浙江工商大学2008/2009学年第一学期考试试卷(A) ................................................................................ 1 浙江工商大学2008/2009学年第一学期考试试卷(B) ................................................................................. 9 浙江工商大学2008/2009学年微积分考试试卷（A） ............................................................................. 14 浙江工商大学章乃器学院2008/2009学年第一学期考试试卷(A) ........................................................... 20 浙江工商大学2007/2008学年第一学期考试试卷（A） ......................................................................... 24
浙江工商大学2008/2009学年第一学期考试试卷(A)
课程名称： 微积分(上) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟
班级： 学号： 姓名： 得分： .
一、填空题 (本题共10小题，每小题2分，共20分. 把答案填在题中横线上)
⎧x+1,x≤0
1、 设函数f(x)=⎨，则f(f(x))= .
⎩1,x
x2+52
sin= . 2、lim
x→∞3x+2x
x2-3x+a
=b， 则a= ，b= . 3、lim
x→22-x
4、若f'(x2)=
1
,x>0，则f(x)=。 x
5、设f(x)=(1+x)(1+2x) (1+nx)，则f(n)(x)= . 6、设某商品的需求函数为Q=100-2p,则在Q=50时的边际收益为 7、若函数f(x)与g(x)均可微，且同为某函数的原函数，又f(1)=2，g(1)=1，则
f(x)-g(x)=.
8、darctane
= .
9、函数y=ln(1+e-x)的水平渐近线为 .
111
10、lim[++ +]=.
x→01⨯22⨯3n(n+1)
二、选择题：(本题共5小题，每小题2分，共10分.)
1、设xn≤zn≤yn，且lim(yn-xn)=0，则limzn= ( )
n→∞
n→∞
(A)存在且等于零 2、设f(x)可微，则lim(A)-f'(x-1)
x→1
(B)存在但不等于零 (C)不一定存在 (D)一定不存在
f(2-x)-f(1)
= ( )
x-1
(B). f'(-1) (C) -f'(1) (D) f'(2).
1
3、x=0是函数f(x)=arctan的 ( )
x
(A) 可去型间断点 (C) 跳跃型间断点
(B) 无穷型间断点.
(D) 连续点.
4、设f(x)在x=x0的附近二阶可导,f'(x0)=0,f''(x0)>0,则f(x)在x=x0处有( ) (A) 极大值 (B) 极小值. (C) 对应着拐点. (D) 既非极值又非拐点. 5、设函数f(x)=(x2-3x+2)sinx，则方程f'(x)=0在(0,π)内根的个数为 ( ) (A) 0个 (B) 至多1个. (C) 2个. (D) 至少3个.
三、计算题（1） (写出必要的解题步骤,，每小题6分，共24分)
1、求函数f(x)=xx2-x的不可导点.
2、求不定积分⎰sin5xdx
3、函数y=y(x)由方程xy=yx确定，求
4、limx(-arctanx)
x→+∞2
dy. dx
π
四、计算题（2） (写出必要的解题步骤,每小题7分，共28分)
1、求极限 lim+x+-x-2
x→0
x
2
. 2、y=ln1-x
，求y'arccosx
(0)
3、计算不定积分⎰arcsinx-x
4、已知f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，求⎰xf'(x)dx。
五．应用题（每小题7分，共14分）
1、求曲线y=ln(1+x2)的凹凸区间和拐点。
2、已知某厂生产x件产品的成本为C(x)=25000+200x+
140
x2
（元）问：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？
（2）若产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？
六、证明题 (4分)
设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，证：必存在ξ∈(0,3)，使得f'(ξ)=0。
2008-2009年第一学期微积分（上）答案：（A）卷
f(3)=1。试
一、填空题（每小题2分，共20分）
⎧x+2,x≤-12
1．f(f(x))=⎨; 2． ; 3． 2，-1 ; 4． 2x+C; 5．(n!)2 ;
3⎩1,x>-1
6. 0; 7. 1 ; 8.
e
x
22x(1+e)
dx; 9.y=0; 10. 1
二、选择题：(本题共5小题，每小题2分，共10分.)
1.C 2.C 3.C 4.B 5. D
三、计算题（1） (本题共4小题，共24分)
1、limx(
x→+∞
π
2
-arctanx)
π
解： limx(-arctanx)=limx→+∞x→+∞2
π
-arctanx1
x
---------------------2分
-=lim
x→+∞
1
2 ------------------------4分 1-2
x
x2
=lim
x→+∞1+x2
=1 ----------------6分 2、求不定积分⎰sin5xdx (10分)
答：⎰sin5xdx=-⎰sin4xdcosx ---------------------------------------------2分
=-⎰(1-cos2x)2dcosx
=-⎰1-2cos2x+cos4xdx-----------------------4分
21
=-cosx+cos3x-cos5x+C------------------6分
35dy
. dx
答：方法1： 对方程两边取对数，原方程化为
3、函数y=y(x)由方程xy=yx确定，求
ylnx=xlny ---------------------2分
对上式两边关于x求导，得
yy'
(ylnx+)=(lny+x) ----------------------4分
xy
'
整理得： y'=
y(xlny-y)
------------------------6分
x(ylnx-x)
方法2： eylnx=exlny ------------------------2分 e
ylnx
yy'xlny
(ylnx+)=e(lny+x) -------------------4分
xy
'
由于 eylnx=exlny
yy'
故 (ylnx+)=(lny+x)
xy
'
所以 y'=
y(xlny-y)
。---------------------------6分
x(ylnx-x)
4、求函数f(x)=xx2-x的不可导点.
⎧x3-x2,x≤0⎪
答：f(x)=⎨x2-x3,0
⎪32x-x,x≥1⎩
因为 当x>1,1>x>0,x
故不可导的可疑点为x=0,x=1。下面看这两个处导数是否存在。
对于x=1，
f(x)-f(1)x3-x2'
f+(1)=lim+=lim+=1
x→1x→1x-1x-1f(x)-f(1)x2-x3'
f-(1)=lim-=lim-=-1
x→1x→1x-1x-1
故x=1处不可导。 ---------------------4分 对于x=0，
f(x)-f(0)x2-x3'
f+(0)=lim+=lim+=0
x→0x→0x-0x-0f(x)-f(0)x3-x2'
f-(1)=lim-=lim-=0
x→1x→1x-0x
故x=0为函数的可导点。------------------------------------6分
四、计算题（2） (本题共4小题，共28分)
1、求极限 lim
+x+-x-2
.
x2
x→0
1
答案：原式=lim2+x
x→0
-2x
1
2-x ---------------2分
=lim =lim
-x-+x4x-x
2
x→0
x→0
-x-+x
------------------------4分
4x
-1
=lim2-x
x→0
-4
12+x
1
=- --------------------------7分
4
2．y=ln
1-x
，求y'(0)
arccosx
解： y= 所以y'=
11
ln(1-x)-lnarccosx ------------------2分 22
1111
(1-x)'-(arccosx)' -----------4分 21-x2arccosx1-111-1
- =
221-x2arccosx-x
故y'(0)=
1
- ---------------------------------7分 π2
arcsinx-x
1
3．计算不定积分⎰
答：令x=t，则x=t2，dx=2tdt
⎰
arcsinx-x
dx=⎰
2tarcsint-t
2
=⎰2tarcsintdarcsint-----------------2分
令arcsint=u，得，=2usinudu -----------------------------4分 =2ud(-cosu) =-2ucosu+cosud2u =-2ucosu+2sinu+C
⎰
⎰
⎰
=-2-xarcsinx+2x+C--------------7分
4、已知f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，求⎰xf'(x)dx
解：
'xf⎰(x)dx=⎰xd(fx) ---------------------------2分
=xf(x)-⎰f(x)dx
=x[(1+sinx)lnx]'-(1+sinx)lnx+C -----------------4分 =xcosxlnx+sinx-(1+sinx)lnx+C------------------7分 五．应用题（每小题7分，共14分）
1．求曲线y=ln(1+x2)的凹凸区间和拐点。
答：函数定义域为(-∞,+∞)
2(1-x2)2x''
y=，y= ------------------ 2分 222
(1+x)1+x
'
令y''=0，得x=1,-1
-------------------------------------------------------5分 故下凹区间为(-∞,-1) (1,+∞)，上凹区间为(-1,1)
(-1,ln2)，(1,ln2)为函数的两个拐点 ------------------------7分
2．已知某厂生产x件产品的成本为C(x)=25000+200x+
12
x（元）问： 40
（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？
（2）若产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解：平均成本为
C(x)25000x
------------1分 =+200+
xx40250001
令 '(x)=-+=0 2
40x
(x)=
得： x1=1000, x2=-1000（舍去）
又因为 ''(1000)=5⨯10-5>0 -----------------------3分
所以当x=1000时，(x)取极小值，即最小值，因此，要使平均成本最小，应生产1000件产品。 （2）利润函数为
x2
L(x)=500x-(25000+200x+)
40
x2
=300x-25000- ------------------------------------------2分
40
令 L'(x)=300-得 x=600 0
x
=0 20
1
所以当x=6000时，利润取得最大值。-------------------------------------4分
又 L''(6000)=-
六、证明题 (4分)
证：因为f(x)在[0,3]上连续，所以f(x)在[0,2]上连续，且在[0,2]上必达到最大值M和
最小值m，m≤f(3)=1≤M，于是
m≤f(0)≤M， m≤f(1)≤M， m≤f(2)≤M 故
m≤
f(0)+f(1)+f(2)
≤M
3
由介值定理知，存在η∈[0,2]，使得 f(η)=
f(0)+f(1)+f(2)
=1 ---------2分
3
因为f(η)=f(3)=1，且f(x)在[η,3]上连续，在(η,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在
ξ∈(η,3)∈(0,3)，使得f'(ξ)=0。 ------------------------------4分
浙江工商大学2008/2009学年第一学期考试试卷(B)
课程名称： 微积分(上) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟
班级： 学号： 姓名： 得分： .
