导数与微分在高三物理复习中的应用
湖北宜昌市田家炳中学 443001 齐克军
高中数学新教材已将“导数与微分”作为高三数学教学内容，这一改革对物理教师来说，是一件如鱼儿得水的快事！在高三物理复习中，恰当运用导数与微分这一数学工具，可以简化分析过程，提升思维层次，深化对物理问题的理解；同时，可以让学生深刻体念数学在物理中的价值，培养学生善于运用数学知识解决物理问题的能力．笔者结合近几年高三复习备考的尝试，谈谈导数与微分在高三物理复习中的应用．
一、理解物理概念．
瞬时速度是一个不好理解的概念，高一物理教材在“怎样理解瞬时速度”的阅读材料中举例：汽车经过A 点时，从A 点起取足够小的位移或足够短的时间，所得的平均速度就等于汽车经过A 点的瞬时速度．高三复习时，可以将这种表述简化为数学式：v
t
=lim
∆s ∆t
∆t →0
=
ds dt
，
即质点经过某点的瞬时速度等于位移对时间在该点的导数．类似地，质点经过某点的加速度等于速度对时间在该点的导数．我们还可以用匀变速直线运动的公式s =v
t +0
12at
2
、v t
=v 0+at
来验证．
电阻虽然是一个简单的物理概念，但仍然
存在理解上的误区．如有的同学在＂研究小灯
泡伏安特性曲线＂实验中认为：I-U 图线切线斜率的变化反映电阻的变化，甚至认为I-U 图线切线斜率的倒数就等于电阻．结合小灯泡伏
图1
安特性曲线（图1）来看，从A 到B ，切线斜率减小，电阻增大，这种理解似乎没错，但换一种情形，这种理解的错误就会显露出来．如图2，从A 到B ，切线斜率减小，即B 点切线斜率斜率的倒数较大，但B 点对应的电阻较小．从导数的知识可知，I-U 图线切线斜率k 等于I 对U 的导数，即k 成了R
=dU dI
=dI dU
图2
，
1k
=
dU dI
，上述错误在于把电阻的定义式R
U I ≠dU dI
=
U I
换
，而一般情况下，，只有对金属导体这类线性元
=U I =dU dI
件（伏安特性曲线是过原点的直线），才有R
再如，感应电动势的计算公式E 种情况：当S 不变时，E
=S
∆B ∆t
=∆φ∆t
．
，高中物理中一般只涉及两
=B
∆S ∆t
；当B 不变时，E ．但高三复
习中，有学生问“当B 和S 都变时，怎样求E 呢？”，如果我们回答“这种情况高考不考”，学生是不会满意的，如果将此公式写成
E =
d φdt
，同时将φ
=BS
代入得E
=S
dB dt
+B
dS dt
，然后分三种情况讨论，
既开阔了学生的眼界，又培养了学生的兴趣．
二、认识物理规律．
LC 回路电磁振荡规律中，电容器放电时，极板间电压减小，放电电流增大，到放电完毕瞬间，极板间电压为零，放电电流达到最大．学生总是受欧姆定律i =
u R
的干扰，产生疑问：电压为零时，电流
怎么会最大呢？高二上新课时，我们除了强调学生不要用欧姆定律研究LC 回路之外，只能从电能、磁能转化和守恒的角度作定性的分析说明．高三复习时，我们可以借助导数和微分的知识，轻松地突破这
一难点：
放电时，电容器极板上电荷q 的减少量等于导线中流过的电量，由电流的定义式可得i
=-
dq dt
=q u
再结合电容的定义式C 得i =
-C
du dt
LC 回路中电容器周期性充放电，极板间电压可表示为
u =U m c o s ωt
则i =CU m ωsin ωt 由此可知，u
=0时，i
取最大值．
绳拉物体运动的分解也是一个教学难点．如图3，小车拉绳的速度v 1和木块前进的速度v 2，哪个当分速度，哪个当合速度，二者关系如何，学生不易弄清，借用导数知识很容易解决：
由图可知，x 2
+h =l
2
2
dx dt
=l
dl dt
两边对时间求导得：x 由于v 故v 1
1
=x l
=-
dl dt
、v ．
2
=-
dx dt
、cos θ
图3
=v 2cos θ
三、求解物理问题．
高中物理中，经常遇到一些研究变化趋势、快慢和极值的问题，这类问题通常可以用数学变换（如化为繁分数、配成完全平方式）和数学重要不等式等方法解决，但有时用这些方法显得很麻烦，甚至解不出来，而用导数和微分的方法却很简洁．实际上，导数和微分是解决这类问题的一般方法．
例一：如图4所示，某人站在离河北岸20m 的A
处，看到河
下游70m 离河南岸10m 的B 处发生险情，此人马上快速跑到河边，再以跑步的速度
43
A
北岸 河 南岸
图4
过河跑到出事点进行抢险．已知河宽为40m ，且河水不流动，此人跑步的速度为8m/s，问此人到达出事点的最短时间是多少？
