经济视野
股票价格的期权定价公式
李林峰
吉林大学 吉林 长春 130012
【摘 要】股票价格的研究一直以来都是金融领域研究的焦点问题,本文避开对股票价格进行预测的多种技术性建模理论,而从看涨期权的角度来研究股票价格与公司自身的内在联系。笔者发现股票价格实质上是一个以公司价值为标的资产的欧式看涨期权,从而应用Black-Scholes期权定价公式对股票进行定价。
【关键词】
股票定价 Black-Scholes期权定价模型看涨期权
1、引言
股票作为金融市场最主要的金融工具之一,其价格波动能否预测、以及用何种方法进行预测,一直以来都是金融领域研究的焦点问题之一。股票价格的预测通常有两大类:一类是以统计原理为基础的传统型波动率预测模型,较为流行的有ARCH模型和SV模型;另一类是以神经网络、灰色理论、支持向量机等为基础的创新型预测模型。当我们在研究期权定价的时候,我们发现期权相比于其他衍生债券更易于定价,并且许多衍生证券可表现为若干期权合约的组合形式,我们想是否能通过期权定价方法来找到股票的定价理论？本文将介绍著名的Black-Scholes期权定价公式如何应用到股票的定价。
下面我们考虑一个组合股票,
则
:卖出一个看跌期权,
同时买入
数量
（2.2）
2. 3 B l ac k -Sc h o l e s -Me r t o n 微分方程的推导
假定f为关于S的期权价格,变量f是S和t的函数。因此由公式
（2.2）得
这是一个关于股票价格变化的合理模型,其中
和
为常数,dW是
一个维纳过程。因此由伊藤引理,S和t的函数G
遵循以下过程:
2、Black-Scholes-Merton期权定价公式
2. 1 B -S模型的5个假设
（1）假定股票价格服从几何布朗运动,
过程即:
（2.1）
这里:S是标的资产的价格;移率;
是股票价格的波动率;
是期望回报率,也称为基础资产的漂
是股票价格的方差率;dW为标准布朗
如果我们选择
时间变化及时调整r相等。即
,
（2.3）
中没有了随机项dW,如果我们能够随
运动,有E（dW）=0, Var（dW）=dt。
（2）投资股票时回报的波动性在期权有效期内固定不变。（3）市场不存在税收和交易费用。
（4）股票在期权有效期内无红利和其他所得。（5）存在一个固定的无风险利率r。2.2 Ito引理
假设变量x
的值服从如下伊藤过程
其中dW是一个维纳过程,a和b是x和t的函数。变量dx=a（x,t）+b（x,
t）dW的漂移率为a,方差率为循如下过程:
。伊藤引理说明x和t的函数G遵
就可以在整个时间段内将资产变成无风险资产,
如果资产组合变成了无风险资产,那么其收益率和无风险资产收益率
代入公式（2.3）,我们有
整理得到
（2.4）
上式就是Black-Scholes方程,表明金融衍生产品定价可以用偏微
由（2.1）我们有
分方程表示。对应于不同的衍生产品,式（2.4）有不同的并以S为标的变量的解,并且该解与该式的边界条件有关,边界条件定义了衍生产品在S和t
在边界上的取值。欧式看涨期权的关键边界条件为
欧式看跌期权的关键边界条件是
微分方程（2.
4）满足如上边界条件的解为:
（2.5）
（2.6）
图1
2014. 9Economic Vision 343
资本运营
其中,
是标准正态分布的累积概率分布函数,c和p分别是欧
是股票在0时刻价格,K为执行
为股票价格的波动率,T为期权的
到期支付的债券本息,r
为无风险利率（以连续复利计）,接用来对股票进行定价。
3. 4 模型参数的估计
由公式（3.3）可以看出运用Black-Scholes期权定价公式计算股票总价值时有5个参数,其中公司到期支付的债券本息K可以准确估计,无风险利率r可以根据政府债券推算出来,公司债券的到期日T也是已
知的,关键在于如何确定公司当前的市场价值的年波动率
。
的确定。一个公司的价值取决于它
（1）公司当前市场价值
（3.1）
其中,S是当前股票价格,是第i期期末的现金股息,r是贴现率。当未来股息增长模式是可以预计时,
假定预期的股息以固定的增长率增长,则（3.1）式可以表示为:
（3.2）
传统的股票定价模型在逻辑上没有任何问题,但是从（3.2）式中我们可以看出股票定价的结果主要依赖于第一期期末股息和贴现率
r,股息增长率
