例谈归纳总结法提高学生解题能力
鄱阳县教师进修学校附中 娄彩虹
在教学中我们经常发现学生只会做书本上现成的数学题，不会从一个数学题想到一类数学问题，也不会归纳出这一类数学问题的解题规律。学生为什么会产生这种现象？原来我们老师在平时教学中只注重教学生解答现成的数学题及其答案的准确性，而忽视知识本身的发生过程及与之相关的问题。若我们平时能的有意识地重视这一点，在培养学生分析、归纳总结以及解题的能力上定能起到事半功倍的效果。下面笔者就几个问题谈谈自己的作法与体会：
一、“牛喝水”问题
例1、如图1，小明在草地上放牛，他想先牵牛到河边饮水，然后再回家，却不知牵牛到河边的哪一点饮水，才使行走的路程最短？
解：作A 点关于直线l 的对称点A ′，连结A ′B 与l 相交于点P ，则P 点的位置为所求。
通过这一例子，我们可以把这个问题拓展，而出示一些与之有关的习题，让学生在练习中思考，在思考中归纳，而形成解这一类问题的能力。并告知学生这一类问题我们都可称为“牛喝水”问题。
1、 如图2，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供
气，泵站修在管道的什么地方可使所用的输气管线最短？
2、 点A 的坐标为（-3，2），点B 的坐标为（-1，1）在X 轴上找
一点C ，使AC+BC最小，求C 点的坐标。（答案：C （-5/3，0））
3、 如图，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB=8，CD=6，
MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA+PC的最小值是多少
4、 如图，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，
点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为
5、在RT △ABC 中, 已知角B=90°,AB=6,BC=8,D,E,F,分别是AB,BC,CA 三边上的点, 则DE+EF+FD的最小值。（答案9.6）
二、“握手”问题
例2，参加一次聚会的每两人都握一次手，所有人共握手45次，有多少人参加聚会？
解：设有n 人参加聚会
依题意得：
n （n-1）/2=45
解方程的n1=10 , n2=-9(舍去)
答：一共有10个人参加聚会。
通过这一例子，可以把下面一些问题向学生提出，让学生自己去解答，从而归纳总结出解决这一类问题的方法。并启发学生这一类问题都可称为“握手”问题。
1、 元旦前夕, 老师让九（5）班同学互相写新年祝福词, 已知共写祝福词
1540条, 这个班共有多少名学生？（答案56名）
2、 3个球队参加足球比赛, 两两各赛一场, 共赛__场;4个球队
参加足球比赛, 两两各赛一场, 共赛__场;n 个球队参加足球比赛, 两两各赛一场, 共赛__场. 3、同一线上有n 个点, 共有__条线段.
4、同一顶点出发的射线有n 条, 共构成__个角.
5、同一平面内,n 条直线两两相交, 共有__个交点.
三、“塔高”问题
例3，周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度。如图5小芳站A 处测得她看塔顶的仰角为45°，小丽站B 处测得她看塔顶的仰角为30°，她们又测出AB 两地的距离为30米。假设她们眼睛离头顶的都为10厘米，求南塔的
高度？
解：已知小芳站在A 处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B 处（A 、B 与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°，A 、B 两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm ，
所以设塔高为x 米则得：
x -1.6+0.1=tan30° x -1.6+0.1+30
解得：x ≈42.48
这是一个典型的解直角三角形求塔高问题，也是考试中常遇到的一个问题，我们也可把下面一些习题集中起来让学生去练习和思考，让他们自己归纳总结，从而得到解决这一类问题的方法。
1、海中有一小岛A ，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛在北偏东30°方向上。如果渔船不变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
2、某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内（如图），测得树顶A 的仰角∠ACB=60°，沿直线BC 后退6米到点D ，又测得树顶A 的仰角∠ADB=45°，若
测角仪DE 高1.3米，求这棵树的高AM ．（结果保留两位小数，≈1.732
）
3、如图，李明同学在东西方向的滨海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，他向东走400米至B 处，测得灯塔P 在北偏东30°方向上，求灯塔P 到滨海路的距离．（结果保留根号
）
总之，教师如果在教学中多注重让学生自己去归纳总结，寻求解决问题的规律性，学生就能举一反三，大大提高学习能力和学习效率，让学生轻松而愉快地把数学学好。
