八年级数学培优训练题
1.
m
A (－1，3) ，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经x
过点A 和点C (0，4），且与反比例函数的图象相交于另一点B (1) 求这两个函数的解析式； (2) 求点B 的坐标． 如图，已知反比例函数y ＝
2．
如图1，把边长为2cm 的正方形沿图中虚线剪成四个全等的直角三角形．请你用这四个直角三角形分别拼成符合下列（1）、（2）、（3）要求的图形(每次拼成的图形必须全部用上这四个直角三角形，且这四个直角三角形互相没有重叠部分，也不留空隙) 各一个，并按实际大小把你拼出的图形画在相应的方格纸内(方格纸内每个小方格是边长为1cm 的正方形) ．
(1) 不是正方形的菱形
(2) 不是正方形的矩形
(3) 梯形
图1
3．(12分) 如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点
(不与A 、B 重合) ．连接OP 交对角线AC 于E 连接BE ． (1) 证明：∠APD ＝∠CBE ；(6分) (2) 若∠DAB ＝60º，试问P 点运动到什么位置时，△ADP
1
的面积等于菱形ABCD 面积的(6分)
4
D A
C
4．(7分) 如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接BE 、DG ．
(1) 求证：BE ＝DG ；
(2) 图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不
存在，请说明理由．
5．(7分) 在直角坐标系中直接画出函数y ＝|x |的图象．若一次函数y ＝kx ＋b 的图象分别过
⎧y ＝|x |
点A (－1，1) 、B (2，2) ，请你依据这两个函数的图象写出方程组⎨的解．
⎩y ＝kx ＋b
6．(8分) 如图，反比例函数y ＝
m 1 5
x ＞0) 的图象与一次函数y ＝－＋A 、B x 22
1
两点，点C 的坐标为(1，，连接AC ，AC ∥y 轴．
2
(1) 求反比例函数的解析式及点B 的坐标；
(2) 现有一个直角三角板，让它的直角顶点P 在反比例函数图象上A 、B 之间的部分滑动(不与A 、B 重合) ，两直角边始终分别平行于x 轴、y 轴，且与线段AB 交于M 、N 两点，试判断P 点在滑动过程中△PMN 是否与△CBA 总相似？简要说明判断理由．
7．（本题满分8分）
如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 'C 'D '． （1）证明△A 'AD '≌△CC 'B ；
（2）若∠ACB =30°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC 'D '是菱形，
D '
并请说明理由． D
C A ' A
B
（第19题） 8．（本题满分10分） 问题背景：
在△ABC 中，AB 、BC 、AC
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC 的面积直接填写在横线上．__________________ 思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．若△
ABC 三边的长分别为
、．．．，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相
（a >0）应的△ABC ，并求出它的面积． 探索创新：
（3）若△
ABC
m >0，n >0，且m ≠n ），试运用构图法求出这三角形的面积． ．．．
B
C
（图①）
（图②）
9．（本小题满分5分）
如图，A 、B 、C 为一个平行四边形的三个顶点，且A 、B 、C 三点的坐标分别为(3，3) 、
(6，、（4) 4，6）．
（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）求此平行四边形的面积．
10．（本小题满分8分）
如图，将矩形纸片ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B 落到点B '的位置，AB '与CD 交于点E ．
（1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明；
PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ．（2）若AB =8，DE =3，P 为线段AC 上任意一点，试
求PG +PH 的值，并说明理由． D C
P 11．（本小题满分8分）
甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABC 、线段DE 分别表示甲、乙两车所行路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB 表示甲出发不足2小时因故停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决如下问题： （1）求乙车所行路程y 与时间x 的函数关系式；
