测量误差及不确定度分析的基础知识
物理实验是以测量为基础的。测量可分为直接测量与间接测量，直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算而可直接得到被测量值的测量，间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系经过计算从而得到被测量值的测量。
由于测量仪器、测量方法、测量环境、人员的观察力等种种因素的局限，测量是不能无限精确的，测量结果与客观存在的真值之间总是存在一定的差异，即存在测量误差。因此分析测量中产生的各种误差，尽量消除或减小其影响，并对测量结果中未能消除的误差作出估计，给出测量结果的不确定度就是物理实验和科学实验中必不可少的工作。为此我们必须了解误差的概念、特性、产生的原因及测量结果的不确定度的概念与估算方法等的有关知识。
误差的定义、分类及其处理方法
一. 误差的定义：
测量结果与被测量的真值（或约定真值）之差叫做误差，记为
:
被测值的真值是一个理想的概念，一般说来真值是不知道的。在实际测量中常用准确度高的实际值来作为约定真值，才能计算误差。
二. 误差的分类及其处理方法： 误差主要分为系统误差和随机误差。
系统误差：
（1）定义：
在同一被测量的多次测量过程中，绝对值和符号保持恒定或以可预知的方式变化的测量误差的分量。
（2）产生原因：
① 仪器本身的缺陷或没按规定条件使用仪器而引起的误差（又称作仪器误差） 例：电表的刻度不均匀---示值误差
等臂天平的两臂实际不等---机构误差
指针式电表使用前没调零---零位误差
大气压强计未在标定条件下使用引起的系统误差等
②测量所依据的理论公式本身的近似性、或实验条件不能达到理论公式的要求、或测量方法所带来的系统误差（又称作理论误差或方法误差）。
例：单摆运动方程小角度近似解引起的误差、伏安法测电阻时电表内阻引起的测量误差。
(3)分类及处理方法：根据误差的符号、绝对值确定与否分类如下：
① 已定系统误差---绝对值和符号已经确定的系统误差分量，如零位误差 、大气压强计室温下使用引起的误差、伏安法测电阻时电流表内接或外接引起的误差等；这类误差分量一般都要修正。
②未定系统误差---绝对值和符号未定的系统误差；对这类误差一般要估计出其分布范围（大致对应于不确定度估计中的）。实验中可以通过方案选择、参数设计、计量器具校准、环境条件控制等环节来减小未定系统误差的限值
.
随机误差：
（1）定义：
在同一量的多次重复测量中绝对值和符号以不可预知方式变化的测量误差分量。
（2）产生原因：
实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引起测量值围绕真值发生涨落的变化，如：电表轴承的摩擦力变动、螺旋测微计测力在一定范围内随机变化、操作读数时的视差影响、 数字仪表末位取整数时的随机舍入过程等，都会产生一定的随机误差分量。
（3）特点：
①小误差出现的几率比大误差出现的几率大；
②大小相等符号相反的误差出现的几率相等，即多次测量时随机误差的分布具有抵偿性，所以可以取多次测量的平均值来作为被测量的最佳估计值以消除随机误差的影响。
（4）随机变量的分布：
由于随机误差的存在，实验数据会围绕真值有所起伏，对某一次测量，这种起伏是不可预测的，若进行多次测量，就会发现，实验数据常满足一定的统计分布规律，可用一定的分布函数来描述。物理实验中遇到的典型分布有正态分布和 t 分布。在实验中若影响测量结果的因素很多很细微且相互独立，则当测量次数无限时，实验数据服从正态分布, 当测量次数有限时，实验数据服从 t 分布。
（5）随机误差的处理方法：
假定对一个量进行了次测量，测得的值为，可用下述方法求被测量的最佳估计值并评定测得值的分散性。
① 用多次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值 ② 用样本的标准偏差表示测得值的分散性，
按贝塞耳公式求出：
大，表示测得值很分散，随机误差分布范围宽，测量的精密度低；
小，表示测得值很密集，随机误差分布范围窄，测量的精密度高；
可由带统计功能的计算器直接求出
6）例：用50分度的游标卡尺测某一圆棒长度，6次测量结果如下（单位mm ）：250.08，250.14，250.06, 250.10, 250.06, 250.10。则：测得值的最佳估计值为
测量列的标准偏差
测量结果的表示和不确定度估计
完整的测量结果应表示为
， 其中代表测量对象，是被测量值，Δ为不确定度，有单位时还应给出单位(如电桥法测某一电阻的结果表示为： R =910.3±1.4Ω。)
表示：测量的真值落在（ y -Δ , y +Δ ）范围内的概率很大，Δ的取值与一定的概率相联系。
我校物理实验教学中不确定度一律采用总不确定度Δ，这样表示真值落在（ y -Δ , y +Δ ）范围内的概率约等于或大于95%，总不确定度以下也简称为不确定度。