一、填空题 (本题共3小题，每小题4分，共12分. 把答案填在题中横线上)
⎧1,0≤x≤1
1、 设函数f(x)=⎨，则f(2x)定义域为2,1
2、 设 x1=10，xn+1=2+xn(n=1,2, )，则limxn=n→∞
3、函数f(x)=4、limxsin
x2-2x-2
的间断点为11
+sin5x= .
x→∞xx
5．曲线yex+lny=1在点（0，1）处的切线方程为 . 6．当x=±1时，函数y=x3+2px+q取得极值，则p= . 7．若f(x)=x(x+1)(x+2) (x+10)，则f'(0)= .
8．函数y=x3的拐点为1
9.设y= ，则n阶导数y(n)=1+x
10.⎰exsinxdx=二、选择题：(本题共5小题，每小题2分，共10分.)
1、设lim(1-x)=e2，则k=（ ）
x→0
kx
A、-2 B、 2 C、e-2 D、0
2、方程ex+y+xy=1确定了函数y=f(x)，f'(0)=（ ） A、-1 B、 0 C、1 D、-2 3、设函数y=f(tanx),其中f可导。则微分dy=（ ） A．f'(tanx)dx C、
B、sec2xf'(tanx)
12
' D、 secxf'(tanx)dx f(tan)dx2
1+x
k
4．若x→0时，2sinx-sin2x~x，则k=（ ）； A. 1； B. 2； C. 3； D. 4．
5、 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是： (A) 若lim(B) 若lim
x→0
f(x)
存在，则f(0)=0 x
f(x)+f(-x)
存在，则f(0)=0
x→0x
f(x)
(C) 若lim存在，则f'(0)存在
x→0x
f(x)-f(-x)
(D) 若lim存在，则f'(0)存在
x→0x
三、计算题 (本题共8小题，共64分)
1⎫⎛
1、求极限 lim xtan⎪.(8分)
x→+∞x⎭⎝
x2
x3
2、求极限 lim
x→0x-sinx
3、求⎰
4．设y=
1-x-x
2
dx
x(x>0)，求y'。
5．⎰secxtan5xdx
1⎧x⎪-1
6、设f(x)=⎨e, x>0,求f(x)的间断点,并说明间断点所属类型.
⎪⎩ln(1+x), -1
7．求函数y=x+2cosx在[0,]上的最值。
2
⎧x2, x≤1
8、设函数f(x)=⎨在x=1处可导,求常数a,b的值.
⎩ax+b, x>1
π
四、证明题 (6分)
证明方程x-cosx=0有且仅有一个实根。
2008-2009年第一学期微积分（上）答案（B卷） 一、填空题 (本题共10小题，每小题2分，共20分.)
1．[0,1] ; 2. 2 ; 3. x=2 ; 4. 1 5.y=1-0.5x
(-1)nn!1x
6.-1.5 7. 10! 8.(0,0) 9. 10.e(sinx-cosx)+C n+1
(x+1)2
二、选择题：(本题共5小题，每小题2分，共10分.)
1．A ; 2. A; 3. D; 4. C; 5. D;
三、计算题 (本题共8小题，共64分)
1⎫⎛
1、求极限 lim xtan⎪.
x→+∞x⎭⎝
x2
1⎛tant⎫t解：令t=, 极限化为 lim+ ⎪, --------------------2分
t→0x⎝t⎭
1⎛tant⎫t2
记y= ⎪,则lny=2(lntant-lnt), --------------4分
t⎝t⎭
sec2t1
-
1 lim+lny=lim+2(lntant-lnt)=lim+
t→0t→0t→0t2t
111
-t-sin2t
t-sintcost =lim=limsintcost=lim2
t→02tsintcostt→0t→02t2t32t211-cos2t
=lim2=, -------------- 6分 =lim2t→06tt→036t
1
1
所以
原极限=e. ------------------8分
13
x3
2、求极限 lim
x→0x-sinxx33x2
=lim解： lim
x→0x-sinxx→01-cosx
-- ---------3分
6x
---------------------6
x→0sinx
=6--------------------------------8分
=lim
3、求⎰解：⎰
1-x-x1-x-x
2
2
dx
x-x
2
dx=arcsinx-⎰
dx--------------------3分
1d(1-x2)
dx-----------------6分 =arcsinx+⎰22-x
=arcsinx+-x2+C--------------------8分
4．设y=
x(x>0)，求y'。
解：两边取对数，得 lny=对上式两边关于x求导，得
lnx
--------------------3分 x
y'1-lnx
= -------------------------6分 2
yx
1-lnx)
所以y'=y() ----------------------------------8分 2
x
5．⎰secxtan5xdx
解： ⎰secxtan5xdx=⎰tan4xdsecx ---------------2分
=⎰(sec2x-1)2dsecx ---------------4分 =⎰(sec4x-2sec2x+1)dsecx --------6分
12
=sec5x-sec3x+secx+C -------8分 53
1
⎧⎪e, x>0
6、设f(x)=⎨,求f(x)的间断点,并说明间断点所属类型.
⎪⎩ln(1+x), -1
解 函数在x=1处无定义. f(1-0)=lime-
x→1
1
x-1
=0, f(1+0)=lim+e
x→1
1x-1
=+∞, (3分)
∴x=1是f(x)的第二类间断点. (4分) 又x=0为函数的分段点.
(+x)=0, f(0+0)=lim+e f(0-0)=lim-ln1
x→0
1
x-1
x→0
=e-1, (7分)
∴x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点). (8分) 7．求函数y=x+2cosx在[0,]上的最值。
2解：由y'=1-2sinx=0，知x=
π
π
为函数在(0,)内的唯一驻点。---4分 62
π
y()=，y()=+，y(0)=2， -----------------6分
2266
ππππ
所以，最大值为y()=+3，最小值为y()=。 ------------8分
6622
⎧x2, x≤1
8、设函数f(x)=⎨在x=1处可导,求常数a,b的值.
⎩ax+b, x>1
ππππ
解 由f(x)在x=1可导知f(x)在该点必连续.
f(1-0)=lim-x2=1=f(1), f(1+0)=lim+(ax+b)=a+b.
x→1
x→1
由f(1-0)=f(1+0)=f(1)得 a+b=1. (1) (3分)
f(x)-f(1)x2-1
f-'(1)=lim-=lim-=2,
x-1x→1x→1x-1f(x)-f(1)ax+b-1ax-a
f+'(1)=lim+=lim+=lim+=a.
x-1x-1x-1x→1x→1x→1
由f-'(1)=f+'(1)得a=2.
(2)
(6分)
解(1)、(2)得a=2,b=-1. (8分)
四、证明题 (6分)
证：设f(x)=x-cosx x∈(-∞,+∞) v----------------------1分
f(x)在区间[-
ππ
,]上连续，f(-)f()
ππ
由零点定理知，f(x)在(-而f'(x)=1+sinx>0,
ππ
,)上至少存在一个零点。 -------3分
22
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增，
故结论成立 ------------------------6分
浙江工商大学2008/2009学年微积分考试试卷（A）
课程名称： 微积分(上) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟
班级： 学号： 姓名： 得分： .
一、填空题(本题共10小题,每小题2分,共20分.把答案填在题中横线上) 1、函数f(x)=1-
11-
-x
的连续区间为.
x2+52
2、limsin= .
x→∞3x+2x
x2-3x+a3、lim=b,则a= ,b= .
x→22-x
4、lim(1-kx)
x→-∞
-
1
=(n)
5、设f(x)=
1
,则fx+2
(x)= .
6、设某商品的需求函数为Q=100-2p,则在Q=50时的边际收益为. 7、设f'(lnx)=1+x,则f(x)=. 8、d(2sin3x).
9、函数y=ln(1+e-x)的水平渐近线为 .
12n⎫
10、lim⎛+2+ +2⎪= . 2x→0⎝nnn⎭
二、选择题(本题共5小题,每小题2分,共10分) 1、设函数f(x)=xcosx,则( ). (A) 当x→∞时是无穷大 (C) 在(-∞，+∞)内有界 2、设f(x)可微，则lim(A) -f'(-2)
x→1
(B) 当x→∞时极限存在 (D) 在(-∞，+∞)内无界
f(2-x)-f(1)
=( ).
x-1
(B) f'(-1) (C) -f'(1) D)f'(2)
1
3、x=0是函数f(x)=arctan的( ).
x
(A) 可去型间断点 (C) 跳跃型间断点
(B) 无穷型间断点. (D) 连续点
4、设f(x)在x=x0的附近二阶可导,f'(x0)=0,f''(x0)>0,则f(x)在x=x0处有( ) (A) 极大值
(B) 极小值
(C) 对应着拐点 (D) 既非极值又非拐点
5、设函数f(x)=(x2-3x+2)sinx,则方程f(x)在(0,π)内的驻点个数为( ). (A) 0个
(B) 至多1个
(C) 2个
(D) 至少3个
三、计算题（1）(写出必要的解题步骤,每小题6分,共24分)
⎧x2, x≤1
1、设函数f(x)=⎨在x=1处可导,求常数a,b的值.
ax+b, x>1⎩
π⎫2、求limx⎛-arctanx⎪. x→+∞⎝2⎭
3、设方程siny+xey=0确定函数y=y(x),求
4、求⎰sin5xdx.
