⎪=O
⎝-1-1⎭⎝-1-1⎭⎝c d ⎭⎝-a -c -b -d ⎭
b ⎫⎧a +c =0⎛a ⎛10⎫⎛01⎫ ⎨ X = ⎪，所以V 的基为α1= ⎪, α2= ⎪，2维。
b +d =0-a -b -100-1⎩⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3、A =
⎛11⎫⎛10⎫⎛01⎫
=1⋅+1⋅⎪ ⎪ ⎪，A 在α1, α2下的坐标为(1, 1) 。
⎝-1-1⎭⎝-10⎭⎝0-1⎭
⊥2⨯2
=V ⊕W ，则有4、V 实际为A 核子空间，V =K (A ) ，令W =V 即可构成C
（此处概念有点不清楚，是否正确，请周老师W =V ⊥=K ⊥(A ) =R (A H ) =A H 的极大线性无关组。指教！） A
H
⎛1-1⎫⎛1⎫H
A ，的极大线性无关组为= ⎪ ⎪。
⎝1-1⎭⎝1⎭
⎛2a c ⎫ ⎪
二、假设3维线性空间V 上的线性变换f 在V 的基α1, α2, α3下的矩阵为J = 02b ⎪。问：当a , b , c , d
00-1⎪⎝⎭⎛200⎫
⎪
满足什么条件时，存在V 的一组基，使得f 的矩阵是K = 2d 0⎪？
222⎪⎝⎭
解：
J 、K 为同一线性变换下的矩阵，故J ∽K ，有相同的jordan 标准形，相同的特征值，相同的迹，
相同的秩。
⎛200⎫
⎪
根据J 、K 迹相同(即主对角元素的和相同) 得：d =-1，K = 2-10⎪，
222⎪⎝⎭
λ-2
λI -K =-2
-2
00
0=(λ+1)(λ-2) 2，
λ-2
λ+1
-2
⎛000⎫⎛-100⎫ ⎪ ⎪
λ=2时，r (2I -K ) =r -230⎪=2，求得J K = 021⎪
-2-20⎪ 002⎪⎝⎭⎝⎭
λ-2
λI -J =
-a -c
-b =(λ+1)(λ-2) 2 λ+1
λ-2
⎛0-a -c ⎫ ⎪
λ=2时，r (2I -J ) =r 00-b ⎪=2
003⎪⎝⎭
∴b ≠0，a =c =0 或b =0，ac ≠0
三、设矩阵A =
⎛11⎫2⨯22⨯2
C f ，上的变换定义如下： f (X ) =XA , ∀X ∈C ⎪
⎝-1-1⎭
1、证明：f 是线性变换； 2、求f 在C
2⨯2
⎛10⎫⎛01⎫⎛00⎫⎛00⎫
的基E 11= ⎪E 12= ⎪E 21= ⎪E 22= ⎪下的矩阵M ；
00001001⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3、求f 的值域R (f ) 及核子空间K (f ) 的基及它们的维数；
4、试求M 的jordan 标准形，并写出f 的最小多项式； 5、问：能否找到C 2⨯2
的基，使得f 的矩阵为对角阵？为什么？
解：
1、证明：设x , y ∈C 2⨯2, k ∈F
f (x +y ) =(x +y ) A =xA +yA =f (x ) +f (y ) f (kx ) =(kx ) A =k (xA ) =kf (x )
故f 关于加法和数乘封闭，f 为线性变换。 2、f (X ) =XA
f (E ) =⎛ 11⎫⎛10⎫⎛10⎫⎛11⎫⎛01⎫⎛0111⎝-1-1⎪⎭⎝00⎪⎭= ⎝-10⎪⎭ f (E ⎫
12
) = ⎝-1-1⎪⎭⎝00⎪⎭= ⎝0-1⎪⎭ f (E ⎛11⎫⎛00⎫⎛10⎫⎛11⎫⎛21) = ⎝-1-1⎪⎭⎝10⎪⎭= ⎝-10⎪⎭ f (E 22
) = ⎝-1-1⎪00⎫⎭⎝01⎪⎭=⎛ 01⎫
⎝0-1⎪⎭
⎛ 1010⎫