一. 不确定度的概念：
不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度，表征被测量的真值所处的量值范围的评定。
不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即随机误差分量和未定系统误差分量的联合分布范围。
由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它可正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为零的正值，是可以具体评定的。
二. 直接测量结果的表示和不确定度估计方法：
1.直接测量结果中，取多次测量值的平均值。
特殊情况：若存在已定系统误差 2.不确定度的估计方法： 时，取(修正已定系统误差) 。
依据国内外规范，在物理实验中采用以下的不确定度简化评定方法：
① 总不确定度Δ从评定方法上分为两类分类：
A 类分量ΔA -----多次重复测量时用统计学方法估算的分量；
B 类分量ΔB ------用其他方法（非统计学方法）评定的分量；
这两类分量在相同置信概率下用方和根方法合成总不确定度：
② 乘以由重复测量时样本的标准偏差乘以因子
因子）来求得：（相当于样本平均值的标准偏差，表示t 分布时由于随机误差的影响，真值包含于(y -ΔA ，y +ΔA ) 之间的概率约为95%。
由贝塞耳公式求出，因子可根据下表查出：
教学实验中一般测量次数
， ≈1，可进一步简化：。
③的估计：在许多直接测量中近似取计量器具的误差极限值，即认为主要由计量器具的误差特性决定。
关于仪器误差限的讨论
一般取基本误差限或示值误差限。普通物理实验中，计量器具主要包括计量仪器(仪
也常叫仪器误差限。教学中的仪器误差限一表) ，也包括量具和计量装置等，所以
般简单地取计量器具的示值误差限或基本误差限，它们可参照计量器具的有关标准，由准确
度等级或允许误差范围得出; 或者由工厂的产品说明书给出; 有时也由实验室结合具体情况，给出近似的约定值。
简化地当做。 大多数情况下把 仪器误差限是教学中的一种简化表示，许多器具误差的成因分析和各分量限值的计算大多超出了本课程的要求范围。对同一量多次测量的绝大多数实验中，随机误差限显著地小于器具的基本误差限(示值误差限) ；另外，一些器具在实际使用时，很难保证在相同条件下操作、或在规定的正常条件下测量，测量误差除基本误差 (或示值误差) 外，还包含一些附加误差分量；因此教学中必须作适当简化。我们约定，在大多数情况下把
直接当作总不确定度的B 类分量。 简化地
④依据以上说明，对某一量进行多次直接测量时，不确定度可按下式估计：
3．单次测量时，简化处理：取
测得值－已定系统误差，且可粗略地以
来估算不确定度（这并不说明只测一次时Δ的值变小，而是因无法用统计方法求 ΔA ）。
4. 直接测量数据的处理过程：
① 求测量数据列的平均值；
② 修正已定系统误差
，得出被测量值 ；
③ 用贝塞耳公式求样本的标准偏差
；
④ 样本的标准偏差乘以因子
来求得 ；
⑤ 根据使用仪器得出
；
⑥ 由、合成总不确定度Δ
；
⑦ 给出直接测量的最后结果： 。
5. 例：用螺旋测微计测某一钢丝的直径，6次测量值
0.253, 0.250；同时读得螺旋测微计的零位
误差为分别为：0.249, 0.250, 0.247, 0.251, 为：0.004, 单位mm ，已知螺旋测微计的仪器=0.004mm，请给出完整的测量结果。
解：测得值的最佳估计值为
测量列的标准偏差
测量次数，可近似认为≈1
有
则：测量结果为
三. 间接测量结果的不确定度合成：
间接测量的结果是由直接测量结果根据一定的数学公式计算而来，直接测量结果的不确定度必然会影响到间接测量结果，这种影响的大小也可由相应的数学式子来反映。 设间接量与各相互独立的直接量 x i ( i =1,2…n )间的函数关系为：
,
根据微分推导，各直接量的不确定度对的贡献为, 对
的贡献为
考虑不确定度合成的统计性质，各个量的贡献按方和根形式合成间接量的不确定度，则间接量 Y 的总不确定度或相对不确定度可由以下方程求得：
（主要适用于和差形式的函数）
（主要适用于积商形式的函数）
或
下表列出一些常用函数不确定度传递的公式：
间接测量量的不确定度合成步骤如下：
① 先写出（或求出）各直接测量量的不确定度；
② 依据关系求出或 ；
③ 用或求出或 ； ④ 完整表示出的值。
例：已知金属环的外径 D 2=3.600±0.004cm ，内径 D 1=2.880±0.004cm ，高度h =2.575±0.004cm ，求环的体积 解：环体积为： 和不确定度。
环体积的对数及其微分式为：
, ,
代入方和根合成公式中，则有：
因此环体积为：