四、计算题(2)(写出必要的解题步骤,每小题7分,共28分) 1、求极限lim
x→0
dy. dx
+x+-x-2
.
x2
2、设y=ln 3、计算
4、计算⎰xln(x-1)dx.
1-x
,求y'(0).
arccosx
⎰
x3+x
2
x.
五．应用题(每小题7分,共14分) 1、求曲线y=ln(1+x2)的凹凸区间和拐点.
2、已知某厂生产x件产品的成本为C(x)=25000+200x+
12
x(元)问:(1)要使平均成40
本最小,应生产多少件产品?(2)若产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品？
六、证明题(4分)
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,求证:∃ξ∈(a,b),使f(ξ)+ξf'(ξ)=0.
2008-2009年第一学期微积分（上）答案：（A）卷
一、填空题（每小题2分，共20分）
2(-1)nn!1．(-∞,0) (0,1); 2． ; 3． 2，-1; 4．e; 5． ; n+1
3x+2 6. 0; 7. x+ex+C; 8.2sin3xcos3x⋅3ln2dx; 9.y=0; 10. 二、选择题(每小题2分，共10分) 1.D
2.C
3.C
4.B
5. D
1
2
三、计算题（1）(每小题6分，共24分)
1、解 由f(x)在x=1可导知f(x)在该点必连续.
f(1-0)=lim-x2=1=f(1), f(1+0)=lim+(ax+b)=a+b.
x→1
x→1
由f(1-0)=f(1+0)=f(1)得 a+b=1. (1) (2分)
f(x)-f(1)x2-1
f-'(1)=lim-=lim-=2,
x-1x→1x→1x-1f(x)-f(1)ax+b-1ax-a
f+'(1)=lim+=lim+=lim+=a.
x-1x-1x-1x→1x→1x→1
由f-'(1)=f+'(1)得a=2.
(2)
(5分)
解(1)、(2)得a=2,b=-1. (6分)
π
2、解 原式=-arctanxxlim→+∞
x
-
1
=xlim
→+∞
-x
=xlimx2
→+∞1+x2
=1
3、解 方程两边对x求导,得
cosy⋅y'+ey+xey⋅y'=0,
解得y'=-ey
cosy+xe
. 4、解 原式=-⎰sin4xd(cosx)
=-⎰(1-cos2x)2d(cosx)
=-⎰(1-2cos2x+cos4x)d(cosx)
=-cosx+21
3cos3x-5
cos5x+C.
四、计算题（2）(每小题7分，共28分)
1-
11、解 原式=lim2+x2-xx→02x
=lim-x-+x
x→0
4x-x2
=lim-x-+x
x→04x
-1-
1
=lim2-x2+x1
x→04=-
4. 2、解 y=11
2ln(1-x)-2
lnarccosx
y'=1121-x(1-x)'-11
2arccosx
(arccosx)'
=
1-111-21-x-1
2arccosx-x2
∴y'(0)=11
π-2
.
(2分)
(4分)
(6分)
(4分) (6分)
(2分)
(4分)
(6分)
(2分)
(4分)
(7分)
(2分)
(6分)
(7分)
3．解 原式
x=tant
tan3t2
⋅sectdt ⎰sect
(2分) (4分)
=⎰(sec2t-1)d(sect)
1
=sec3t-sect+C
3
3
12 =(1+x)-+x2+C. (7分)
31111
4、解 原式=⎰ln(x-1)d(x2)=x2ln(x-1)-⎰x2⋅dx
222x-111⎛1⎫
=x2ln(x-1)-⎰ x+1+⎪dx
22⎝x-1⎭
(3分) (5分)
1111
=x2ln(x-1)-x2-x-ln(x-1)+C
2422111
=(x2-1)ln(x-1)-x2-x+C.
242
五．应用题(每小题7分,共14分)
(7分)
1．解 函数定义域为(-∞,+∞).
(1分) (3分)
2(1-x2)2x
y'=, y''=
(1+x2)21+x2
令y''=0,得x=±1
分)
C(x)25000x
2．解 (1)平均成本为(x)=, (1分) =+200+
xx40
250001
令'(x)=-+=0得x1=1000(x2=-1000舍去).
40x 又因为''(1000)=5⨯10-5>0,所以当x=1000时,(x)取极小值,即最小值,因此,要使平均成本最小,应生产1000件产品.
(4分)
x2x2
(2)利润函数为L(x)=500x-(25000+200x+)=300x-25000-, (5分)
4040
x
L'(x)=300-=0得x=6000.
201
又L''(6000)=-
20
六、证明题(4分)
证 设F(x)=xf(x),则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)= F(b)=0. (2分)
由罗尔定理知:∃ξ∈(a,b),使F(ξ)=f(ξ)+ξf'(ξ)=0. (4分)
浙江工商大学章乃器学院2008/2009学年第一学期考试试卷(A)
课程名称： 微积分(上) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟
班级： 学号： 姓名： 得分： .
一、填空题(本题共10小题,每小题2分,共20分.把答案填在题中横线上)
1、函数 f(x)=1-
11-
-x
的连续区间为(-∞,0) (0,1) .
x2+522
2、limsin= .
x→∞3x+2x3
x2-3x+a3、lim=b , 则 a= 2 , b= -1 .
x→22-x
4、lim(1-kx)
x→-∞
-
1
x
= 1（ k为常数 ）.
(n)
1
5、设 f(x)=,则 f
3x+2(-1)n⋅n!⋅3n
(x)= .
(3x+2)n+1
6、设某商品的需求函数为 Q=100-2p,则在需求弹性 η=- 时的边际收益为
50 .
7、设 f'(lnx)=1+x , 则 f(x) = x+ex+C.
13
8、d(2sin3x) = 3⋅2sinx⋅cos3x⋅ln2dx.
9、函数 y=x⋅ln(e+) 的渐近线为 y=x+1,x=.
e
1x
10、lim⎛
2n⎫ = .
+ +⎪n→+∞2n2+12n2+22n2+n⎭⎝
1
+
二、选择题(本题共7小题,每小题2分,共14分)
1、设函数f(x)=xcosx,则 ( D ). (A) 当x→∞时是无穷大 (C) 在(-∞，+∞)内有界
x→1
x-1
(B) 当x→∞时极限存在 (D) 在(-∞，+∞)内无界
2、设 f(x) 可微，则 limf(2-x)-f(1) = ( C ). (A) -f'(-2)
(B) f'(-1)
x
(C) -f'(1) D) f'(2)
3、x=0 是函数 f(x)=arctan1 的 ( C ). (A) 可去型间断点 (C) 跳跃型间断点
(B) 无穷型间断点. (D) 连续点
4、F(x) 与 G(x) 都是 f(x) 在 [a,b] 内的原函数，则必成立（ B ）。
(A) F(x)=G(x)+1 (B) F(x1)-F(x2)=G(x1)-G(x2),∀x1,x2∈(a,b) (C) dF(x)=dG(x)+C(C为任意常数） (D) ⎰dF(x)=F(x),
⎰dG(x)=G(x)
5、设函数f(x)=(x2-3x+2)sinx,则方程f(x)在(0,π)内的驻点个数为 ( D ). (A) 0个
(B) 至多1个
(C) 2个
(D) 至少3个
6、设 f(x) 在 x=x0 的附近三阶可导 , f'(x0)=0,f''(x0)=0;
f'''(x)
(A) 极大值点但非拐点横坐标 (C) 拐点横坐标但非极值点
n
(B) 极小值点但非拐点横坐标 (D) 既是极值点又是拐点横坐标
n
1000
lnn
7、设当 n→+∞ 时，对无穷小 (1)0.001,(1)1000,(999)n,1 作阶数高低比较，它们阶数由高到低顺序排列的次序应是：( D ). (A) (1)0.001,(1)1000,(999)n,1
n
n
1000
lnn
(B) (1)1000,(1)0.001,(999)n,1
n
n
1000
lnn
(C) (999)n,1,(1)0.001,(1)1000
1000
lnn
n
n
(D) (999)n,(1)1000,(1)0.001,1
1000
n
n
lnn
三、计算题（1）(写出必要的解题步骤,每小题6分,共24分)
⎧x2, x≤1
1、设函数 f(x)=⎨ 在 x=1 处可导, 求常数 a,b 的值.
ax+b, x>1⎩
解： a=2,b=-1
π⎫2、求 limx⎛-arctanx⎪. x→+∞⎝2⎭
π
π⎫解： limx⎛-arctanx⎪=lim x→+∞
⎝2⎭x→+∞
-arctanx1
x
t=
=limt→+0
1x
π
-arctant
1
π1(-arctan)'
=lim(-1⋅-1)=lim(1)=1 =limt→+0t→+0t→+01+t2t2t'1+2
t3、设 y=ln
1-x
, 求 y'(0) .
arccosx
1
解：y=[ln(1-x)-ln(arccosx)]
2
y'(x)=
1111
; y'(0)=- +
π22x-22arccosx⋅-x2
4、求⎰sin5xdx.
解：⎰sinxdx=-⎰(1-cosx)d(cosx)=-⎰(1-t2)2dt
2121
=-⎰(1-2t2+t4)dt=-t+t3-t5+C =-cosx+cos3x-cos5x+C
3535
5
2
2
t=cosx
四、计算题(2)(写出必要的解题步骤,每小题6分,共24分)
2ππdy
1、设方程 siny+x⋅e=0,(y∈(-,)) 确定隐函数 y=y(x), 求 y
2
22
dx
x=0
.
解： y'(0)=-1,y''(0)=2
ln(x-1)
⎰xdx.
