起重机钢丝绳断裂事故树
案例分析题：（40）分
轮式汽车起重吊车，在吊物时，吊装物坠落伤人是一种经常发生的起重伤人事故，起重钢丝绳断裂是造成吊装物坠落的主要原因，吊装物坠落与钢丝绳断脱、吊钩冲顶和吊装物超载有直接关系。钢丝绳断脱的主要原因是钢丝绳强度下降和未及时发现钢丝绳强度下降，钢丝绳强度下降是由于钢丝绳质量不良、钢丝绳腐蚀断股和变形，而未及时发现钢丝绳强度下降主要原因是日常检查不够和未定期对钢丝绳进行检测；吊钩冲顶是由于吊装工操作失误和未安装限速器造成的；吊装物超载则是由于吊装物超重和起重限制器失灵造成的。请用故障树分析法对该案例进行分析，做出故障树，求出最小割集和最小径集。假如每个基本事件都是独立发生的，且发生概率均为0. 1，即q 1＝q 2＝q 3＝…q n ＝0. 1，试求钢丝绳裂事故发生的概率。
最小割集计算： T =A 1+A 2+A 3
=B 1B 2+X 6X 7+X 8X 9
=(X 1+X 2+X 3) (X 4+X 5) +X 6X 7+X 8X 9
= X 1X 4+X 1X 5+X 2X 4+X 2X 5+X 3X 4+X 3X 5+X 6X 7+X 8X 9 则最小割集有8个，即 K 1=｛X 1，X 4｝；K 2=｛X 1，X 5｝；K 3=｛X 2，X 4｝；K 4=｛X 2，X 5｝； K 5=｛X 3，X 4｝；K 6=｛X 3，X 5｝；K 7=｛X 6，X 7｝；K 8=｛X 8，X 9｝。 最小径集计算： T ′=A 1′·A 2′·A 3′
=（B 1′+B 2′) （X 6′+X 7′）（X 8′+X 9′)
=（X 1′X 2′X 3′+X 4′X 5′) （X 6′+X 7′) （X 8′+X 9′)
= （X 1′X 2′X 3′X 6′+X 1′X 2′X 3′X 7′+X 4′X 5 ′X 6′ +X 4′X 5′X 7′) （X 8′+X 9′)
＝ X 1′X 2′X 3′X 6′X 8′+X 1′X 2′X 3′X 6′X 9′ +X 1′X 2′X 3′X 7′X 8′+ X 1′X 2′X 3′X 7′X 9′ +X 4′X 5′X 6′X 8′+X 4′X 5′X 6′X 9′ +X 4′X 5′X 7′X 8′+ X 4′X 5′X 7′X 9′ 则故障树的最小径集为8个，即 P 1=｛X 1，X 2，X 3，X 6，X 8｝； P 2=｛X 1，X 2，X 3，X 6，X 9｝； P 3=｛X 1，X 2，X 3，X 7，X 8｝； P 4=｛X 1，X 2，X 3，X 7，X 9｝； P 5=｛X 4，X 5，X 6，X 8｝； P 6=｛X 4，X 5，X 6，X 9｝； P 7=｛X 4，X 5，X 7，X 8｝； P 8=｛X 4，X 5，X 7，X 9｝；
起重钢丝绳断裂事故发生概率计算： 根据最小割集计算顶上事件的概率
g ＝1－(1－q k 1) (1－q k 2) (1－q k 3) (1－q k 4) (1－q k 5) (1－q k 6) (1－q k 7) (1－q k 8）
＝1－(1－q 1q 4) (1－q 1q 5) (1－q 2q 4) (1－q 2q 5) (1－q 3q 4) (1－q 3q 5) (1－q 6q 7) (1－q 8q 9) 由于q 1＝q 2＝q 3＝q 4＝q 5＝q 6＝q 7＝q 8＝q 9＝0. 1
G ＝1－(1－0. 1×0. 1) (1－0. 1×0. 1) (1－0. 1×0. 1) (1－0. 1×0. 1) ＝(1－0. 1×0. 1) (1－0. 1×0. 1) (1－0. 1×0. 1) (1－0. 1×0. 1） ＝1－（1－0. 1×0. 1）8 ＝1－0. 998 ＝ 0. 07726
基本事件的关键重要度（临界重要度）