测量误差及不确定度分析的基础知识
物理实验是以测量为基础的。测量可分为直接测量与间接测量，直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算而可直接得到被测量值的测量，间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系经过计算从而得到被测量值的测量。
由于测量仪器、测量方法、测量环境、人员的观察力等种种因素的局限，测量是不能无限精确的，测量结果与客观存在的真值之间总是存在一定的差异，即存在测量误差。因此分析测量中产生的各种误差，尽量消除或减小其影响，并对测量结果中未能消除的误差作出估计，给出测量结果的不确定度就是物理实验和科学实验中必不可少的工作。为此我们必须了解误差的概念、特性、产生的原因及测量结果的不确定度的概念与估算方法等的有关知识。
误差的定义、分类及其处理方法
一. 误差的定义：
测量结果与被测量的真值（或约定真值）之差叫做误差，记为
:
被测值的真值是一个理想的概念，一般说来真值是不知道的。在实际测量中常用准确度高的实际值来作为约定真值，才能计算误差。
二. 误差的分类及其处理方法： 误差主要分为系统误差和随机误差。
系统误差：
（1）定义：
在同一被测量的多次测量过程中，绝对值和符号保持恒定或以可预知的方式变化的测量误差的分量。
（2）产生原因：
① 仪器本身的缺陷或没按规定条件使用仪器而引起的误差（又称作仪器误差） 例：电表的刻度不均匀---示值误差
等臂天平的两臂实际不等---机构误差
指针式电表使用前没调零---零位误差
大气压强计未在标定条件下使用引起的系统误差等
②测量所依据的理论公式本身的近似性、或实验条件不能达到理论公式的要求、或测量方法所带来的系统误差（又称作理论误差或方法误差）。
例：单摆运动方程小角度近似解引起的误差、伏安法测电阻时电表内阻引起的测量误差。
(3)分类及处理方法：根据误差的符号、绝对值确定与否分类如下：
① 已定系统误差---绝对值和符号已经确定的系统误差分量，如零位误差 、大气压强计室温下使用引起的误差、伏安法测电阻时电流表内接或外接引起的误差等；这类误差分量一般都要修正。
②未定系统误差---绝对值和符号未定的系统误差；对这类误差一般要估计出其分布范围（大致对应于不确定度估计中的）。实验中可以通过方案选择、参数设计、计量器具校准、环境条件控制等环节来减小未定系统误差的限值
.
随机误差：
（1）定义：
在同一量的多次重复测量中绝对值和符号以不可预知方式变化的测量误差分量。
（2）产生原因：
实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引起测量值围绕真值发生涨落的变化，如：电表轴承的摩擦力变动、螺旋测微计测力在一定范围内随机变化、操作读数时的视差影响、 数字仪表末位取整数时的随机舍入过程等，都会产生一定的随机误差分量。
（3）特点：
①小误差出现的几率比大误差出现的几率大；
②大小相等符号相反的误差出现的几率相等，即多次测量时随机误差的分布具有抵偿性，所以可以取多次测量的平均值来作为被测量的最佳估计值以消除随机误差的影响。
（4）随机变量的分布：
由于随机误差的存在，实验数据会围绕真值有所起伏，对某一次测量，这种起伏是不可预测的，若进行多次测量，就会发现，实验数据常满足一定的统计分布规律，可用一定的分布函数来描述。物理实验中遇到的典型分布有正态分布和 t 分布。在实验中若影响测量结果的因素很多很细微且相互独立，则当测量次数无限时，实验数据服从正态分布, 当测量次数有限时，实验数据服从 t 分布。
（5）随机误差的处理方法：
假定对一个量进行了次测量，测得的值为，可用下述方法求被测量的最佳估计值并评定测得值的分散性。
① 用多次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值 ② 用样本的标准偏差表示测得值的分散性，
按贝塞耳公式求出：
大，表示测得值很分散，随机误差分布范围宽，测量的精密度低；
小，表示测得值很密集，随机误差分布范围窄，测量的精密度高；
可由带统计功能的计算器直接求出
6）例：用50分度的游标卡尺测某一圆棒长度，6次测量结果如下（单位mm ）：250.08，250.14，250.06, 250.10, 250.06, 250.10。则：测得值的最佳估计值为
测量列的标准偏差
测量结果的表示和不确定度估计
完整的测量结果应表示为
， 其中代表测量对象，是被测量值，Δ为不确定度，有单位时还应给出单位(如电桥法测某一电阻的结果表示为： R =910.3±1.4Ω。)
表示：测量的真值落在（ y -Δ , y +Δ ）范围内的概率很大，Δ的取值与一定的概率相联系。
我校物理实验教学中不确定度一律采用总不确定度Δ，这样表示真值落在（ y -Δ , y +Δ ）范围内的概率约等于或大于95%，总不确定度以下也简称为不确定度。