解：⎰ln(x-1)dx=-4x-2ln(x-1)+2ln(x+1)+2xln(x-1)+C
x
2、计算
3、计算
x4
⎰(x2+4)2x.
sin4t1x2xx4
解：⎰2=2dt=2tant-3t+sin2t+C=x-3arctan++C x22⎰2
cost22x+4(x+4)
x
4、已知函数 f(x)=lim[(x-a)⋅arctan
n→+∞a
n
],(a>0) ；试确定：
（1）函数 f(x) 的连续区间； （2）函数 f(x) 的可导区间.
x>a⎧(x-a),2
解： f(x)=⎪0,-a
⎪-πa,x=-a⎩
2
π
连续区间 (-∞,-a) (-a,+∞) ; 可导区间 (-∞,-a) (-a,a) (a,+∞) 五．应用题(每小题6分,共12分)
1、已知某厂生产x件产品的成本为C(x)=25000+200x+1x2(元)。问:(1)要使平均成
本最小,应生产多少件产品 ? (2)若产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品？
x225000x
解： (x)=ˆ=6000 ,x+200+,x0=1000 ; L(x)=300x-25000-
40x40
2、设三次曲线 y=x3+4x2-3x+d 中系数 d 是任意实数；试根据 d 的各种取值，讨论该三次曲线的零点个数。 解：y(-∞)=-∞,y(+∞)=+∞ ;
1
y'(x)=3x2+8x-3 ; y'(x)=0⇒x1=-3,x2= ;
3
114
y(-3)=d+18 , y()=d- ;
32714
当 -18
27
14
当 d=-18 或 d= 时， 有两个零点；
2714
当 d 时， 只有一个零点。
27
六、证明题(4 + 2分)
设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续 ，limf(3x)=1 ；（1）求证: 方程 f(x)=0 在
x→∞
x3
(-∞,+∞) 上至少有一个实根；（2）若还有条件：limf'(2x) 存在，
x→∞
x
f''(x)>0,x∈(-∞,+∞) ; 证明该方程的实根还是唯一的。
证明：
x)1 limf(3⇒∃M1>0:=x→+∞x3x)1 limf(3⇒∃M2>0:=x→-∞x3x)1 limf(3=
x→∞
x>M1⇒f(x)>0 ；
x
x3
⇒limf(x)=∞ ； ⇒lim
x→∞
x→∞
f(x)f'(x)
=limx→∞3x2x3
⇒lim
x→∞
f'(x)
=1 ； 2
x
limf'(2x)=1⇒∃M0>0 ： x0 ； x→-∞x
f''(x)>0⇒
f'(x) 递增 ⇒f'(x)>0,x∈(-∞,+∞) ；
故该方程最多有一个实根， 所以实根还是唯一的。
浙江工商大学2007/2008学年第一学期考试试卷（A）
课程名称： 微积分（上） 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 班级名称： 学号： 姓名：
一、填空题（每小题2分,共20分）
x1
1、已知f(cos)=cosx，则f[f(0)]＝ .
22
2、lim(x2-x+x)=
x→-∞
12xsin+sinx⎫3、lim⎛ ⎪= x→∞⎝⎭
ex-1
4、函数y=的垂直渐近线为 .
x(x-1)
5、已知f'(sin2x)=cos2x,且f(0)=1,则f(x)=
dln(1+x2)6、= .
7、设某商品的需求函数为Q=10-0.2p,则在p=5处的需求弹性为
⎧ex+1, x≤0
8、设f(x)=⎨在x=0处可导,则a= ;b= .
ax+b, x>0⎩
9、设f(x)是可微函数,则⎰d⎰f'(x)dx= . 10
f(x)的一个原函数,则⎰xf'(x)dx=二、单项选择题（每小题2分,共10分）
1、当x→0时,2x+3x-2与x相比较是( )的无穷小. A、等价
B、同价但不等价
C、高阶
D、低阶
()
2、若f'(x0)=-2,则limA、
1 4
x→0
x
=( ).
00 B、-
1 4
C、1 D、-1
3、已知
⎰
f(
1
)dx=x2+C,则x
⎰f(x)dx=( ).
2
C、+C
x
2
D、-+C
x
A
C B
、4、设f(x)在在(a,b)内( ).
上连续,
且f(a)f(b)
C、有唯一根 D、根的个数无法确定
f'(x)
5、设f(x)的导数在x=a处连续,又lim=-1,则( ).
x→ax-aA、x=a是f(x)的极小值点 B、x=a是f(x)的极大值点
A、无根 B、至少有一根
C、(a,f(a))是曲线f(x)的拐点
D、x=a不是f(x)的极值点,(a,f(a))也不是曲线f(x)的拐点 三、计算题(1)（写出必要的解题步骤,每小题6分,共24分）
1⎧x⎪-1
1、设f(x)=⎨e, x>0,求f(x)的间断点,并说明间断点所属类型.
⎪⎩ln(1+x), -1
2、求lim
cos(sinx)-1
.
x→0(ex-1)2
3、函数y=y(x)由方程ex+y-xy=1,求y'(0)、y''(0). 4、求⎰sin3xdx.
四、计算题（2）（写出必要的解题步骤,每小题6分,共24分）
(1+x)ex1、设y=,求y'. 2、求lim(x++x2)x.
x→+∞arccosx
1
dx
3、计算积分⎰. 4、计算积分
1+x+2
x2arctanx⎰1+x2dx.
五、应用题（每小题9分,共18分）
1、设某商品的需求函数为Q=100-5p,Q为需求量,p为单价.又设工厂生产此种商品的总成本变化率为C'(Q)=15-0.05Q,且知当Q=0时总成本C=12.5,试确定销售单价
p使工厂利润L达到最大.
2、设点(1,3)是曲线y=x3+ax2+bx+14的拐点,求a,b的值,并求该曲线的单调区间与极值.
六、证明题（4分）
已知f''(x)
f(x1+x2)
07～08浙江工商大学《微积分》（上）试卷(A)参考答案及评分标准 一、填空题
111
1、-；2、；3、1；4、x=1；5、x-x2+1；6、2x；
224
7、-
11
或；8、a=1,b=2；9、f(x)+C；10
C 99二、单项选择题
1、B 2、A 3、D 4、C 5、B
三、计算题（1）
1.解 函数在x=1处无定义. f(1-0)=lime-
x→1
1
x-1
=0, f(1+0)=lim+e
x→1
1x-1
=+∞, (2分)
∴x=1是f(x)的第二类间断点. (3分) 又x=0为函数的分段点.
(+x)=0, f(0+0)=lim+e f(0-0)=lim-ln1
x→0
1
x-1
x→0
=e-1, (5分)
∴x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点). (6分)
1
-sin2x
2.解 原式＝lim2 (4分)
x→0x1
＝-. (6分)
2
-y-xy'= 0 （1分） 3.解 原式两边求导得 ex+y(1+y')
将x=0,y=0代入 （2分） 得y'(0)=-1 （3分） 再求导：ex+y(1+y')2+ex+yy''-y'-y'-xy''=0 （5分） 将x=0,y=0，y'(0)=-1代入得 y''(0)=-2 （6分） 4.解 原式=⎰sin2x⋅sinxdx (2分)
=-⎰(1-cos2x)d(cosx) (4分)
1
=-cosx+cos3x+C. (6分)
3
四、计算题（2）
(1+x)ex1'
⋅[ln(1+x)+x-lnarccosx] (3分) 1.解 y'=
arccosx2
1(1+x)ex=
2arccosx
⎡1⎛11
+1--⎢
arccosx -x2⎢⎝⎣1+x
⎫⎤
⎪⎥ ⎪⎭⎥⎦
1(1+x)ex
=
2arccosx
⎡1⎤1
+1⎢⎥. (6分) 21+x-xarccosx⎦⎣
2.解 原式=e
ln(x+1+x2)
x→+∞xlim
（2分）
12+x2
⋅2x)
=e=e
x→+∞
lim
1x++x11+x2
2
⋅(1+
(4分)
x→+∞
lim
=e0=1. (6分)
3t2
⎰1+tdt (2分)
3.解 原式
x+2=t
=3⎰(t-1+
1
)dt (3分) 1+t
1
=3(t2-t+ln|1+t|)+C (5分)
23
=(x+2)2-3x+2+3ln|1+x+2|+C. (6分) 2
3
4.解 原式=⎰arctanxdx-⎰
arctanx
dx (2分) 2
1+xx
=xarctanx-⎰dx-⎰arctanxd(arctanx) (4分)
1+x211
=xarctanx-ln(1+x2)-(arctanx)2+C. (6分)
22
五、应用题
1.解 C(Q)=⎰Q'(Q)dQ=⎰(15-
11
Q)dQ=15Q-Q2+C0, (2分) 2040
由C(0)=12.5得C0=12.5.
12
Q+12.5. (3分) 40100-Q1
总收益R(Q)=pQ=⋅Q=20Q-Q2, (5分)
55
∴总成本C(Q)=15Q-
72
Q-12.5, (6分) 40
7100600
令L'(Q)=5-Q=0得唯一驻点Q=,此时p=≈17. (8分)
20735
600
根据问题的实际意义知,当销售单价为p=≈17时,工厂利润最大.
35
(9分)
2、解 a+b+15=3
总利润L(Q)=R(Q)-C(Q)=5Q-
y''(1)=6x+2ax=1=0⇒a=-3b=-9 （3分） y=x3-3x2-9x+14
y'=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)=0⇒x=-1x=3 （4分）
单增区间：(-∞,-1)、(3,+∞)，递减区间：(-1,3)
极大值为y(-1)=19 ，极小值为y(3)=-13 （9分） 六、证明题
证 不妨设x1
f(x1)-f(0)=f'(ξ1)x1(0
f(x1+x2)-f(x2)=f'(ξ2)x1(x2
由f''(x)
浙江工商大学2008/2009学年第一学期考试试卷(A) ................................................................................ 1 浙江工商大学2008/2009学年第一学期考试试卷(B) ................................................................................. 9 浙江工商大学2008/2009学年微积分考试试卷（A） ............................................................................. 14 浙江工商大学章乃器学院2008/2009学年第一学期考试试卷(A) ........................................................... 20 浙江工商大学2007/2008学年第一学期考试试卷（A） ......................................................................... 24
浙江工商大学2008/2009学年第一学期考试试卷(A)
课程名称： 微积分(上) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟
班级： 学号： 姓名： 得分： .
