高等数学（二）密押试卷
一、选择题（1~10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. lim
2cos 2x =（） πx x →
π 2
πB. - 2
2C. π
2D. - πA.
cos 2x D lim =πx x →2lim cos 2x x →π2lim x x →π
2=cos π2=-. π2
2. 当x →0时，sin 3x 是2x 的（）.
A. 低阶无穷小量
B. 等价无穷小量
C. 同阶但不等价无穷小量
D. 高阶无穷小量
C lim sin 3x 3sin 3x 3=lim =，故当x →0时，sin 3x 是2x 的同阶但不等价无穷小量. x →0x →02x 23x 2
3. 设函数f (x ) =ln(3x ) ，则f '(2)=（）
A.6
B. ln 6 1 2
1D. 6C.
C f '(x ) =111⋅(3x ) '=，故f '(2)=. 3x x 2
4. 设函数f (x ) 为连续函数，且⎰x
0f (t )d t =x 3+ln(x +1) ，则f (x ) =（） 1 x +1
13B. x + x +1A. 3x +2
C. 3x 2
D. 1 x +1
d x d 312⎡⎤f (t )d t =x +ln(x +1) =3x +. ⎰⎣⎦0d x d x x +1A f (x ) =
⎧x +1, x
A. 有定义且有极限
B. 有定义但无极限
C. 无定义但有极限
D. 无定义且无极限
2f (x ) =lim x =0，B 当x =0时，f (x ) =0，故f (x ) 在x =0处有定义；lim ++x →0x →0
x →0-lim f (x ) =lim -(x +1) =1，lim f (x ) ≠lim f (x ) ，故f (x ) 在x =0处无极限. +-x →0x →0x →0
6. 函数f (x )=1-x 3在区间（-∞，+∞）（）
A. 单调增加
B. 单调减少
C. 先单调增加，后单调减少
D. 先单调减少，后单调增加
B 当x ∈（-∞，+∞）时，f '(x )=-3x 2≤0，故函数f (x ) 在区间（-∞，+∞）上单调减少.
7. (x -sin x )d x =（）
A. x +cos x +C 2⎰
x 2
+cos x +C B. 2
C. x -sin x +C 2
x 2
-sin x +C D. 2
x 2
+cos x +C （C 为任意常数）. B ⎰(x -sin x )d x =⎰x d x +⎰(-sin x )d x =2
8. ⎰e
1x ln x d x =（）
A.0 B. 12(e+1) 4
C. 12(e-1) 4
2D. e -1
B ⎰e
1e e 1e 121212e 12221x ln x d x =⎰ln x d x =(x ln x -⎰x ⋅d x ) =(e-x ) =(e+1) . 11212x 2214
9. 设函数z =x e ，则
A.1 B. 2y ∂z ∂y =（） (1,0)1 2
C.-1
D.2
D z =x e ，2y ∂z ∂z =2x e 2y ，故∂y ∂y =2.
(1,0)
10. 设事件A ，B 相互独立，A ，B 发生的概率分别为0.6，0.9，则A ，B 都不发生的概率为（）
A.0.54
B.0.04
C.0.1
D.0.4
B 事件A ，B 相互独立，则事件A ，B 也相互独立，故A ，B 都不发生的概率为P (AB )=P (A ) P (B ) =(1-0.6)(1-0.9) =0.04.
二、填空题（11～20小题，每小题4分，共40分） x 2311. lim(1-) =. x →∞x
⎡⎤2x -⎢21⎥e 3 lim(1-) 3=lim ⎢1+x →∞x →∞x ⎥x ⎢(-) ⎥⎣2⎦(-x 2) -23) =e . -23
⎧x 2+1, x
⎩a +x , x ≥0
⎧x 2+1, x
⎩a +x , x ≥0
f (x ) =lim(x 2+1) =1，即a =1. 故f (0)=a =lim --x →0x →0
2的间断点为 . x -1
21 函数f (x ) =在x =1处无定义，故f (x ) 的间断点为x =1. x -113. 函数f (x ) =
14. 曲线y =x 3-3x 2+5x -4的拐点坐标为（1，-1） 易知y '=3x 2-6x +5，y ''=6x -6=0，得x =1，此时y =-1. 当x >1时，y ''>0；当x
15. 设曲线y =ax e x 在x =0处的切线斜率为2，则a =.
