2018届高三第三次月考
数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页． 考试结束后，将答卷纸和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试卷上的答案无效。． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
一、选择题： 1．
A.
=（ ）
B.
C.
D.
⎧x -1⎫
2．设集合A ={x |x >3}, B =⎨x |
⎩x -4⎭
A. ∅
B. (3,4) C. (-2,1) D. (4. +∞)
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ( ) ．
⎧x ＋1，x >0，
4．已知函数f (x ) ＝⎨则下列结论正确的是 ( )
cos x ，x ≤0，⎩A. f (x ) 是偶函数
B. f (x ) 是增函数
D. f (x ) 的值域为[－1，＋∞)
2
C. f (x ) 是周期函数
5．设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
π
6． 设0＜θ＜2a ＝(sin 2θ，cos θ) ，b ＝(cos θ，1) ，若a ∥b ，则tan θ＝（ ） A ．2
B ．3
C ．
D ．
7．直线l 经过点A (1，2) ，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3) ，则其斜率的取值范围是( ) 1⎛
－1， A. 5⎝⎭
1⎫⎛
－∞， B. ∪(1，＋∞) 2⎪⎝⎭
⎛1⎫
D.(－∞，－1) ∪ 2，＋∞⎪
⎝⎭
⎛1⎫
C.(－∞，－1) ∪ 5⎪
⎝⎭
8．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A.14万元 C.18万元
B.16万元 D.20万元
9．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器. 已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A.80元
B.120元
C.160元
D.240元
10．设△ABC 是等腰三角形，∠ABC =120 ，则以A ，B 为焦点且过点C 的椭圆的离心
率为（ ）
A ．
2-1
2
B ．
-1
2
C ． 2-1 D ．-1
11． 如图，已知六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形，
PA ⊥平面ABC , PA =2AB 则下列结论正确的是（ ） A. PB ⊥AD
B. 平面PAB ⊥平面PBC C. 直线BC ∥平面PAE
D. 直线PD 与平面ABC 所成的角为45°
12．在抛物线y =x 2+ax -5(a ≠0) 上取横坐标为x 1=-4、x 2=2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2+5y 2=36相切，则抛物线顶点的
坐标为（ ）
A ．(1,-6)
B ．
C ．(2,-9)
D ．(-2, -9)
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．不等式x +x 3≥0的解集是 .
14．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“ 远看巍巍塔七层，红光点点倍
加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”。 这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？
你算出顶层有 盏灯.
15．已知二次函数f (x ) 的二次项系数为a ，且不等式f (x ) >-2x 的解集为(1，3) . 若f (x ) 的最大值为正数，则a 的取值范围是 .
16．设m ∈R ，过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx -y -m +3=0交于
点P (x , y ) ，则|PA |+|PB |的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
x 已知函数f (x ) ＝sin x －23sin 2 2. (1)求f (x ) 的最小正周期；
2π⎡0，(2)求f (x ) 在区间⎢上的最小值. 3⎣⎦
18．（本小题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋„＋log 2a n ，求使(n －8) b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立的实数k 的取值范围.
19、(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，且AB ＝2，∠BAD ＝60°. (1)求证：OM ∥平面P AB ； (2)求证：平面PBD ⊥平面P AC ；
3
(3)当三棱锥M －BCD 的体积等于4时，求PB 的长.
20．（本小题满分12分）
已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2，0) ，边AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，点(－1，1) 在边AD 所在的直线上. (1)求矩形ABCD 的外接圆的方程；
(2)已知直线l ：(1－2k ) x ＋(1＋k ) y －5＋4k ＝0(k ∈R ) ，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程.
