3-1-2空间向量的乘法运算

3.1.2空间向量的乘法运算

一、选择题

→→→→

1．设M是△ABC的重心，记a＝BC，b＝CA，c＝AB，a＋b＋c＝0，则AM为( ) A.C.

b－c

2b－c

3

B.c－b

2c－b

3

D.

[答案] D

[解析] M为△ABC重心，

→21→→1→→1则AM＝(AB＋AC)＝(AB＋AC)(c－b)．

3233

2．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为一定点，O为平面ABC外任一点，则→

下列能表示向量OP的为(

)

→→→A.OA＋2AB＋2AC →→→B.OA－3AB－2AC →→→C.OA＋3AB－2AC →→→D.OA＋2AB－3AC [答案] C

→→→→→→

[解析] 根据A，B，C，P四点共面的条件即可求得AP＝xAB＋yAC.即OP＝OA＋xAB＋→yAC，

由图知x＝3，y＝－2

3．当|a|＝|b|≠0，且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是( ) A．共面 C．共线 [答案] A

[解析] 本题考查空间两向量的关系．由空间任何两个向量一定为共面向量可知选A. 4．i∥\ j，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的( ) A．充分非必要条件

B．不共面 D．无法确定

B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 [答案] A

[解析] 本题考查空间三个向量共面的条件．若i不平行j，则k与i，j共面⇔存在惟一的一对实数x，y使k＝xi＋yj.故选A.

5．对空间任一点O和不共线三点A、B、C，能得到P、A、B、C四点共面的是( ) →→→→A.OP＝OA＋OB＋OC →1→1→1→B.OP＝OA＋OB＋

333→→1→1→

C.OP＝－OA＋OB＋OC

22D．以上皆错 [答案] B

111

[解析] 解法一：＝1，∴选B.

333→1→1→1→

解法二：∵OP＝＋＋，

333→→→→

∴3OP＝OA＋OB＋OC，

→→→→→→∴OP－OA＝(OB－OP)＋(OC－OP)， →→→∴AP＝PB＋PC，

→→→

∴PA＝－PB－PC，∴P、A、B、C共面．

6．已知正方体ABCD－A′B′C′D′ ，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分1→

点，且AF，则AF等于( )

2

1→1→→

A.AA′＋AB＋

221→1→1→

B.AA′＋＋ 2221→1→1→C.AA′＋＋ 2661→1→1→D.AA′＋＋ 366[答案] D

1

[解析] 由条件AF知，EF＝2AF，

2

∴AE＝AF＋EF＝3AF，

1→1→→1→1→→

∴AF＝AE＝(AA′＋A′E)＝(AA′＋′C′)

3332111→1→1→→→

＝AA′A′D′＋A′B′)AA′＋＋. 36366

→→→→7．如图所示，空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c, 点M在OA上，且OM→→

＝2MA，N为BC中点，则MN等于(

)

121A.a－＋c 232211B．－ a＋＋c

322112C.a＋bc 223221D.a＋－c 332[答案] B

2→→→→1→→

[解析] MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－

2312211

＝(b＋c)－＝－a＋＋c.∴应选B. 233228．以下命题：

①若a，b共线，则a与b所在直线平行；

②若a，b所在直线是异面直线，则a与b一定不共面； ③若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面；

④若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线确定的平面与由b，c所在直线确定的平面一定平行或重合．

其中正确命题的个数为( )

A．0个 C．2个 [答案] A

B．1个 D．3个

[解析] a，b共线是指a，b的方向相同或相反，因此a，b所在直线可能重合，故①错；由于向量是可以自由平移的，所以空间任意两个向量一定共面，故②错；从正方体一顶点引出的三条棱作为三个向量，虽然是两两共面，但这三个向量不共面，故③错；在平行六面体→→→

ABCD—A1B1C1D1中，AB，A1B1，DC三向量共面，然而平面ABCD与平面ABB1A1相交，故④错，故选A.

