圆教案
九 年 级
冯秀敏
圆
第1课时
教学目标
知识与技能：了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．
过程与方程：从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．
情感态度与价值观：培养学生合作交流的能力和自主探究的习惯。形成良好的学习意识。
重难点、关键
1．重点：垂径定理及其运用．
2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题． 教学时间： 教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学） 1．举出生活中的圆三、四个．
2．你能讲出形成圆的方法有多少种？
老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆． 二、探索新知
从以上圆的形成过程，我们可以得出： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 学生四人一组讨论下面的两个问题：
问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？ 问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 老师提问几名学生并点评总结．
（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形． 同时，我们又把
①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB； ②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；
AC” ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作 ，AC”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示 ABC叫做优弧，•小于读作“圆弧
叫做劣弧．
AC或BC半圆的弧（如图所示）
④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
三、教学小结：
对于本节你有何收获？ 四、作业 课后1、2题
反思：
第2课时
教学时间： 教学过程： 一、导入新课
请同学们回答下面两个问题． 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？ 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．
（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，•我能找到无数多条直径．
3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的． 因此，我们可以得到：
二、讲新知
1、 （学生活动）请同学按下面要求完成下题：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．
， ，即直径CD平分弦AB，并且平分 AC=BC （2）AM=BM， AD=BDAB
及 ADB．
2、 下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M
， . AC=BCAD=BD 求证：AM=BM，
分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连
结OA、•OB或AC、BC即可．
证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB 在Rt△OAM和Rt△OBM中
⎧OA=OB
⎨
OM=OM⎩
∴Rt△OAM≌Rt△OBM
∴AM=BM
∴点A和点B关于CD对称 ∵⊙O
关于直径CD对称
重合， 重AC与BC ∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合， AD与BD
合．
， AC=BC ∴ AD=BD
（本题的证明作为课后练习） 三、巩固练习
，点O是CD 的圆心，例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD
上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路•其中CD=600m，E为CD
的半径．
分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 解：如图，连接OC
设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m
∵OE⊥CD
11
∴CF=CD=×600=300（m）
22
2
2
2
根据勾股定理，得：OC=CF+OF 即R2=3002+（R-90）2 解得R=545
∴这段弯路的半径为545m． 四、应用拓展
例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=•60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m•是否需要采取紧急措施，•只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R． 解：不需要采取紧急措施
设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18
R2=302+（R-18）2 R2=900+R2-36R+324
解得R=34（m）
B
连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16
342=162+（34-x）2
162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0
解得x1=4，x2=64（不合设） ∴DE=4
∴不需采取紧急措施．
五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握：
1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 2．垂径定理及其推论以及它们的应用． 六、布置作业
1． 复习巩固1、2、3．
反思：
第二课时作业设计
一、选择题．
1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（ ）．
=BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD
A．CE=DE B．BC
(1) (2) (3)
2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
3．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，•则下列结论中不
正确的是（ ）
D．PO=PD AD=BDA．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C．
二、填空题
中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则1．如图4，AB为⊙O直径，E是BC
AC=_____．
A
B
(4) (5)
2．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．
3．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）
4、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，则⊙O的半径为_______。
5、在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP＝____ _。
6、已知圆的半径为5cm，一弦长为8cm，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。
7、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是
2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。
8、在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为_____ _。
9、如图，在⊙O中，OA是半径，弦AB＝cm，D是弧AB的中点，OD交AB于点C，若∠OAB＝300，则⊙O的半径____cm。 三、综合提高题
1．如图24-11，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM•⊥CD，•分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．
2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
3．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=•8，•求∠DAC的度数．
圆心角
教学内容
1．圆心角的概念．
2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
教学目标
知识与技能：了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．
过程与方法： 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
情感态度与价值观：学会应用所学的定理解决一些具体问题，培养学生的数学做题能力。
重难点、关键
1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．
2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 教学时间： 教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下题．
已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形．
A
B
老师点评：绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB′=30°． 二、探索新知
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：
如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
B'
AB= A'B'，AB=A′B′
理由：∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′ ∴半径OB与OB′重合
∵点A与点A′重合，点B与点B′重合
AB与 A'B'重合，弦AB与弦A′B′重合 ∴
AB= A'B'，AB=A′B′ ∴
因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？•请同学们现在动手作一作．
（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O和⊙O′中，•分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．
'
B
A'
(1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现： AB= A'B'，AB=A/B/．
现在它的证明方法就转化为前面的说明了，•这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弧也相等．
（学生活动）请同学们现在给予说明一下． 请三位同学到黑板板书，老师点评．
例1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
的大小有什么关系？AB与CD的大小有什AB与CD（2）如果OE=OF，那么
么关系？•为什么？∠
AOB与∠COD呢？
分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．
（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中， 又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt•△COF，
∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到 AB=CD
解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF
理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD
∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=
11AB，CF=CD 22
∴AE=CF
又∵OA=OC
∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴OE=OF
，∠AOB=∠COD （2）如果OE=OF，那么AB=CD， AB=CD
理由是：
∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF
又∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=
11AB，CF=CD 22
∴AB=2AE，CD=2CF
∴AB=CD
，∠AOB=∠COD AB=CD ∴
三、巩固练习
教材P89 练习1 教材P90 练习2． 四、应用拓展
例2．如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD•相交于MN•上的一点P，•∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
P
(3) (4)
分析：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，•只要说明它们的一半相等．
上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（1）AB=CD
理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF
连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE
根据垂径定理可得：AB=CD
（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F
∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF
连接OA、OB、OC、OD
易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD
五、归纳总结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆心角概念．
2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用． 六、布置作业
1．教材P94-95 复习巩固4、5、6、7、8． 反思：．
圆心角作业设计
一、选择题．
1．如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对
2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（ ）
B． C． D．不能确定 A． AB=2CDAB>CDAB
A．AB=AC B．AB=AC C．AB2AC
A
A
B
(5) (6)
二、填空题
1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________． 2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．
3．如图6，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________． 三、解答题
1．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥
AB，M、N•在⊙O上．
； AM=BN （1）求证：
=NB
成立吗？ AM=MN（2）若C、D分别为OA、OB中点，则
2．如图，以
ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于
的度数和EF 的度数．
E、F，若∠D=50°，求BE
3．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、
F，求证：AE=BF=CD．
圆周角
教学内容
1．圆周角的概念．
2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用． 教学目标
知识与技能：了解圆周角的概念．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．
过程与方法： 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导。
情感态度与价值观：让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题． 重、难点
1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．
2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 教学时间： 教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？
2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？
老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．
刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题． 二、探索新知
问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，•设球员们只能在
所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像EF
∠EAF、∠EBF、∠ECF
这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．
1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”
（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示 ∵∠AOC是△ABO的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=
1
∠AOC 2
C
（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD
的两侧，那么∠ABC=
1
∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程． 2
老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．
（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，
那么∠ABC=
1
∠AOC吗？请同学们独立完成证明． 2
111
∠AOD-∠COD=∠AOC 222
老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=
现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，•同样可证得它等于同弧上圆心
