第二十一周 抓“不变量”解题
专题简析：
一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。
例1．
437
将 的分子与分母同时加上某数后得 ，求所加的这个数。 619
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子
7
，由此可求出新分数的分子和分母。”
97
分母：（61-43）÷（1－）＝81
97
分子：81× ＝63
981-61＝20或63-43＝20
437
解法二：的分母比分子多18，的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所
619
7
以将 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
97
① 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）
9777×963
② 在约分前是： ＝＝
999×981③ 所加的数是81-61＝20
答：所加的数是20。 练习1：
972
1、 分数的分子和分母都减去同一个数，，那么减去的数是多少？
181513
2、 ，那么同加的这个数是多少？
1353、
35
的分子、分母加上同一个数并约分后得，那么加上的数是多少？ 197
582
4、 将这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数是
793
多少？
42
将一个分数的分母减去2得，如果将它的分母加上1，求这个分数。
53解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2
4523
得 倍还多2。由“分母加1得 ”可知，分母比分子的 5432倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
35分子：（2+1－ ）=12
243
分母：12＝17
2
解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
2412412
① 将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。＝＝ ，＝
3618515② 原分数的分母是：
18-1＝17或15+2＝17
12
答：这个分数为 。
17练习2：
73
1、 将一个分数的分母加上2得，分母加上3。原来的分数是多少？
9434
2、 将一个分数的分母加上2得，分母加上2。原来的分数是多少？
4534
3、 将一个分数的分母加上5得，分母加上4。原来的分数是多少？
7957
4、 将一个分数的分母减去9得，分母减去6。原来的分数是多少？
84
例3：
5
在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个
71
数，这个分数就等于 ，求原来的最简分数是多少。
2
510
解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即 = ，
714
17107
= 。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想和的分2141414子和分母再乘以2。所以
510201714
＝＝ ，＝ ＝7142821428
17
故原来的最简分数是 。
28
5117
+）÷2＝
7228
17
答：原来的最简分数是。
28练习3：
5
1、 。如果在它的分子上减去
8
1
同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。
2
6
2、 。如果在它的分子上减去
7
1
同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。
3
7
3、 一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一
9
3
，求这个分数。
5 例4：
73
将一个分数的分母加3，分母加5得 。原分数是多少？
94
721
解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，＝，
927
32121＝ 。根据题意，两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以分别将 42827和
[1**********]2
的分子和分母再同乘以2。则 ＝， ＝＝。所以，原分数[1**********]6
42的分母是（54－3＝）51。
51
9
解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加3后是分子的，分母加5
7
449
后是分子的，因此，原分数的分子是（5－3）÷（ －）＝42。原分数的分母
33742
是42÷7×9-3=51，原分数是。
51
练习4：
54
1、 一个分数，将它的分母加5，加8，原来的分数是多少？（用两种方法）
6567
2、 将一个分数的分母减去3，约分后得 ；若将它的分母减去5，则得 。原来的分数是
78
多少？（用两种方法做）
35
3、 把一个分数的分母减去2，。如果给原分数的分母加上9，约分后等于。
47
求原分数。
例5：
11
有一个分数，如果分子加1，这个分数等于；如果分母加1，这个分数就等于 ，这个
23分数是多少？
1
根据“分子加1，这个分数等于”可知，分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这
21
”可知，分母比分子的3倍少1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷
33
（3-2）=3，分母是3×2+2=8。所以，这个分数是 。
8练习5：
11
1、 一个分数，如果分子加3，这个分数等于 ，如果分母加上1，这个分数等于，这
23
个分数是多少？
11
2、 一个分数，如果分子加5，这个分数等于 ，如果分母减3，，这个 分
23
数是多少？
11
3、 一个分数，如果分子减1，这个分数等于；如果分母加11，这个分数等于 ，这个
23分数是多少？
答案： 练1
1、 41 2、17 3、 37 4、 16 练2 1、 练3
92531
1、 2、 3164245练4
60841651、 2、 3、67101222练5
7791、 2、 3202416
21121220
2、 3、 25132341