的合理预计。贴现率r依赖于无风险利率和风险补偿
率,前者可以由政府发行的债券来确定,但是后者由于未来潜在的投资者是大量和不确定的,导致风险补偿率的预计难以估算。并且传统的股票定价模型更大困难在于对现金股利的估计,准确地估计未来一两年的股息或许并不困难,但是预计到未来很长一段时间的股息则有很大的难度,即使是内部当事人也很难保证在未来一段时间内能保持一定的股息发放。存在着这些缺陷,传统的股票定价模型的准确性和可靠性很难令人信服。
3. 2 股票价格和期权价格的联系
假定公司只有两种资本,一种是发行股票筹集资金C,一种是发行
零息债券筹集资金X
,X 为到期日支付的债券本息,r为债券连续复
利到期收益率,T 为债券的期限。并假定债券到期前无股利支付。
在债券到期时,当公司价值V小于负债X时,股东将不会获得股利;当公司价值V大于负债X时,其超过部分将全部归股东所有。这种情形可用如图1表示。
从图1中可以看出公司股东实质上拥有期权价格C、执行价格X的公司资产看涨期权。在股息发放日即期权到期日,公司的价值V＞X时,将执行该期权,即获得利润V—X;如果公司价值V≤X时,股东将不会获得股息,即放弃执行期权,盈亏为0。考虑到购买公司股票的成本,我们得到股票的定价和欧式看涨期权的定价是相同的。
3. 3 股票的期权定价方法
由上节我们得到公司股票实质上是一个以公司价值为标的资产的欧式看涨期权,这个期权的执行价格为公司债券的总面值,到期日为公司债券的到期日。因此,可以按期权定价公式计算出公司股票的总价值,然后根据总的股数计算出每股股票的价格。Black-Scholes期权定价模型是一种连续时间的定价模型,由于公司价值可以被当成一种连续变动的随机变量,我们应用该模型计算股票价格。由Bl a c k -
Scholes期权定价模型,欧式看涨期权的定价公式为:
（3.3）
可以证明以上估计式的标准误差大约为
。
其中
是
的均值,由于
的标准差是
,其中
,因此变量s是
的
的标准差s
通常估计为
和公司未来市场价值
为公司未
式看涨期权和欧式看跌期权的价格,价格,r为连续复利的无风险利率,期限。
来市场价值的波动率,T为公司债券的到期日。则公式（3.3）可以直
3、股票的期权定价方法
3. 1 传统股票定价方法的缺陷
传统的股票定价方法是将预期的未来现金流按预期报酬率进行贴现,即股票当前的市场价格是预期所有未来现金流的贴现值之和。形式如下:
的资产规模、目前的市场地位以及未来发展的潜力。一般有两种方法来确定:一种是评估评价法,就是将公司的所有资产,包括有形资产和无形资产的评估总值都加起来;一种是收益现值评价法,就是把公司业务的未来所有现金流量的现值加起来。其中比较可靠的方法是利用评估评价法,对比公司历史和现在的业绩,确定公司当前的市场总值。
（2）公司未来市场价值年波动率
的确定。Black-Scholes
期权定价模型假定了股票价格的对数服从正态分布,股票价格的波动率等于股票年收益率的标准差,并且假定波动率在期权有效期内保持不变。下面我们用公式价值的历史评估值来确定年波动率。定义
n+1——观测次数;
——第i个时间区间结束时变量的价格,i=
0,1,…,n——时间区间的长度,以年为单位。
令
估计值。所以
本身可以被估计成
结束语
尽管期权定价公式应用具有普遍性,但仍然有许多文章试图放松其一些假设使得定价更加有效,例如,许多现实市场是“不完全”的,意味着无风险组合与期权价格不唯一;基础资产价格过程可能不是维纳过程,模型可能需要加入跳跃过程;期权价格的波动率不是常数,实际上为“波动率微笑”,即依赖与期权执行价格和到期日。市场交易有摩擦,存在税收和交易费用。这些假设的不成立使得股票的定价更加困难,有待于我们进一步研究。
参考文献
[1]Black. F, and Scholes. M, The Pricing of Options and Corporateliabilities [J]. Journal Politics Economy, 81(1973):637-659
[2]郑丽.股票价格的期权定价模型[D].山东大学,2005.
[3]吴恒煜.布莱克—斯科尔斯期权定价公式的推导及推广[J].商业研究,2006,16:42-45.
[4]孙友彬.期权定价公式的推广[D].暨南大学,2010.
