一、 解析式的求法
1.
代入法
f (x ) =2x +1，求f (x +1)
f (x ) 满足f (x +3) =f (1-x ) ，且f (x ) =0
的两实根平方和为10，图像过点
2. 待定系数法 二次函数
(0,3); 已知f (x ) 二次实函数，且f (x +1) +f (x -1) =x 2+2x +4
3.
换元法
f (3x +1) =9x 2-6x +5， f (f (3x +1) =9x 2-6x +5，
f (x ) +f (-x ) =x -1，
33
22
4. 配凑法
x
) =2x +1, x +111f (x +) =x 3+3
x x
5. 6.
消元法（构造方程组法）利用函数的性质求解析式 例1. 已知函数
y =f (x ) 是定义在区间[-, ]上的偶函数，且x ∈[0,]时，f (x ) =-x 2-x +5
3
2
求
f (x ) 解析式
答案：
3⎧2
-x -x +5(0≤x ≤) ⎪⎪2
f (x ) =⎨
⎪-x 2+x +5(-3≤x
y =f (x ) 为奇函数, 当 x >0时, f (x ) =lg(x +1) , 求f (x )
例2. 已知
解:∵
f (x ) 为奇函数，∴f (x ) 的定义域关于原点对称，故先求x 0,∴
f (-x ) =lg(-x +1) =lg(1-x ) ,
∵
f (x ) 为奇函数，∴lg(1-x ) =f (-x ) =-f (x ) ∴当x
⎧lg(1+x ), x ≥0
f (x ) =⎨
-lg(1-x ), x
例3．一已知
f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，且有f (x ) +g (x ) =
1
， 求f (x ) , g (x ) . x -1
解：∵
f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，∴f (-x ) =f (x ) , g (-x ) =-g (x ) ,
不妨用-
x 代换f (x ) +g (x ) =
1
………①中的x ,
x -1
∴
f (-x ) +g (-x ) =
11
即f (x ) －g (x ) =-……②
-x -1x +1
显见①+②即可消去
g (x ) , 求出函数f (x ) =
1x
再代入①求出g (x ) =
x 2-1x 2-1
7. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出
f (x ) 的表达式
例：设解：∵
f (x ) 的定义域为自然数集，且满足条件f (x +1) =f (x ) +f (y ) +xy , 及f (1)=1,求f (x )
f (x ) 的定义域为N ，取y =1,则有f (x +1) =f (x ) +x +1
∵f (1)=1,∴f (2)=f (1)+2,f (3)=f (2)+3……f (n ) =f (n -1) +n
n (n +1) 1
x (x +1), x ∈N 以上各式相加，有f (n ) =1+2+3+……+n =∴f (x ) =
22
f (x ) 的有关问题
二、利用函数性质，解1. 判断函数的奇偶性： 例： 已知数。
证明：令
f (x +y ) +f (x -y ) =2f (x ) f (y ) , 对一切实数x 、y 都成立，且f (0)≠0, 求证f (x ) 为偶函
x =0, 则已知等式变为f (y ) +f (-y ) =2f (0)f (y ) ……①
y =0则2f (0)=2f (0)∵ f (0)≠0∴f (0)=1∴f (y ) +f (-y ) =2f (y ) ∴
在①中令
f (-y ) =f (y ) ∴f (x ) 为偶函数。
2. 确定参数的取值范围 例：奇函数
f (x ) 在定义域（-1，1）内递减，求满足f (1-m ) +f (1-m 2)
解：由
f (1-m ) +f (1-m 2)
f (1-m )
⎧-1
⎪
f (x ) 在（-1，1）内递减，∴⎨-1
⎪1-m >m 2-1⎩f (x -1) 定义域为(3,4]
，则函数f 的定义域为
，则
又∵
作业： 1. 若函数
2. 已知
11f (x -) =x 2+2
x x
f (x +1)
3. 已知
f (x +1) =x 2+3x +4，则f (x )
R 上的函数，且
4. 设
f (x ) 是定义在
f (x ) 满足f (x +2) =-f (x ) ，当x ∈[0,2]时，f (x ) =2x -x 2，求
x ∈[-2,0]时f (x ) 的解析式
1、 线性函数型抽象函数
二、四类抽象函数解法
例1、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
分析：由题设可知，函数f （x ）是的抽象函数，因此求函数f （x ）的值域，关键在于研究它的单调性。
解：设，∵当，∴，
∵，
∴，即，∴f （x ）为增函数。
在条件中，令y ＝－x ，则＝f （x ），f （x ）为奇函数，
，再令x ＝y ＝0，则f （0）＝2 f （0），∴ f （0）＝0，故f （－x ）
∴ f （1）＝－f （－1）＝2，又f （－2）＝2 f （－1）＝－4， ∴ f （x ）的值域为［－4，2］。
例2、已知函数f （x ）对任意，满足条件f （x ）＋f （y ）＝2 + f（x ＋y ），且当x ＞0时，f （x ）＞2，f （3）
＝5，求不等式的解。
分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等
