第十九章 平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形的性质： （1）：平行四边形对边相等 (即：AB=CD,AD=BC)； （2）：平行四边形对边平行 (即：AB//CD,AD//BC)； （3）：平行四边形对角相等 (即：∠A=∠C,∠B=∠D)； （4）：平行四边形对角线互相平分 (即：OA=OC，OB=OD)； 判定方法：1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）； 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 5. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
考点1 特殊的平行四边形的性质与判定
1．矩形的定义、性质与判定
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）矩形的性质：矩形的对角线
_________；矩形的四个角都是________角。矩形具有________的一切性质。矩形是轴对称图形，对称轴有_____________条，矩形也是中心对称图形，对称中心为_____________的交点。矩形被对角线分成了____________个等腰三角形。 （3）矩形的判定
有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是_____________的四边形是矩形；对角线_____的平行四边形是矩形。
温馨提示：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。
2．菱形的定义、性质与判定
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）菱形的性质
菱形的_______都相等；菱形的对角线互相_______，并且每一条对角线______一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。菱形即是轴对称图形，对称轴有____条。 （3）菱形的面积
菱形的面积=底×高，菱形的面积=直角三角形。
1
ab，其中a，b分别为菱形两条对角线的长。菱形被对角线分成了4个全等的2
（4）菱形的判定：______________都相等的四边形是菱形；对角线____________的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
温馨提示：在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。
3．正方形的性质及判定方法
（1）正方形的性质：正方形的四个角都是_____________，四条边都_____________；
正方形的两条对角线____________，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形即是轴对称图形也是中心对称图形。
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（2）正方形的判定方法：有一组邻边相等的____是正方形；对角线互相____的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线________的菱形是正方形。
温馨提示：无论是正方形的性质还是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都从这个出发，则一切的性质与判定就都有了。但要注意在利用对角线判定正方形时，“平分”这个前提，因为只有对角线平分了，此四边形才是平行四边形了，然后再证明是矩形又是菱形。
中考热点难点突破
例1：如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF， 则△AEF的周长为（ ）
A．23 B．33 C．43 D．3
例2：如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150，则AEF
=（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
一、选择题（每题3分，共30分）
1．(09年河北)如图，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC等于（ ） A．20
B．15 C． 10 D．5
C D
2．（09年广西南宁）如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚
线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A．10cm
2
B．20cm
2
C．40cm
2
D．80cm
2
3．（09年宁波市）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点， 连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）
A．△AOM和△AON都是等边三角形
B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 B
O D
A E
P C
D
B C
第 3 题图 第 4 题图 第5题图
4.（09年杭州）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（ ） A．35° B．45° C．50° D．55°
5. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )
A．1 B．2
C．2 D．3
7．正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．8 B．
．
D．10
第8题图
第9题图
8．已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰AB的长为5，则等腰梯形的周长为（• ） A．11 B．16 C．17 D．22
9．如图，□ABCD的周长是28㎝， △ABC的周长是22㎝，则AC的长为 ( )
A．6㎝ B． 12㎝ C．4㎝ D． 8㎝
11．（09年甘肃庆阳）如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，DE=6，则这个菱形的面积cm2．
第11
题
B
12、第14题
C
第13题图
，AD4，BC7则梯形ABCD的周长是 12．(09年南充)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，B60°
13．（09白银市）如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是
14．（09年济宁市）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC, AD＝3cm, AB＝4cm, ∠B＝60°, 则下底BC的长为 cm .
三、解答题（共60分）
，BD6． 21．(本题6分)（’09肇庆）如图 ，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，ACD30°
（1）求证：△ABD是正三角形； （2）求 AC的长（结果可保留根号）．
A
22.（09年宜宾）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.
（1）求证：AM=DM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．
24．如图：已知在△ABC中，ABAC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. （1） 求证：△BED≌△CFD；
（2）若A90°，求证：四边形DFAE是正方形.
D 第24题图
F
C
D
C
第22题图 A
E
B
25．(本题8分)（09年杭州市）如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P． （1）求证：AF=BE；
（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．
26．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，CD=2cm. (1)求∠CBD的度数；(2)求下底AB的长.
第26题图
P
B
D
C 第25题图
27．(本题10分) 如图，ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连结AD，作BEAD，垂足为E，连结CE，过点E作EFCE，交BD于F．求证：BFFD；
28．（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B
点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
A D
A
B
F
D M
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为31时，求正方形的边长.
B C
A D
B C
1、在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（ ） A.53° B.37° C.47° D.127°
2、（2011江苏省无锡市，21，8′）如图，在BE=CF。求证：∠BAE=∠CDF.
ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且
3、 （2012浙江省湖州市，20，8分）已知，如图，在□ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF=AB，连接FD交BC于点E。
（1）说明△DCE≌△FBE的理由； （2）若EC=3，求AD的长。
4、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且BD平分AC，若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面积为 .（结果保留根号）
O
B
文并茂
5、(2013河南省)如图，在等边三角形ABC中，BC6cm,射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s) （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：ADECDF 证明：
（2）填空：①当为 s时，四边形ACFE是菱形；
6、（2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．
（1）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．证：BD是梯形ABCD的和谐线； （2）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度
数．
【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）.
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小. „„„„„„9分
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. ⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF＝在Rt△EFC中， ∵EF＋FC＝EC，∴（
2
2
2
x3
x，EF＝. 22
x22
）＋（x＋x）＝22
1. 解得，x＝
2
2（舍去负值）.∴正方形的边长为2.