（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；
（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？（写出解题过程）
答案：
1
解：作BE ⊥CD 于E ，
可得Rt △BED 和矩形ACEB ， 则有CE =AB =16，AC =BE ，
，DE =BE =AC 在Rt △BED 中，∠DBE =45°
在Rt △
DAC 中，∠DAC =60°，DC =AC tan60︒=， 16+DE =DC ，
∴16+AC =，解得：AC =8，所以塔CD
的高度为24) 米． 2
解：（1）△AED ≌△CEB '
证明： 四边形ABCD 为矩形，
（1分） （1分） （1分） （2分）
（2分） （1分）
∴B 'C =BC =AD ，∠B '=∠B =∠D =90°， 又 ∠B 'EC =∠DEA ， ∴△AED ≌△CEB '．
（2）由已知得：∠EAC =∠CAB 且∠CAB =∠ECA ∴∠EAC =∠ECA ∴AE =EC =8-3=5 在△ADE 中，AD =4 延长HP 交AB 于M 则PM ⊥AB ∴PG =PM
∴PG +PH =PM +PH =HM =AD =4
3
（1分） （1分）
（2分）
（2分） （1分）
解：（1）设乙车所行路程y 与时间x 的函数关系式为y =k 1x +b 1，把（2，0）和（10，480）代入，得⎨
⎧2k 1+b 1=0⎧k 1=60
，解得⎨
10k +b =480⎩11⎩b 1=-120，
∴y 与x 的函数关系式为y =60x -120．
（2分）
（2）由图可得，交点F 表示第二次相遇，F 点横坐标为6，此时y =60⨯6-120=240，
∴F 点坐标为（6，240），
∴两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程为240千米．
（1分）
（3）设线段BC 对应的函数关系式为y =k 2x +b 2，把（6，240）、（8，480）代入，得
⎧⎨6k 2+b 2=240，解得⎧k 2=120
， ⎩8k 2+b 2=480⎨
⎩b 2
=-480∴y 与x 的函数关系式为y =120x -480． ∴当x =4.5时，y =120⨯4.5-480=60． ∴点B 的纵坐标为60，
AB 表示因故停车检修， ∴交点P 的纵坐标为60．
把y =60代入y =60x -120中，有60=60x -120，解得x =3， ∴交点P 的坐标为（3，60）
． 交点P 表示第一次相遇，
∴乙车出发3-2=1小时，两车在途中第一次相遇． 4
解：（1） 抛物线y =
13
x 2
+bx +
c 经过A (B 0，-3）两点，
⎧12
∴⎪⎨(+c =0，
⎪3
⎩c =-3. ⎧
解得⎪⎨b = ⎪⎩c =-3.
∴
此抛物线的解析式为：y =13x 2x -3． （2）由（1）可得此抛物线的对称轴l
为x = 顶点C
的坐标为-4) ．
（3）证明： 过A 、
B 两点的直线解析式为y =-3，
∴
当x =y =-6．∴点D 的纵坐标为-6，∴CD =-6--4=2．
（2分）
（1分）
（1分） （1分）
（1分）
（1分）
（1分）
（2分） （2分） （1分）
作BE ⊥l 于点E
，则BE =
CE =4-3=
1，由勾股定理得BC ==2， ∴BC =DC .
（2分）
28．（本小题满分10分） 解：（1）由题意可得∠BCD =∠BOA =90°，∠CBD =∠OBA ，∴△BCD ∽△BOA
∴
BC CD
= BO OA
t 2
而CD =OE =t ，BC =8-CO =8-，OA =4，
t
=t 解得t =16， 则
5848-
∴当点D 在直线AB 上时，t =
16
． 5
（2）当t =4时，点E 与A 重合，设CD 与AB 交于点F ，
CF OA
=则由△CBF ∽△OBA 得， CB OB
CF 4
=，解得CF =3， 即
8-28
11
∴S =OC (OE +CF ) =⨯2⨯(3+4) =7
22
1612
（3）①当0
52
1617
②当
516
1
③当4
161612
分析：①当0
52
16
②当
5
（2分）
（3分） （1分） （1分） （1分） A (4，，（0) B 0，8），
（1）
∴直线AB 的解析式为y =-2x +8，
t t ⎫⎛∴G (t ，-2t +8) ，F 4-⎪，
42⎭⎝55
∴DF =t -4，DG =t -8，
42
17t 1⎛5⎫⎛5⎫
∴S =S 矩形COED -S △DFG =t - t -4⎪t -8⎪=-t 2+10t -
16
1622⎝4⎭⎝2⎭
③当4
∴△BCF ∽△BOA ， ∴BC CF BO =OA ， 8-
t ∴8=CF 4
， ∴CF =4-t
4
，
∴S =S S 11⎛t ⎫⎛t ⎫1
△BOA -△BCF =2⨯4⨯8-2⨯ ⎝4-4⎪⎭⎝8-2⎪⎭=-16
t 2+2t （4）8
分析：由题意可知把S =12代入S =-
116
t 2
+2t 中， -
12
16
t +2t =12 整理，得 t 2
-32t +192=0 解得 t 1=8，t 2=24>16（舍去）
∴ 当S =12时，t =8．
（3）
（2分）
八年级数学培优训练题
1.