当各基本事件发生概率不等时， 一般情况下， 改变概率大的基本事件比改变概率小的基本事件容易， 但基本事件的概率重要度系数并未反映这一事实， 因而它不能从本质上反映各基本事件在事故树中的重要程度。 关键重要度分析，它表示第 i 个基本事件发生概率的变化率引起顶事件发生概率的变化率， 因此， 它比概率重要度更合理更具有实际意义。 例如：某事故树共有2个最小割集：E1=｛X1，X2｝， E2=｛X2，X3｝。已知各基本事件发生的概率为：
q1=0.4； q2=0.2； q3=0.3；排列各基本事件的关键重要度。
P (T ) =0.116; I g (1) =0.16; I g (2)=0.49; I g (3)=0.12 q 10.4c I (1) =I (1) =⨯0.16=0.552g g
P (T ) 0.116
q 20.2c
I g (2)=I g (2)=⨯0.49=0.845
P (T ) 0.116
q 30.3 I c (3)=I (1) =⨯0.12=0.310g g P (T ) 0.116
I c (2)>I c (1) >I c (3) g g g
例：某事故树有最小割集K1＝｛X1，X3｝， K2＝｛X3，X4｝， K3＝｛X1，X5｝， K4＝｛X2， X4 ，X5｝，各基本事件的发生概率分别为q1＝ q2＝0.02， q3＝ q4＝0.03， q5
＝0.5，求其各基本事件概率重要度系数 解：设 q K 1=q 1q 3, q K 2=q 3q 4, q K 3
=q 1q 5, q K 4=q 2q 4q 5
g =q K 1+q K 2+q K 3+q K 4-(q K 1q K 2+q K 1q K 3+q K 1q K 4+q K 2q K 3+q K 2q K 4+q K 3q K 4) +(q K 1q K 2q K 3+q K 1q K 2q K 4+q K 1q K 3q K 4+q K 2q K 3q K 4) -q K 1q K 2q K 3q K 4=q 1q 3+q 3q 4+q 1q 5+q 2q 4q 5
-(q 1q 3q 3q 4+q 1q 3q 1q 5+q 1q 3q 2q 4q 5+q 3q 4q 1q 5+q 3q 4q 2q 4q 5+q 1q 5q 2q 4q 5) +(q 1q 3q 3q 4q 1q 5+q 1q 3q 3q 4q 2q 4q 5+q 1q 3q 1q 5q 2q 4q 5+q 3q 4q 1q 5q 2q 4q 5) -q 1q 3q 3q 4q 1q 5q 2q 4q 5
=q 1q 3+q 3q 4+q 1q 5+q 2q 4q 5
-(q 1q 3q 4+q 1q 3q 5+q 1q 2q 3q 4q 5+q 1q 3q 4q 5+q 2q 3q 4q 5+q 1q 2q 4q 5) +(q 1q 3q 4q 5+q 1q 2q 3q 4q 5+q 1q 2q 3q 4q 5+q 1q 2q 3q 4q 5) -q 1q 2q 3q 4q 5
=q 1q 3+q 3q 4+q 1q 5+q 2q 4q 5
-(q 1q 3q 4+q 1q 3q 5+q 2q 3q 4q 5+q 1q 2q 4q 5) +q 1q 2q 3q 4q 5
=q 1q 3+q 3q 4+q 1q 5+q 2q 4q 5-q 1q 3q 4-q 1q 3q 5-q 2q 3q 4q 5-q 1q 2q 4q 5+q 1q 2q 3q 4q 5
g =q 1q 3+q 3q 4+q 1q 5+q 2q 4q 5-q 1q 3q 4-q 1q 3q 5-q 2q 3q 4q 5-q 1q 2q 4q 5+q 1q 2q 3q 4q 5I g (1)=
∂g
=q 3+q 5-q 3q 4-q 3q 5-q 2q 4q 5+q 2q 3q 4q 5
∂q 1
=0.03+0.5-0.03⨯0.03-0.03⨯0.5-0.02⨯0.03⨯0.5+0.02⨯0.03⨯0.03⨯0.5=0.53-0.0009-0.015-0.0003+0.000009=0.513809
∂g
I g (2)==q 4q 5-q 3q 4q 5-q 1q 4q 5+q 1q 3q 4q 5
∂q 2
