一元二次方程的一般解法和应运

一元二次方程的求根公式及应运

重点：

1、 一元二次方程的一般解法； 2、 一元二次方程的判别式； 3、 一元二次方程的应运。

难点：

一元二次方程的应运

内容：

一、一般的一元二次方程的解法（配方法）

对一元二次方程axbxc0采用添加“一次项系数一般的平方”的方法，配成

2

(xm)n（m,n为已知数）的形式，然后开平方，求出其解。

一般步骤是：

（1） （2） （3）

通过移项、两边同时除以二次项系数，将原方程变为xpxq（p,q是已知数）。 对上式两边同时加上“一次项系数一般的平方”，将方程化为(x当(

2

2

p2

)(

2

p2

)q。

2

p2

)q0时，利用开平方的方法解方程；当(

2

p2

)q0时，方程无实根。

2

二、一般的一元二次方程的解法（公式法）

1、 公式推导：

对一元二次方程axbxc0采用配方法的基本思路，求出用系数a,b,c来表示的解的通用形式。

将方程变形为：axbxcx

2

2

2

ba

x

ca

两边加上“一次项系数一般的平方” (x讨论：

b2a

)

2

ca

(

b2a

)

2

b4ac4a

2

2

（1） 当

b4ac4a

b2a

2

2

0即b4ac0时

2

解为：x



b2a

（2）当b4ac0时，在实数范围内，方程无解。 2、结论：

对于一元二次方程axbxc0，当b4ac0时，有两个实根：

2

2

2

x

2a

；

这就是一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。 用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）

计算b4ac；

2

（2）

若b4ac

0，则方程有实根，根为x则方程无实根。

2

2a

；若b4ac0，

2

三、一元二次方程根的判别式

由以上的分析可以看出b4ac的值决定一元二次方程axbxc0根的情况，也就是说b4ac的值决定方程是否有根，有什么样的根，即它对方程的根起到“判别”的作用，因而将b4ac称为一元二次方程axbxc0的判别式，用表示