在Black-Scholes期权定价公式中,c是欧式看涨期权的价格,股票的当前价格,K是期权的执行价格,r是无风险利率,波动率,T是期权的期限。
把上面模型中变量重新定义:
是
[5]沈巍.股票价格预测模型研究[J].财经问题研究,2009,07:89-93.作者简介
李林峰(1993-),男,浙江温州人,吉林大学金融学院大三学生,学历:本科,主要研究方向:金融工程。
是股票价格
为公司当前的市场价值,K为公司
344 Economic Vision2014. 9
经济视野
股票价格的期权定价公式
李林峰
吉林大学 吉林 长春 130012
【摘 要】股票价格的研究一直以来都是金融领域研究的焦点问题,本文避开对股票价格进行预测的多种技术性建模理论,而从看涨期权的角度来研究股票价格与公司自身的内在联系。笔者发现股票价格实质上是一个以公司价值为标的资产的欧式看涨期权,从而应用Black-Scholes期权定价公式对股票进行定价。
【关键词】
股票定价 Black-Scholes期权定价模型看涨期权
1、引言
股票作为金融市场最主要的金融工具之一,其价格波动能否预测、以及用何种方法进行预测,一直以来都是金融领域研究的焦点问题之一。股票价格的预测通常有两大类:一类是以统计原理为基础的传统型波动率预测模型,较为流行的有ARCH模型和SV模型;另一类是以神经网络、灰色理论、支持向量机等为基础的创新型预测模型。当我们在研究期权定价的时候,我们发现期权相比于其他衍生债券更易于定价,并且许多衍生证券可表现为若干期权合约的组合形式,我们想是否能通过期权定价方法来找到股票的定价理论？本文将介绍著名的Black-Scholes期权定价公式如何应用到股票的定价。
下面我们考虑一个组合股票,
则
:卖出一个看跌期权,
同时买入
数量
（2.2）
2. 3 B l ac k -Sc h o l e s -Me r t o n 微分方程的推导
假定f为关于S的期权价格,变量f是S和t的函数。因此由公式
（2.2）得
这是一个关于股票价格变化的合理模型,其中
和
为常数,dW是
一个维纳过程。因此由伊藤引理,S和t的函数G
遵循以下过程:
2、Black-Scholes-Merton期权定价公式
2. 1 B -S模型的5个假设
（1）假定股票价格服从几何布朗运动,
过程即:
（2.1）
这里:S是标的资产的价格;移率;
是股票价格的波动率;
是期望回报率,也称为基础资产的漂
是股票价格的方差率;dW为标准布朗
如果我们选择
时间变化及时调整r相等。即
,
（2.3）
中没有了随机项dW,如果我们能够随
运动,有E（dW）=0, Var（dW）=dt。
（2）投资股票时回报的波动性在期权有效期内固定不变。（3）市场不存在税收和交易费用。
（4）股票在期权有效期内无红利和其他所得。（5）存在一个固定的无风险利率r。2.2 Ito引理
假设变量x
的值服从如下伊藤过程
其中dW是一个维纳过程,a和b是x和t的函数。变量dx=a（x,t）+b（x,
t）dW的漂移率为a,方差率为循如下过程:
。伊藤引理说明x和t的函数G遵
就可以在整个时间段内将资产变成无风险资产,
如果资产组合变成了无风险资产,那么其收益率和无风险资产收益率
代入公式（2.3）,我们有
整理得到
（2.4）
上式就是Black-Scholes方程,表明金融衍生产品定价可以用偏微
由（2.1）我们有
分方程表示。对应于不同的衍生产品,式（2.4）有不同的并以S为标的变量的解,并且该解与该式的边界条件有关,边界条件定义了衍生产品在S和t
在边界上的取值。欧式看涨期权的关键边界条件为
欧式看跌期权的关键边界条件是
微分方程（2.
4）满足如上边界条件的解为:
（2.5）
（2.6）
图1
2014. 9Economic Vision 343
资本运营
其中,
是标准正态分布的累积概率分布函数,c和p分别是欧
是股票在0时刻价格,K为执行
为股票价格的波动率,T为期权的
到期支付的债券本息,r
为无风险利率（以连续复利计）,接用来对股票进行定价。
3. 4 模型参数的估计
由公式（3.3）可以看出运用Black-Scholes期权定价公式计算股票总价值时有5个参数,其中公司到期支付的债券本息K可以准确估计,无风险利率r可以根据政府债券推算出来,公司债券的到期日T也是已
知的,关键在于如何确定公司当前的市场价值的年波动率
。
的确定。一个公司的价值取决于它
（1）公司当前市场价值
（3.1）
其中,S是当前股票价格,是第i期期末的现金股息,r是贴现率。当未来股息增长模式是可以预计时,
假定预期的股息以固定的增长率增长,则（3.1）式可以表示为:
（3.2）
传统的股票定价模型在逻辑上没有任何问题,但是从（3.2）式中我们可以看出股票定价的结果主要依赖于第一期期末股息和贴现率
r,股息增长率