角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．
从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．
例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？
分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D
是BC的中点，•只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可． 解：BD=CD
理由是：如图24-30，连接AD ∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°即AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD
三、巩固练习 ．教材思考题．
四、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；
2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；
3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 五、布置作业
教材综合运用9、10、11 拓广探索12、13． 反思：
圆周角作业设计
一、选择题
1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ）．
A．140° B．110° C．120° D．130°
(1) (2) (3) 2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A．∠4
C．∠4
3．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则
BC等于（ ）．
A．3 B
．．5-
二、填空题
1．半径为2a的⊙O中，弦AB
的长为，则弦AB所对的圆周角的度数是________．
2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•
12
．5
B
(4) (5)
3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______． 三、综合提高题
1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．
2．如图，已知AB=AC，∠APC=60° （1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．
3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标
为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB为⊙C直径．
（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．
障城中学九年级数学教案
点和圆的位置关系
教学目标
知识与技能：了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
过程与方法：1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．
情感态度与价值观：1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
教学重点
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．
2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 教学难点
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．
教学时间： 教学过程
一．创设问题情境，引入新课
[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点„„呢？本节课我们将进行有关探索．
二．新课讲解 1．回忆及思考
1．线段垂直平分线的性质及作法． 2．作圆的关键是什么？
[生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于
1
AB长为半径画弧，在AB的两2
侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等．
障城中学九年级数学教案
[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？
[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．
2．做一做 (1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
(2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？
[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答．
[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．
(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．
(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．
因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．
[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？
3．过不在同一条直线上的三点作圆．
投影片(§3．4C)
他作的圆符合要求吗？与同伴交流．
[生]符合要求．
因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等；连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的满足条件．
[师]由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
4．有关定义
由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆这个三角形叫这个圆的内接三角形．
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
三．课堂练习
已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？
解：如下图．
O为外接圆的圆心，即外心．
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．
四．课时小结
本节课所学内容如下：
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程．
方法．
3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念．
五．课后作业
习题3．6
反思：
直线和圆的位置关系
教学目标
知识与技能：1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．
过程与方法：1．经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力．2．通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化．
情感与价值观：通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点
经历探索直线与圆位置关系的过程．
理解直线与圆的三种位置关系．
教学难点
经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系． 探索圆的切线的性质．
教学时间：
教学过程
一．创设问题情境，引入新课
[师]我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？
[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．即圆上的点到圆心的距离等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径．因此点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外．也可以把点与圆心的距离和半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内．
[师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系．
二．新课讲解
1．复习点到直线的距离的定义
[生]从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离．
如下图，C为直线AB外一点，从C向AB引垂线，D为垂足，则线段CD即为点C到直线AB的距离．
2．探索直线与圆的三种位置关系
[师]直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的．如大家请看课本113页，观察图中的三幅照片，地平线和太阳的位置关系怎样？作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
障城中学九年级数学教案
[生]把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；把直尺的边缘看成一条直线，则直线和圆有三种位置关系．
[师]从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢？
[生]有三种位置关系：
[师]直线和圆有三种位置关系，如下图：
它们分别是相交、相切、相离．
当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点)，这条直线叫做圆的切线(tangent line)．
当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．
当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，你能总结吗？
[生]当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切；
当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；
当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离．
[师]能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离d和半径r作比较，类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定三种位置关系呢？
[生]如上图中，圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相交时，d＜r；当直线与圆相切时，d＝r；当直线与圆相离时，d＞r，因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系．
[师]由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法．一种是从直线与圆的公共点的个数来断定；一种是用d与r的大小关系来断定．
(1)从公共点的个数来判断： 直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．
(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断：
d＜r时，直线与圆相交；
d＝r时，直线与圆相切；
d＞r时，直线与圆相离．
[例1]已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm．
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
障城中学九年级数学教案
(2)以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
分析：根据d与r间的数量关系可知：
d＝r时，相切；d＜r时，相交；d＞r时，相离．
3．议一议
(1)你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？
(2)上图(1)中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？
(3)如图(2)，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD
有怎样的位置关系？说一说你的理由．
对于(3)，小颖和小亮都认为直径AB垂直于CD．你同意他们的观点吗？
[师]请大家发表自己的想法．
[生](1)把一只筷子放在碗上，把碗看作圆，筷子看作直线，这时直线与圆相交；
自行车的轮胎在地面上滚动，车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相切； 杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相离．
(2)图(1)中的三个图形是轴对称图形．因为沿着d所在的直线折叠，直线两旁的部分都能完全重合．对称轴是d所在的直线，即过圆心O且与直线l垂直的直线．
(3)所谓两条直线的位置关系，即为相交或平行，相交又分垂直和斜交，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，因为图(2)是轴对称图形，AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此∠BAC＝∠BAD＝90°．
[师]因为直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，直线CD是⊙O的切线，因此有圆的切线垂直于过切点的直径．
这是圆的切线的性质，下面我们来证明这个结论．
在图(2)中，AB与CD要么垂直，要么不垂直．假设AB与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD、垂足为M，则OM＜OA，即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此CD与⊙O相交，这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾，所以AB与CD垂直．
这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不成立推出和已知条件或定理相矛盾．第三步是肯定假设错误，故结论成立．
三．课堂练习
随堂练习
四．课时小结
本节课学习了如下内容：
1．直线与圆的三种位置关系．
(1)从公共点数来判断．
(2)从d与r间的数量关系来判断．
2．圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
五．课后作业
习题3．7
反思：
切线的性质
障城中学九年级数学教案
切线的判定方法
教学目标
(一)教学知识点1．能判定一条直线是否为圆的切线．2．会过圆上一点画圆的切线．3．会作三角形的内切圆．
(二)能力训练要求1．通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．2．会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力．
(三)情感与价值观要求
经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
教学重点
探索圆的切线的判定方法，并能运用．
作三角形内切圆的方法．
教学难点
探索圆的切线的判定方法．
教学时间：
教学过程
一．创设问题情境，引入新课
[师]上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径．
二．新课讲解
1．探索切线的判定条件
如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠α，当l绕点
A旋转时，
(1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？
(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
障城中学九年级数学教案
[师]大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见．
[师]通过旋转可知，随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当∠α＝90°时，d达到最大．此时d＝r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小．第
(2)题就解决了．
[师]从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线？请大家互相交流．
[生]直线l垂直于直径AB，并经过直径的一端A点．
[师]很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
2．做一做
已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．
分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手．
[生]如下图．
(1)连接OA．
(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．
3．如何作三角形的内切圆．
如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．
分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．
解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如下图)．
(2)过I作ID⊥BC，垂足为D．
(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I．
⊙I就是所求的圆．
障城中学九年级数学教案
[师]由例题可知，BE和CF只有一个交点I，并且I到△ABC三边的距离相等，为什么？
[生]∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分线CF上，∴ID＝IN，∴ID＝IM＝IN．这是根据角平分线的性质定理得出的．
[师]因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
4．例题讲解
如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB．
求证：AT是⊙O的切线．
分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT＝AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°．
由三角形内角和可证∠TAB＝90°，即AT⊥AB．
请大家自己写步骤．
[生]证明：∵AB＝AT，∠ABT＝45°．
∴∠ATB＝∠ABT＝45°．
∴∠TAB＝180°－∠ABT－∠ATB＝90°．
∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线．
三．课堂练习
随堂练习
四．课时小结
本节课学习了以下内容：
1．探索切线的判定条件．
2．会经过圆上一点作圆的切线．
五．课后作业
习题3．8
反思：
第2课时切线的课练
教学时间： 教学过程： 1、活动与探究
已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．
求证：DC是⊙O的切线．