m
A (－1，3) ，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经x
过点A 和点C (0，4），且与反比例函数的图象相交于另一点B (1) 求这两个函数的解析式； (2) 求点B 的坐标． 如图，已知反比例函数y ＝
2．
如图1，把边长为2cm 的正方形沿图中虚线剪成四个全等的直角三角形．请你用这四个直角三角形分别拼成符合下列（1）、（2）、（3）要求的图形(每次拼成的图形必须全部用上这四个直角三角形，且这四个直角三角形互相没有重叠部分，也不留空隙) 各一个，并按实际大小把你拼出的图形画在相应的方格纸内(方格纸内每个小方格是边长为1cm 的正方形) ．
(1) 不是正方形的菱形
(2) 不是正方形的矩形
(3) 梯形
图1
3．(12分) 如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点
(不与A 、B 重合) ．连接OP 交对角线AC 于E 连接BE ． (1) 证明：∠APD ＝∠CBE ；(6分) (2) 若∠DAB ＝60º，试问P 点运动到什么位置时，△ADP
1
的面积等于菱形ABCD 面积的(6分)
4
D A
C
4．(7分) 如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接BE 、DG ．
(1) 求证：BE ＝DG ；
(2) 图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不
存在，请说明理由．
5．(7分) 在直角坐标系中直接画出函数y ＝|x |的图象．若一次函数y ＝kx ＋b 的图象分别过
⎧y ＝|x |
点A (－1，1) 、B (2，2) ，请你依据这两个函数的图象写出方程组⎨的解．
⎩y ＝kx ＋b
6．(8分) 如图，反比例函数y ＝
m 1 5
x ＞0) 的图象与一次函数y ＝－＋A 、B x 22
1
两点，点C 的坐标为(1，，连接AC ，AC ∥y 轴．
2
(1) 求反比例函数的解析式及点B 的坐标；
(2) 现有一个直角三角板，让它的直角顶点P 在反比例函数图象上A 、B 之间的部分滑动(不与A 、B 重合) ，两直角边始终分别平行于x 轴、y 轴，且与线段AB 交于M 、N 两点，试判断P 点在滑动过程中△PMN 是否与△CBA 总相似？简要说明判断理由．
7．（本题满分8分）
如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 'C 'D '． （1）证明△A 'AD '≌△CC 'B ；
（2）若∠ACB =30°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC 'D '是菱形，
D '
并请说明理由． D
C A ' A
B
（第19题） 8．（本题满分10分） 问题背景：
在△ABC 中，AB 、BC 、AC
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC 的面积直接填写在横线上．__________________ 思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．若△
ABC 三边的长分别为
、．．．，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相
（a >0）应的△ABC ，并求出它的面积． 探索创新：
（3）若△
ABC
m >0，n >0，且m ≠n ），试运用构图法求出这三角形的面积． ．．．
B
C
（图①）
（图②）
9．（本小题满分5分）
如图，A 、B 、C 为一个平行四边形的三个顶点，且A 、B 、C 三点的坐标分别为(3，3) 、
(6，、（4) 4，6）．
（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）求此平行四边形的面积．
10．（本小题满分8分）
如图，将矩形纸片ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B 落到点B '的位置，AB '与CD 交于点E ．
（1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明；
PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ．（2）若AB =8，DE =3，P 为线段AC 上任意一点，试
求PG +PH 的值，并说明理由． D C
P 11．（本小题满分8分）
甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABC 、线段DE 分别表示甲、乙两车所行路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB 表示甲出发不足2小时因故停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决如下问题： （1）求乙车所行路程y 与时间x 的函数关系式；