2

2

22

2

b4ac

利用判别式，不必解方程，就可以判断一个一元二次方程是否有根，以及有什么样的根。

2

当b4ac

0时，方程有两个不相等的实根x

2

b2a

；

当b4ac0时，方程有两个相等的实根x1x2当b4ac0时，方程无实根。 这个结论反过来也是成立的：

如果方程有两个不相等的实根，则b4ac0； 如果方程有两个相等的实根，则b4ac0； 如果方程无实根，则b4ac0。

2

2

2

2

2

b2a

；

例题：讨论方程x(m1)xm0（m是实数）根的情况。

判别式(m1)41(m)m2m1(m1)0（m是实数），因此，此方程一定有实根。

特别的，当判别式b4ac0时，方程有两个不相等的实根，分别

为

2

2

2

2

2

x1

2a

x2

2a

，仔细观察可发现x1,x2满足

(b(bb

x1x2

2aa



c

xgx12

4aa

b

xx12a

简写为

cxgx

12

a

这个结论叫韦达定理。

四、一元二次方程的应运

1、 二次三项式的因式分解

对于形如x4x12(x6)(x2)的因式分解，可以看出x6和x2是方程

2

x4x120的两个根，受此启发，对于一般的形如axbxc的因式，能否将其也

分解为a(xx1)(xx2)的形式，其中x1,x2是方程axbxc0的两个根？ 尝试：

2

如果方程axbxc0有两个实根，

分别为x1

2

22

2a

x2

那么2a

a(xx1)(xx2)a[x(x1x2)xx1gx2]利用韦达定理可得

a(xx1)(xx2)a[x(x1x2)xx1gx2]a[x

2

2

2

ba

x

ca

2

]axbxc

因此，因式axbx

2

2

可以写为a(xx1)(xx2)的形式，其中x1,x2是方程c

axbxc0的两个根。

结论：

二次三项式因式分解的一般步骤： （1） （2）

计算二次三项式axbxc对应的一元二次方程axbxc0的判别式； 若

2

22

0

，二次三项式axbxc

2

2

可以分解为

axbxca(xx1)(xx2)，x1,x2是方程axbxc0的两个根；特

别的，当0时，由于x1x2，axbxca(xx1)；

（3）

若0，方程axbxc0无实根，因此二次三项式axbxc在实数范围内不能分解。

2、实际问题

2

2

2

2

一元二次方程的求根公式及应运

重点：

1、 一元二次方程的一般解法； 2、 一元二次方程的判别式； 3、 一元二次方程的应运。

难点：

一元二次方程的应运

内容：

一、一般的一元二次方程的解法（配方法）

对一元二次方程axbxc0采用添加“一次项系数一般的平方”的方法，配成

2

(xm)n（m,n为已知数）的形式，然后开平方，求出其解。

一般步骤是：

（1） （2） （3）

通过移项、两边同时除以二次项系数，将原方程变为xpxq（p,q是已知数）。 对上式两边同时加上“一次项系数一般的平方”，将方程化为(x当(

2

2

p2

)(

2

p2

)q。

2

p2

)q0时，利用开平方的方法解方程；当(

2

p2

)q0时，方程无实根。

2

二、一般的一元二次方程的解法（公式法）

1、 公式推导：

对一元二次方程axbxc0采用配方法的基本思路，求出用系数a,b,c来表示的解的通用形式。

将方程变形为：axbxcx

2

2

2

ba

x

ca

两边加上“一次项系数一般的平方” (x讨论：

b2a

)

2

ca

(

b2a

)

2

b4ac4a

2

2

（1） 当

b4ac4a

b2a

2

2

0即b4ac0时

2

解为：x



b2a

（2）当b4ac0时，在实数范围内，方程无解。 2、结论：

对于一元二次方程axbxc0，当b4ac0时，有两个实根：

2

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x

2a

；

这就是一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。 用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）

计算b4ac；

2

（2）

若b4ac

0，则方程有实根，根为x则方程无实根。

2

2a

；若b4ac0，

2

三、一元二次方程根的判别式

由以上的分析可以看出b4ac的值决定一元二次方程axbxc0根的情况，也就是说b4ac的值决定方程是否有根，有什么样的根，即它对方程的根起到“判别”的作用，因而将b4ac称为一元二次方程axbxc0的判别式，用表示

2

2

22

2

b4ac

利用判别式，不必解方程，就可以判断一个一元二次方程是否有根，以及有什么样的根。

2

当b4ac

0时，方程有两个不相等的实根x

2

b2a

；

当b4ac0时，方程有两个相等的实根x1x2当b4ac0时，方程无实根。 这个结论反过来也是成立的：

如果方程有两个不相等的实根，则b4ac0； 如果方程有两个相等的实根，则b4ac0； 如果方程无实根，则b4ac0。

2

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2

2

b2a

；

例题：讨论方程x(m1)xm0（m是实数）根的情况。

判别式(m1)41(m)m2m1(m1)0（m是实数），因此，此方程一定有实根。

特别的，当判别式b4ac0时，方程有两个不相等的实根，分别

为

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2

2

x1

2a

x2

2a

，仔细观察可发现x1,x2满足

(b(bb

x1x2

2aa



c

xgx12

4aa

b

xx12a

简写为

cxgx

12

a

这个结论叫韦达定理。

四、一元二次方程的应运

1、 二次三项式的因式分解

对于形如x4x12(x6)(x2)的因式分解，可以看出x6和x2是方程

2

x4x120的两个根，受此启发，对于一般的形如axbxc的因式，能否将其也

分解为a(xx1)(xx2)的形式，其中x1,x2是方程axbxc0的两个根？ 尝试：

2

如果方程axbxc0有两个实根，

分别为x1

2

22

2a

x2

那么2a

a(xx1)(xx2)a[x(x1x2)xx1gx2]利用韦达定理可得

a(xx1)(xx2)a[x(x1x2)xx1gx2]a[x

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2

ba

x

ca

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]axbxc

因此，因式axbx

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可以写为a(xx1)(xx2)的形式，其中x1,x2是方程c

axbxc0的两个根。

结论：

二次三项式因式分解的一般步骤： （1） （2）

计算二次三项式axbxc对应的一元二次方程axbxc0的判别式； 若

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22

0

，二次三项式axbxc

2

2

可以分解为

axbxca(xx1)(xx2)，x1,x2是方程axbxc0的两个根；特

别的，当0时，由于x1x2，axbxca(xx1)；

（3）

若0，方程axbxc0无实根，因此二次三项式axbxc在实数范围内不能分解。

2、实际问题

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