=0.03⨯0.5-0.03⨯0.03⨯0.5-0.02⨯0.03⨯0.5+0.02⨯0.03⨯0.03⨯0.5=0.015-0.000045-0.00030+0.0000090=0.014664
∂g
I g (3)==q 1+q 4-q 1q 4-q 1q 5-q 2q 4q 5+q 1q 2q 4q 5
∂q 3
=0.02+0.03-0.02⨯0.03-0.02⨯0.5-0.02⨯0.03⨯0.5+0.02⨯0.02⨯0.03⨯0.5=0.05-0.0006-0.010-0.00030+0.0000060=0.039106
g =q 1q 3+q 3q 4+q 1q 5+q 2q 4q 5-q 1q 3q 4-q 1q 3q 5-q 2q 3q 4q 5-q 1q 2q 4q 5+q 1q 2q 3q 4q 5I g (4)=
∂g
=q 3+q 2q 5-q 1q 3-q 2q 3q 5-q 1q 2q 5+q 1q 2q 3q 5
∂q 4
=0.03+0.02⨯0.5-0.02⨯0.03-0.02⨯0.03⨯0.5-0.02⨯0.02⨯0.5+0.02⨯0.02⨯0.03⨯0.5=0.04-0.0006-0.0003-0.0002+0.0000060=0.038906I g (5)=
∂g
=q 1+q 2q 4-q 1q 3-q 2q 3q 4-q 1q 2q 4+q 1q 2q 3q 4
∂q 5
=0.02+0.02⨯0.03-0.02⨯0.03-0.02⨯0.03⨯0.03-0.02⨯0.02⨯0.03+0.02⨯0.02⨯0.03⨯0.03=0.02-0.000018-0.000012+0.00000036=0.01997036I g (1) =0.513809, I g (2)=0.014664, I g (3)=0.039106, I g (4)=0.038906, I g (5)=0.01997036I g (1)>I g (3)>I g (4)>I g (5)>I g (2)
起重机钢丝绳断裂事故树
案例分析题：（40）分
轮式汽车起重吊车，在吊物时，吊装物坠落伤人是一种经常发生的起重伤人事故，起重钢丝绳断裂是造成吊装物坠落的主要原因，吊装物坠落与钢丝绳断脱、吊钩冲顶和吊装物超载有直接关系。钢丝绳断脱的主要原因是钢丝绳强度下降和未及时发现钢丝绳强度下降，钢丝绳强度下降是由于钢丝绳质量不良、钢丝绳腐蚀断股和变形，而未及时发现钢丝绳强度下降主要原因是日常检查不够和未定期对钢丝绳进行检测；吊钩冲顶是由于吊装工操作失误和未安装限速器造成的；吊装物超载则是由于吊装物超重和起重限制器失灵造成的。请用故障树分析法对该案例进行分析，做出故障树，求出最小割集和最小径集。假如每个基本事件都是独立发生的，且发生概率均为0. 1，即q 1＝q 2＝q 3＝…q n ＝0. 1，试求钢丝绳裂事故发生的概率。
最小割集计算： T =A 1+A 2+A 3
=B 1B 2+X 6X 7+X 8X 9
=(X 1+X 2+X 3) (X 4+X 5) +X 6X 7+X 8X 9
= X 1X 4+X 1X 5+X 2X 4+X 2X 5+X 3X 4+X 3X 5+X 6X 7+X 8X 9 则最小割集有8个，即 K 1=｛X 1，X 4｝；K 2=｛X 1，X 5｝；K 3=｛X 2，X 4｝；K 4=｛X 2，X 5｝； K 5=｛X 3，X 4｝；K 6=｛X 3，X 5｝；K 7=｛X 6，X 7｝；K 8=｛X 8，X 9｝。 最小径集计算： T ′=A 1′·A 2′·A 3′
=（B 1′+B 2′) （X 6′+X 7′）（X 8′+X 9′)
=（X 1′X 2′X 3′+X 4′X 5′) （X 6′+X 7′) （X 8′+X 9′)
= （X 1′X 2′X 3′X 6′+X 1′X 2′X 3′X 7′+X 4′X 5 ′X 6′ +X 4′X 5′X 7′) （X 8′+X 9′)