f (E E 0101⎪11E 12E 21E 22) =(11E 12E 21E 22) ⎪=(E E E E ) M -10-10⎪11122122⎝0-10-1⎪⎭3、R (f ) =L (f (E f (E ⎛10⎫⎛01⎫
11), f (E 12), f (E 21), 22)) ，R (f ) 的基 ⎝-10⎪，⎭ ⎝0-1⎪，2维。⎭
K (f ) :M x
=O ，K (f ) 的基⎛ 10⎫⎝-10⎪，⎛⎭ 01⎫
⎝0-1⎪，2维。
⎭
λ-1
0-104、
λI -M =
0λ-10-1
10λ+10=λ4
10λ+1
⎛ 0100⎫
J 0000⎪M =
⎪ m 0001⎪(λ) =λ2 ⎝0000⎪⎭
5、不能找到
四、求下列矩阵的广义逆矩阵：
⎛111⎫ ⎪
1、A = 1-10⎪；
000⎪⎝⎭
⎛111⎫⎛102⎫
⎪ ⎪
解： A = 1-10⎪→ 012⎪
000⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭
⎛11⎫
⎪⎛10
-1⎪⋅ A 3⨯3=B ⨯3C 2⨯2=3 1
00⎪⎝01⎝⎭
+
H
H -1
1
2
⎫⎪ ⎭
A =C (CC
2、B =α
T
⎛1
) B (B ) B =
⎝0
H
-1
H
01
22
⎫⎪⎭
H
⎛1 (⎝0012⎫⎛⎪102⎭⎝⎫
⎪⎭
1H 2-112
⎛11⎫⎛11⎫ ⎪ ⎪-) 1(-11-1⎪ ⎪ 00⎪ 00⎪⎝⎭⎝⎭
H
⎛1⎫1
1⎪) 1- ⎪1= 0⎪0⎝⎭
H
β，其中α=(a 1a 2⋅⋅⋅a n ) ，β=(b 1b 2⋅⋅⋅b n ) 。
T
解：r (B ) =r (αβ) =1
故对B 进行满秩分解，B n ⨯n =M n ⨯1N 1⨯n =αT β
A +=βT (ββT ) -1((αT ) T ⋅αT ) -1⋅(αT ) T
=βT (ββT ) -1(α⋅αT ) -1⋅α
T T =βα=B
五、已知矩阵A 的特征多项式与最小多项式相等，均为(λ-λ0) ，给出A , A , e , e 形。
解：A : 根据矩阵A 的特征多项式与最小多项式相等，均为(λ-λ0) 4，可得
4
2A
A 2
可能的jordan 标准
⎛ λ0100⎫J 0λ0
1
0⎪A =
⎪ 00λ0
1⎪ ⎝0
λ⎪0⎭
A 2： A 2∽J 2A
∽J A 2
⎛2λ0
10⎫ λ01
00⎫1
00⎫⎛2J 2= 0λ0⎪⎛λ00
1
⎪ λ0
1
0⎪
λ0⎪ 0λ2
2λ0
1⎪⎪A 00λ0
1⎪⋅ 00
λ0
1⎪= 0λ2
⎝0
00λ⎪ 00⎭⎝00
λ⎪
00
2λ⎪0⎪0⎭ ⎝
λ2⎪0⎭
⎛2
λ0*
00⎫J = 0λ2
*
0⎪A 2
⎪ 00λ2
*⎪ ⎪⎝
00
λ2⎪0⎭
⎛λ2
01
00⎫⎛λ2
2
010 当λ= 00
0⎪ ⎪λ2
0=0, , 则J λ0
A 2
00λ2
1⎪或
J 2
= 0 0
⎪A 00λ2
⎝
00
λ2⎪ 0
0⎭
⎝
00
e A ： 令f (x ) =e x ，g (x ) =a +bx +cx 2+dx 3
f (λ0) =g (λ0) e λ0=a +b λ0+c λ230+d λ0 f '(λ0) =g '(λ0) e λ0=b +2c λ0+3d λ20 f ''(λ0) =g ''(λ0)
e λ0=2c +6d λ0 f '''(λ0) =g '''(λ0)
e λ0=6d
求出a , b , c , d 代入，求出f (A ) =e A
=g (A ) =a +bA +cA 2
+dA 3
e A 2： 令f (x ) =e x 2
，g (x ) =a +bx +cx 2+dx 3
f (λ0) =g (λ0) e
λ2
=a +b λ0+c λ20+d λ30