一、填空题 (本题共10小题，每小题2分，共20分. 把答案填在题中横线上)
⎧x+1,x≤0
1、 设函数f(x)=⎨，则f(f(x))= .
⎩1,x
x2+52
sin= . 2、lim
x→∞3x+2x
x2-3x+a
=b， 则a= ，b= . 3、lim
x→22-x
4、若f'(x2)=
1
,x>0，则f(x)=。 x
5、设f(x)=(1+x)(1+2x) (1+nx)，则f(n)(x)= . 6、设某商品的需求函数为Q=100-2p,则在Q=50时的边际收益为 7、若函数f(x)与g(x)均可微，且同为某函数的原函数，又f(1)=2，g(1)=1，则
f(x)-g(x)=.
8、darctane
= .
9、函数y=ln(1+e-x)的水平渐近线为 .
111
10、lim[++ +]=.
x→01⨯22⨯3n(n+1)
二、选择题：(本题共5小题，每小题2分，共10分.)
1、设xn≤zn≤yn，且lim(yn-xn)=0，则limzn= ( )
n→∞
n→∞
(A)存在且等于零 2、设f(x)可微，则lim(A)-f'(x-1)
x→1
(B)存在但不等于零 (C)不一定存在 (D)一定不存在
f(2-x)-f(1)
= ( )
x-1
(B). f'(-1) (C) -f'(1) (D) f'(2).
1
3、x=0是函数f(x)=arctan的 ( )
x
(A) 可去型间断点 (C) 跳跃型间断点
(B) 无穷型间断点.
(D) 连续点.
4、设f(x)在x=x0的附近二阶可导,f'(x0)=0,f''(x0)>0,则f(x)在x=x0处有( ) (A) 极大值 (B) 极小值. (C) 对应着拐点. (D) 既非极值又非拐点. 5、设函数f(x)=(x2-3x+2)sinx，则方程f'(x)=0在(0,π)内根的个数为 ( ) (A) 0个 (B) 至多1个. (C) 2个. (D) 至少3个.
三、计算题（1） (写出必要的解题步骤,，每小题6分，共24分)
1、求函数f(x)=xx2-x的不可导点.
2、求不定积分⎰sin5xdx
3、函数y=y(x)由方程xy=yx确定，求
4、limx(-arctanx)
x→+∞2
dy. dx
π
四、计算题（2） (写出必要的解题步骤,每小题7分，共28分)
1、求极限 lim+x+-x-2
x→0
x
2
. 2、y=ln1-x
，求y'arccosx
(0)
3、计算不定积分⎰arcsinx-x
4、已知f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，求⎰xf'(x)dx。
五．应用题（每小题7分，共14分）
1、求曲线y=ln(1+x2)的凹凸区间和拐点。
2、已知某厂生产x件产品的成本为C(x)=25000+200x+
140
x2
（元）问：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？
（2）若产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？
六、证明题 (4分)
设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，证：必存在ξ∈(0,3)，使得f'(ξ)=0。
2008-2009年第一学期微积分（上）答案：（A）卷
f(3)=1。试
一、填空题（每小题2分，共20分）
⎧x+2,x≤-12
1．f(f(x))=⎨; 2． ; 3． 2，-1 ; 4． 2x+C; 5．(n!)2 ;
3⎩1,x>-1
6. 0; 7. 1 ; 8.
e
x
22x(1+e)
dx; 9.y=0; 10. 1
二、选择题：(本题共5小题，每小题2分，共10分.)
1.C 2.C 3.C 4.B 5. D
三、计算题（1） (本题共4小题，共24分)
1、limx(
x→+∞
π
2
-arctanx)
π
解： limx(-arctanx)=limx→+∞x→+∞2
π
-arctanx1
x
---------------------2分
-=lim
x→+∞
1
2 ------------------------4分 1-2
x
x2
=lim
x→+∞1+x2
=1 ----------------6分 2、求不定积分⎰sin5xdx (10分)
答：⎰sin5xdx=-⎰sin4xdcosx ---------------------------------------------2分
=-⎰(1-cos2x)2dcosx
=-⎰1-2cos2x+cos4xdx-----------------------4分
21
=-cosx+cos3x-cos5x+C------------------6分
35dy
. dx
答：方法1： 对方程两边取对数，原方程化为
3、函数y=y(x)由方程xy=yx确定，求
ylnx=xlny ---------------------2分
对上式两边关于x求导，得
yy'
(ylnx+)=(lny+x) ----------------------4分
xy
'
整理得： y'=
y(xlny-y)
------------------------6分
x(ylnx-x)
方法2： eylnx=exlny ------------------------2分 e
ylnx
yy'xlny
(ylnx+)=e(lny+x) -------------------4分
xy
'
由于 eylnx=exlny
yy'
故 (ylnx+)=(lny+x)
xy
'
所以 y'=
y(xlny-y)
。---------------------------6分
x(ylnx-x)
4、求函数f(x)=xx2-x的不可导点.
⎧x3-x2,x≤0⎪
答：f(x)=⎨x2-x3,0
⎪32x-x,x≥1⎩
因为 当x>1,1>x>0,x
故不可导的可疑点为x=0,x=1。下面看这两个处导数是否存在。
对于x=1，
f(x)-f(1)x3-x2'
f+(1)=lim+=lim+=1
x→1x→1x-1x-1f(x)-f(1)x2-x3'
f-(1)=lim-=lim-=-1
x→1x→1x-1x-1
故x=1处不可导。 ---------------------4分 对于x=0，
f(x)-f(0)x2-x3'
f+(0)=lim+=lim+=0
x→0x→0x-0x-0f(x)-f(0)x3-x2'
f-(1)=lim-=lim-=0
x→1x→1x-0x
故x=0为函数的可导点。------------------------------------6分
四、计算题（2） (本题共4小题，共28分)
1、求极限 lim
+x+-x-2
.
x2
x→0
1
答案：原式=lim2+x
x→0
-2x
1
2-x ---------------2分
=lim =lim
-x-+x4x-x
2
x→0
x→0
-x-+x
------------------------4分
4x
-1
=lim2-x
x→0
-4
12+x
1
=- --------------------------7分
4
2．y=ln
1-x
，求y'(0)
arccosx
解： y= 所以y'=
11
ln(1-x)-lnarccosx ------------------2分 22
1111
(1-x)'-(arccosx)' -----------4分 21-x2arccosx1-111-1
- =
221-x2arccosx-x
故y'(0)=
1
- ---------------------------------7分 π2
arcsinx-x
1
3．计算不定积分⎰
答：令x=t，则x=t2，dx=2tdt
⎰
arcsinx-x
dx=⎰
2tarcsint-t
2
=⎰2tarcsintdarcsint-----------------2分
令arcsint=u，得，=2usinudu -----------------------------4分 =2ud(-cosu) =-2ucosu+cosud2u =-2ucosu+2sinu+C
⎰
⎰
⎰
=-2-xarcsinx+2x+C--------------7分
4、已知f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，求⎰xf'(x)dx
解：
'xf⎰(x)dx=⎰xd(fx) ---------------------------2分
=xf(x)-⎰f(x)dx
=x[(1+sinx)lnx]'-(1+sinx)lnx+C -----------------4分 =xcosxlnx+sinx-(1+sinx)lnx+C------------------7分 五．应用题（每小题7分，共14分）
1．求曲线y=ln(1+x2)的凹凸区间和拐点。
答：函数定义域为(-∞,+∞)
2(1-x2)2x''
y=，y= ------------------ 2分 222
(1+x)1+x
'
令y''=0，得x=1,-1
-------------------------------------------------------5分 故下凹区间为(-∞,-1) (1,+∞)，上凹区间为(-1,1)
(-1,ln2)，(1,ln2)为函数的两个拐点 ------------------------7分
2．已知某厂生产x件产品的成本为C(x)=25000+200x+
12
x（元）问： 40
（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？
（2）若产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解：平均成本为
C(x)25000x
------------1分 =+200+
xx40250001
令 '(x)=-+=0 2
40x
(x)=
得： x1=1000, x2=-1000（舍去）
又因为 ''(1000)=5⨯10-5>0 -----------------------3分
所以当x=1000时，(x)取极小值，即最小值，因此，要使平均成本最小，应生产1000件产品。 （2）利润函数为
x2
L(x)=500x-(25000+200x+)
40
x2
=300x-25000- ------------------------------------------2分
40
令 L'(x)=300-得 x=600 0
x
=0 20
1
所以当x=6000时，利润取得最大值。-------------------------------------4分
又 L''(6000)=-
六、证明题 (4分)
证：因为f(x)在[0,3]上连续，所以f(x)在[0,2]上连续，且在[0,2]上必达到最大值M和
最小值m，m≤f(3)=1≤M，于是
m≤f(0)≤M， m≤f(1)≤M， m≤f(2)≤M 故
m≤
f(0)+f(1)+f(2)
≤M
3
由介值定理知，存在η∈[0,2]，使得 f(η)=
f(0)+f(1)+f(2)
=1 ---------2分
3
因为f(η)=f(3)=1，且f(x)在[η,3]上连续，在(η,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在
ξ∈(η,3)∈(0,3)，使得f'(ξ)=0。 ------------------------------4分
浙江工商大学2008/2009学年第一学期考试试卷(B)
课程名称： 微积分(上) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟
班级： 学号： 姓名： 得分： .