分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．
证明：连结OD．
∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，
∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4．
∵OD＝OB，OC＝OC， ∴△ODC≌△OBC． ∴∠ODC＝∠OBC． ∵BC是⊙O的切线， ∴∠OBC＝90°． ∴∠ODC＝90°． ∴DC是⊙O的切线．
2、复习切线的性质和判定定理。 3、课练：学案 4、作业：3、5 反思：
圆和圆的位置关系
教学目标
(一)教学知识点1．了解圆与圆之间的几种位置关系．2．了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．
(二)能力训练要求1．经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力．2．通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．
(三)情感与价值观要求1．通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．2．经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维．
教学重点
探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．
教学难点
探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程．
教学时间： 教学过程
一．创设问题情境，引入新课
[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交．它们的位置关系都有三种．今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢？下面我们就来进行有关探讨．
二．新课讲解 一、想一想
[师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢？
[生]如自行车的两个车轮间的位置关系；车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系；用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等．
二、探索圆和圆的位置关系
在一张透明纸上作一个⊙O．再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系？
[师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流． [生]我总结出共有五种位置关系，如下图：
障城中学九年级数学教案
[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗？从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑．
[生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；
(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；
(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；
(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部； (5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．
[师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗？
[生]外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点；相交有两个公共点．
[师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种． 经过大家的讨论我们可知： (1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．
⎧外离
(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离⎨，
内含⎩
相切⎨
⎧外切
⎩内切．
四、议一议
设两圆的半径分别为R和r．
(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系？反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗？
(2)当两圆内切时(R＞r)，圆心距d与R和r具有怎样的关系？反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗？
[师]如图，请大家互相交流．
障城中学九年级数学教案
[生]在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A＋O2A＝R＋r，即d＝R＋r；反之，当d＝R＋r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．
在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B．因为切点B在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1B－O2B，即d＝R－r；反之，当d＝R－r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2＝O1B－O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．
[师]由此可知，当两圆相外切时，有d＝R＋r，反过来，当d＝R＋r时，两圆相外切，即两圆相外切⇔d＝R＋r．
当两圆相内切时，有d＝R－r，反过来，当d＝R－r时，两圆相内切，即两圆相内切⇔d＝R－r．
三．课堂练习 随堂练习
四．课时小结
本节课学习了如下内容：
1．探索圆和圆的五种位置关系；
2．讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系；
五．课后作业 习题3．9 反思：
弧长及扇形的面积
教学目标
(一)教学知识点1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．
(二)能力训练要求1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．
(三)情感与价值观要求：经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
教学重点
弧长及扇形面积计算公式． 教学难点
用公式解决实际问题． 教学时间：
障城中学九年级数学教案
教学过程
一．创设问题情境，引入新课
[师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．
二．新课讲解 一、复习
1．圆的周长如何计算？ 2．圆的面积如何计算？ 3．圆的圆心角是多少度？
2
[生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr，圆的圆心角是360°． 二、探索弧长的计算公式
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm．
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
[生]解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm；
20ππ
=cm； 36018
20πnπ
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送n×＝cm． =
360180
(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送
[师]根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗？请大家互相交流．
[生]根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长2πR，那么1°的圆心
2πRπR
，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长=
360180πRnπR
的n倍，即n×． =
180180
角对应的弧长为
[师]表述得非常棒．
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：
障城中学九年级数学教案
l＝
nπR
． 180
下面我们看弧长公式的运用． 三、例题讲解
制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即 AB的长(结果精确到0.1mm)．
分析：要求管道的展直长度，即求 根根弧长公式l＝AB的长，的长，其中n为圆心角，R为半径．
解：R＝40mm，n＝110．
∴ AB的长＝
nπR
可求得 AB180
n110πR＝×40π≈76.8mm． 180180
因此，管道的展直长度约为76.8mm．
四、弧长与扇形面积的关系
[师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝
nnπR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝π180360
R2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之
间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流．
nn2
πR，S扇形＝πR， 180360n1n12
∴πR＝R·πR．∴S扇形＝lR． 36021802
[生]∵l＝
五、扇形面积的应用
AB的长(结果精确到0.1cm)和扇扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求
形AOB的面积(结果精确到0.1cm)
分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，本题
中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．
2
AB的长＝解：
120
π×12≈25.1cm． 180
障城中学九年级数学教案
S扇形＝
12022
π×12≈150.7cm． 360
2
因此， AB的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm． 三．课堂练习 随堂练习
四．课时小结
本节课学习了如下内容：
n
πR，并运用公式进行计算； 180n2
2．探索扇形的面积公式S＝πR，并运用公式进行计算；
360
1．探索弧长的计算公式l＝
3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方． 五．课后作业 习题3．10 反思：
圆锥的侧面积
教学目标
(一)教学知识点
1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．
2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题． (二)能力训练要求
1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．
2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力．
(三)情感与价值观要求 让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．
教学重点 1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．
2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题． 教学难点
经历探索圆锥侧面积计算公式． 教学时间：
障城中学九年级数学教案
教学过程
一．创设问题情境，引入新课
[师]大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？ [主]见过，如漏斗、蒙古包．
[师]你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流． [生]圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的．
[师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这些问题．
二．新课讲解
一、探索圆锥的侧面展开图的形状
[师]讨论圆锥的侧面展开图是什么形状？ [生]圆锥的侧面展开图是扇形． 二、探索圆锥的侧面积公式
[师]圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线(generating line)长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S＝
1
·2πr·l＝π2
rl．因此圆锥的侧面积为S侧＝πrl．
圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积(surfacearea)，全面积为S全＝2
πr＋πrl．
三、利用圆锥的侧面积公式进行计算． 1、圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果
2
精确到0.1cm)
分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的周长，从中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的弧长．在高h、底面圆的半径r、母线l组成的直角三角形中，根据勾股定理求出母线l，代入S侧＝πrl中即可．
障城中学九年级数学教案
解：设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm，则r＝
58 2π
l≈22.03cm， S圆锥侧＝πrl≈
12
×58×22.03＝638.87cm． 2
2
638.87×20＝12777.4cm．
2
所以，至少需要12777.4cm的纸．
2、如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝13cm，一条直角边AC＝5cm，以直线AB
为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．
三．课堂练习 随堂练习
四．课时小结
本节课学习了如下内容：
探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算． 五．课后作业 习题3．11 反思：
回顾与思考
教学目标
障城中学九年级数学教案
(一)教学知识点
1．掌握本章的知识结构图． 2．探索圆及其相关结论． 3．掌握并理解垂径定理．
4．认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理． 5．掌握圆心角和圆周角的关系定理． (二)能力训练要求
1．通过探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力．
2．用折叠、旋转的方法探索圆的对称性，以及圆心角、弧、弦之间关系的定理，发展学生的动手操作能力．
(三)情感与价值观要求
通过学生自己归纳总结本章内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面。 教学重点
掌握圆的定义，圆的对称性，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆心角和圆周角的关系．对这些内容不仅仅是知道结论，要注重它们的推导过程和运用．
教学难点
上面这些内容的推导及应用． 教学时间： 教学过程
一．回顾本章内容
[师]本章的内容已全部学完，大家能总结一下我们都学过哪些内容吗？ [生]首先，我们学习了圆的定义；知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且有旋转不变性的特点；利用轴对称变换的方法探索出垂径定理及逆定理；用旋转变换的方法探索圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；用推理证明的方法研究了
圆心角和圆周角的关系；又研
究了确定圆的条件；点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系；圆的切线的性质和判断；探究了圆弧长和扇形面积公式，圆锥的侧面积
障城中学九年级数学教案
二．具体内容巩固
[师]上面我们大致梳理了一下本章内容，现在我们具体地进行回顾． 一、圆的有关概念及性质
[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．定点为圆心，定长为半径．
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是圆心，圆还具有旋转不变性．
二、垂径定理及其逆定理
[生]垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． 1．如图(1)，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC
，D、E为垂足，则四边形ADOE是正方形吗？请说明理由．
2．如图(2)，在⊙O中，半径为50mm，有长50mm的弦AB，C为AB的中点，则OC垂 直于AB吗？OC的长度是多少？
三、圆心角、弧、弦之间关系定理 [师]大家先回忆一下本部分内容．
[生]在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
[师]下面我们进行有关练习 (投影片C)
1．如图在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的
1
，圆的半径为2cm，求AB的长． 3
[生]解：由题意可知 AB的度数为120°， ∴∠AOB＝120°．
作OC⊥AB，垂足为C，则 ∠AOC＝60°，AC＝BC． 在Rt△ABC中，
AC＝OAsin60°＝2×sin60°＝2
∴AB＝2AC＝
．
= 四、圆心角与圆周角的关系
[生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 五、弧长，扇形面积，圆锥的侧面积和全面积
[师]我们经过探索，归纳出弧长、扇形面积、圆锥的侧面积公式，大家不仅要牢记公式，而且要把它的由来表述清楚，由于时间关系，我们在这里不推导公式的由来，只是让学生掌握公式并能运用．
[生]弧长公式l＝
nπR
，π是圆心角，R为半径． 180
nπR21
扇形面积公式S＝或S＝lR．n为圆心角，R为扇形的半径，l为扇形
3602
弧长．
圆锥的侧面积S侧＝πrl，其中l为圆锥的母线长，r为底面圆的半径． S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2． 三．课时小结
本节课我们复习巩固了圆的概念及对称性；垂径定理及其逆定理；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；圆心角和圆周角的关系；弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积．
四．课后作业 复习题
例题：水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m，求
2
截面上有水的弓形的面积(精确到0.01m)．
解：如图，在⊙O中，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交 AB于点C．
∵OA＝0.6，DC＝0.3，
∴OD＝0.6－0.3＝0.3，∠AOD＝60°，AD＝0.
