山东省潍坊市2010届高三上学期期末考试(数学理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用铅笔涂写在答题卡上。 2.第小题选出答案后,用铅笔把题答卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,
再选涂其他答案标号。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的。 1.已知集合UR,集合A{x|y},则CUA=
A.{x|0x1} C.{x|x1}
1x
( )
B.{x|x0或x1} D.{x|x0}
D.3
( )
2.已知向量a(1,1),b(2,n),若|ab|ab,则n= A.-3 B.-1 3.有关命题的说法错误的是
C.1
( )
A.命题“若x23x20,则x1”的逆否命题为:“若x1,则x23x20” B.“x=1”是“x3x20”的充分不必要条件 C.若pq为假命题,则p、q均为假命题
D.对于命题p:xR使得xx10,则p:xR,均有x2x10
2
2
4.三视图如右图的几何体的全面积是
A.2
( )
2 B.12 D.1
C.2
5.已知函数f(x)2sinx(0)在区间[
,] 34
上的最大值是2,则的最小值等于( )
A.
2 3
B.
3 2
5
5
3
2
2
3
2
2
C.2 D.3
6.设a,b是两个实数,且a≠b,①ababab,②ab2(ab1),③
ab
2。上述三个式子恒成立的有 ba
( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
7.各项都是正数的等比数列{an}的公比q1,且a2, 为
A.
aa41
a3,a1成等差数列,则3的值 2a4a5
( )
1 2
B.
1
2
C.
1
2
D.
511
或 22
8.设f(x)是函数f(x)的导函数,将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是
( )
9.已知{(x,y)|xy6,x0,y0},A{(x,y)|x4,y0,x2y0},若向区 域上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为
A.
D.
( )
2 9
B.
2 3
C.
1 31 9
( )
10.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘法方法数为 A.40种 B.50种 C.60种 D.70种
2
x2y2
11.已知抛物线y2px(p0)221有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF⊥
ab
x轴,则双曲线的离心率为
A.
C.21
( ) D.
51
2
B.31
221
2
12.一次研究性课堂上,老师给出函数f(x)
给出命题:
x
(xR),甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别
1|x|
(1,1); 甲:函数f(x)的值域为
乙:若x1x2则一定有f(x1)f(x2);
丙:若规定f(x1)f(x),f(xn)f(fn1(x)),则fn(x)你认为上述三个命题中正确的个数有
A.3个 B.2个
C.1个
x
对任意nN*恒成立
1n|x|
D.0个
( )
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
注意事项:
1.用0.5mm的中性笔答在答题纸相应的位置内。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。
13.若tan2,tan()3,则tan(2)的值为 ;
x2y2x2y2
1的右焦点为圆心,且与双曲线14.以椭圆1的渐近线相切的圆的方程169144916
为 ;
15.已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,
其平面展开图如右图所示,则该凸多面体的体积 V= ; 16.已知(x
2
15x
5
1的展开式中的常数项为T,f(x)是以T为周期的偶函数,且当)3
x[0,1]时,f(x)x,若在区间[1,3]内,函数g(x)f(x)kxk有4个零点,则实数k的取值范
围是 。
三、解答题:本大题共6小题,满分74分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知A
△ABC的周长为y。
(1)求函数yf(x)的解析式和定义域; (2)求yf(x)的单调区间。
18.(本小题满分12分)甲、乙两人准备参加中央电视台组织的奥运志愿者选拔测试。已知在备选的10
道试题中,甲能答对其中的6道,乙能答对其中 的8道。规定每次考试都从备选题中随机抽出3道进行测试,至少答对2道才能入选。 (1)求甲答对试题数的概率分布及数学期望。 (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率。
19.(本小题满分12分)已知数列{an}是首项为a1
3
,a2。设B=x,
11
,公比q的等比数列,设44
bn23log1an(nN*),数列{cn}满足cnanbn。
4
(1)求证:{bn}是等差数列; (2)求数列{cn}的前n项和Sn; (3)若cn
12
mm1对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围。 4
20.(本小题满分12分)如图,三棱锥P—ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且
CD⊥平面PAB。
(1)求证:AB⊥平面PCB;
(2)求异面直线AP与BC所成角的大小;
x2y223
21.(本小题满分12分)已知椭圆221(ab0)的两个焦点为F1,F2,椭圆上一点M(,)
33ab
满足MF1MF20. (1)求椭圆的方程;
(2)若直线L:y=kx2与椭圆恒有不同交点A、B,且OAOB1(O为坐标原点),求k的范围。
22.(本小题满分14分)定义F(x,y)(1x)y,x,y(0,),
(1)令函数f(x)F(1,log2(x24x9))的图象为曲线C1,曲线C1与y轴交于点A(0,m),过坐
标原点O作曲线C1的切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C1在点A、B之间的曲线段与线段OA、
OB所围成图形的面积为S,求S的值。
(2)当x,yN*且xy时,证明F(x,y)F(y,x);
(3)令函数g(x)F(1,log2(xaxbx1))的图象为曲线C2,若存在实数b使得曲线C2在
3
2
x0(4x01)处有斜率为-8的切线,求实数a的取值范围。
参考答案
一、选择题
ADCAC BCDAB CA 二、填空题 13.