为便于研究，先将河道向南平移10m ，使陆地上的两段运动连在一起，这样将问题情景转化成人离北岸30m ，出事点在南岸边上，如图5所示．
为了求出最短时间，我们先把人沿任意
D
北岸F
E
河
A
路线（图5中的A-E-B ）
运动的时间表示出来：设EF =x ，则ED
t =
AF
2
=70-x
B
+EF 8
30
2
南岸
图5
2
+
BD
2
+ED 6
2
2
即t
=
+x
2
8
+
40
2
+(70-x ) 6
(0≤
x ≤70
)
根据上述表达式，求最短时间，就是求上式中t 的最小值．为此，令t 对x 的导数等于零，即
t '=
830
x
2
+x
2
-640
70-x
2
+(70-x )
2
=0
解得x =40m，代入t 的表达式得t =14.6s．这就是最短时间．（注：本题借用光学中的费马定理也可以很简洁求解）
例二：如图6所示，三个点电荷位于等边
q 图6
q 2
三角形的三个顶点，q 1和q 2为正电荷，q 3为负电荷，电量均为q ，现将q 1和q 2固定，q 3由静止释放，试定性讨论q 3的速度和加速度变化情况．（不考虑重力）
q 3受电场力的合力沿q 1和q 2连线的中垂线，q 3由静止释放后沿中垂线做直线运动，为弄清加速度的变化情况，先要弄清中垂线上电场强度的变化情况．根据q 1和q 2连线中点O 处和无限远处场强均为零可推知，中垂线上电场强度不是单调递增或递减，一定存在极值点，我们需要把极值点求出来．
如图7，设q 1和q 2连线长为2a ，则中垂线上任意一点P 处场强为：
E =2
kq
2
(a
cos θ
)
2
sin θ=
2kq a
2
sin θcos θ
2
求E 对θ的导数得：
E '=
2kq a
2
图7
(cos
3
θ-2sin θcos θ
33
2
)
令E '=0得：sin θ由于sin θ
33
=±
（负值对应P 在O 点下方）．
，故电场强度最大值在q 3初位置下方．
=
32
=sin 60
由此可知，q 3由静止释放后沿中垂线先做加速度增大的加速运动，再做加速度减小的加速运动，到达q 1和q 2连线中点O 时加速度为零，速度最大，然后做加速度增大的减速运动，再做加速度减小的减速运动，到达初位置的对称点时，速度减为零，开始向上返回，此后，按照类似的规律往复运动．
导数与微分在高三物理复习中的应用
湖北宜昌市田家炳中学 443001 齐克军
高中数学新教材已将“导数与微分”作为高三数学教学内容，这一改革对物理教师来说，是一件如鱼儿得水的快事！在高三物理复习中，恰当运用导数与微分这一数学工具，可以简化分析过程，提升思维层次，深化对物理问题的理解；同时，可以让学生深刻体念数学在物理中的价值，培养学生善于运用数学知识解决物理问题的能力．笔者结合近几年高三复习备考的尝试，谈谈导数与微分在高三物理复习中的应用．
一、理解物理概念．
瞬时速度是一个不好理解的概念，高一物理教材在“怎样理解瞬时速度”的阅读材料中举例：汽车经过A 点时，从A 点起取足够小的位移或足够短的时间，所得的平均速度就等于汽车经过A 点的瞬时速度．高三复习时，可以将这种表述简化为数学式：v
t
=lim
∆s ∆t
∆t →0
=
ds dt
，
即质点经过某点的瞬时速度等于位移对时间在该点的导数．类似地，质点经过某点的加速度等于速度对时间在该点的导数．我们还可以用匀变速直线运动的公式s =v
t +0
12at
2
、v t
=v 0+at
来验证．
电阻虽然是一个简单的物理概念，但仍然
存在理解上的误区．如有的同学在＂研究小灯
泡伏安特性曲线＂实验中认为：I-U 图线切线斜率的变化反映电阻的变化，甚至认为I-U 图线切线斜率的倒数就等于电阻．结合小灯泡伏
图1
安特性曲线（图1）来看，从A 到B ，切线斜率减小，电阻增大，这种理解似乎没错，但换一种情形，这种理解的错误就会显露出来．如图2，从A 到B ，切线斜率减小，即B 点切线斜率斜率的倒数较大，但B 点对应的电阻较小．从导数的知识可知，I-U 图线切线斜率k 等于I 对U 的导数，即k 成了R
=dU dI
=dI dU
图2
，
1k
=
dU dI
，上述错误在于把电阻的定义式R
U I ≠dU dI
=
U I
换
，而一般情况下，，只有对金属导体这类线性元
=U I =dU dI
件（伏安特性曲线是过原点的直线），才有R
再如，感应电动势的计算公式E 种情况：当S 不变时，E
=S
∆B ∆t
=∆φ∆t
．
，高中物理中一般只涉及两
=B
∆S ∆t
；当B 不变时，E ．但高三复