． ∵S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB，
120 22
·0.6＝0.12π(m)， 36011
S△OAB＝AB·OD＝×0.
0.3＝0.
2)
22
∴S扇形OACB＝
∴S弓形ACB＝0.12π－0.
0.22(m)．
2
反思：
回顾与思考(2)
教学目标
(一)教学知识点
1．了解点与圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系． 2．了解切线的概念，切线的性质及判定． 3．会过圆上一点画圆的切线． (二)能力训练要求
1．通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．
2．通过探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式，发展学生的探索能力．
(三)情感与价值观要求
1．通过探索有关公式，让学生懂得数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
2．经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
教学重点
1．探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．
2．探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．
教学难点
探索各种位置关系及切线的性质． 教学时间： 教学过程
Ⅰ．回顾本章内容
[师]上节课我们对本章的所有知识进行了回顾，并讨论了这些知识间的关系，绘制了本章知识结构图，还对一部分内容进行了回顾，本节课继续进行有关知识的巩固．
Ⅱ．具体内容巩固 一、确定圆的条件
经过一个点可以作无数个圆． 经过两点也可以作无数个圆．
经过在同一直线上的三点不能作圆．
经过不在同一直线上的三点只能作一个圆．
[师]经过不在同一条直线上的四个点A、B、C、D能确定一个圆吗？
障城中学九年级数学教案
[生]不一定，过不在同一条直线上的三点，我们可以确定一个圆，如果另外一个点到圆心的距离等于半径，则说明四个点在同一个圆上，如果另外一个点到圆心的距离不等于半径，说明四个点不在同一个圆上．
例题讲解
矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？
[师]请大家互相交流．
[生]解：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
∵四边形ABCD为矩形， ∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴A、B、C、D四点到定点O的距离都等于矩形对角线的一半． ∴A、B、C、D四点在以O为圆心，OA为半径的圆上． 二、三种位置关系
[师]我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；圆和圆的位置关系．下面我们逐一来回顾．
1．点和圆的位置关系
[生]点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．判断一个点是在圆的什么部位，就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系，如果这个距离大于半径，说明这个点在圆外；如果这个距离等于半径，说明这个点在圆上；如果这个距离小于半径，说明这个点在圆内．
[师]总结得不错，下面看具体的例子． 1．⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的 距离d＝OD＝3 m．在直线l上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎样的？
2．菱形各边的中点在同一个圆上吗？
分析：要判断某些点是否在圆上，只要看这些点到圆心的距离是否等于半径． [生]1．解：如图(1)，在Rt△OPD中，
障城中学九年级数学教案
∵OD＝3，PD＝4，
∴OP5＝r． 所以点P在圆上．
同理可知OR5，OQ5．
所以点R在圆内，点Q在圆外． 2．直线和圆的位置关系
[生]直线和圆的位置关系也有三种，即相离、相切、相交，当直线和圆有两个公共点时，此时直线与圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆相切；当直线和圆没有公共点时，此时直线和圆相离．
[师]总结得不错，判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢？
[生]有两种方法，一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，另一种是比较圆心到直线的距离d与半径的大小．
当d＜r时，直线和圆相交； 当d＝r时，直线和圆相切； 当d＞r时，直线和圆相离．
[师]很好，下面我们做一个练习． (投影片C) 如图，点A的坐标是(－4，3)，以点A为圆心，4为半径作圆，则⊙A与x
轴、y轴、原点有怎样的位置关系？
分析：因为x轴、y轴是直线，所以要判断⊙A与x轴、y轴的位置关系，即是判断直线与圆的位置关系，根据条件需用圆心A到直线的距离d与半径r比较．O是点，⊙A与原点即是求点和圆的位置关系，通过求OA与r作比较即可．
障城中学九年级数学教案
[生]解：∵A点的坐标是(－4，3)，
∴A点到x轴、y轴的距离分别是3和4． 又因为⊙A的半径为4，
∴A点到x轴的距离小于半径，到y轴的距离等于半径． ∴⊙A与x轴、y轴的位置关系分别为相交、相切．
由勾股定理可求出OA的距离等于5，因为OA＞4，所以点O在圆外．
[师]上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系，下面我们要对相切这种位置关系进行深层次的研究，即切线的性质和判定．
[生]切线的性质是：圆的切线垂直于过切点的直径．
切线的判定是：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线． [师]下面我们看它们的应用． 如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，D是AB上一点，以
BD为直径的⊙O切AC于点E，求AD的长．
如图(2)，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠CAE＝∠B，你认为AE与⊙O相切吗？为什么？
3．圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系有三大类，即相离、相切、相交，其中相离包括外离和内含，相切包括外切和内切，因此也可以说圆和圆的位置关系有五种，即外离、外切、相交、内切、内含．
[师]别的判定方法？
[生]还有用圆心距d和两圆的半径R、r之间的关系 当d＞R＋r时，两圆外离；
当R－r＜d＜R＋r时，两圆相交；． d＜R－r，∴两圆的位置关系是内含；
d＝r－R，∴两圆的位置关系是内切； d＝R＋r，∴两圆的位置关系是外切；
R－r＜d＜R＋r，∴两圆的位置关系是相交； 三．课堂练习
画三个半径分别为2cm、2.5cm、4cm的圆，使它他们两两外切． 四．课时小结
本节课巩固了如何确定圆；点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系； 五．课后作业 复习题 反思：
圆教案
九 年 级
冯秀敏
圆
第1课时
教学目标
知识与技能：了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．
过程与方程：从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．
情感态度与价值观：培养学生合作交流的能力和自主探究的习惯。形成良好的学习意识。
重难点、关键
1．重点：垂径定理及其运用．
2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题． 教学时间： 教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学） 1．举出生活中的圆三、四个．
2．你能讲出形成圆的方法有多少种？
老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆． 二、探索新知
从以上圆的形成过程，我们可以得出： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 学生四人一组讨论下面的两个问题：
问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？ 问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 老师提问几名学生并点评总结．
（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形． 同时，我们又把
①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB； ②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；
AC” ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作 ，AC”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示 ABC叫做优弧，•小于读作“圆弧
叫做劣弧．
AC或BC半圆的弧（如图所示）
④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
三、教学小结：
对于本节你有何收获？ 四、作业 课后1、2题
反思：
第2课时
教学时间： 教学过程： 一、导入新课
请同学们回答下面两个问题． 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？ 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．
（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，•我能找到无数多条直径．
3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的． 因此，我们可以得到：
二、讲新知
1、 （学生活动）请同学按下面要求完成下题：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．
， ，即直径CD平分弦AB，并且平分 AC=BC （2）AM=BM， AD=BDAB
及 ADB．
2、 下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M
， . AC=BCAD=BD 求证：AM=BM，
分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连
结OA、•OB或AC、BC即可．
证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB 在Rt△OAM和Rt△OBM中
⎧OA=OB
⎨
OM=OM⎩
∴Rt△OAM≌Rt△OBM
∴AM=BM
∴点A和点B关于CD对称 ∵⊙O
关于直径CD对称
重合， 重AC与BC ∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合， AD与BD
合．
， AC=BC ∴ AD=BD
（本题的证明作为课后练习） 三、巩固练习
，点O是CD 的圆心，例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD
上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路•其中CD=600m，E为CD
的半径．
分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 解：如图，连接OC
设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m
∵OE⊥CD
11
∴CF=CD=×600=300（m）
22
2
2
2
根据勾股定理，得：OC=CF+OF 即R2=3002+（R-90）2 解得R=545
∴这段弯路的半径为545m． 四、应用拓展
例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=•60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m•是否需要采取紧急措施，•只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R． 解：不需要采取紧急措施
设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18
R2=302+（R-18）2 R2=900+R2-36R+324
解得R=34（m）
B
连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16
342=162+（34-x）2
162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0
解得x1=4，x2=64（不合设） ∴DE=4
∴不需采取紧急措施．
五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握：
1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 2．垂径定理及其推论以及它们的应用． 六、布置作业
1． 复习巩固1、2、3．
反思：
第二课时作业设计
一、选择题．
1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（ ）．
=BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD
A．CE=DE B．BC
(1) (2) (3)
2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
3．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，•则下列结论中不
正确的是（ ）
D．PO=PD AD=BDA．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C．
二、填空题
中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则1．如图4，AB为⊙O直径，E是BC
AC=_____．
A
B
(4) (5)
2．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．
3．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）
4、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，则⊙O的半径为_______。
5、在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP＝____ _。
6、已知圆的半径为5cm，一弦长为8cm，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。
7、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是
2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。
8、在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为_____ _。
9、如图，在⊙O中，OA是半径，弦AB＝cm，D是弧AB的中点，OD交AB于点C，若∠OAB＝300，则⊙O的半径____cm。 三、综合提高题
1．如图24-11，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM•⊥CD，•分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．
2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
3．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=•8，•求∠DAC的度数．
圆心角
教学内容
1．圆心角的概念．
2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
教学目标
知识与技能：了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．
过程与方法： 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