一、填空题 (本题共3小题，每小题4分，共12分. 把答案填在题中横线上)
⎧1,0≤x≤1
1、 设函数f(x)=⎨，则f(2x)定义域为2,1
2、 设 x1=10，xn+1=2+xn(n=1,2, )，则limxn=n→∞
3、函数f(x)=4、limxsin
x2-2x-2
的间断点为11
+sin5x= .
x→∞xx
5．曲线yex+lny=1在点（0，1）处的切线方程为 . 6．当x=±1时，函数y=x3+2px+q取得极值，则p= . 7．若f(x)=x(x+1)(x+2) (x+10)，则f'(0)= .
8．函数y=x3的拐点为1
9.设y= ，则n阶导数y(n)=1+x
10.⎰exsinxdx=二、选择题：(本题共5小题，每小题2分，共10分.)
1、设lim(1-x)=e2，则k=（ ）
x→0
kx
A、-2 B、 2 C、e-2 D、0
2、方程ex+y+xy=1确定了函数y=f(x)，f'(0)=（ ） A、-1 B、 0 C、1 D、-2 3、设函数y=f(tanx),其中f可导。则微分dy=（ ） A．f'(tanx)dx C、
B、sec2xf'(tanx)
12
' D、 secxf'(tanx)dx f(tan)dx2
1+x
k
4．若x→0时，2sinx-sin2x~x，则k=（ ）； A. 1； B. 2； C. 3； D. 4．
5、 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是： (A) 若lim(B) 若lim
x→0
f(x)
存在，则f(0)=0 x
f(x)+f(-x)
存在，则f(0)=0
x→0x
f(x)
(C) 若lim存在，则f'(0)存在
x→0x
f(x)-f(-x)
(D) 若lim存在，则f'(0)存在
x→0x
三、计算题 (本题共8小题，共64分)
1⎫⎛
1、求极限 lim xtan⎪.(8分)
x→+∞x⎭⎝
x2
x3
2、求极限 lim
x→0x-sinx
3、求⎰
4．设y=
1-x-x
2
dx
x(x>0)，求y'。
5．⎰secxtan5xdx
1⎧x⎪-1
6、设f(x)=⎨e, x>0,求f(x)的间断点,并说明间断点所属类型.
⎪⎩ln(1+x), -1
7．求函数y=x+2cosx在[0,]上的最值。
2
⎧x2, x≤1
8、设函数f(x)=⎨在x=1处可导,求常数a,b的值.
⎩ax+b, x>1
π
四、证明题 (6分)
证明方程x-cosx=0有且仅有一个实根。
2008-2009年第一学期微积分（上）答案（B卷） 一、填空题 (本题共10小题，每小题2分，共20分.)
1．[0,1] ; 2. 2 ; 3. x=2 ; 4. 1 5.y=1-0.5x
(-1)nn!1x
6.-1.5 7. 10! 8.(0,0) 9. 10.e(sinx-cosx)+C n+1
(x+1)2
二、选择题：(本题共5小题，每小题2分，共10分.)
1．A ; 2. A; 3. D; 4. C; 5. D;
三、计算题 (本题共8小题，共64分)
1⎫⎛
1、求极限 lim xtan⎪.
x→+∞x⎭⎝
x2
1⎛tant⎫t解：令t=, 极限化为 lim+ ⎪, --------------------2分
t→0x⎝t⎭
1⎛tant⎫t2
记y= ⎪,则lny=2(lntant-lnt), --------------4分
t⎝t⎭
sec2t1
-
1 lim+lny=lim+2(lntant-lnt)=lim+
t→0t→0t→0t2t
111
-t-sin2t
t-sintcost =lim=limsintcost=lim2
t→02tsintcostt→0t→02t2t32t211-cos2t
=lim2=, -------------- 6分 =lim2t→06tt→036t
1
1
所以
原极限=e. ------------------8分
13
x3
2、求极限 lim
x→0x-sinxx33x2
=lim解： lim
x→0x-sinxx→01-cosx
-- ---------3分
6x
---------------------6
x→0sinx
=6--------------------------------8分
=lim
3、求⎰解：⎰
1-x-x1-x-x
2
2
dx
x-x
2
dx=arcsinx-⎰
dx--------------------3分
1d(1-x2)
dx-----------------6分 =arcsinx+⎰22-x
=arcsinx+-x2+C--------------------8分
4．设y=
x(x>0)，求y'。
解：两边取对数，得 lny=对上式两边关于x求导，得
lnx
--------------------3分 x
y'1-lnx
= -------------------------6分 2
yx
1-lnx)
所以y'=y() ----------------------------------8分 2
x
5．⎰secxtan5xdx
解： ⎰secxtan5xdx=⎰tan4xdsecx ---------------2分
=⎰(sec2x-1)2dsecx ---------------4分 =⎰(sec4x-2sec2x+1)dsecx --------6分
12
=sec5x-sec3x+secx+C -------8分 53
1
⎧⎪e, x>0
6、设f(x)=⎨,求f(x)的间断点,并说明间断点所属类型.
⎪⎩ln(1+x), -1
解 函数在x=1处无定义. f(1-0)=lime-
x→1
1
x-1
=0, f(1+0)=lim+e
x→1
1x-1
=+∞, (3分)
∴x=1是f(x)的第二类间断点. (4分) 又x=0为函数的分段点.
(+x)=0, f(0+0)=lim+e f(0-0)=lim-ln1
x→0
1
x-1
x→0
=e-1, (7分)
∴x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点). (8分) 7．求函数y=x+2cosx在[0,]上的最值。
2解：由y'=1-2sinx=0，知x=
π
π
为函数在(0,)内的唯一驻点。---4分 62
π
y()=，y()=+，y(0)=2， -----------------6分
2266
ππππ
所以，最大值为y()=+3，最小值为y()=。 ------------8分
6622
⎧x2, x≤1
8、设函数f(x)=⎨在x=1处可导,求常数a,b的值.
⎩ax+b, x>1
ππππ
解 由f(x)在x=1可导知f(x)在该点必连续.
f(1-0)=lim-x2=1=f(1), f(1+0)=lim+(ax+b)=a+b.
x→1
x→1
由f(1-0)=f(1+0)=f(1)得 a+b=1. (1) (3分)
f(x)-f(1)x2-1
f-'(1)=lim-=lim-=2,
x-1x→1x→1x-1f(x)-f(1)ax+b-1ax-a
f+'(1)=lim+=lim+=lim+=a.
x-1x-1x-1x→1x→1x→1
由f-'(1)=f+'(1)得a=2.
(2)
(6分)
解(1)、(2)得a=2,b=-1. (8分)
四、证明题 (6分)
证：设f(x)=x-cosx x∈(-∞,+∞) v----------------------1分
f(x)在区间[-
ππ
,]上连续，f(-)f()
ππ
由零点定理知，f(x)在(-而f'(x)=1+sinx>0,
ππ
,)上至少存在一个零点。 -------3分
22
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增，
故结论成立 ------------------------6分
浙江工商大学2008/2009学年微积分考试试卷（A）
课程名称： 微积分(上) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟
班级： 学号： 姓名： 得分： .
一、填空题(本题共10小题,每小题2分,共20分.把答案填在题中横线上) 1、函数f(x)=1-
11-
-x
的连续区间为.
x2+52
2、limsin= .
x→∞3x+2x
x2-3x+a3、lim=b,则a= ,b= .
x→22-x
4、lim(1-kx)
x→-∞
-
1
=(n)
5、设f(x)=
1
,则fx+2
(x)= .
6、设某商品的需求函数为Q=100-2p,则在Q=50时的边际收益为. 7、设f'(lnx)=1+x,则f(x)=. 8、d(2sin3x).
9、函数y=ln(1+e-x)的水平渐近线为 .
12n⎫
10、lim⎛+2+ +2⎪= . 2x→0⎝nnn⎭
二、选择题(本题共5小题,每小题2分,共10分) 1、设函数f(x)=xcosx,则( ). (A) 当x→∞时是无穷大 (C) 在(-∞，+∞)内有界 2、设f(x)可微，则lim(A) -f'(-2)
x→1
(B) 当x→∞时极限存在 (D) 在(-∞，+∞)内无界
f(2-x)-f(1)
=( ).
x-1
(B) f'(-1) (C) -f'(1) D)f'(2)
1
3、x=0是函数f(x)=arctan的( ).
x
(A) 可去型间断点 (C) 跳跃型间断点
(B) 无穷型间断点. (D) 连续点
4、设f(x)在x=x0的附近二阶可导,f'(x0)=0,f''(x0)>0,则f(x)在x=x0处有( ) (A) 极大值
(B) 极小值
(C) 对应着拐点 (D) 既非极值又非拐点
5、设函数f(x)=(x2-3x+2)sinx,则方程f(x)在(0,π)内的驻点个数为( ). (A) 0个
(B) 至多1个
(C) 2个
(D) 至少3个
三、计算题（1）(写出必要的解题步骤,每小题6分,共24分)
⎧x2, x≤1
1、设函数f(x)=⎨在x=1处可导,求常数a,b的值.
ax+b, x>1⎩
π⎫2、求limx⎛-arctanx⎪. x→+∞⎝2⎭
3、设方程siny+xey=0确定函数y=y(x),求
4、求⎰sin5xdx.