2 y '=ax e x +a e x ，则y '
x =0
2=a =2，即a =2. 16. ⎰0
2x -1d x =. x -1d x =⎰(1-x )d x +⎰0122x 21x 2(x -1)d x =(x -) +(-x ) =1. 12021 ⎰01
∂2z 17. 设二元函数z =x y ，则=∂x ∂y 32
∂z ∂2z 22=6x 2y . 6x y z =x y ，则=3x y ，故∂x ∂x ∂y 232
18. 设函数y =x +e3
2-x ，则y ''=33-1313-1
-x -x -x 222x +e y =x +e，则y '=x -e ，y ''=x 2+e-x . 442
19. ⎰+∞
01x =. 1+x 2
+∞a a 11πx =lim x =lim arctan x =lim arctan a =. 22⎰0a →+∞a →+∞a →+∞01+x 1+x 2π 2⎰0
2y 20. 设函数z =x e ，则全微分d z =2x e y d x +x 2e y d y z =x 2e y ，则∂z ∂z =2x e y ，=x 2e y ， ∂x ∂y
故d z =∂z ∂z d x +d y =2x e y d x +x 2e y d y . ∂x ∂y
三、解答题（21~28题，共70分. 解答应写出推理、演算步骤）
21. （本题满分8分） e x -e 计算lim . x →1ln x
e x -e e x
=lim =lim x e x =e . 解：lim x →1ln x x →11x →1
x
22. （本题满分8分）
已知x =-1是函数f (x ) =ax 3+bx 2的驻点，且曲线y =f (x ) 过点（1，5），求a ，b 的值. 解：f '(x ) =3ax 2+2bx ，
由f '(-1) =0得，3a -2b =0. ①
曲线y =f (x ) 过点（1，5），得a +b =5. ②
由①②得，a =2，b =3.
23. （本题满分8分）
计算x .
解：x =⎰⎰12x -1) 2
312 =(x -1) 2+C （C 为任意常数）. 3
24. （本题满分8分）
计算⎰01x .
=t ，则d x =2t d t .
当x =0时，t =0；当x =1时，t =1.
故⎰1
0x =2⎰t e t d t 01
=2t de 0⎰1t
=2t e t 1
0-2⎰e t d t 0
t 1
01 =2e -2e
=2.
25. （本题满分8分）
设y =y (x ) 是由方程e y +xy =1所确定的隐函数，求
解：对方程两边关于x 求导，得 d y . d x
d y d y +x +y =0， d x d x
d y y =-y 则. d x e +x e y
26. （本题满分10分）
已知函数f (x ) =ln x -x .
（1）求f (x ) 的单调区间和极值；
（2）判断曲线y =f (x ) 的凹凸性.
x =-. 解：（1）f (x ) 的定义域为（0，+∞），f '()
令f '(x ) =0得驻点x =1.
当00；当x >1时，f '(x )
f (x ) 的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞），
故f (x ) 在x =1处取得极大值f (1)=-1.
（2）因为f ''(x ) =-1
27. （本题满分10分）
已知某篮球运动员每次投篮投中的概率是0.9，记X 为他两次投篮投中的次数.
（1）求X 的概率分布；
（2）求X 的数学期望E （X ）.
解：（1）X 可能的取值为0，1，2，
P {X =0}=0.1⨯0.1=0.01，
P {X =1}=2⨯0.9⨯0.1=0.18，
P {X =2}=0.9⨯0.9=0.81，
（2）E (X ) =0⨯0.01+1⨯0.18+2⨯0.81=1.80.
28. （本题满分10分）
设D 为曲线y =1-x 2，直线y =x +1及x 轴所围成的平面图形（如图所示）.
（1）求平面图形D 的面积S ；
（2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积V
x .
解：（1）S =⎰0
-1(x +1)d x +⎰(1-x 2)d x 0
0112 =(x +1) 2
=
（2）V x =πx 31+(x -) -1307. 60
-1⎰(x +1) 2d x +π⎰(1-x 2) 2d x 0
-11π3 =(x +1)3+π⎰(1-2x 2+x 4)d x 01
π23151
=+π(x -x +x ) 0335
=13π. 15
高等数学（二）密押试卷
一、选择题（1~10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. lim
2cos 2x =（） πx x →
π 2
πB. - 2
2C. π
2D. - πA.
cos 2x D lim =πx x →2lim cos 2x x →π2lim x x →π
2=cos π2=-. π2
2. 当x →0时，sin 3x 是2x 的（）.