情感态度与价值观：学会应用所学的定理解决一些具体问题，培养学生的数学做题能力。
重难点、关键
1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．
2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 教学时间： 教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下题．
已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形．
A
B
老师点评：绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB′=30°． 二、探索新知
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：
如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
B'
AB= A'B'，AB=A′B′
理由：∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′ ∴半径OB与OB′重合
∵点A与点A′重合，点B与点B′重合
AB与 A'B'重合，弦AB与弦A′B′重合 ∴
AB= A'B'，AB=A′B′ ∴
因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？•请同学们现在动手作一作．
（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O和⊙O′中，•分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．
'
B
A'
(1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现： AB= A'B'，AB=A/B/．
现在它的证明方法就转化为前面的说明了，•这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弧也相等．
（学生活动）请同学们现在给予说明一下． 请三位同学到黑板板书，老师点评．
例1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
的大小有什么关系？AB与CD的大小有什AB与CD（2）如果OE=OF，那么
么关系？•为什么？∠
AOB与∠COD呢？
分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．
（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中， 又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt•△COF，
∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到 AB=CD
解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF
理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD
∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=
11AB，CF=CD 22
∴AE=CF
又∵OA=OC
∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴OE=OF
，∠AOB=∠COD （2）如果OE=OF，那么AB=CD， AB=CD
理由是：
∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF
又∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=
11AB，CF=CD 22
∴AB=2AE，CD=2CF
∴AB=CD
，∠AOB=∠COD AB=CD ∴
三、巩固练习
教材P89 练习1 教材P90 练习2． 四、应用拓展
例2．如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD•相交于MN•上的一点P，•∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
P
(3) (4)
分析：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，•只要说明它们的一半相等．
上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（1）AB=CD
理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF
连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE
根据垂径定理可得：AB=CD
（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F
∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF
连接OA、OB、OC、OD
易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD
五、归纳总结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆心角概念．
2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用． 六、布置作业
1．教材P94-95 复习巩固4、5、6、7、8． 反思：．
圆心角作业设计
一、选择题．
1．如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对
2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（ ）
B． C． D．不能确定 A． AB=2CDAB>CDAB
A．AB=AC B．AB=AC C．AB2AC
A
A
B
(5) (6)
二、填空题
1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________． 2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．
3．如图6，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________． 三、解答题
1．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥
AB，M、N•在⊙O上．
； AM=BN （1）求证：
=NB
成立吗？ AM=MN（2）若C、D分别为OA、OB中点，则
2．如图，以
ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于
的度数和EF 的度数．
E、F，若∠D=50°，求BE
3．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、
F，求证：AE=BF=CD．
圆周角
教学内容
1．圆周角的概念．
2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用． 教学目标
知识与技能：了解圆周角的概念．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．
过程与方法： 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导。
情感态度与价值观：让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题． 重、难点
1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．
2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 教学时间： 教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？
2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？
老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．
刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题． 二、探索新知
问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，•设球员们只能在
所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像EF
∠EAF、∠EBF、∠ECF
这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．
1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”
（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示 ∵∠AOC是△ABO的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=
1
∠AOC 2
C
（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD
的两侧，那么∠ABC=
1
∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程． 2
老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．
（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，
那么∠ABC=
1
∠AOC吗？请同学们独立完成证明． 2
111
∠AOD-∠COD=∠AOC 222
老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=
现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，•同样可证得它等于同弧上圆心
角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．
从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．
例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？
分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D
是BC的中点，•只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可． 解：BD=CD
理由是：如图24-30，连接AD ∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°即AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD
三、巩固练习 ．教材思考题．
四、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；
2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；
3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 五、布置作业
教材综合运用9、10、11 拓广探索12、13． 反思：
圆周角作业设计
一、选择题
1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ）．
A．140° B．110° C．120° D．130°
(1) (2) (3) 2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A．∠4
C．∠4
3．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则
BC等于（ ）．
A．3 B
．．5-
二、填空题
1．半径为2a的⊙O中，弦AB
的长为，则弦AB所对的圆周角的度数是________．
2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•
12
．5
B
(4) (5)
3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______． 三、综合提高题
1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．
2．如图，已知AB=AC，∠APC=60° （1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．
3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标
为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB为⊙C直径．
（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．
障城中学九年级数学教案
点和圆的位置关系
教学目标
知识与技能：了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
过程与方法：1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．
情感态度与价值观：1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
教学重点
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．
2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 教学难点
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．
教学时间： 教学过程
一．创设问题情境，引入新课
[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点„„呢？本节课我们将进行有关探索．
二．新课讲解 1．回忆及思考
1．线段垂直平分线的性质及作法． 2．作圆的关键是什么？
[生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于
1
AB长为半径画弧，在AB的两2
侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等．
障城中学九年级数学教案
[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？
[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．
2．做一做 (1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
(2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？
[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答．
[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．
(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．
(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．
因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．
[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？
3．过不在同一条直线上的三点作圆．
投影片(§3．4C)
他作的圆符合要求吗？与同伴交流．
[生]符合要求．
因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等；连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的满足条件．
[师]由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
4．有关定义
由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆这个三角形叫这个圆的内接三角形．