9．在三棱锥S—ABC中，G为△ABC的重心，则有( ) →1→→→A.SG＝(SA＋SB＋SC)

2→1→→→B.SG＝(SA＋SB＋SC)

3→1→→→C.SG＝(SA＋SB＋SC)

4→→→→D.SG＝SA＋SB＋SC [答案] B

→→→→1→→→

[解析] SG＝SA＋AG＝SA＋AB＋AC)＝SA＋

31→→1→→1→→→SB－SA)(SC－SA)＝SA＋SB＋SC)． 33310．有下列命题：

①当λ∈R，且a1＋a2＋…＋an＝0时，λa1＋λa2＋…＋λan＝0；

②当λ1，λ2，…，λn∈R，且λ1＋λ2＋…＋λn＝0时，λ1a＋λ2a＋…＋λna＝0；

③当λ1，λ2，…，λn∈R，且λ1＋λ2＋…＋λn＝0时，a1，a2，…，an是n个向量，且a1

＋a2＋…，an＝0，则λ1a1＋λ2a2＋…＋λnan＝0.

其中真命题有( ) A．0个 C．2个 [答案] C

[解析] 由于λa1＋λa2＋…＋λan＝λ(a1＋a2＋…＋an)＝λ0＝0， 故命题①为真命题．

由于λ1a＋λ2a＋…＋λna＝(λ1＋λ2＋…＋λn)a＝0×a＝0， 故命题②也为真命题．

命题③为假命题，例如当n＝2时，取λ1＝1，λ2＝－1，a1＝a(a≠0)，a2＝－a，则λ1a1

＋λ2a2＝a＋(－1)(－a)＝2a≠0，但此时有λ1＋λ2＝0，a1＋a2＝0，命题③不成立．

B．1个 D．3个

二、填空题

1

11．已知i，j，k是三个不共面向量，已知向量a－j＋k，b＝5i－2j－k，则4a－3b

2＝________.

[答案] －13i＋2j＋7k

12．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N→→→→

分别为PC、PD上的点，且PM∶MC＝2∶1，N为PD中点，则满足MN＝xAB＋yAD＋zAP的实数x＝________，y＝________，z＝

________.

211

[答案] － 366

→→→

[解析] 在PD上取一点F，使PF∶FD＝2∶1，连结MF，则MN＝MF＋FN →→→1→1→∵FN＝DN－DF＝－

231→1→→

＝DP＝(AP－AD) 662→→2→2→

MF＝＝＝－

3332→1→1→→

∴MN＝－－AD＋AP

366211

∴x＝－y＝－z＝366

13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1A，B1B的中点，O为BD1

→→→

的中点．设AB＝a，AA1＝b，AD＝c，用a，b，c表示下列向量：

→

(1)D1N＝________； →

(2)OM＝________.

111

[答案] a－－c －－c

2221→

[解析] (1)D1N＝a－－c

211→

(2)OM＝－－c

22

→→→→

14．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，若AC1＝x·AB＋2y·BC＋3z·C1C，则x＋y＋z＝________.

7[答案]

6

[解析] 在进行空间向量的线性表示时，一定要与所求一致，才不至于犯错．如图所示，→→→→→→→有AC1＝AB＋BC＋CC1＝AB＋BC＋(－1)·C1C.

→→→→

又∵AC1＝x·AB＋2y·BC＋3z·C1C，

→→→→→→∴x·AB＋2y·BC＋3z·C1C＝AB＋BC＋(－1)·C1C，

x＝1，

有2y＝1，3z＝－1，

1

y＝解得2

1z＝－3x＝1，

117

∴x＋y＋z＝1＋＝236三、解答题

15．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N在AC上，且AN∶NC＝→→→

2∶1，求证：A1N与A1B、A1M共面．

→→→→→→→1→→2→2→→

[解析] A1B＝AB－AA1，A1M＝A1D1＋D1M＝AD－1，AN＝AC＝AB＋AD)．

233

→→→2→→→∴A1N＝AN－AA1＝AB＋AD)－AA1

32→→2→1→＝(AB－AA1)AD－1) 3322→2→＝A1B＋1M. 33

→→→

∴A1N与A1B，A1M共面．

16．如图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，点E在AC′上，且AE∶EC′＝1∶2，点F，G分别是B′D′和BD′的中点，求下列各式中的x，y，z的值．

→→→→(1)AE＝xAA′＋yAB＋zAD； →→→→(2)BF＝xBB′＋yBA＋zBC； →→→→(3)GF＝xBB′＋yBA＋zBC. [解析] (1)∵AE∶EC′＝1∶2， →1→∴AE＝AC

3

1→→1→→→→＝(AB＋BC＋CC′)(AB＋AD＋AA′) 331→1→1→＝AA′＋＋， 333111∴x＝y＝，z＝.