习中，有学生问“当B 和S 都变时，怎样求E 呢？”，如果我们回答“这种情况高考不考”，学生是不会满意的，如果将此公式写成
E =
d φdt
，同时将φ
=BS
代入得E
=S
dB dt
+B
dS dt
，然后分三种情况讨论，
既开阔了学生的眼界，又培养了学生的兴趣．
二、认识物理规律．
LC 回路电磁振荡规律中，电容器放电时，极板间电压减小，放电电流增大，到放电完毕瞬间，极板间电压为零，放电电流达到最大．学生总是受欧姆定律i =
u R
的干扰，产生疑问：电压为零时，电流
怎么会最大呢？高二上新课时，我们除了强调学生不要用欧姆定律研究LC 回路之外，只能从电能、磁能转化和守恒的角度作定性的分析说明．高三复习时，我们可以借助导数和微分的知识，轻松地突破这
一难点：
放电时，电容器极板上电荷q 的减少量等于导线中流过的电量，由电流的定义式可得i
=-
dq dt
=q u
再结合电容的定义式C 得i =
-C
du dt
LC 回路中电容器周期性充放电，极板间电压可表示为
u =U m c o s ωt
则i =CU m ωsin ωt 由此可知，u
=0时，i
取最大值．
绳拉物体运动的分解也是一个教学难点．如图3，小车拉绳的速度v 1和木块前进的速度v 2，哪个当分速度，哪个当合速度，二者关系如何，学生不易弄清，借用导数知识很容易解决：
由图可知，x 2
+h =l
2
2
dx dt
=l
dl dt
两边对时间求导得：x 由于v 故v 1
1
=x l
=-
dl dt
、v ．
2
=-
dx dt
、cos θ
图3
=v 2cos θ
三、求解物理问题．
高中物理中，经常遇到一些研究变化趋势、快慢和极值的问题，这类问题通常可以用数学变换（如化为繁分数、配成完全平方式）和数学重要不等式等方法解决，但有时用这些方法显得很麻烦，甚至解不出来，而用导数和微分的方法却很简洁．实际上，导数和微分是解决这类问题的一般方法．
例一：如图4所示，某人站在离河北岸20m 的A
处，看到河
下游70m 离河南岸10m 的B 处发生险情，此人马上快速跑到河边，再以跑步的速度
43
A
北岸 河 南岸
图4
过河跑到出事点进行抢险．已知河宽为40m ，且河水不流动，此人跑步的速度为8m/s，问此人到达出事点的最短时间是多少？
为便于研究，先将河道向南平移10m ，使陆地上的两段运动连在一起，这样将问题情景转化成人离北岸30m ，出事点在南岸边上，如图5所示．
为了求出最短时间，我们先把人沿任意
D
北岸F
E
河
A
路线（图5中的A-E-B ）
运动的时间表示出来：设EF =x ，则ED
t =
AF
2
=70-x
B
+EF 8
30
2
南岸
图5
2
+
BD
2
+ED 6
2
2
即t
=
+x
2
8
+
40
2
+(70-x ) 6
(0≤
x ≤70
)
根据上述表达式，求最短时间，就是求上式中t 的最小值．为此，令t 对x 的导数等于零，即
t '=
830
x
2
+x
2
-640
70-x
2
+(70-x )
2
=0
解得x =40m，代入t 的表达式得t =14.6s．这就是最短时间．（注：本题借用光学中的费马定理也可以很简洁求解）
例二：如图6所示，三个点电荷位于等边
q 图6
q 2
三角形的三个顶点，q 1和q 2为正电荷，q 3为负电荷，电量均为q ，现将q 1和q 2固定，q 3由静止释放，试定性讨论q 3的速度和加速度变化情况．（不考虑重力）
q 3受电场力的合力沿q 1和q 2连线的中垂线，q 3由静止释放后沿中垂线做直线运动，为弄清加速度的变化情况，先要弄清中垂线上电场强度的变化情况．根据q 1和q 2连线中点O 处和无限远处场强均为零可推知，中垂线上电场强度不是单调递增或递减，一定存在极值点，我们需要把极值点求出来．
如图7，设q 1和q 2连线长为2a ，则中垂线上任意一点P 处场强为：
E =2
kq
2
(a
cos θ
)
2
sin θ=
2kq a
2
sin θcos θ
2
求E 对θ的导数得：
E '=
2kq a
2
图7
(cos
3
θ-2sin θcos θ
33
2
)
令E '=0得：sin θ由于sin θ
33
=±
（负值对应P 在O 点下方）．
，故电场强度最大值在q 3初位置下方．
=
32
=sin 60
由此可知，q 3由静止释放后沿中垂线先做加速度增大的加速运动，再做加速度减小的加速运动，到达q 1和q 2连线中点O 时加速度为零，速度最大，然后做加速度增大的减速运动，再做加速度减小的减速运动，到达初位置的对称点时，速度减为零，开始向上返回，此后，按照类似的规律往复运动．