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
三．课堂练习
已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？
解：如下图．
O为外接圆的圆心，即外心．
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．
四．课时小结
本节课所学内容如下：
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程．
方法．
3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念．
五．课后作业
习题3．6
反思：
直线和圆的位置关系
教学目标
知识与技能：1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．
过程与方法：1．经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力．2．通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化．
情感与价值观：通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点
经历探索直线与圆位置关系的过程．
理解直线与圆的三种位置关系．
教学难点
经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系． 探索圆的切线的性质．
教学时间：
教学过程
一．创设问题情境，引入新课
[师]我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？
[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．即圆上的点到圆心的距离等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径．因此点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外．也可以把点与圆心的距离和半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内．
[师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系．
二．新课讲解
1．复习点到直线的距离的定义
[生]从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离．
如下图，C为直线AB外一点，从C向AB引垂线，D为垂足，则线段CD即为点C到直线AB的距离．
2．探索直线与圆的三种位置关系
[师]直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的．如大家请看课本113页，观察图中的三幅照片，地平线和太阳的位置关系怎样？作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
障城中学九年级数学教案
[生]把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；把直尺的边缘看成一条直线，则直线和圆有三种位置关系．
[师]从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢？
[生]有三种位置关系：
[师]直线和圆有三种位置关系，如下图：
它们分别是相交、相切、相离．
当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点)，这条直线叫做圆的切线(tangent line)．
当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．
当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，你能总结吗？
[生]当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切；
当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；
当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离．
[师]能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离d和半径r作比较，类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定三种位置关系呢？
[生]如上图中，圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相交时，d＜r；当直线与圆相切时，d＝r；当直线与圆相离时，d＞r，因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系．
[师]由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法．一种是从直线与圆的公共点的个数来断定；一种是用d与r的大小关系来断定．
(1)从公共点的个数来判断： 直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．
(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断：
d＜r时，直线与圆相交；
d＝r时，直线与圆相切；
d＞r时，直线与圆相离．
[例1]已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm．
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
障城中学九年级数学教案
(2)以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
分析：根据d与r间的数量关系可知：
d＝r时，相切；d＜r时，相交；d＞r时，相离．
3．议一议
(1)你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？
(2)上图(1)中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？
(3)如图(2)，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD
有怎样的位置关系？说一说你的理由．
对于(3)，小颖和小亮都认为直径AB垂直于CD．你同意他们的观点吗？
[师]请大家发表自己的想法．
[生](1)把一只筷子放在碗上，把碗看作圆，筷子看作直线，这时直线与圆相交；
自行车的轮胎在地面上滚动，车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相切； 杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相离．
(2)图(1)中的三个图形是轴对称图形．因为沿着d所在的直线折叠，直线两旁的部分都能完全重合．对称轴是d所在的直线，即过圆心O且与直线l垂直的直线．
(3)所谓两条直线的位置关系，即为相交或平行，相交又分垂直和斜交，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，因为图(2)是轴对称图形，AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此∠BAC＝∠BAD＝90°．
[师]因为直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，直线CD是⊙O的切线，因此有圆的切线垂直于过切点的直径．
这是圆的切线的性质，下面我们来证明这个结论．
在图(2)中，AB与CD要么垂直，要么不垂直．假设AB与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD、垂足为M，则OM＜OA，即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此CD与⊙O相交，这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾，所以AB与CD垂直．
这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不成立推出和已知条件或定理相矛盾．第三步是肯定假设错误，故结论成立．
三．课堂练习
随堂练习
四．课时小结
本节课学习了如下内容：
1．直线与圆的三种位置关系．
(1)从公共点数来判断．
(2)从d与r间的数量关系来判断．
2．圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
五．课后作业
习题3．7
反思：
切线的性质
障城中学九年级数学教案
切线的判定方法
教学目标
(一)教学知识点1．能判定一条直线是否为圆的切线．2．会过圆上一点画圆的切线．3．会作三角形的内切圆．
(二)能力训练要求1．通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．2．会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力．
(三)情感与价值观要求
经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
教学重点
探索圆的切线的判定方法，并能运用．
作三角形内切圆的方法．
教学难点
探索圆的切线的判定方法．
教学时间：
教学过程
一．创设问题情境，引入新课
[师]上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径．
二．新课讲解
1．探索切线的判定条件
如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠α，当l绕点
A旋转时，
(1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？
(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
障城中学九年级数学教案
[师]大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见．
[师]通过旋转可知，随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当∠α＝90°时，d达到最大．此时d＝r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小．第
(2)题就解决了．
[师]从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线？请大家互相交流．
[生]直线l垂直于直径AB，并经过直径的一端A点．
[师]很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
2．做一做
已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．
分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手．
[生]如下图．
(1)连接OA．
(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．
3．如何作三角形的内切圆．
如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．
分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．
解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如下图)．
(2)过I作ID⊥BC，垂足为D．
(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I．
⊙I就是所求的圆．
障城中学九年级数学教案
[师]由例题可知，BE和CF只有一个交点I，并且I到△ABC三边的距离相等，为什么？
[生]∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分线CF上，∴ID＝IN，∴ID＝IM＝IN．这是根据角平分线的性质定理得出的．
[师]因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
4．例题讲解
如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB．
求证：AT是⊙O的切线．
分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT＝AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°．
由三角形内角和可证∠TAB＝90°，即AT⊥AB．
请大家自己写步骤．
[生]证明：∵AB＝AT，∠ABT＝45°．
∴∠ATB＝∠ABT＝45°．
∴∠TAB＝180°－∠ABT－∠ATB＝90°．
∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线．
三．课堂练习
随堂练习
四．课时小结
本节课学习了以下内容：
1．探索切线的判定条件．
2．会经过圆上一点作圆的切线．
五．课后作业
习题3．8
反思：
第2课时切线的课练
教学时间： 教学过程： 1、活动与探究
已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．
求证：DC是⊙O的切线．
分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．
证明：连结OD．
∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，
∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4．
∵OD＝OB，OC＝OC， ∴△ODC≌△OBC． ∴∠ODC＝∠OBC． ∵BC是⊙O的切线， ∴∠OBC＝90°． ∴∠ODC＝90°． ∴DC是⊙O的切线．
2、复习切线的性质和判定定理。 3、课练：学案 4、作业：3、5 反思：
圆和圆的位置关系
教学目标
(一)教学知识点1．了解圆与圆之间的几种位置关系．2．了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．
(二)能力训练要求1．经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力．2．通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．
(三)情感与价值观要求1．通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．2．经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维．
教学重点
探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．
教学难点
探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程．
教学时间： 教学过程
一．创设问题情境，引入新课
[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交．它们的位置关系都有三种．今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢？下面我们就来进行有关探讨．
二．新课讲解 一、想一想
[师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢？
[生]如自行车的两个车轮间的位置关系；车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系；用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等．
二、探索圆和圆的位置关系
在一张透明纸上作一个⊙O．再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系？
[师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流． [生]我总结出共有五种位置关系，如下图：
障城中学九年级数学教案
[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗？从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑．