333(2)∵F为B′D′的中点，

1→→1→→→→→∴BF＝(BB′＋BD′)BB′＋BA＋AA′＋A′D′)

221→1→1→→→→

＝(2BB′＋BA＋BC)＝BB′＋＋BC， 22211∴x＝1，y＝，z＝.

22

(3)∵G、F分别为BD′、B′D′的中点， 1→1→

∴GF＝′，∴x＝，y＝0，z＝0.

22

17．已知i、j、k是不共面向量，a＝i－2j＋k，b＝－i＋3j＋2k，c＝－3i＋7j，证明这三个向量共面．

[解析] 设a＝λb＋μc，则i－2j＋k＝(－λ－3μ)i＋(3λ＋7μ)j＋2λk， －λ－3μ＝1

∵i，j，k不共面，∴3λ＋7μ＝－2

2λ＝1



，∴1

μ＝－2

λ＝

12

，

11

故存在实数λ＝，μ＝－a＝λb＋μc，

22故a，b，c共面．

18．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，向量p，q，r是否共面？

[解析] 假设存在实数λ，μ，使p＝λq＋μr，则a＋b－c＝(2λ－7μ)a＋(－3λ＋18μ)b＋(－5λ＋22μ)c，

2λ－7μ＝1



∵a，b，c不共面，∴－3λ＋18μ＝1

－5λ＋22μ＝－151

即存在实数λ＝，μ＝

33使p＝λq＋μr，故p、q、r共面．

λ＝53

，∴1

μ＝3

，

3.1.2空间向量的乘法运算

一、选择题

→→→→

1．设M是△ABC的重心，记a＝BC，b＝CA，c＝AB，a＋b＋c＝0，则AM为( ) A.C.

b－c

2b－c

3

B.c－b

2c－b

3

D.

[答案] D

[解析] M为△ABC重心，

→21→→1→→1则AM＝(AB＋AC)＝(AB＋AC)(c－b)．

3233

2．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为一定点，O为平面ABC外任一点，则→

下列能表示向量OP的为(

)

→→→A.OA＋2AB＋2AC →→→B.OA－3AB－2AC →→→C.OA＋3AB－2AC →→→D.OA＋2AB－3AC [答案] C

→→→→→→

[解析] 根据A，B，C，P四点共面的条件即可求得AP＝xAB＋yAC.即OP＝OA＋xAB＋→yAC，

由图知x＝3，y＝－2

3．当|a|＝|b|≠0，且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是( ) A．共面 C．共线 [答案] A

[解析] 本题考查空间两向量的关系．由空间任何两个向量一定为共面向量可知选A. 4．i∥\ j，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的( ) A．充分非必要条件

B．不共面 D．无法确定

B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 [答案] A

[解析] 本题考查空间三个向量共面的条件．若i不平行j，则k与i，j共面⇔存在惟一的一对实数x，y使k＝xi＋yj.故选A.

5．对空间任一点O和不共线三点A、B、C，能得到P、A、B、C四点共面的是( ) →→→→A.OP＝OA＋OB＋OC →1→1→1→B.OP＝OA＋OB＋

333→→1→1→

C.OP＝－OA＋OB＋OC

22D．以上皆错 [答案] B

111

[解析] 解法一：＝1，∴选B.