一. 不确定度的概念：
不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度，表征被测量的真值所处的量值范围的评定。
不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即随机误差分量和未定系统误差分量的联合分布范围。
由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它可正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为零的正值，是可以具体评定的。
二. 直接测量结果的表示和不确定度估计方法：
1.直接测量结果中，取多次测量值的平均值。
特殊情况：若存在已定系统误差 2.不确定度的估计方法： 时，取(修正已定系统误差) 。
依据国内外规范，在物理实验中采用以下的不确定度简化评定方法：
① 总不确定度Δ从评定方法上分为两类分类：
A 类分量ΔA -----多次重复测量时用统计学方法估算的分量；
B 类分量ΔB ------用其他方法（非统计学方法）评定的分量；
这两类分量在相同置信概率下用方和根方法合成总不确定度：
② 乘以由重复测量时样本的标准偏差乘以因子
因子）来求得：（相当于样本平均值的标准偏差，表示t 分布时由于随机误差的影响，真值包含于(y -ΔA ，y +ΔA ) 之间的概率约为95%。
由贝塞耳公式求出，因子可根据下表查出：
教学实验中一般测量次数
， ≈1，可进一步简化：。
③的估计：在许多直接测量中近似取计量器具的误差极限值，即认为主要由计量器具的误差特性决定。
关于仪器误差限的讨论
一般取基本误差限或示值误差限。普通物理实验中，计量器具主要包括计量仪器(仪
也常叫仪器误差限。教学中的仪器误差限一表) ，也包括量具和计量装置等，所以
般简单地取计量器具的示值误差限或基本误差限，它们可参照计量器具的有关标准，由准确
度等级或允许误差范围得出; 或者由工厂的产品说明书给出; 有时也由实验室结合具体情况，给出近似的约定值。
简化地当做。 大多数情况下把 仪器误差限是教学中的一种简化表示，许多器具误差的成因分析和各分量限值的计算大多超出了本课程的要求范围。对同一量多次测量的绝大多数实验中，随机误差限显著地小于器具的基本误差限(示值误差限) ；另外，一些器具在实际使用时，很难保证在相同条件下操作、或在规定的正常条件下测量，测量误差除基本误差 (或示值误差) 外，还包含一些附加误差分量；因此教学中必须作适当简化。我们约定，在大多数情况下把
直接当作总不确定度的B 类分量。 简化地
④依据以上说明，对某一量进行多次直接测量时，不确定度可按下式估计：
3．单次测量时，简化处理：取
测得值－已定系统误差，且可粗略地以
来估算不确定度（这并不说明只测一次时Δ的值变小，而是因无法用统计方法求 ΔA ）。
4. 直接测量数据的处理过程：
① 求测量数据列的平均值；
② 修正已定系统误差
，得出被测量值 ；
③ 用贝塞耳公式求样本的标准偏差
；
④ 样本的标准偏差乘以因子
来求得 ；
⑤ 根据使用仪器得出
；
⑥ 由、合成总不确定度Δ
；
⑦ 给出直接测量的最后结果： 。
5. 例：用螺旋测微计测某一钢丝的直径，6次测量值
0.253, 0.250；同时读得螺旋测微计的零位
误差为分别为：0.249, 0.250, 0.247, 0.251, 为：0.004, 单位mm ，已知螺旋测微计的仪器=0.004mm，请给出完整的测量结果。
解：测得值的最佳估计值为
测量列的标准偏差
测量次数，可近似认为≈1
有
则：测量结果为
三. 间接测量结果的不确定度合成：
间接测量的结果是由直接测量结果根据一定的数学公式计算而来，直接测量结果的不确定度必然会影响到间接测量结果，这种影响的大小也可由相应的数学式子来反映。 设间接量与各相互独立的直接量 x i ( i =1,2…n )间的函数关系为：
,
根据微分推导，各直接量的不确定度对的贡献为, 对
的贡献为
考虑不确定度合成的统计性质，各个量的贡献按方和根形式合成间接量的不确定度，则间接量 Y 的总不确定度或相对不确定度可由以下方程求得：
（主要适用于和差形式的函数）
（主要适用于积商形式的函数）
或
下表列出一些常用函数不确定度传递的公式：
间接测量量的不确定度合成步骤如下：
① 先写出（或求出）各直接测量量的不确定度；
② 依据关系求出或 ；
③ 用或求出或 ； ④ 完整表示出的值。
例：已知金属环的外径 D 2=3.600±0.004cm ，内径 D 1=2.880±0.004cm ，高度h =2.575±0.004cm ，求环的体积 解：环体积为： 和不确定度。
环体积的对数及其微分式为：
, ,
代入方和根合成公式中，则有：
因此环体积为：