（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；
（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？（写出解题过程）
答案：
1
解：作BE ⊥CD 于E ，
可得Rt △BED 和矩形ACEB ， 则有CE =AB =16，AC =BE ，
，DE =BE =AC 在Rt △BED 中，∠DBE =45°
在Rt △
DAC 中，∠DAC =60°，DC =AC tan60︒=， 16+DE =DC ，
∴16+AC =，解得：AC =8，所以塔CD
的高度为24) 米． 2
解：（1）△AED ≌△CEB '
证明： 四边形ABCD 为矩形，
（1分） （1分） （1分） （2分）
（2分） （1分）
∴B 'C =BC =AD ，∠B '=∠B =∠D =90°， 又 ∠B 'EC =∠DEA ， ∴△AED ≌△CEB '．
（2）由已知得：∠EAC =∠CAB 且∠CAB =∠ECA ∴∠EAC =∠ECA ∴AE =EC =8-3=5 在△ADE 中，AD =4 延长HP 交AB 于M 则PM ⊥AB ∴PG =PM
∴PG +PH =PM +PH =HM =AD =4
3
（1分） （1分）
（2分）
（2分） （1分）
解：（1）设乙车所行路程y 与时间x 的函数关系式为y =k 1x +b 1，把（2，0）和（10，480）代入，得⎨
⎧2k 1+b 1=0⎧k 1=60
，解得⎨
10k +b =480⎩11⎩b 1=-120，
∴y 与x 的函数关系式为y =60x -120．
（2分）
（2）由图可得，交点F 表示第二次相遇，F 点横坐标为6，此时y =60⨯6-120=240，
∴F 点坐标为（6，240），
∴两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程为240千米．
（1分）
（3）设线段BC 对应的函数关系式为y =k 2x +b 2，把（6，240）、（8，480）代入，得
⎧⎨6k 2+b 2=240，解得⎧k 2=120
， ⎩8k 2+b 2=480⎨
⎩b 2
=-480∴y 与x 的函数关系式为y =120x -480． ∴当x =4.5时，y =120⨯4.5-480=60． ∴点B 的纵坐标为60，
AB 表示因故停车检修， ∴交点P 的纵坐标为60．
把y =60代入y =60x -120中，有60=60x -120，解得x =3， ∴交点P 的坐标为（3，60）
． 交点P 表示第一次相遇，
∴乙车出发3-2=1小时，两车在途中第一次相遇． 4
解：（1） 抛物线y =
13
x 2
+bx +
c 经过A (B 0，-3）两点，
⎧12
∴⎪⎨(+c =0，
⎪3
⎩c =-3. ⎧
解得⎪⎨b = ⎪⎩c =-3.
∴
此抛物线的解析式为：y =13x 2x -3． （2）由（1）可得此抛物线的对称轴l
为x = 顶点C
的坐标为-4) ．
（3）证明： 过A 、
B 两点的直线解析式为y =-3，
∴
当x =y =-6．∴点D 的纵坐标为-6，∴CD =-6--4=2．
（2分）
（1分）
（1分） （1分）
（1分）
（1分）
（1分）
（2分） （2分） （1分）
作BE ⊥l 于点E
，则BE =
CE =4-3=
1，由勾股定理得BC ==2， ∴BC =DC .
（2分）
28．（本小题满分10分） 解：（1）由题意可得∠BCD =∠BOA =90°，∠CBD =∠OBA ，∴△BCD ∽△BOA
∴
BC CD
= BO OA
t 2
而CD =OE =t ，BC =8-CO =8-，OA =4，
t
=t 解得t =16， 则
5848-
∴当点D 在直线AB 上时，t =
16
． 5
（2）当t =4时，点E 与A 重合，设CD 与AB 交于点F ，
CF OA
=则由△CBF ∽△OBA 得， CB OB
CF 4
=，解得CF =3， 即
8-28
11
∴S =OC (OE +CF ) =⨯2⨯(3+4) =7
22
1612
（3）①当0
52
1617
②当
516
1
③当4
161612
分析：①当0
52
16
②当
5
（2分）
（3分） （1分） （1分） （1分） A (4，，（0) B 0，8），
（1）
∴直线AB 的解析式为y =-2x +8，
t t ⎫⎛∴G (t ，-2t +8) ，F 4-⎪，
42⎭⎝55
∴DF =t -4，DG =t -8，
42
17t 1⎛5⎫⎛5⎫
∴S =S 矩形COED -S △DFG =t - t -4⎪t -8⎪=-t 2+10t -
16
1622⎝4⎭⎝2⎭
③当4
∴△BCF ∽△BOA ， ∴BC CF BO =OA ， 8-
t ∴8=CF 4
， ∴CF =4-t
4
，
∴S =S S 11⎛t ⎫⎛t ⎫1
△BOA -△BCF =2⨯4⨯8-2⨯ ⎝4-4⎪⎭⎝8-2⎪⎭=-16
t 2+2t （4）8
分析：由题意可知把S =12代入S =-
116
t 2
+2t 中， -
12
16
t +2t =12 整理，得 t 2
-32t +192=0 解得 t 1=8，t 2=24>16（舍去）
∴ 当S =12时，t =8．
（3）
（2分）