333→1→1→1→

解法二：∵OP＝＋＋，

333→→→→

∴3OP＝OA＋OB＋OC，

→→→→→→∴OP－OA＝(OB－OP)＋(OC－OP)， →→→∴AP＝PB＋PC，

→→→

∴PA＝－PB－PC，∴P、A、B、C共面．

6．已知正方体ABCD－A′B′C′D′ ，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分1→

点，且AF，则AF等于( )

2

1→1→→

A.AA′＋AB＋

221→1→1→

B.AA′＋＋ 2221→1→1→C.AA′＋＋ 2661→1→1→D.AA′＋＋ 366[答案] D

1

[解析] 由条件AF知，EF＝2AF，

2

∴AE＝AF＋EF＝3AF，

1→1→→1→1→→

∴AF＝AE＝(AA′＋A′E)＝(AA′＋′C′)

3332111→1→1→→→

＝AA′A′D′＋A′B′)AA′＋＋. 36366

→→→→7．如图所示，空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c, 点M在OA上，且OM→→

＝2MA，N为BC中点，则MN等于(

)

121A.a－＋c 232211B．－ a＋＋c

322112C.a＋bc 223221D.a＋－c 332[答案] B

2→→→→1→→

[解析] MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－

2312211

＝(b＋c)－＝－a＋＋c.∴应选B. 233228．以下命题：

①若a，b共线，则a与b所在直线平行；

②若a，b所在直线是异面直线，则a与b一定不共面； ③若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面；

④若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线确定的平面与由b，c所在直线确定的平面一定平行或重合．

其中正确命题的个数为( )

A．0个 C．2个 [答案] A

B．1个 D．3个

[解析] a，b共线是指a，b的方向相同或相反，因此a，b所在直线可能重合，故①错；由于向量是可以自由平移的，所以空间任意两个向量一定共面，故②错；从正方体一顶点引出的三条棱作为三个向量，虽然是两两共面，但这三个向量不共面，故③错；在平行六面体→→→

ABCD—A1B1C1D1中，AB，A1B1，DC三向量共面，然而平面ABCD与平面ABB1A1相交，故④错，故选A.

9．在三棱锥S—ABC中，G为△ABC的重心，则有( ) →1→→→A.SG＝(SA＋SB＋SC)

2→1→→→B.SG＝(SA＋SB＋SC)

3→1→→→C.SG＝(SA＋SB＋SC)

4→→→→D.SG＝SA＋SB＋SC [答案] B

→→→→1→→→

[解析] SG＝SA＋AG＝SA＋AB＋AC)＝SA＋

31→→1→→1→→→SB－SA)(SC－SA)＝SA＋SB＋SC)． 33310．有下列命题：

①当λ∈R，且a1＋a2＋…＋an＝0时，λa1＋λa2＋…＋λan＝0；

②当λ1，λ2，…，λn∈R，且λ1＋λ2＋…＋λn＝0时，λ1a＋λ2a＋…＋λna＝0；

③当λ1，λ2，…，λn∈R，且λ1＋λ2＋…＋λn＝0时，a1，a2，…，an是n个向量，且a1

＋a2＋…，an＝0，则λ1a1＋λ2a2＋…＋λnan＝0.

其中真命题有( ) A．0个 C．2个 [答案] C

[解析] 由于λa1＋λa2＋…＋λan＝λ(a1＋a2＋…＋an)＝λ0＝0， 故命题①为真命题．

由于λ1a＋λ2a＋…＋λna＝(λ1＋λ2＋…＋λn)a＝0×a＝0， 故命题②也为真命题．

命题③为假命题，例如当n＝2时，取λ1＝1，λ2＝－1，a1＝a(a≠0)，a2＝－a，则λ1a1

＋λ2a2＝a＋(－1)(－a)＝2a≠0，但此时有λ1＋λ2＝0，a1＋a2＝0，命题③不成立．

B．1个 D．3个

二、填空题

1

11．已知i，j，k是三个不共面向量，已知向量a－j＋k，b＝5i－2j－k，则4a－3b

2＝________.