例谈归纳总结法提高学生解题能力
鄱阳县教师进修学校附中 娄彩虹
在教学中我们经常发现学生只会做书本上现成的数学题，不会从一个数学题想到一类数学问题，也不会归纳出这一类数学问题的解题规律。学生为什么会产生这种现象？原来我们老师在平时教学中只注重教学生解答现成的数学题及其答案的准确性，而忽视知识本身的发生过程及与之相关的问题。若我们平时能的有意识地重视这一点，在培养学生分析、归纳总结以及解题的能力上定能起到事半功倍的效果。下面笔者就几个问题谈谈自己的作法与体会：
一、“牛喝水”问题
例1、如图1，小明在草地上放牛，他想先牵牛到河边饮水，然后再回家，却不知牵牛到河边的哪一点饮水，才使行走的路程最短？
解：作A 点关于直线l 的对称点A ′，连结A ′B 与l 相交于点P ，则P 点的位置为所求。
通过这一例子，我们可以把这个问题拓展，而出示一些与之有关的习题，让学生在练习中思考，在思考中归纳，而形成解这一类问题的能力。并告知学生这一类问题我们都可称为“牛喝水”问题。
1、 如图2，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供
气，泵站修在管道的什么地方可使所用的输气管线最短？
2、 点A 的坐标为（-3，2），点B 的坐标为（-1，1）在X 轴上找
一点C ，使AC+BC最小，求C 点的坐标。（答案：C （-5/3，0））
3、 如图，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB=8，CD=6，
MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA+PC的最小值是多少
4、 如图，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，
点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为
5、在RT △ABC 中, 已知角B=90°,AB=6,BC=8,D,E,F,分别是AB,BC,CA 三边上的点, 则DE+EF+FD的最小值。（答案9.6）
二、“握手”问题
例2，参加一次聚会的每两人都握一次手，所有人共握手45次，有多少人参加聚会？
解：设有n 人参加聚会
依题意得：
n （n-1）/2=45
解方程的n1=10 , n2=-9(舍去)
答：一共有10个人参加聚会。
通过这一例子，可以把下面一些问题向学生提出，让学生自己去解答，从而归纳总结出解决这一类问题的方法。并启发学生这一类问题都可称为“握手”问题。
1、 元旦前夕, 老师让九（5）班同学互相写新年祝福词, 已知共写祝福词
1540条, 这个班共有多少名学生？（答案56名）
2、 3个球队参加足球比赛, 两两各赛一场, 共赛__场;4个球队
参加足球比赛, 两两各赛一场, 共赛__场;n 个球队参加足球比赛, 两两各赛一场, 共赛__场. 3、同一线上有n 个点, 共有__条线段.
4、同一顶点出发的射线有n 条, 共构成__个角.
5、同一平面内,n 条直线两两相交, 共有__个交点.
三、“塔高”问题
例3，周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度。如图5小芳站A 处测得她看塔顶的仰角为45°，小丽站B 处测得她看塔顶的仰角为30°，她们又测出AB 两地的距离为30米。假设她们眼睛离头顶的都为10厘米，求南塔的
高度？
解：已知小芳站在A 处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B 处（A 、B 与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°，A 、B 两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm ，
所以设塔高为x 米则得：
x -1.6+0.1=tan30° x -1.6+0.1+30
解得：x ≈42.48
这是一个典型的解直角三角形求塔高问题，也是考试中常遇到的一个问题，我们也可把下面一些习题集中起来让学生去练习和思考，让他们自己归纳总结，从而得到解决这一类问题的方法。
1、海中有一小岛A ，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛在北偏东30°方向上。如果渔船不变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
2、某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内（如图），测得树顶A 的仰角∠ACB=60°，沿直线BC 后退6米到点D ，又测得树顶A 的仰角∠ADB=45°，若
测角仪DE 高1.3米，求这棵树的高AM ．（结果保留两位小数，≈1.732
）
3、如图，李明同学在东西方向的滨海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，他向东走400米至B 处，测得灯塔P 在北偏东30°方向上，求灯塔P 到滨海路的距离．（结果保留根号
）
总之，教师如果在教学中多注重让学生自己去归纳总结，寻求解决问题的规律性，学生就能举一反三，大大提高学习能力和学习效率，让学生轻松而愉快地把数学学好。