式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，∵当
，∴
，则
，
即，∴f （x ）为单调增函数。
∵
， 又∵f （3）＝
5，∴f （1）＝3。∴解为－1
，∴， 即，解得不等式的
例3、设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x 和y
，
成立。求：
（1）f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。
分析：由题设可猜测f （x ）是指数函数的抽象函数，从而猜想f （0）＝1且f （x ）＞0。
解：（1）令y ＝0代入，则，∴
。若f （x ）＝0，则对任意
≠0，∴f （0）＝1。
，有，这与题设矛盾，∴f （x ）
（2）令y ＝x ≠0，则
＞0，故对任意x ，f （x ）＞0恒成立。 3、对数函数型抽象函数
，又由（1）知f （x ）≠0，∴f （2x ）＞0，即f （x ）
例4、设f （x ）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足（1）f （1）；
（2）若f （x ）＋f （x －8）≤2，求x 的取值范围。
，求：
分析：由题设可猜测f （x ）是对数函数的抽象函数，f （1）＝0，f （9）＝2。
解：（1）∵，∴f （1）＝0。
（2），从而有f （x ）＋f （x －8）≤f （9），
即，∵f （x ）是（0，＋∞）上的增函数，故
，解之得：8＜x ≤9。
4、幂函数型抽象函数
例5、已知函数f （x ）对任意实数x 、y 都有f （xy ）＝f （x ）·f （y ），且f （－1）＝1，f （27）＝9，当
。
（1）判断f （x ）的奇偶性；
（2）判断f （x ）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；
时，
（3）若，求a 的取值范围。
分析：由题设可知f （x ）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f （x ）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。
解：（1）令y ＝－1，则f （－x ）＝f （x ）·f （－1），∵f （－1）＝1，∴
f （－x ）＝f （x ），f （x ）为偶函数。
（2）设，∴，，
∵时，，∴，∴f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在0，＋∞）上是增函数。
（3）∵f （27）＝9，又，
∴，∴，∵，∴，
∵
，∴，又，故。
一、 解析式的求法
1.
代入法
f (x ) =2x +1，求f (x +1)
f (x ) 满足f (x +3) =f (1-x ) ，且f (x ) =0
的两实根平方和为10，图像过点
2. 待定系数法 二次函数
(0,3); 已知f (x ) 二次实函数，且f (x +1) +f (x -1) =x 2+2x +4
3.
换元法
f (3x +1) =9x 2-6x +5， f (f (3x +1) =9x 2-6x +5，
f (x ) +f (-x ) =x -1，
33
22
4. 配凑法
x
) =2x +1, x +111f (x +) =x 3+3
x x
5. 6.
消元法（构造方程组法）利用函数的性质求解析式 例1. 已知函数
y =f (x ) 是定义在区间[-, ]上的偶函数，且x ∈[0,]时，f (x ) =-x 2-x +5
3
2
求
f (x ) 解析式
答案：
3⎧2
-x -x +5(0≤x ≤) ⎪⎪2
f (x ) =⎨
⎪-x 2+x +5(-3≤x
y =f (x ) 为奇函数, 当 x >0时, f (x ) =lg(x +1) , 求f (x )
例2. 已知
解:∵
f (x ) 为奇函数，∴f (x ) 的定义域关于原点对称，故先求x 0,∴
f (-x ) =lg(-x +1) =lg(1-x ) ,
∵
f (x ) 为奇函数，∴lg(1-x ) =f (-x ) =-f (x ) ∴当x
⎧lg(1+x ), x ≥0
f (x ) =⎨
-lg(1-x ), x
例3．一已知
f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，且有f (x ) +g (x ) =
1
， 求f (x ) , g (x ) . x -1
解：∵
f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，∴f (-x ) =f (x ) , g (-x ) =-g (x ) ,
不妨用-
x 代换f (x ) +g (x ) =
1
………①中的x ,
x -1
∴
f (-x ) +g (-x ) =
11
即f (x ) －g (x ) =-……②
-x -1x +1
显见①+②即可消去
g (x ) , 求出函数f (x ) =
1x
再代入①求出g (x ) =
x 2-1x 2-1
7. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出
f (x ) 的表达式
例：设解：∵
f (x ) 的定义域为自然数集，且满足条件f (x +1) =f (x ) +f (y ) +xy , 及f (1)=1,求f (x )
