将多项式x^4+4y^4分解因式:
x^4+4y^4
=x^4+4x^2y^2+4y^4-4x^2y^2
=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2
=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)
1. 请说明“好数”都能表示成两个整数的平方和的形式
x^2+2xy+2y^2
=x^2+2xy+y^2+y^2
=(x+y)^2+y^2
因为x ，y 是整数，所以x+y也是整数，故“好数”都能表示成两个整数的平方和的形式
2. 判断29是否为“好数”？为什么？
29是好数。因为
29
=5^2+2^2
=(3+2)^2+2^2
=3^2+2×3×2+2×2^2
补充如果m 、n 都是“好数”，那么模拟mn 是“好数”吗？为什么？
一定是。
因为好数都可以表示成两个整数的平方和形式，因此，设
m=x1^2+y1^2, n=x2^2+y2^2（x1，x2，y1，y2是整数），那么
mn
=(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)
=(x1x2)^2+(x1y2)^2+(x2y1)^2+(y1y2)^2
=[(x1x2)^2-2x1x2y1y2+(y1y2)^2]+[(x1y2)^2+2x1x2y1y2+(x2y1)^2]
=(x1x2-y1y2)^2+(x1y2+x2y1)^2
={[(x1x2-y1y2)-(x1y2+x2y1)]+(x1y2+x2y1)}^2+(x1y2+x2y1)^2
=[(x1x2-y1y2)-(x1y2+x2y1)]^2+2[(x1x2-y1y2)-(x1y2+x2y1)](x1y2+x2y1)+2(x1y2+x2y1)^2
因为x1，x2，y1，y2是整数，故[(x1x2-y1y2)-(x1y2+x2y1)]和(x1y2+x2y1)都是整数。
故mn 也是好数。
将多项式x^4+4y^4分解因式:
x^4+4y^4
=x^4+4x^2y^2+4y^4-4x^2y^2
=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2
=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)
1. 请说明“好数”都能表示成两个整数的平方和的形式
x^2+2xy+2y^2
=x^2+2xy+y^2+y^2
=(x+y)^2+y^2
因为x ，y 是整数，所以x+y也是整数，故“好数”都能表示成两个整数的平方和的形式
2. 判断29是否为“好数”？为什么？
29是好数。因为
29
=5^2+2^2
=(3+2)^2+2^2
=3^2+2×3×2+2×2^2
补充如果m 、n 都是“好数”，那么模拟mn 是“好数”吗？为什么？
一定是。
因为好数都可以表示成两个整数的平方和形式，因此，设
m=x1^2+y1^2, n=x2^2+y2^2（x1，x2，y1，y2是整数），那么
mn
=(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)
=(x1x2)^2+(x1y2)^2+(x2y1)^2+(y1y2)^2
=[(x1x2)^2-2x1x2y1y2+(y1y2)^2]+[(x1y2)^2+2x1x2y1y2+(x2y1)^2]
=(x1x2-y1y2)^2+(x1y2+x2y1)^2
={[(x1x2-y1y2)-(x1y2+x2y1)]+(x1y2+x2y1)}^2+(x1y2+x2y1)^2
=[(x1x2-y1y2)-(x1y2+x2y1)]^2+2[(x1x2-y1y2)-(x1y2+x2y1)](x1y2+x2y1)+2(x1y2+x2y1)^2
因为x1，x2，y1，y2是整数，故[(x1x2-y1y2)-(x1y2+x2y1)]和(x1y2+x2y1)都是整数。
故mn 也是好数。