＝ X 1′X 2′X 3′X 6′X 8′+X 1′X 2′X 3′X 6′X 9′ +X 1′X 2′X 3′X 7′X 8′+ X 1′X 2′X 3′X 7′X 9′ +X 4′X 5′X 6′X 8′+X 4′X 5′X 6′X 9′ +X 4′X 5′X 7′X 8′+ X 4′X 5′X 7′X 9′ 则故障树的最小径集为8个，即 P 1=｛X 1，X 2，X 3，X 6，X 8｝； P 2=｛X 1，X 2，X 3，X 6，X 9｝； P 3=｛X 1，X 2，X 3，X 7，X 8｝； P 4=｛X 1，X 2，X 3，X 7，X 9｝； P 5=｛X 4，X 5，X 6，X 8｝； P 6=｛X 4，X 5，X 6，X 9｝； P 7=｛X 4，X 5，X 7，X 8｝； P 8=｛X 4，X 5，X 7，X 9｝；
起重钢丝绳断裂事故发生概率计算： 根据最小割集计算顶上事件的概率
g ＝1－(1－q k 1) (1－q k 2) (1－q k 3) (1－q k 4) (1－q k 5) (1－q k 6) (1－q k 7) (1－q k 8）
＝1－(1－q 1q 4) (1－q 1q 5) (1－q 2q 4) (1－q 2q 5) (1－q 3q 4) (1－q 3q 5) (1－q 6q 7) (1－q 8q 9) 由于q 1＝q 2＝q 3＝q 4＝q 5＝q 6＝q 7＝q 8＝q 9＝0. 1
G ＝1－(1－0. 1×0. 1) (1－0. 1×0. 1) (1－0. 1×0. 1) (1－0. 1×0. 1) ＝(1－0. 1×0. 1) (1－0. 1×0. 1) (1－0. 1×0. 1) (1－0. 1×0. 1） ＝1－（1－0. 1×0. 1）8 ＝1－0. 998 ＝ 0. 07726
基本事件的关键重要度（临界重要度）
当各基本事件发生概率不等时， 一般情况下， 改变概率大的基本事件比改变概率小的基本事件容易， 但基本事件的概率重要度系数并未反映这一事实， 因而它不能从本质上反映各基本事件在事故树中的重要程度。 关键重要度分析，它表示第 i 个基本事件发生概率的变化率引起顶事件发生概率的变化率， 因此， 它比概率重要度更合理更具有实际意义。 例如：某事故树共有2个最小割集：E1=｛X1，X2｝， E2=｛X2，X3｝。已知各基本事件发生的概率为：
q1=0.4； q2=0.2； q3=0.3；排列各基本事件的关键重要度。
P (T ) =0.116; I g (1) =0.16; I g (2)=0.49; I g (3)=0.12 q 10.4c I (1) =I (1) =⨯0.16=0.552g g
P (T ) 0.116
q 20.2c
I g (2)=I g (2)=⨯0.49=0.845
P (T ) 0.116
q 30.3 I c (3)=I (1) =⨯0.12=0.310g g P (T ) 0.116
I c (2)>I c (1) >I c (3) g g g
例：某事故树有最小割集K1＝｛X1，X3｝， K2＝｛X3，X4｝， K3＝｛X1，X5｝， K4＝｛X2， X4 ，X5｝，各基本事件的发生概率分别为q1＝ q2＝0.02， q3＝ q4＝0.03， q5
＝0.5，求其各基本事件概率重要度系数 解：设 q K 1=q 1q 3, q K 2=q 3q 4, q K 3
=q 1q 5, q K 4=q 2q 4q 5
g =q K 1+q K 2+q K 3+q K 4-(q K 1q K 2+q K 1q K 3+q K 1q K 4+q K 2q K 3+q K 2q K 4+q K 3q K 4) +(q K 1q K 2q K 3+q K 1q K 2q K 4+q K 1q K 3q K 4+q K 2q K 3q K 4) -q K 1q K 2q K 3q K 4=q 1q 3+q 3q 4+q 1q 5+q 2q 4q 5