四、计算题(2)(写出必要的解题步骤,每小题7分,共28分) 1、求极限lim
x→0
dy. dx
+x+-x-2
.
x2
2、设y=ln 3、计算
4、计算⎰xln(x-1)dx.
1-x
,求y'(0).
arccosx
⎰
x3+x
2
x.
五．应用题(每小题7分,共14分) 1、求曲线y=ln(1+x2)的凹凸区间和拐点.
2、已知某厂生产x件产品的成本为C(x)=25000+200x+
12
x(元)问:(1)要使平均成40
本最小,应生产多少件产品?(2)若产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品？
六、证明题(4分)
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,求证:∃ξ∈(a,b),使f(ξ)+ξf'(ξ)=0.
2008-2009年第一学期微积分（上）答案：（A）卷
一、填空题（每小题2分，共20分）
2(-1)nn!1．(-∞,0) (0,1); 2． ; 3． 2，-1; 4．e; 5． ; n+1
3x+2 6. 0; 7. x+ex+C; 8.2sin3xcos3x⋅3ln2dx; 9.y=0; 10. 二、选择题(每小题2分，共10分) 1.D
2.C
3.C
4.B
5. D
1
2
三、计算题（1）(每小题6分，共24分)
1、解 由f(x)在x=1可导知f(x)在该点必连续.
f(1-0)=lim-x2=1=f(1), f(1+0)=lim+(ax+b)=a+b.
x→1
x→1
由f(1-0)=f(1+0)=f(1)得 a+b=1. (1) (2分)
f(x)-f(1)x2-1
f-'(1)=lim-=lim-=2,
x-1x→1x→1x-1f(x)-f(1)ax+b-1ax-a
f+'(1)=lim+=lim+=lim+=a.
x-1x-1x-1x→1x→1x→1
由f-'(1)=f+'(1)得a=2.
(2)
(5分)
解(1)、(2)得a=2,b=-1. (6分)
π
2、解 原式=-arctanxxlim→+∞
x
-
1
=xlim
→+∞
-x
=xlimx2
→+∞1+x2
=1
3、解 方程两边对x求导,得
cosy⋅y'+ey+xey⋅y'=0,
解得y'=-ey
cosy+xe
. 4、解 原式=-⎰sin4xd(cosx)
=-⎰(1-cos2x)2d(cosx)
=-⎰(1-2cos2x+cos4x)d(cosx)
=-cosx+21
3cos3x-5
cos5x+C.
四、计算题（2）(每小题7分，共28分)
1-
11、解 原式=lim2+x2-xx→02x
=lim-x-+x
x→0
4x-x2
=lim-x-+x
x→04x
-1-
1
=lim2-x2+x1
x→04=-
4. 2、解 y=11
2ln(1-x)-2
lnarccosx
y'=1121-x(1-x)'-11
2arccosx
(arccosx)'
=
1-111-21-x-1
2arccosx-x2
∴y'(0)=11
π-2
.
(2分)
(4分)
(6分)
(4分) (6分)
(2分)
(4分)
(6分)
(2分)
(4分)
(7分)
(2分)
(6分)
(7分)
3．解 原式
x=tant
tan3t2
⋅sectdt ⎰sect
(2分) (4分)
=⎰(sec2t-1)d(sect)
1
=sec3t-sect+C
3
3
12 =(1+x)-+x2+C. (7分)
31111
4、解 原式=⎰ln(x-1)d(x2)=x2ln(x-1)-⎰x2⋅dx
222x-111⎛1⎫
=x2ln(x-1)-⎰ x+1+⎪dx
22⎝x-1⎭
(3分) (5分)
1111
=x2ln(x-1)-x2-x-ln(x-1)+C
2422111
=(x2-1)ln(x-1)-x2-x+C.
242
五．应用题(每小题7分,共14分)
(7分)
1．解 函数定义域为(-∞,+∞).
(1分) (3分)
2(1-x2)2x
y'=, y''=
(1+x2)21+x2
令y''=0,得x=±1
分)
C(x)25000x
2．解 (1)平均成本为(x)=, (1分) =+200+
xx40
250001
令'(x)=-+=0得x1=1000(x2=-1000舍去).
40x 又因为''(1000)=5⨯10-5>0,所以当x=1000时,(x)取极小值,即最小值,因此,要使平均成本最小,应生产1000件产品.
(4分)
x2x2
(2)利润函数为L(x)=500x-(25000+200x+)=300x-25000-, (5分)
4040
x
L'(x)=300-=0得x=6000.
201
又L''(6000)=-
20
六、证明题(4分)
证 设F(x)=xf(x),则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)= F(b)=0. (2分)
由罗尔定理知:∃ξ∈(a,b),使F(ξ)=f(ξ)+ξf'(ξ)=0. (4分)
浙江工商大学章乃器学院2008/2009学年第一学期考试试卷(A)
课程名称： 微积分(上) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟
班级： 学号： 姓名： 得分： .
一、填空题(本题共10小题,每小题2分,共20分.把答案填在题中横线上)
1、函数 f(x)=1-
11-
-x
的连续区间为(-∞,0) (0,1) .
x2+522
2、limsin= .
x→∞3x+2x3
x2-3x+a3、lim=b , 则 a= 2 , b= -1 .
x→22-x
4、lim(1-kx)
x→-∞
-
1
x
= 1（ k为常数 ）.
(n)
1
5、设 f(x)=,则 f
3x+2(-1)n⋅n!⋅3n
(x)= .
(3x+2)n+1
6、设某商品的需求函数为 Q=100-2p,则在需求弹性 η=- 时的边际收益为
50 .
7、设 f'(lnx)=1+x , 则 f(x) = x+ex+C.
13
8、d(2sin3x) = 3⋅2sinx⋅cos3x⋅ln2dx.
9、函数 y=x⋅ln(e+) 的渐近线为 y=x+1,x=.
e
1x
10、lim⎛
2n⎫ = .
+ +⎪n→+∞2n2+12n2+22n2+n⎭⎝
1
+
二、选择题(本题共7小题,每小题2分,共14分)
1、设函数f(x)=xcosx,则 ( D ). (A) 当x→∞时是无穷大 (C) 在(-∞，+∞)内有界
x→1
x-1
(B) 当x→∞时极限存在 (D) 在(-∞，+∞)内无界
2、设 f(x) 可微，则 limf(2-x)-f(1) = ( C ). (A) -f'(-2)
(B) f'(-1)
x
(C) -f'(1) D) f'(2)
3、x=0 是函数 f(x)=arctan1 的 ( C ). (A) 可去型间断点 (C) 跳跃型间断点
(B) 无穷型间断点. (D) 连续点
4、F(x) 与 G(x) 都是 f(x) 在 [a,b] 内的原函数，则必成立（ B ）。
(A) F(x)=G(x)+1 (B) F(x1)-F(x2)=G(x1)-G(x2),∀x1,x2∈(a,b) (C) dF(x)=dG(x)+C(C为任意常数） (D) ⎰dF(x)=F(x),
⎰dG(x)=G(x)
5、设函数f(x)=(x2-3x+2)sinx,则方程f(x)在(0,π)内的驻点个数为 ( D ). (A) 0个
(B) 至多1个
(C) 2个
(D) 至少3个
6、设 f(x) 在 x=x0 的附近三阶可导 , f'(x0)=0,f''(x0)=0;
f'''(x)
(A) 极大值点但非拐点横坐标 (C) 拐点横坐标但非极值点
n
(B) 极小值点但非拐点横坐标 (D) 既是极值点又是拐点横坐标
n
1000
lnn
7、设当 n→+∞ 时，对无穷小 (1)0.001,(1)1000,(999)n,1 作阶数高低比较，它们阶数由高到低顺序排列的次序应是：( D ). (A) (1)0.001,(1)1000,(999)n,1
n
n
1000
lnn
(B) (1)1000,(1)0.001,(999)n,1
n
n
1000
lnn
(C) (999)n,1,(1)0.001,(1)1000
1000
lnn
n
n
(D) (999)n,(1)1000,(1)0.001,1
1000
n
n
lnn
三、计算题（1）(写出必要的解题步骤,每小题6分,共24分)
⎧x2, x≤1
1、设函数 f(x)=⎨ 在 x=1 处可导, 求常数 a,b 的值.
ax+b, x>1⎩
解： a=2,b=-1
π⎫2、求 limx⎛-arctanx⎪. x→+∞⎝2⎭
π
π⎫解： limx⎛-arctanx⎪=lim x→+∞
⎝2⎭x→+∞
-arctanx1
x
t=
=limt→+0
1x
π
-arctant
1
π1(-arctan)'
=lim(-1⋅-1)=lim(1)=1 =limt→+0t→+0t→+01+t2t2t'1+2
t3、设 y=ln
1-x
, 求 y'(0) .
arccosx
1
解：y=[ln(1-x)-ln(arccosx)]
2
y'(x)=
1111
; y'(0)=- +
π22x-22arccosx⋅-x2
4、求⎰sin5xdx.
解：⎰sinxdx=-⎰(1-cosx)d(cosx)=-⎰(1-t2)2dt
2121
=-⎰(1-2t2+t4)dt=-t+t3-t5+C =-cosx+cos3x-cos5x+C
3535
5
2
2
t=cosx
四、计算题(2)(写出必要的解题步骤,每小题6分,共24分)
2ππdy
1、设方程 siny+x⋅e=0,(y∈(-,)) 确定隐函数 y=y(x), 求 y
2
22
dx
x=0
.
解： y'(0)=-1,y''(0)=2
ln(x-1)
⎰xdx.