21．（本小题满分12分）
设a ∈R ，函数f (x ) =ax 3-3x 2．
（Ⅰ）若x =2是函数y =f (x ) 的极值点，求a 的值；
（Ⅱ）若函数g (x ) =f (x ) +f '(x ) ，x ∈[0，2]，在x =0处取得最大值，求a 的取值范围． 22．（本小题满分12分）
x 2y 2 已知椭圆C :2+2=1(a >b >
0) ，过右焦点F 的直线l 与C 相交
a b 于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l
（I ）求a ，b 的值； （II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，
有OP =OA +OB 成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；
若不存在，说明理由。
金川总校第一高级中学2018届高三第三次月考
数学（文科） 参考答案和评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一、选择题
1.A 2．B 3．D 4．D 5．D 6．C 7．D 8．C 9．C 10．B 11．D 12．D 二、填空题
13． 14． 15．
．
三、解答题 17．解：
16
．
解 (1)因为f (x ) ＝sin x ＋3cos x －3………….. …2分 ⎛π＝2sin x ＋3－3 …………………4. 分.
⎝⎭所以f (x ) 的最小正周期为2π…………………………………5分 2πππ
(2)因为0≤x ≤33x ＋3π……………………….6分 π2π
当x ＋3π，即x ＝3时，f (x ) 取得最小值………………….8分 2π⎡⎛2π所以f (x ) 在区间⎢0，3上的最小值为f 33……………..10分
⎣⎦⎝⎭
18．解 (1)由S n ＝2a n －2可得a 1＝2，…………..1分
∵S n ＝2a n －2，
a ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即＝2…………..3分
a n －1
∴数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n (n ∈N *) ….5分
n （n ＋1）
(2)b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋„＋log 2a n ＝1＋2＋3＋„＋n ＝由(n －8) b n ≥nk 对任意
2n ∈N *恒成立，
（n －8）（n ＋1）*
即实数≥k 对n ∈N 恒成立；
2
1
设c n ＝2n －8)(n ＋1) ，则当n ＝3或4时，取得最小值为－10，∴k ≤－10. …….12分
19．解：
(1)证明 ∵在△PBD 中，O ，M 分别是BD ，PD 的中点， ∴OM 是△PBD 的中位线，∴OM ∥PB .
∵OM ⊄平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，∴OM ∥平面P AB …………………..4分 (2)证明 ∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥BD .
∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC . 又AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，AC ∩P A ＝A ，∴BD ⊥平面P AC .
∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面P AC …………………………….8分 (3)解 ∵底面ABCD 是菱形，M 是PD 的中点， 11
∴V M －BCD ＝2V M －ABCD ＝4P －ABCD ，从而V P －ABCD ＝3. 又AB ＝2，∠BAD ＝60°，∴S 菱形ABCD ＝3. ∵四棱锥P －ABCD 的高为P A ， 13∴3×23×P A ＝3，得P A ＝2，
∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB . 在Rt △P AB 中，PB P A ＋AB ＝
5⎛32
2＋22＝..12分
2⎝⎭
20．(1)解 ∵l AB ：x －3y －6＝0且AD ⊥AB ，
点(－1，1) 在边AD 所在的直线上，∴AD 所在直线的方程是y －1＝－3(x ＋1) ， ⎧x －3y －6＝0，
即3x ＋y ＋2＝0. 由⎨得A (0，－2).
⎩3x ＋y ＋2＝0，
∴|AP |＝4＋4＝22，∴矩形ABCD 的外接圆的方程是(x －2) 2＋y 2＝8………….6分 (2)证明 直线l 的方程可化为k (－2x ＋y ＋4) ＋x ＋y －5＝0，
l 可看作是过直线－2x ＋y ＋4＝0和x ＋y －5＝0的交点(3，2) 的直线系， 即l 恒过定点Q (3，2) ，由(3－2) 2＋22＝5
设PQ 与l 的夹角为θ，则d ＝|PQ |·sin θ＝5sin θ， 当θ＝90°时，d 最大，|MN |最短.