f '(λ0) =g '(λ0) 2xe λ0=b +2c λ0+3d λ20 f ''(λ0) =g ''(λ0)
2e λ0(2λ0+1) =2c +6d λ0
0⎫0⎪⎪0⎪⎪λ2⎪0⎭
f '''(λ020) =g '''(λ0)
4λ0e λ(2λ0+2λ0+1) =6d
求出a , b , c , d 代入，求出f (A ) =e A 2
=g (A ) =a +bA +cA 2+dA 3
六、矩阵函数：
⎛1、设A = 100⎫ 100⎪⎪，求矩阵函数e At ，并给出e At
的特征多项式。
⎝011⎪⎭
解：求e
At
：
λ-1
00
λI -A =-1
λ
0=λ(λ-1) 2
0-1λ-1
0⎛ r (I -A ) =-1
1=2∴J 00⎫⎪
0A =0
-1
01⎪ 1
⎝00⎪⎭
1m A (λ) =λ(λ-1) 2
令f (x ) =e xt ，g (x ) =a +bx +cx 2
f (0) =g (0) e 0=1=a f (1) =g (1)
e t =a +b +c f '(1) =g '(1) te t =b +2c
a =1
b =2e t -te t -2
c =te t -e t +1
f (A ) =e At =g (A ) =aI +bA +cA 2=I +(2e t -te t -2) A +(te t -e t +1) A 2
求e
At
的特征多项式：
A 的特征值λ为0, 1，f (A ) 的特征值即为f (λ) ，故e At 的特征值为e 0⋅t =1，e 1⋅t =e t 。
⎛2、设A = 000⎫ -121⎪⎪，试将A 2e At 表示成关于A 的次数不超过2的多项式，并求A 2e A
。
⎝1-10⎪⎭
⎛100⎫ ⎪2
解：λI -A =1λ-2-1=λ(λ-1) ，当λ=1时，r (I -A ) =r 1-1-1⎪=2
-111⎪-11λ⎝⎭
⎛000⎫
⎪
∴J A = 011⎪
001⎪⎝⎭
令 f (x ) =x 2e xt
λ00
m (λ) =λ(λ-1) 2
g (x ) =a +bx +cx 2 0=a
f (0) =g (0)
f (1) =g (1)
f '(1) =g '(1)
e t =a +b +c
2xe xt +x 2te xt =b +2cx
2e xt +te t =b +2c
求出a , b , c 代入，求出f (A ) =A 2e At =g (A ) =a +bA +cA 2
3
七、设R 的子空间V =(x , y , z ) 2x -y +3z =0，η=(1, 1, 1)，求η0∈V 使得-η0=min -ξ。
{}
ξ∈V
该题与“工程矩阵理论试卷样卷10a ”第三题类似，为找正投影问题。
八、证明题：
2
1、证明：若酉矩阵A 满足A -3A +2I =0，则A =I 。
证明：令f (x ) =x -3x +2
2
f (A ) =A -3A +2I =0，∴f (x ) 为A 的化零多项式，
2
∴A 的特征值一定是f (x ) 的根，λ1=1（重数未知），λ2=2（重数未知），
⎛1*⎫
⎪
⋅⋅⋅* ⎪ ⎪10
设J A = ⎪ （*可能为0，也可能为1）
2* ⎪
⋅⋅⋅*⎪ ⎪ ⎪2⎝⎭
A 为酉矩阵，∴A 一定相似于I ，即J A ∽I ，由此得λ2=2的重数为0，
⎛J 1*⎫ ⋅⋅⋅*⎪⎛10⎫⎪，（*只可能为0），J ⋅⋅⋅0⎪A = A =⎝1⎪
⎭ ⎝1⎪=I ⎪⎭
U H AU =I
∴A =UIU
H
=I
∴得证。
、设H 阵A ，B 均是正定的，证明：AB 的特征值均为正实数。 该题与“工程矩阵理论试卷样卷10a ”第七题第二小题相同。
2