解：⎰ln(x-1)dx=-4x-2ln(x-1)+2ln(x+1)+2xln(x-1)+C
x
2、计算
3、计算
x4
⎰(x2+4)2x.
sin4t1x2xx4
解：⎰2=2dt=2tant-3t+sin2t+C=x-3arctan++C x22⎰2
cost22x+4(x+4)
x
4、已知函数 f(x)=lim[(x-a)⋅arctan
n→+∞a
n
],(a>0) ；试确定：
（1）函数 f(x) 的连续区间； （2）函数 f(x) 的可导区间.
x>a⎧(x-a),2
解： f(x)=⎪0,-a
⎪-πa,x=-a⎩
2
π
连续区间 (-∞,-a) (-a,+∞) ; 可导区间 (-∞,-a) (-a,a) (a,+∞) 五．应用题(每小题6分,共12分)
1、已知某厂生产x件产品的成本为C(x)=25000+200x+1x2(元)。问:(1)要使平均成
本最小,应生产多少件产品 ? (2)若产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品？
x225000x
解： (x)=ˆ=6000 ,x+200+,x0=1000 ; L(x)=300x-25000-
40x40
2、设三次曲线 y=x3+4x2-3x+d 中系数 d 是任意实数；试根据 d 的各种取值，讨论该三次曲线的零点个数。 解：y(-∞)=-∞,y(+∞)=+∞ ;
1
y'(x)=3x2+8x-3 ; y'(x)=0⇒x1=-3,x2= ;
3
114
y(-3)=d+18 , y()=d- ;
32714
当 -18
27
14
当 d=-18 或 d= 时， 有两个零点；
2714
当 d 时， 只有一个零点。
27
六、证明题(4 + 2分)
设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续 ，limf(3x)=1 ；（1）求证: 方程 f(x)=0 在
x→∞
x3
(-∞,+∞) 上至少有一个实根；（2）若还有条件：limf'(2x) 存在，
x→∞
x
f''(x)>0,x∈(-∞,+∞) ; 证明该方程的实根还是唯一的。
证明：
x)1 limf(3⇒∃M1>0:=x→+∞x3x)1 limf(3⇒∃M2>0:=x→-∞x3x)1 limf(3=
x→∞
x>M1⇒f(x)>0 ；
x
x3
⇒limf(x)=∞ ； ⇒lim
x→∞
x→∞
f(x)f'(x)
=limx→∞3x2x3
⇒lim
x→∞
f'(x)
=1 ； 2
x
limf'(2x)=1⇒∃M0>0 ： x0 ； x→-∞x
f''(x)>0⇒
f'(x) 递增 ⇒f'(x)>0,x∈(-∞,+∞) ；
故该方程最多有一个实根， 所以实根还是唯一的。
浙江工商大学2007/2008学年第一学期考试试卷（A）
课程名称： 微积分（上） 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 班级名称： 学号： 姓名：
一、填空题（每小题2分,共20分）
x1
1、已知f(cos)=cosx，则f[f(0)]＝ .
22
2、lim(x2-x+x)=
x→-∞
12xsin+sinx⎫3、lim⎛ ⎪= x→∞⎝⎭
ex-1
4、函数y=的垂直渐近线为 .
x(x-1)
5、已知f'(sin2x)=cos2x,且f(0)=1,则f(x)=
dln(1+x2)6、= .
7、设某商品的需求函数为Q=10-0.2p,则在p=5处的需求弹性为
⎧ex+1, x≤0
8、设f(x)=⎨在x=0处可导,则a= ;b= .
ax+b, x>0⎩
9、设f(x)是可微函数,则⎰d⎰f'(x)dx= . 10
f(x)的一个原函数,则⎰xf'(x)dx=二、单项选择题（每小题2分,共10分）
1、当x→0时,2x+3x-2与x相比较是( )的无穷小. A、等价
B、同价但不等价
C、高阶
D、低阶
()
2、若f'(x0)=-2,则limA、
1 4
x→0
x
=( ).
00 B、-
1 4
C、1 D、-1
3、已知
⎰
f(
1
)dx=x2+C,则x
⎰f(x)dx=( ).
2
C、+C
x
2
D、-+C
x
A
C B
、4、设f(x)在在(a,b)内( ).
上连续,
且f(a)f(b)
C、有唯一根 D、根的个数无法确定
f'(x)
5、设f(x)的导数在x=a处连续,又lim=-1,则( ).
x→ax-aA、x=a是f(x)的极小值点 B、x=a是f(x)的极大值点
A、无根 B、至少有一根
C、(a,f(a))是曲线f(x)的拐点
D、x=a不是f(x)的极值点,(a,f(a))也不是曲线f(x)的拐点 三、计算题(1)（写出必要的解题步骤,每小题6分,共24分）
1⎧x⎪-1
1、设f(x)=⎨e, x>0,求f(x)的间断点,并说明间断点所属类型.
⎪⎩ln(1+x), -1
2、求lim
cos(sinx)-1
.
x→0(ex-1)2
3、函数y=y(x)由方程ex+y-xy=1,求y'(0)、y''(0). 4、求⎰sin3xdx.
四、计算题（2）（写出必要的解题步骤,每小题6分,共24分）
(1+x)ex1、设y=,求y'. 2、求lim(x++x2)x.
x→+∞arccosx
1
dx
3、计算积分⎰. 4、计算积分
1+x+2
x2arctanx⎰1+x2dx.
五、应用题（每小题9分,共18分）
1、设某商品的需求函数为Q=100-5p,Q为需求量,p为单价.又设工厂生产此种商品的总成本变化率为C'(Q)=15-0.05Q,且知当Q=0时总成本C=12.5,试确定销售单价
p使工厂利润L达到最大.
2、设点(1,3)是曲线y=x3+ax2+bx+14的拐点,求a,b的值,并求该曲线的单调区间与极值.
六、证明题（4分）
已知f''(x)
f(x1+x2)
07～08浙江工商大学《微积分》（上）试卷(A)参考答案及评分标准 一、填空题
111
1、-；2、；3、1；4、x=1；5、x-x2+1；6、2x；
224
7、-
11
或；8、a=1,b=2；9、f(x)+C；10
C 99二、单项选择题
1、B 2、A 3、D 4、C 5、B
三、计算题（1）
1.解 函数在x=1处无定义. f(1-0)=lime-
x→1
1
x-1
=0, f(1+0)=lim+e
x→1
1x-1
=+∞, (2分)
∴x=1是f(x)的第二类间断点. (3分) 又x=0为函数的分段点.
(+x)=0, f(0+0)=lim+e f(0-0)=lim-ln1
x→0
1
x-1
x→0
=e-1, (5分)
∴x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点). (6分)
1
-sin2x
2.解 原式＝lim2 (4分)
x→0x1
＝-. (6分)
2
-y-xy'= 0 （1分） 3.解 原式两边求导得 ex+y(1+y')
将x=0,y=0代入 （2分） 得y'(0)=-1 （3分） 再求导：ex+y(1+y')2+ex+yy''-y'-y'-xy''=0 （5分） 将x=0,y=0，y'(0)=-1代入得 y''(0)=-2 （6分） 4.解 原式=⎰sin2x⋅sinxdx (2分)
=-⎰(1-cos2x)d(cosx) (4分)
1
=-cosx+cos3x+C. (6分)
3
四、计算题（2）
(1+x)ex1'
⋅[ln(1+x)+x-lnarccosx] (3分) 1.解 y'=
arccosx2
1(1+x)ex=
2arccosx
⎡1⎛11
+1--⎢
arccosx -x2⎢⎝⎣1+x
⎫⎤
⎪⎥ ⎪⎭⎥⎦
1(1+x)ex
=
2arccosx
⎡1⎤1
+1⎢⎥. (6分) 21+x-xarccosx⎦⎣
2.解 原式=e
ln(x+1+x2)
x→+∞xlim
（2分）
12+x2
⋅2x)
=e=e
x→+∞
lim
1x++x11+x2
2
⋅(1+
(4分)
x→+∞
lim
=e0=1. (6分)
3t2
⎰1+tdt (2分)
3.解 原式
x+2=t
=3⎰(t-1+
1
)dt (3分) 1+t
1
=3(t2-t+ln|1+t|)+C (5分)
23
=(x+2)2-3x+2+3ln|1+x+2|+C. (6分) 2
3
4.解 原式=⎰arctanxdx-⎰
arctanx
dx (2分) 2
1+xx
=xarctanx-⎰dx-⎰arctanxd(arctanx) (4分)
1+x211
=xarctanx-ln(1+x2)-(arctanx)2+C. (6分)
22
五、应用题
1.解 C(Q)=⎰Q'(Q)dQ=⎰(15-
11
Q)dQ=15Q-Q2+C0, (2分) 2040
由C(0)=12.5得C0=12.5.
12
Q+12.5. (3分) 40100-Q1
总收益R(Q)=pQ=⋅Q=20Q-Q2, (5分)
55
∴总成本C(Q)=15Q-
72
Q-12.5, (6分) 40
7100600
令L'(Q)=5-Q=0得唯一驻点Q=,此时p=≈17. (8分)
20735
600
根据问题的实际意义知,当销售单价为p=≈17时,工厂利润最大.
35
(9分)
2、解 a+b+15=3
总利润L(Q)=R(Q)-C(Q)=5Q-
y''(1)=6x+2ax=1=0⇒a=-3b=-9 （3分） y=x3-3x2-9x+14
y'=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)=0⇒x=-1x=3 （4分）
单增区间：(-∞,-1)、(3,+∞)，递减区间：(-1,3)
极大值为y(-1)=19 ，极小值为y(3)=-13 （9分） 六、证明题
证 不妨设x1
f(x1)-f(0)=f'(ξ1)x1(0
f(x1+x2)-f(x2)=f'(ξ2)x1(x2
由f''(x)