1此时l 的斜率为PQ 的斜率的负倒数，即－2，
1
故l 的方程为y －2＝－x －3) ，x ＋2y －7＝0……………………………12分
2
21．解：
2
（Ⅰ）f '(x ) =3ax -6x =3x (ax -2) ．
因为x =2是函数y =f (x ) 的极值点，所以f '(2)=0，即6(2a -2) =0，因此a =1． 经验证，当a =1时，x =2是函数y =f (x ) 的极值点． ····················································· 4分 （Ⅱ）由题设，g (x ) =ax -3x +3ax -6x =ax (x +3) -3x (x +2) ． 当g (x ) 在区间[0，2]上的最大值为g (0)时，
3
2
2
2
g (0)≥g (2)，
即0≥20a -24．
6
． ····························································································································· 9分 5
6
反之，当a ≤时，对任意x ∈[0，2]，
5
故得a ≤
6
g (x ) ≤x 2(x +3) -3x (x +2)
53x
=(2x 2+x -10) 53x =(2x +5)(x -2) 5
≤0，
而g (0)=0，故g (x ) 在区间[0，2]上的最大值为g (0)．
综上，a 的取值范围为 -∞⎥． ························································································· 12分
⎛
⎝6⎤5⎦
22．解:(I）设F (c ,0) ，直线l :x -y -c =0，由坐标原点O 到l
c c =1.
又e ==∴a =b =.4分 =
a 2x 2y 2
+=1. 设A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) （II ）由(I）知椭圆的方程为C :
32
由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设 l :x =my +1
22
代入椭圆的方程中整理得(2m +3) y +4my -4=0，显然∆>0。
4m 4
, y y =-, ．．．．．．．．① 1222
2m +32m +3
. 假设存在点P ，使OP =OA +OB 成立，则其充要条件为：
由韦达定理有：y 1+y 2=-
(x 1+x 2) 2(y 1+y 2) 2
+=1。 点P 的坐标为(x 1+x 2, y 1+y 2) ，点P 在椭圆上，即
32
整理得2x 12+3y 12+2x 22+3y 22+4x 1x 2+6y 1y 2=6。 又A 、B 在椭圆上，即2x 12+3y 12=6,2x 22+3y 22=6.
故2x 1x 2+3y 1y 2+3=0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
2
将x 1x 2=(my 1+1)(my 2+1) =m 2y 1y 2+m (y 1+y 2) +1及①代入②解得m =
1 2
4m 233+2=, x 1+x 2=-,
即∴y 1+y 2=-P (, .
2m 2+322
当m =
3, P (, -l :x =y +1;
2222
3, P (l :x =y +1……………………………12分 当m =2
2018届高三第三次月考
数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页． 考试结束后，将答卷纸和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试卷上的答案无效。． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
一、选择题： 1．
A.
=（ ）
B.
C.
D.
⎧x -1⎫
2．设集合A ={x |x >3}, B =⎨x |
⎩x -4⎭
A. ∅
B. (3,4) C. (-2,1) D. (4. +∞)
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ( ) ．
⎧x ＋1，x >0，
4．已知函数f (x ) ＝⎨则下列结论正确的是 ( )
cos x ，x ≤0，⎩A. f (x ) 是偶函数
B. f (x ) 是增函数
D. f (x ) 的值域为[－1，＋∞)
2
C. f (x ) 是周期函数
5．设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
π
6． 设0＜θ＜2a ＝(sin 2θ，cos θ) ，b ＝(cos θ，1) ，若a ∥b ，则tan θ＝（ ） A ．2
B ．3
C ．
D ．
7．直线l 经过点A (1，2) ，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3) ，则其斜率的取值范围是( ) 1⎛
－1， A. 5⎝⎭
1⎫⎛
－∞， B. ∪(1，＋∞) 2⎪⎝⎭
⎛1⎫
D.(－∞，－1) ∪ 2，＋∞⎪
⎝⎭
⎛1⎫
C.(－∞，－1) ∪ 5⎪
⎝⎭
8．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A.14万元 C.18万元
B.16万元 D.20万元
9．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器. 已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A.80元
B.120元
C.160元
D.240元
10．设△ABC 是等腰三角形，∠ABC =120 ，则以A ，B 为焦点且过点C 的椭圆的离心
率为（ ）
A ．
2-1
2
B ．
-1
2
C ． 2-1 D ．-1
11． 如图，已知六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形，
PA ⊥平面ABC , PA =2AB 则下列结论正确的是（ ） A. PB ⊥AD
B. 平面PAB ⊥平面PBC C. 直线BC ∥平面PAE
D. 直线PD 与平面ABC 所成的角为45°
12．在抛物线y =x 2+ax -5(a ≠0) 上取横坐标为x 1=-4、x 2=2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2+5y 2=36相切，则抛物线顶点的
坐标为（ ）
A ．(1,-6)
B ．
C ．(2,-9)
D ．(-2, -9)
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．不等式x +x 3≥0的解集是 .