f (x ) 的定义域为N ，取y =1,则有f (x +1) =f (x ) +x +1
∵f (1)=1,∴f (2)=f (1)+2,f (3)=f (2)+3……f (n ) =f (n -1) +n
n (n +1) 1
x (x +1), x ∈N 以上各式相加，有f (n ) =1+2+3+……+n =∴f (x ) =
22
f (x ) 的有关问题
二、利用函数性质，解1. 判断函数的奇偶性： 例： 已知数。
证明：令
f (x +y ) +f (x -y ) =2f (x ) f (y ) , 对一切实数x 、y 都成立，且f (0)≠0, 求证f (x ) 为偶函
x =0, 则已知等式变为f (y ) +f (-y ) =2f (0)f (y ) ……①
y =0则2f (0)=2f (0)∵ f (0)≠0∴f (0)=1∴f (y ) +f (-y ) =2f (y ) ∴
在①中令
f (-y ) =f (y ) ∴f (x ) 为偶函数。
2. 确定参数的取值范围 例：奇函数
f (x ) 在定义域（-1，1）内递减，求满足f (1-m ) +f (1-m 2)
解：由
f (1-m ) +f (1-m 2)
f (1-m )
⎧-1
⎪
f (x ) 在（-1，1）内递减，∴⎨-1
⎪1-m >m 2-1⎩f (x -1) 定义域为(3,4]
，则函数f 的定义域为
，则
又∵
作业： 1. 若函数
2. 已知
11f (x -) =x 2+2
x x
f (x +1)
3. 已知
f (x +1) =x 2+3x +4，则f (x )
R 上的函数，且
4. 设
f (x ) 是定义在
f (x ) 满足f (x +2) =-f (x ) ，当x ∈[0,2]时，f (x ) =2x -x 2，求
x ∈[-2,0]时f (x ) 的解析式
1、 线性函数型抽象函数
二、四类抽象函数解法
例1、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
分析：由题设可知，函数f （x ）是的抽象函数，因此求函数f （x ）的值域，关键在于研究它的单调性。
解：设，∵当，∴，
∵，
∴，即，∴f （x ）为增函数。
在条件中，令y ＝－x ，则＝f （x ），f （x ）为奇函数，
，再令x ＝y ＝0，则f （0）＝2 f （0），∴ f （0）＝0，故f （－x ）
∴ f （1）＝－f （－1）＝2，又f （－2）＝2 f （－1）＝－4， ∴ f （x ）的值域为［－4，2］。
例2、已知函数f （x ）对任意，满足条件f （x ）＋f （y ）＝2 + f（x ＋y ），且当x ＞0时，f （x ）＞2，f （3）
＝5，求不等式的解。
分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等
式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，∵当
，∴
，则
，
即，∴f （x ）为单调增函数。
∵
， 又∵f （3）＝
5，∴f （1）＝3。∴解为－1
，∴， 即，解得不等式的
例3、设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x 和y
，
成立。求：
（1）f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。
分析：由题设可猜测f （x ）是指数函数的抽象函数，从而猜想f （0）＝1且f （x ）＞0。
解：（1）令y ＝0代入，则，∴
。若f （x ）＝0，则对任意
≠0，∴f （0）＝1。
，有，这与题设矛盾，∴f （x ）
（2）令y ＝x ≠0，则
＞0，故对任意x ，f （x ）＞0恒成立。 3、对数函数型抽象函数
，又由（1）知f （x ）≠0，∴f （2x ）＞0，即f （x ）
例4、设f （x ）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足（1）f （1）；
（2）若f （x ）＋f （x －8）≤2，求x 的取值范围。
，求：
分析：由题设可猜测f （x ）是对数函数的抽象函数，f （1）＝0，f （9）＝2。
解：（1）∵，∴f （1）＝0。
（2），从而有f （x ）＋f （x －8）≤f （9），
即，∵f （x ）是（0，＋∞）上的增函数，故
，解之得：8＜x ≤9。
4、幂函数型抽象函数
例5、已知函数f （x ）对任意实数x 、y 都有f （xy ）＝f （x ）·f （y ），且f （－1）＝1，f （27）＝9，当
。
（1）判断f （x ）的奇偶性；
（2）判断f （x ）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；
时，
（3）若，求a 的取值范围。
分析：由题设可知f （x ）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f （x ）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。
解：（1）令y ＝－1，则f （－x ）＝f （x ）·f （－1），∵f （－1）＝1，∴
f （－x ）＝f （x ），f （x ）为偶函数。
（2）设，∴，，
∵时，，∴，∴f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在0，＋∞）上是增函数。
（3）∵f （27）＝9，又，
∴，∴，∵，∴，
∵
，∴，又，故。