A. 低阶无穷小量
B. 等价无穷小量
C. 同阶但不等价无穷小量
D. 高阶无穷小量
C lim sin 3x 3sin 3x 3=lim =，故当x →0时，sin 3x 是2x 的同阶但不等价无穷小量. x →0x →02x 23x 2
3. 设函数f (x ) =ln(3x ) ，则f '(2)=（）
A.6
B. ln 6 1 2
1D. 6C.
C f '(x ) =111⋅(3x ) '=，故f '(2)=. 3x x 2
4. 设函数f (x ) 为连续函数，且⎰x
0f (t )d t =x 3+ln(x +1) ，则f (x ) =（） 1 x +1
13B. x + x +1A. 3x +2
C. 3x 2
D. 1 x +1
d x d 312⎡⎤f (t )d t =x +ln(x +1) =3x +. ⎰⎣⎦0d x d x x +1A f (x ) =
⎧x +1, x
A. 有定义且有极限
B. 有定义但无极限
C. 无定义但有极限
D. 无定义且无极限
2f (x ) =lim x =0，B 当x =0时，f (x ) =0，故f (x ) 在x =0处有定义；lim ++x →0x →0
x →0-lim f (x ) =lim -(x +1) =1，lim f (x ) ≠lim f (x ) ，故f (x ) 在x =0处无极限. +-x →0x →0x →0
6. 函数f (x )=1-x 3在区间（-∞，+∞）（）
A. 单调增加
B. 单调减少
C. 先单调增加，后单调减少
D. 先单调减少，后单调增加
B 当x ∈（-∞，+∞）时，f '(x )=-3x 2≤0，故函数f (x ) 在区间（-∞，+∞）上单调减少.
7. (x -sin x )d x =（）
A. x +cos x +C 2⎰
x 2
+cos x +C B. 2
C. x -sin x +C 2
x 2
-sin x +C D. 2
x 2
+cos x +C （C 为任意常数）. B ⎰(x -sin x )d x =⎰x d x +⎰(-sin x )d x =2
8. ⎰e
1x ln x d x =（）
A.0 B. 12(e+1) 4
C. 12(e-1) 4
2D. e -1
B ⎰e
1e e 1e 121212e 12221x ln x d x =⎰ln x d x =(x ln x -⎰x ⋅d x ) =(e-x ) =(e+1) . 11212x 2214
9. 设函数z =x e ，则
A.1 B. 2y ∂z ∂y =（） (1,0)1 2
C.-1
D.2
D z =x e ，2y ∂z ∂z =2x e 2y ，故∂y ∂y =2.
(1,0)
10. 设事件A ，B 相互独立，A ，B 发生的概率分别为0.6，0.9，则A ，B 都不发生的概率为（）
A.0.54
B.0.04
C.0.1
D.0.4
B 事件A ，B 相互独立，则事件A ，B 也相互独立，故A ，B 都不发生的概率为P (AB )=P (A ) P (B ) =(1-0.6)(1-0.9) =0.04.
二、填空题（11～20小题，每小题4分，共40分） x 2311. lim(1-) =. x →∞x
⎡⎤2x -⎢21⎥e 3 lim(1-) 3=lim ⎢1+x →∞x →∞x ⎥x ⎢(-) ⎥⎣2⎦(-x 2) -23) =e . -23
⎧x 2+1, x
⎩a +x , x ≥0
⎧x 2+1, x
⎩a +x , x ≥0
f (x ) =lim(x 2+1) =1，即a =1. 故f (0)=a =lim --x →0x →0
2的间断点为 . x -1
21 函数f (x ) =在x =1处无定义，故f (x ) 的间断点为x =1. x -113. 函数f (x ) =
14. 曲线y =x 3-3x 2+5x -4的拐点坐标为（1，-1） 易知y '=3x 2-6x +5，y ''=6x -6=0，得x =1，此时y =-1. 当x >1时，y ''>0；当x
15. 设曲线y =ax e x 在x =0处的切线斜率为2，则a =.