14．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“ 远看巍巍塔七层，红光点点倍
加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”。 这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？
你算出顶层有 盏灯.
15．已知二次函数f (x ) 的二次项系数为a ，且不等式f (x ) >-2x 的解集为(1，3) . 若f (x ) 的最大值为正数，则a 的取值范围是 .
16．设m ∈R ，过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx -y -m +3=0交于
点P (x , y ) ，则|PA |+|PB |的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
x 已知函数f (x ) ＝sin x －23sin 2 2. (1)求f (x ) 的最小正周期；
2π⎡0，(2)求f (x ) 在区间⎢上的最小值. 3⎣⎦
18．（本小题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋„＋log 2a n ，求使(n －8) b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立的实数k 的取值范围.
19、(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，且AB ＝2，∠BAD ＝60°. (1)求证：OM ∥平面P AB ； (2)求证：平面PBD ⊥平面P AC ；
3
(3)当三棱锥M －BCD 的体积等于4时，求PB 的长.
20．（本小题满分12分）
已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2，0) ，边AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，点(－1，1) 在边AD 所在的直线上. (1)求矩形ABCD 的外接圆的方程；
(2)已知直线l ：(1－2k ) x ＋(1＋k ) y －5＋4k ＝0(k ∈R ) ，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程.
21．（本小题满分12分）
设a ∈R ，函数f (x ) =ax 3-3x 2．
（Ⅰ）若x =2是函数y =f (x ) 的极值点，求a 的值；
（Ⅱ）若函数g (x ) =f (x ) +f '(x ) ，x ∈[0，2]，在x =0处取得最大值，求a 的取值范围． 22．（本小题满分12分）
x 2y 2 已知椭圆C :2+2=1(a >b >
0) ，过右焦点F 的直线l 与C 相交
a b 于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l
（I ）求a ，b 的值； （II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，
有OP =OA +OB 成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；
若不存在，说明理由。
金川总校第一高级中学2018届高三第三次月考
数学（文科） 参考答案和评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一、选择题
1.A 2．B 3．D 4．D 5．D 6．C 7．D 8．C 9．C 10．B 11．D 12．D 二、填空题
13． 14． 15．
．
三、解答题 17．解：
16
．
解 (1)因为f (x ) ＝sin x ＋3cos x －3………….. …2分 ⎛π＝2sin x ＋3－3 …………………4. 分.
⎝⎭所以f (x ) 的最小正周期为2π…………………………………5分 2πππ
(2)因为0≤x ≤33x ＋3π……………………….6分 π2π
当x ＋3π，即x ＝3时，f (x ) 取得最小值………………….8分 2π⎡⎛2π所以f (x ) 在区间⎢0，3上的最小值为f 33……………..10分
⎣⎦⎝⎭
18．解 (1)由S n ＝2a n －2可得a 1＝2，…………..1分
∵S n ＝2a n －2，
a ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即＝2…………..3分
a n －1
∴数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n (n ∈N *) ….5分
n （n ＋1）
(2)b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋„＋log 2a n ＝1＋2＋3＋„＋n ＝由(n －8) b n ≥nk 对任意
2n ∈N *恒成立，
（n －8）（n ＋1）*
即实数≥k 对n ∈N 恒成立；
2
1
设c n ＝2n －8)(n ＋1) ，则当n ＝3或4时，取得最小值为－10，∴k ≤－10. …….12分
19．解：
(1)证明 ∵在△PBD 中，O ，M 分别是BD ，PD 的中点， ∴OM 是△PBD 的中位线，∴OM ∥PB .
∵OM ⊄平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，∴OM ∥平面P AB …………………..4分 (2)证明 ∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥BD .
∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC . 又AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，AC ∩P A ＝A ，∴BD ⊥平面P AC .
∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面P AC …………………………….8分 (3)解 ∵底面ABCD 是菱形，M 是PD 的中点， 11
∴V M －BCD ＝2V M －ABCD ＝4P －ABCD ，从而V P －ABCD ＝3. 又AB ＝2，∠BAD ＝60°，∴S 菱形ABCD ＝3. ∵四棱锥P －ABCD 的高为P A ， 13∴3×23×P A ＝3，得P A ＝2，
∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB . 在Rt △P AB 中，PB P A ＋AB ＝
5⎛32
2＋22＝..12分
2⎝⎭
20．(1)解 ∵l AB ：x －3y －6＝0且AD ⊥AB ，
点(－1，1) 在边AD 所在的直线上，∴AD 所在直线的方程是y －1＝－3(x ＋1) ， ⎧x －3y －6＝0，
即3x ＋y ＋2＝0. 由⎨得A (0，－2).
⎩3x ＋y ＋2＝0，
∴|AP |＝4＋4＝22，∴矩形ABCD 的外接圆的方程是(x －2) 2＋y 2＝8………….6分 (2)证明 直线l 的方程可化为k (－2x ＋y ＋4) ＋x ＋y －5＝0，
l 可看作是过直线－2x ＋y ＋4＝0和x ＋y －5＝0的交点(3，2) 的直线系， 即l 恒过定点Q (3，2) ，由(3－2) 2＋22＝5
设PQ 与l 的夹角为θ，则d ＝|PQ |·sin θ＝5sin θ， 当θ＝90°时，d 最大，|MN |最短.
1此时l 的斜率为PQ 的斜率的负倒数，即－2，
1
故l 的方程为y －2＝－x －3) ，x ＋2y －7＝0……………………………12分
2
21．解：
2
（Ⅰ）f '(x ) =3ax -6x =3x (ax -2) ．
因为x =2是函数y =f (x ) 的极值点，所以f '(2)=0，即6(2a -2) =0，因此a =1． 经验证，当a =1时，x =2是函数y =f (x ) 的极值点． ····················································· 4分 （Ⅱ）由题设，g (x ) =ax -3x +3ax -6x =ax (x +3) -3x (x +2) ． 当g (x ) 在区间[0，2]上的最大值为g (0)时，
3
2
2
2
g (0)≥g (2)，
即0≥20a -24．
6
． ····························································································································· 9分 5
6
反之，当a ≤时，对任意x ∈[0，2]，
5
故得a ≤
6
g (x ) ≤x 2(x +3) -3x (x +2)
53x
=(2x 2+x -10) 53x =(2x +5)(x -2) 5
≤0，
而g (0)=0，故g (x ) 在区间[0，2]上的最大值为g (0)．
综上，a 的取值范围为 -∞⎥． ························································································· 12分
⎛
⎝6⎤5⎦
22．解:(I）设F (c ,0) ，直线l :x -y -c =0，由坐标原点O 到l
c c =1.
又e ==∴a =b =.4分 =
a 2x 2y 2
+=1. 设A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) （II ）由(I）知椭圆的方程为C :
32
由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设 l :x =my +1
22
代入椭圆的方程中整理得(2m +3) y +4my -4=0，显然∆>0。
4m 4
, y y =-, ．．．．．．．．① 1222
2m +32m +3
. 假设存在点P ，使OP =OA +OB 成立，则其充要条件为：
由韦达定理有：y 1+y 2=-
(x 1+x 2) 2(y 1+y 2) 2
+=1。 点P 的坐标为(x 1+x 2, y 1+y 2) ，点P 在椭圆上，即
32
整理得2x 12+3y 12+2x 22+3y 22+4x 1x 2+6y 1y 2=6。 又A 、B 在椭圆上，即2x 12+3y 12=6,2x 22+3y 22=6.
故2x 1x 2+3y 1y 2+3=0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
2
将x 1x 2=(my 1+1)(my 2+1) =m 2y 1y 2+m (y 1+y 2) +1及①代入②解得m =
1 2
4m 233+2=, x 1+x 2=-,
即∴y 1+y 2=-P (, .
2m 2+322
当m =
3, P (, -l :x =y +1;
2222
3, P (l :x =y +1……………………………12分 当m =2