第二十一周 抓“不变量”解题
专题简析：
一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。
例1．
437
将 的分子与分母同时加上某数后得 ，求所加的这个数。 619
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子
7
，由此可求出新分数的分子和分母。”
97
分母：（61-43）÷（1－）＝81
97
分子：81× ＝63
981-61＝20或63-43＝20
437
解法二：的分母比分子多18，的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所
619
7
以将 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
97
① 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）
9777×963
② 在约分前是： ＝＝
999×981③ 所加的数是81-61＝20
答：所加的数是20。 练习1：
972
1、 分数的分子和分母都减去同一个数，，那么减去的数是多少？
181513
2、 ，那么同加的这个数是多少？
1353、
35
的分子、分母加上同一个数并约分后得，那么加上的数是多少？ 197
582
4、 将这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数是
793
多少？
42
将一个分数的分母减去2得，如果将它的分母加上1，求这个分数。
53解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2
4523
得 倍还多2。由“分母加1得 ”可知，分母比分子的 5432倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
35分子：（2+1－ ）=12
243
分母：12＝17
2
解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
2412412
① 将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。＝＝ ，＝
3618515② 原分数的分母是：
18-1＝17或15+2＝17
12
答：这个分数为 。
17练习2：
73
1、 将一个分数的分母加上2得，分母加上3。原来的分数是多少？
9434
2、 将一个分数的分母加上2得，分母加上2。原来的分数是多少？
4534
3、 将一个分数的分母加上5得，分母加上4。原来的分数是多少？
7957
4、 将一个分数的分母减去9得，分母减去6。原来的分数是多少？
84
例3：
5
在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个
71
数，这个分数就等于 ，求原来的最简分数是多少。
2
510
解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即 = ，
714
17107
= 。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想和的分2141414子和分母再乘以2。所以
510201714
＝＝ ，＝ ＝7142821428
17
故原来的最简分数是 。
28
5117
+）÷2＝
7228
17
答：原来的最简分数是。
28练习3：
5
1、 。如果在它的分子上减去
8
1
同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。
2
6
2、 。如果在它的分子上减去
7
1
同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。
3
7
3、 一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一
9
3
，求这个分数。
5 例4：
73
将一个分数的分母加3，分母加5得 。原分数是多少？
94
721
解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，＝，
927
32121＝ 。根据题意，两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以分别将 42827和
[1**********]2
的分子和分母再同乘以2。则 ＝， ＝＝。所以，原分数[1**********]6
42的分母是（54－3＝）51。
51
9
解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加3后是分子的，分母加5
7
449
后是分子的，因此，原分数的分子是（5－3）÷（ －）＝42。原分数的分母
33742
是42÷7×9-3=51，原分数是。
51
练习4：
54
1、 一个分数，将它的分母加5，加8，原来的分数是多少？（用两种方法）
6567
2、 将一个分数的分母减去3，约分后得 ；若将它的分母减去5，则得 。原来的分数是
78
多少？（用两种方法做）
35
3、 把一个分数的分母减去2，。如果给原分数的分母加上9，约分后等于。
47
求原分数。
例5：
11
有一个分数，如果分子加1，这个分数等于；如果分母加1，这个分数就等于 ，这个
23分数是多少？
1
根据“分子加1，这个分数等于”可知，分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这
21
”可知，分母比分子的3倍少1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷
33
（3-2）=3，分母是3×2+2=8。所以，这个分数是 。
8练习5：
11
1、 一个分数，如果分子加3，这个分数等于 ，如果分母加上1，这个分数等于，这
23
个分数是多少？
11
2、 一个分数，如果分子加5，这个分数等于 ，如果分母减3，，这个 分
23
数是多少？
11
3、 一个分数，如果分子减1，这个分数等于；如果分母加11，这个分数等于 ，这个
23分数是多少？
答案： 练1
1、 41 2、17 3、 37 4、 16 练2 1、 练3
92531
1、 2、 3164245练4
60841651、 2、 3、67101222练5
7791、 2、 3202416
21121220
2、 3、 25132341