[答案] －13i＋2j＋7k

12．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N→→→→

分别为PC、PD上的点，且PM∶MC＝2∶1，N为PD中点，则满足MN＝xAB＋yAD＋zAP的实数x＝________，y＝________，z＝

________.

211

[答案] － 366

→→→

[解析] 在PD上取一点F，使PF∶FD＝2∶1，连结MF，则MN＝MF＋FN →→→1→1→∵FN＝DN－DF＝－

231→1→→

＝DP＝(AP－AD) 662→→2→2→

MF＝＝＝－

3332→1→1→→

∴MN＝－－AD＋AP

366211

∴x＝－y＝－z＝366

13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1A，B1B的中点，O为BD1

→→→

的中点．设AB＝a，AA1＝b，AD＝c，用a，b，c表示下列向量：

→

(1)D1N＝________； →

(2)OM＝________.

111

[答案] a－－c －－c

2221→

[解析] (1)D1N＝a－－c

211→

(2)OM＝－－c

22

→→→→

14．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，若AC1＝x·AB＋2y·BC＋3z·C1C，则x＋y＋z＝________.

7[答案]

6

[解析] 在进行空间向量的线性表示时，一定要与所求一致，才不至于犯错．如图所示，→→→→→→→有AC1＝AB＋BC＋CC1＝AB＋BC＋(－1)·C1C.

→→→→

又∵AC1＝x·AB＋2y·BC＋3z·C1C，

→→→→→→∴x·AB＋2y·BC＋3z·C1C＝AB＋BC＋(－1)·C1C，

x＝1，

有2y＝1，3z＝－1，

1

y＝解得2

1z＝－3x＝1，

117

∴x＋y＋z＝1＋＝236三、解答题

15．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N在AC上，且AN∶NC＝→→→

2∶1，求证：A1N与A1B、A1M共面．

→→→→→→→1→→2→2→→

[解析] A1B＝AB－AA1，A1M＝A1D1＋D1M＝AD－1，AN＝AC＝AB＋AD)．

233

→→→2→→→∴A1N＝AN－AA1＝AB＋AD)－AA1

32→→2→1→＝(AB－AA1)AD－1) 3322→2→＝A1B＋1M. 33

→→→

∴A1N与A1B，A1M共面．

16．如图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，点E在AC′上，且AE∶EC′＝1∶2，点F，G分别是B′D′和BD′的中点，求下列各式中的x，y，z的值．

→→→→(1)AE＝xAA′＋yAB＋zAD； →→→→(2)BF＝xBB′＋yBA＋zBC； →→→→(3)GF＝xBB′＋yBA＋zBC. [解析] (1)∵AE∶EC′＝1∶2， →1→∴AE＝AC

3

1→→1→→→→＝(AB＋BC＋CC′)(AB＋AD＋AA′) 331→1→1→＝AA′＋＋， 333111∴x＝y＝，z＝.

333(2)∵F为B′D′的中点，

1→→1→→→→→∴BF＝(BB′＋BD′)BB′＋BA＋AA′＋A′D′)

221→1→1→→→→

＝(2BB′＋BA＋BC)＝BB′＋＋BC， 22211∴x＝1，y＝，z＝.

22

(3)∵G、F分别为BD′、B′D′的中点， 1→1→

∴GF＝′，∴x＝，y＝0，z＝0.

22

17．已知i、j、k是不共面向量，a＝i－2j＋k，b＝－i＋3j＋2k，c＝－3i＋7j，证明这三个向量共面．

[解析] 设a＝λb＋μc，则i－2j＋k＝(－λ－3μ)i＋(3λ＋7μ)j＋2λk， －λ－3μ＝1

∵i，j，k不共面，∴3λ＋7μ＝－2

2λ＝1



，∴1

μ＝－2

λ＝

12

，

11

故存在实数λ＝，μ＝－a＝λb＋μc，

22故a，b，c共面．

18．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，向量p，q，r是否共面？

[解析] 假设存在实数λ，μ，使p＝λq＋μr，则a＋b－c＝(2λ－7μ)a＋(－3λ＋18μ)b＋(－5λ＋22μ)c，

2λ－7μ＝1



∵a，b，c不共面，∴－3λ＋18μ＝1

－5λ＋22μ＝－151

即存在实数λ＝，μ＝

33使p＝λq＋μr，故p、q、r共面．

λ＝53

，∴1

μ＝3

，