-(q 1q 3q 3q 4+q 1q 3q 1q 5+q 1q 3q 2q 4q 5+q 3q 4q 1q 5+q 3q 4q 2q 4q 5+q 1q 5q 2q 4q 5) +(q 1q 3q 3q 4q 1q 5+q 1q 3q 3q 4q 2q 4q 5+q 1q 3q 1q 5q 2q 4q 5+q 3q 4q 1q 5q 2q 4q 5) -q 1q 3q 3q 4q 1q 5q 2q 4q 5
=q 1q 3+q 3q 4+q 1q 5+q 2q 4q 5
-(q 1q 3q 4+q 1q 3q 5+q 1q 2q 3q 4q 5+q 1q 3q 4q 5+q 2q 3q 4q 5+q 1q 2q 4q 5) +(q 1q 3q 4q 5+q 1q 2q 3q 4q 5+q 1q 2q 3q 4q 5+q 1q 2q 3q 4q 5) -q 1q 2q 3q 4q 5
=q 1q 3+q 3q 4+q 1q 5+q 2q 4q 5
-(q 1q 3q 4+q 1q 3q 5+q 2q 3q 4q 5+q 1q 2q 4q 5) +q 1q 2q 3q 4q 5
=q 1q 3+q 3q 4+q 1q 5+q 2q 4q 5-q 1q 3q 4-q 1q 3q 5-q 2q 3q 4q 5-q 1q 2q 4q 5+q 1q 2q 3q 4q 5
g =q 1q 3+q 3q 4+q 1q 5+q 2q 4q 5-q 1q 3q 4-q 1q 3q 5-q 2q 3q 4q 5-q 1q 2q 4q 5+q 1q 2q 3q 4q 5I g (1)=
∂g
=q 3+q 5-q 3q 4-q 3q 5-q 2q 4q 5+q 2q 3q 4q 5
∂q 1
=0.03+0.5-0.03⨯0.03-0.03⨯0.5-0.02⨯0.03⨯0.5+0.02⨯0.03⨯0.03⨯0.5=0.53-0.0009-0.015-0.0003+0.000009=0.513809
∂g
I g (2)==q 4q 5-q 3q 4q 5-q 1q 4q 5+q 1q 3q 4q 5
∂q 2
=0.03⨯0.5-0.03⨯0.03⨯0.5-0.02⨯0.03⨯0.5+0.02⨯0.03⨯0.03⨯0.5=0.015-0.000045-0.00030+0.0000090=0.014664
∂g
I g (3)==q 1+q 4-q 1q 4-q 1q 5-q 2q 4q 5+q 1q 2q 4q 5
∂q 3
=0.02+0.03-0.02⨯0.03-0.02⨯0.5-0.02⨯0.03⨯0.5+0.02⨯0.02⨯0.03⨯0.5=0.05-0.0006-0.010-0.00030+0.0000060=0.039106
g =q 1q 3+q 3q 4+q 1q 5+q 2q 4q 5-q 1q 3q 4-q 1q 3q 5-q 2q 3q 4q 5-q 1q 2q 4q 5+q 1q 2q 3q 4q 5I g (4)=
∂g
=q 3+q 2q 5-q 1q 3-q 2q 3q 5-q 1q 2q 5+q 1q 2q 3q 5
∂q 4
=0.03+0.02⨯0.5-0.02⨯0.03-0.02⨯0.03⨯0.5-0.02⨯0.02⨯0.5+0.02⨯0.02⨯0.03⨯0.5=0.04-0.0006-0.0003-0.0002+0.0000060=0.038906I g (5)=
∂g
=q 1+q 2q 4-q 1q 3-q 2q 3q 4-q 1q 2q 4+q 1q 2q 3q 4
∂q 5
=0.02+0.02⨯0.03-0.02⨯0.03-0.02⨯0.03⨯0.03-0.02⨯0.02⨯0.03+0.02⨯0.02⨯0.03⨯0.03=0.02-0.000018-0.000012+0.00000036=0.01997036I g (1) =0.513809, I g (2)=0.014664, I g (3)=0.039106, I g (4)=0.038906, I g (5)=0.01997036I g (1)>I g (3)>I g (4)>I g (5)>I g (2)