第十九章 平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形的性质： （1）：平行四边形对边相等 (即：AB=CD,AD=BC)； （2）：平行四边形对边平行 (即：AB//CD,AD//BC)； （3）：平行四边形对角相等 (即：∠A=∠C,∠B=∠D)； （4）：平行四边形对角线互相平分 (即：OA=OC，OB=OD)； 判定方法：1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）； 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 5. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
考点1 特殊的平行四边形的性质与判定
1．矩形的定义、性质与判定
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）矩形的性质：矩形的对角线
_________；矩形的四个角都是________角。矩形具有________的一切性质。矩形是轴对称图形，对称轴有_____________条，矩形也是中心对称图形，对称中心为_____________的交点。矩形被对角线分成了____________个等腰三角形。 （3）矩形的判定
有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是_____________的四边形是矩形；对角线_____的平行四边形是矩形。
温馨提示：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。
2．菱形的定义、性质与判定
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）菱形的性质
菱形的_______都相等；菱形的对角线互相_______，并且每一条对角线______一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。菱形即是轴对称图形，对称轴有____条。 （3）菱形的面积
菱形的面积=底×高，菱形的面积=直角三角形。
1
ab，其中a，b分别为菱形两条对角线的长。菱形被对角线分成了4个全等的2
（4）菱形的判定：______________都相等的四边形是菱形；对角线____________的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
温馨提示：在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。
3．正方形的性质及判定方法
（1）正方形的性质：正方形的四个角都是_____________，四条边都_____________；
正方形的两条对角线____________，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形即是轴对称图形也是中心对称图形。
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（2）正方形的判定方法：有一组邻边相等的____是正方形；对角线互相____的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线________的菱形是正方形。
温馨提示：无论是正方形的性质还是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都从这个出发，则一切的性质与判定就都有了。但要注意在利用对角线判定正方形时，“平分”这个前提，因为只有对角线平分了，此四边形才是平行四边形了，然后再证明是矩形又是菱形。
中考热点难点突破
例1：如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF， 则△AEF的周长为（ ）
A．23 B．33 C．43 D．3
例2：如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150，则AEF
=（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
一、选择题（每题3分，共30分）
1．(09年河北)如图，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC等于（ ） A．20
B．15 C． 10 D．5
C D
2．（09年广西南宁）如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚
线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A．10cm
2
B．20cm
2
C．40cm
2
D．80cm
2
3．（09年宁波市）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点， 连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）
A．△AOM和△AON都是等边三角形
B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 B
O D
A E
P C
D
B C
第 3 题图 第 4 题图 第5题图
4.（09年杭州）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（ ） A．35° B．45° C．50° D．55°
5. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )
A．1 B．2
C．2 D．3
7．正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．8 B．
．
D．10
第8题图
第9题图
8．已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰AB的长为5，则等腰梯形的周长为（• ） A．11 B．16 C．17 D．22
9．如图，□ABCD的周长是28㎝， △ABC的周长是22㎝，则AC的长为 ( )
A．6㎝ B． 12㎝ C．4㎝ D． 8㎝
11．（09年甘肃庆阳）如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，DE=6，则这个菱形的面积cm2．
第11
题
B
12、第14题
C
第13题图
，AD4，BC7则梯形ABCD的周长是 12．(09年南充)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，B60°
13．（09白银市）如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是
14．（09年济宁市）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC, AD＝3cm, AB＝4cm, ∠B＝60°, 则下底BC的长为 cm .
三、解答题（共60分）
，BD6． 21．(本题6分)（’09肇庆）如图 ，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，ACD30°
（1）求证：△ABD是正三角形； （2）求 AC的长（结果可保留根号）．
A
22.（09年宜宾）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.
（1）求证：AM=DM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．
24．如图：已知在△ABC中，ABAC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. （1） 求证：△BED≌△CFD；
（2）若A90°，求证：四边形DFAE是正方形.
D 第24题图
F
C
D
C
第22题图 A
E
B
25．(本题8分)（09年杭州市）如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P． （1）求证：AF=BE；
（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．
26．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，CD=2cm. (1)求∠CBD的度数；(2)求下底AB的长.
第26题图
P
B
D
C 第25题图
27．(本题10分) 如图，ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连结AD，作BEAD，垂足为E，连结CE，过点E作EFCE，交BD于F．求证：BFFD；
28．（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B
点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
A D
A
B
F
D M
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为31时，求正方形的边长.
B C
A D
B C
1、在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（ ） A.53° B.37° C.47° D.127°
2、（2011江苏省无锡市，21，8′）如图，在BE=CF。求证：∠BAE=∠CDF.
ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且
3、 （2012浙江省湖州市，20，8分）已知，如图，在□ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF=AB，连接FD交BC于点E。
（1）说明△DCE≌△FBE的理由； （2）若EC=3，求AD的长。
4、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且BD平分AC，若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面积为 .（结果保留根号）
O
B
文并茂
5、(2013河南省)如图，在等边三角形ABC中，BC6cm,射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s) （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：ADECDF 证明：
（2）填空：①当为 s时，四边形ACFE是菱形；
6、（2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．
（1）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．证：BD是梯形ABCD的和谐线； （2）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度
数．
【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）.
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小. „„„„„„9分
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. ⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF＝在Rt△EFC中， ∵EF＋FC＝EC，∴（
2
2
2
x3
x，EF＝. 22
x22
）＋（x＋x）＝22
1. 解得，x＝
2
2（舍去负值）.∴正方形的边长为2.