[生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；
(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；
(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；
(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部； (5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．
[师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗？
[生]外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点；相交有两个公共点．
[师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种． 经过大家的讨论我们可知： (1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．
⎧外离
(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离⎨，
内含⎩
相切⎨
⎧外切
⎩内切．
四、议一议
设两圆的半径分别为R和r．
(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系？反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗？
(2)当两圆内切时(R＞r)，圆心距d与R和r具有怎样的关系？反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗？
[师]如图，请大家互相交流．
障城中学九年级数学教案
[生]在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A＋O2A＝R＋r，即d＝R＋r；反之，当d＝R＋r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．
在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B．因为切点B在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1B－O2B，即d＝R－r；反之，当d＝R－r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2＝O1B－O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．
[师]由此可知，当两圆相外切时，有d＝R＋r，反过来，当d＝R＋r时，两圆相外切，即两圆相外切⇔d＝R＋r．
当两圆相内切时，有d＝R－r，反过来，当d＝R－r时，两圆相内切，即两圆相内切⇔d＝R－r．
三．课堂练习 随堂练习
四．课时小结
本节课学习了如下内容：
1．探索圆和圆的五种位置关系；
2．讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系；
五．课后作业 习题3．9 反思：
弧长及扇形的面积
教学目标
(一)教学知识点1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．
(二)能力训练要求1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．
(三)情感与价值观要求：经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
教学重点
弧长及扇形面积计算公式． 教学难点
用公式解决实际问题． 教学时间：
障城中学九年级数学教案
教学过程
一．创设问题情境，引入新课
[师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．
二．新课讲解 一、复习
1．圆的周长如何计算？ 2．圆的面积如何计算？ 3．圆的圆心角是多少度？
2
[生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr，圆的圆心角是360°． 二、探索弧长的计算公式
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm．
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
[生]解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm；
20ππ
=cm； 36018
20πnπ
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送n×＝cm． =
360180
(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送
[师]根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗？请大家互相交流．
[生]根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长2πR，那么1°的圆心
2πRπR
，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长=
360180πRnπR
的n倍，即n×． =
180180
角对应的弧长为
[师]表述得非常棒．
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：
障城中学九年级数学教案
l＝
nπR
． 180
下面我们看弧长公式的运用． 三、例题讲解
制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即 AB的长(结果精确到0.1mm)．
分析：要求管道的展直长度，即求 根根弧长公式l＝AB的长，的长，其中n为圆心角，R为半径．
解：R＝40mm，n＝110．
∴ AB的长＝
nπR
可求得 AB180
n110πR＝×40π≈76.8mm． 180180
因此，管道的展直长度约为76.8mm．
四、弧长与扇形面积的关系
[师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝
nnπR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝π180360
R2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之
间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流．
nn2
πR，S扇形＝πR， 180360n1n12
∴πR＝R·πR．∴S扇形＝lR． 36021802
[生]∵l＝
五、扇形面积的应用
AB的长(结果精确到0.1cm)和扇扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求
形AOB的面积(结果精确到0.1cm)
分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，本题
中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．
2
AB的长＝解：
120
π×12≈25.1cm． 180
障城中学九年级数学教案
S扇形＝
12022
π×12≈150.7cm． 360
2
因此， AB的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm． 三．课堂练习 随堂练习
四．课时小结
本节课学习了如下内容：
n
πR，并运用公式进行计算； 180n2
2．探索扇形的面积公式S＝πR，并运用公式进行计算；
360
1．探索弧长的计算公式l＝
3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方． 五．课后作业 习题3．10 反思：
圆锥的侧面积
教学目标
(一)教学知识点
1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．
2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题． (二)能力训练要求
1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．
2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力．
(三)情感与价值观要求 让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．
教学重点 1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．
2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题． 教学难点
经历探索圆锥侧面积计算公式． 教学时间：
障城中学九年级数学教案
教学过程
一．创设问题情境，引入新课
[师]大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？ [主]见过，如漏斗、蒙古包．
[师]你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流． [生]圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的．
[师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这些问题．
二．新课讲解
一、探索圆锥的侧面展开图的形状
[师]讨论圆锥的侧面展开图是什么形状？ [生]圆锥的侧面展开图是扇形． 二、探索圆锥的侧面积公式
[师]圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线(generating line)长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S＝
1
·2πr·l＝π2
rl．因此圆锥的侧面积为S侧＝πrl．
圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积(surfacearea)，全面积为S全＝2
πr＋πrl．
三、利用圆锥的侧面积公式进行计算． 1、圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果
2
精确到0.1cm)
分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的周长，从中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的弧长．在高h、底面圆的半径r、母线l组成的直角三角形中，根据勾股定理求出母线l，代入S侧＝πrl中即可．
障城中学九年级数学教案
解：设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm，则r＝
58 2π
l≈22.03cm， S圆锥侧＝πrl≈
12
×58×22.03＝638.87cm． 2
2
638.87×20＝12777.4cm．
2
所以，至少需要12777.4cm的纸．
2、如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝13cm，一条直角边AC＝5cm，以直线AB
为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．
三．课堂练习 随堂练习
四．课时小结
本节课学习了如下内容：
探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算． 五．课后作业 习题3．11 反思：
回顾与思考
教学目标
障城中学九年级数学教案
(一)教学知识点
1．掌握本章的知识结构图． 2．探索圆及其相关结论． 3．掌握并理解垂径定理．
4．认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理． 5．掌握圆心角和圆周角的关系定理． (二)能力训练要求
1．通过探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力．
2．用折叠、旋转的方法探索圆的对称性，以及圆心角、弧、弦之间关系的定理，发展学生的动手操作能力．
(三)情感与价值观要求
通过学生自己归纳总结本章内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面。 教学重点
掌握圆的定义，圆的对称性，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆心角和圆周角的关系．对这些内容不仅仅是知道结论，要注重它们的推导过程和运用．
教学难点
上面这些内容的推导及应用． 教学时间： 教学过程
一．回顾本章内容
[师]本章的内容已全部学完，大家能总结一下我们都学过哪些内容吗？ [生]首先，我们学习了圆的定义；知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且有旋转不变性的特点；利用轴对称变换的方法探索出垂径定理及逆定理；用旋转变换的方法探索圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；用推理证明的方法研究了
圆心角和圆周角的关系；又研
究了确定圆的条件；点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系；圆的切线的性质和判断；探究了圆弧长和扇形面积公式，圆锥的侧面积
障城中学九年级数学教案
二．具体内容巩固
[师]上面我们大致梳理了一下本章内容，现在我们具体地进行回顾． 一、圆的有关概念及性质
[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．定点为圆心，定长为半径．
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是圆心，圆还具有旋转不变性．
二、垂径定理及其逆定理
[生]垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． 1．如图(1)，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC
，D、E为垂足，则四边形ADOE是正方形吗？请说明理由．
2．如图(2)，在⊙O中，半径为50mm，有长50mm的弦AB，C为AB的中点，则OC垂 直于AB吗？OC的长度是多少？
三、圆心角、弧、弦之间关系定理 [师]大家先回忆一下本部分内容．
[生]在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
[师]下面我们进行有关练习 (投影片C)
1．如图在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的
1
，圆的半径为2cm，求AB的长． 3
[生]解：由题意可知 AB的度数为120°， ∴∠AOB＝120°．
作OC⊥AB，垂足为C，则 ∠AOC＝60°，AC＝BC． 在Rt△ABC中，
AC＝OAsin60°＝2×sin60°＝2
∴AB＝2AC＝
．
= 四、圆心角与圆周角的关系
[生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 五、弧长，扇形面积，圆锥的侧面积和全面积
[师]我们经过探索，归纳出弧长、扇形面积、圆锥的侧面积公式，大家不仅要牢记公式，而且要把它的由来表述清楚，由于时间关系，我们在这里不推导公式的由来，只是让学生掌握公式并能运用．
[生]弧长公式l＝
nπR
，π是圆心角，R为半径． 180
nπR21
扇形面积公式S＝或S＝lR．n为圆心角，R为扇形的半径，l为扇形
3602
弧长．
圆锥的侧面积S侧＝πrl，其中l为圆锥的母线长，r为底面圆的半径． S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2． 三．课时小结
本节课我们复习巩固了圆的概念及对称性；垂径定理及其逆定理；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；圆心角和圆周角的关系；弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积．
四．课后作业 复习题
例题：水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m，求
2
截面上有水的弓形的面积(精确到0.01m)．
解：如图，在⊙O中，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交 AB于点C．
∵OA＝0.6，DC＝0.3，
∴OD＝0.6－0.3＝0.3，∠AOD＝60°，AD＝0.