的合理预计。贴现率r依赖于无风险利率和风险补偿
率,前者可以由政府发行的债券来确定,但是后者由于未来潜在的投资者是大量和不确定的,导致风险补偿率的预计难以估算。并且传统的股票定价模型更大困难在于对现金股利的估计,准确地估计未来一两年的股息或许并不困难,但是预计到未来很长一段时间的股息则有很大的难度,即使是内部当事人也很难保证在未来一段时间内能保持一定的股息发放。存在着这些缺陷,传统的股票定价模型的准确性和可靠性很难令人信服。
3. 2 股票价格和期权价格的联系
假定公司只有两种资本,一种是发行股票筹集资金C,一种是发行
零息债券筹集资金X
,X 为到期日支付的债券本息,r为债券连续复
利到期收益率,T 为债券的期限。并假定债券到期前无股利支付。
在债券到期时,当公司价值V小于负债X时,股东将不会获得股利;当公司价值V大于负债X时,其超过部分将全部归股东所有。这种情形可用如图1表示。
从图1中可以看出公司股东实质上拥有期权价格C、执行价格X的公司资产看涨期权。在股息发放日即期权到期日,公司的价值V＞X时,将执行该期权,即获得利润V—X;如果公司价值V≤X时,股东将不会获得股息,即放弃执行期权,盈亏为0。考虑到购买公司股票的成本,我们得到股票的定价和欧式看涨期权的定价是相同的。
3. 3 股票的期权定价方法
由上节我们得到公司股票实质上是一个以公司价值为标的资产的欧式看涨期权,这个期权的执行价格为公司债券的总面值,到期日为公司债券的到期日。因此,可以按期权定价公式计算出公司股票的总价值,然后根据总的股数计算出每股股票的价格。Black-Scholes期权定价模型是一种连续时间的定价模型,由于公司价值可以被当成一种连续变动的随机变量,我们应用该模型计算股票价格。由Bl a c k -
Scholes期权定价模型,欧式看涨期权的定价公式为:
（3.3）
可以证明以上估计式的标准误差大约为
。
其中
是
的均值,由于
的标准差是
,其中
,因此变量s是
的
的标准差s
通常估计为
和公司未来市场价值
为公司未
式看涨期权和欧式看跌期权的价格,价格,r为连续复利的无风险利率,期限。
来市场价值的波动率,T为公司债券的到期日。则公式（3.3）可以直
3、股票的期权定价方法
3. 1 传统股票定价方法的缺陷
传统的股票定价方法是将预期的未来现金流按预期报酬率进行贴现,即股票当前的市场价格是预期所有未来现金流的贴现值之和。形式如下:
的资产规模、目前的市场地位以及未来发展的潜力。一般有两种方法来确定:一种是评估评价法,就是将公司的所有资产,包括有形资产和无形资产的评估总值都加起来;一种是收益现值评价法,就是把公司业务的未来所有现金流量的现值加起来。其中比较可靠的方法是利用评估评价法,对比公司历史和现在的业绩,确定公司当前的市场总值。
（2）公司未来市场价值年波动率
的确定。Black-Scholes
期权定价模型假定了股票价格的对数服从正态分布,股票价格的波动率等于股票年收益率的标准差,并且假定波动率在期权有效期内保持不变。下面我们用公式价值的历史评估值来确定年波动率。定义
n+1——观测次数;
——第i个时间区间结束时变量的价格,i=
0,1,…,n——时间区间的长度,以年为单位。
令
估计值。所以
本身可以被估计成
结束语
尽管期权定价公式应用具有普遍性,但仍然有许多文章试图放松其一些假设使得定价更加有效,例如,许多现实市场是“不完全”的,意味着无风险组合与期权价格不唯一;基础资产价格过程可能不是维纳过程,模型可能需要加入跳跃过程;期权价格的波动率不是常数,实际上为“波动率微笑”,即依赖与期权执行价格和到期日。市场交易有摩擦,存在税收和交易费用。这些假设的不成立使得股票的定价更加困难,有待于我们进一步研究。
参考文献
[1]Black. F, and Scholes. M, The Pricing of Options and Corporateliabilities [J]. Journal Politics Economy, 81(1973):637-659
[2]郑丽.股票价格的期权定价模型[D].山东大学,2005.
[3]吴恒煜.布莱克—斯科尔斯期权定价公式的推导及推广[J].商业研究,2006,16:42-45.
[4]孙友彬.期权定价公式的推广[D].暨南大学,2010.
在Black-Scholes期权定价公式中,c是欧式看涨期权的价格,股票的当前价格,K是期权的执行价格,r是无风险利率,波动率,T是期权的期限。
把上面模型中变量重新定义:
是
[5]沈巍.股票价格预测模型研究[J].财经问题研究,2009,07:89-93.作者简介
李林峰(1993-),男,浙江温州人,吉林大学金融学院大三学生,学历:本科,主要研究方向:金融工程。
是股票价格
为公司当前的市场价值,K为公司
344 Economic Vision2014. 9