2 y '=ax e x +a e x ，则y '
x =0
2=a =2，即a =2. 16. ⎰0
2x -1d x =. x -1d x =⎰(1-x )d x +⎰0122x 21x 2(x -1)d x =(x -) +(-x ) =1. 12021 ⎰01
∂2z 17. 设二元函数z =x y ，则=∂x ∂y 32
∂z ∂2z 22=6x 2y . 6x y z =x y ，则=3x y ，故∂x ∂x ∂y 232
18. 设函数y =x +e3
2-x ，则y ''=33-1313-1
-x -x -x 222x +e y =x +e，则y '=x -e ，y ''=x 2+e-x . 442
19. ⎰+∞
01x =. 1+x 2
+∞a a 11πx =lim x =lim arctan x =lim arctan a =. 22⎰0a →+∞a →+∞a →+∞01+x 1+x 2π 2⎰0
2y 20. 设函数z =x e ，则全微分d z =2x e y d x +x 2e y d y z =x 2e y ，则∂z ∂z =2x e y ，=x 2e y ， ∂x ∂y
故d z =∂z ∂z d x +d y =2x e y d x +x 2e y d y . ∂x ∂y
三、解答题（21~28题，共70分. 解答应写出推理、演算步骤）
21. （本题满分8分） e x -e 计算lim . x →1ln x
e x -e e x
=lim =lim x e x =e . 解：lim x →1ln x x →11x →1
x
22. （本题满分8分）
已知x =-1是函数f (x ) =ax 3+bx 2的驻点，且曲线y =f (x ) 过点（1，5），求a ，b 的值. 解：f '(x ) =3ax 2+2bx ，
由f '(-1) =0得，3a -2b =0. ①
曲线y =f (x ) 过点（1，5），得a +b =5. ②
由①②得，a =2，b =3.
23. （本题满分8分）
计算x .
解：x =⎰⎰12x -1) 2
312 =(x -1) 2+C （C 为任意常数）. 3
24. （本题满分8分）
计算⎰01x .
=t ，则d x =2t d t .
当x =0时，t =0；当x =1时，t =1.
故⎰1
0x =2⎰t e t d t 01
=2t de 0⎰1t
=2t e t 1
0-2⎰e t d t 0
t 1
01 =2e -2e
=2.
25. （本题满分8分）
设y =y (x ) 是由方程e y +xy =1所确定的隐函数，求
解：对方程两边关于x 求导，得 d y . d x
d y d y +x +y =0， d x d x
d y y =-y 则. d x e +x e y
26. （本题满分10分）
已知函数f (x ) =ln x -x .
（1）求f (x ) 的单调区间和极值；
（2）判断曲线y =f (x ) 的凹凸性.
x =-. 解：（1）f (x ) 的定义域为（0，+∞），f '()
令f '(x ) =0得驻点x =1.
当00；当x >1时，f '(x )
f (x ) 的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞），
故f (x ) 在x =1处取得极大值f (1)=-1.
（2）因为f ''(x ) =-1
27. （本题满分10分）
已知某篮球运动员每次投篮投中的概率是0.9，记X 为他两次投篮投中的次数.
（1）求X 的概率分布；
（2）求X 的数学期望E （X ）.
解：（1）X 可能的取值为0，1，2，
P {X =0}=0.1⨯0.1=0.01，
P {X =1}=2⨯0.9⨯0.1=0.18，
P {X =2}=0.9⨯0.9=0.81，
（2）E (X ) =0⨯0.01+1⨯0.18+2⨯0.81=1.80.
28. （本题满分10分）
设D 为曲线y =1-x 2，直线y =x +1及x 轴所围成的平面图形（如图所示）.
（1）求平面图形D 的面积S ；
（2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积V
x .
解：（1）S =⎰0
-1(x +1)d x +⎰(1-x 2)d x 0
0112 =(x +1) 2
=
（2）V x =πx 31+(x -) -1307. 60
-1⎰(x +1) 2d x +π⎰(1-x 2) 2d x 0
-11π3 =(x +1)3+π⎰(1-2x 2+x 4)d x 01
π23151
=+π(x -x +x ) 0335
=13π. 15