． ∵S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB，
120 22
·0.6＝0.12π(m)， 36011
S△OAB＝AB·OD＝×0.
0.3＝0.
2)
22
∴S扇形OACB＝
∴S弓形ACB＝0.12π－0.
0.22(m)．
2
反思：
回顾与思考(2)
教学目标
(一)教学知识点
1．了解点与圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系． 2．了解切线的概念，切线的性质及判定． 3．会过圆上一点画圆的切线． (二)能力训练要求
1．通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．
2．通过探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式，发展学生的探索能力．
(三)情感与价值观要求
1．通过探索有关公式，让学生懂得数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
2．经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
教学重点
1．探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．
2．探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．
教学难点
探索各种位置关系及切线的性质． 教学时间： 教学过程
Ⅰ．回顾本章内容
[师]上节课我们对本章的所有知识进行了回顾，并讨论了这些知识间的关系，绘制了本章知识结构图，还对一部分内容进行了回顾，本节课继续进行有关知识的巩固．
Ⅱ．具体内容巩固 一、确定圆的条件
经过一个点可以作无数个圆． 经过两点也可以作无数个圆．
经过在同一直线上的三点不能作圆．
经过不在同一直线上的三点只能作一个圆．
[师]经过不在同一条直线上的四个点A、B、C、D能确定一个圆吗？
障城中学九年级数学教案
[生]不一定，过不在同一条直线上的三点，我们可以确定一个圆，如果另外一个点到圆心的距离等于半径，则说明四个点在同一个圆上，如果另外一个点到圆心的距离不等于半径，说明四个点不在同一个圆上．
例题讲解
矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？
[师]请大家互相交流．
[生]解：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
∵四边形ABCD为矩形， ∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴A、B、C、D四点到定点O的距离都等于矩形对角线的一半． ∴A、B、C、D四点在以O为圆心，OA为半径的圆上． 二、三种位置关系
[师]我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；圆和圆的位置关系．下面我们逐一来回顾．
1．点和圆的位置关系
[生]点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．判断一个点是在圆的什么部位，就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系，如果这个距离大于半径，说明这个点在圆外；如果这个距离等于半径，说明这个点在圆上；如果这个距离小于半径，说明这个点在圆内．
[师]总结得不错，下面看具体的例子． 1．⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的 距离d＝OD＝3 m．在直线l上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎样的？
2．菱形各边的中点在同一个圆上吗？
分析：要判断某些点是否在圆上，只要看这些点到圆心的距离是否等于半径． [生]1．解：如图(1)，在Rt△OPD中，
障城中学九年级数学教案
∵OD＝3，PD＝4，
∴OP5＝r． 所以点P在圆上．
同理可知OR5，OQ5．
所以点R在圆内，点Q在圆外． 2．直线和圆的位置关系
[生]直线和圆的位置关系也有三种，即相离、相切、相交，当直线和圆有两个公共点时，此时直线与圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆相切；当直线和圆没有公共点时，此时直线和圆相离．
[师]总结得不错，判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢？
[生]有两种方法，一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，另一种是比较圆心到直线的距离d与半径的大小．
当d＜r时，直线和圆相交； 当d＝r时，直线和圆相切； 当d＞r时，直线和圆相离．
[师]很好，下面我们做一个练习． (投影片C) 如图，点A的坐标是(－4，3)，以点A为圆心，4为半径作圆，则⊙A与x
轴、y轴、原点有怎样的位置关系？
分析：因为x轴、y轴是直线，所以要判断⊙A与x轴、y轴的位置关系，即是判断直线与圆的位置关系，根据条件需用圆心A到直线的距离d与半径r比较．O是点，⊙A与原点即是求点和圆的位置关系，通过求OA与r作比较即可．
障城中学九年级数学教案
[生]解：∵A点的坐标是(－4，3)，
∴A点到x轴、y轴的距离分别是3和4． 又因为⊙A的半径为4，
∴A点到x轴的距离小于半径，到y轴的距离等于半径． ∴⊙A与x轴、y轴的位置关系分别为相交、相切．
由勾股定理可求出OA的距离等于5，因为OA＞4，所以点O在圆外．
[师]上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系，下面我们要对相切这种位置关系进行深层次的研究，即切线的性质和判定．
[生]切线的性质是：圆的切线垂直于过切点的直径．
切线的判定是：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线． [师]下面我们看它们的应用． 如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，D是AB上一点，以
BD为直径的⊙O切AC于点E，求AD的长．
如图(2)，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠CAE＝∠B，你认为AE与⊙O相切吗？为什么？
3．圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系有三大类，即相离、相切、相交，其中相离包括外离和内含，相切包括外切和内切，因此也可以说圆和圆的位置关系有五种，即外离、外切、相交、内切、内含．
[师]别的判定方法？
[生]还有用圆心距d和两圆的半径R、r之间的关系 当d＞R＋r时，两圆外离；
当R－r＜d＜R＋r时，两圆相交；． d＜R－r，∴两圆的位置关系是内含；
d＝r－R，∴两圆的位置关系是内切； d＝R＋r，∴两圆的位置关系是外切；
R－r＜d＜R＋r，∴两圆的位置关系是相交； 三．课堂练习
画三个半径分别为2cm、2.5cm、4cm的圆，使它他们两两外切． 四．课时小结
本节课巩固了如何确定圆；点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系； 五．课后作业 复习题 反思：