112 14.(x5)2y216 15.1 16.(0,] 746
三、解答题 17.解(1):△ABC的内角为A+B+C=
由A=
3
,B0,C0得0B
2
.„„„„„„„„2分 3
由正弦定得知:
AC
BC2sinBsinx4sinx„„„„„„„„„„4分
sinA
sin
3BC2
sinC4sin(x).„„„„„„„„6分 sinA3
22
x)2(0x).„„„„„„„„7分 33
AB
因为y=AB+BC+AC 所以y4sinx4sin(
(2)因为y4(sinx
1
cosxsinx)2 22
43sin(x
而0x
6
)23„„„„„„„„9分
2
, 3
5x.„„„„„„„„„„11分 666
当
6
2352
,即x时,f(x)单调递减 当x
26633
x
6
,即0x
时,f(x)单调递增
2
yf(x)的单调递增区间为(0,],递减区间为[,).„„„„„„12分
333
18.解:(1)依题意,甲答对试题数的可能取值为0、1、2、3,则
123
C6C4C413
P(0)3,P(1), 3
10C1030C10
213
C6C4C611
P(2),P(3),„„„„„„„„„„4分
33
26C10C10
甲答对试题数的数学期望 E=0×
13119+1×+2×+3×=.„„„„„„„„„„6分
1026530
(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,则
213
C6C4C660202
P(A), 3
1203C10
13
C82C2C8565614
P(B)„„„„„„„„„„8分 3
12015C10
因为事件A、B相互独立,
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P(AB)P(A)P(B)(1)(1∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P(AB)1答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
2
3141), 1545
144. 4545
44
.„„„„„„„„12分 45
另解:甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
2111421444. [1**********]
44. 答:甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为45
1n
19.解:(1)由题意知,an()(nN*)„„„„„„„„1分
4
bn3log1an2,b13log1a121
PP(AB)P{(AB)P(AB)
4
4
bn1bn3log1an13log1an3log1
4
4
4
an1
3log1q3 an
4
∴数列{bn}是首项b11,公差d3的等差数列„„„„„„„„4分 (2)由(1)知,an(),bn3n2(nN*)
14
n
1
cn(3n2)()n,(nN*)„„„„„„„„„„5分
4
11111
Sn14()27()3(3n5))n1(3n2)()n,
[1**********]41n1n1
于是Sn1()4()7()(3n5))(3n2)()
444444
3112131n1n1
两式相减得Sn3[()()()](3n2)()
444444
11
(3n2)()n1. 24
Sn
212n81n1()(nN*)„„„„„„„„8分 334
1n11n
(3)cn1cn(3n1)()(3n2)()
44
1
9(1n)()n1,(nN*)
4
1
∴当n=1时,c2c1
4
当n2时,cn1cn,即c1c2c3c4cn ∴当n=1时,cn取最大值是又cn
1 4
12
mm1对一切正整数n恒成立 411m2m1 44
即m4m50得m1或m5„„„„„„„„12分 20.解法一:(1)∵PC⊥平面ABC,AB平面ABC, ∴PC⊥AB。„„„„„„„„„„2分 ∵CD⊥平面PAB,AB平面PAB,
∴OC⊥AB。„„„„„„„„„„„„4分 又PCCD=C,
∴AB平面PCB。„„„„„„„„„„4分
(2)过点A作AF//BC,且AF=BC,连接PF,CF。
则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角。„„„„„„„„5分 由(1)可得AB⊥BC, ∴CF⊥AF.
由三垂线定理,得PF⊥AF。 则AF=CF=2,PF
2
PC2CF26.
PF, AF2
在Rt△PFA中,tanPAF
∴异面直线PA与BC所成的角为
解法二:(1)同解法一。 (2)由(1)AB⊥平面PCB, ∵PC=AC=2,
又∵AB=BC,可求得BC=2.
„„„„„„„„12分 3
以B为原点,建立如图所示的坐标系。 则A(0,2,0),B(0,0,0),
C(2,0,0),P(2,0,2)。
AP(2,2,2),BC(2,0,0).
„„„„„„„„8分 则APBC
22002.
cos,
1
.
2222
2
∴异面直线AP与BC所成的角为
.„„„„„„„„„„„„12分 3
21.解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0)
MF1(c
26,) 33
MF2(c
26,) 33
MF1MF20
c2(
2623
)()20 33
c23„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 a2b23 ①
又点M在椭圆上
811 ② 3a23b2
由①代入②得
811 3a23(a23)
整理为:a6a80
4
2
a22或a24 a23
a24,b21„„„„„„„„„„4分
x2
y21„„„„„„„„„„5分 ∴椭圆方程为4
x22
1y1
,消去y解得(k2)x222kx10„„„„„„7分 (2)由4
4ykx2
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)
64k2
(1k)x1x22k(x1x2)21„„„„„„10分 2
14k
2
511
k2,又由k20得k2,
84415k2, 48
k(
11,)(,)„„„„„„„„12分 4224
22.解:(1)F(x,y)(1x)y
f(x)F(1,log2(x24x9)2log2(x
2
4x9)
x24x9,故A(0,9)„„1分
又过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),f(x)2x4.
tn24n9t,解得B(3,6)„„„„3分 2n4n
x3
S(x4x92x)dx(3x29x)|309.
3
30
2
„„„„„„5分
x
ln(1x)
ln(1x) (2)令h(x),„„„„6分 ,x1,由h(x)2
xx
又令p(x)
x11xln(1x),x0, p(x)0, 22
1x(1x)1x(1x)
p(x)在[0,)单调递减.„„„„„„„„7分
当x0时有p(x)p(0)0,当x1时有h(x)0,
h(x)在[1,)单调递减,„„„„„„8分
1xy时,有
ln(1x)ln(1y)
,yln(1x)xln(1y),(1x)y(1y)x, xy
当x,yN且xy时F(x,y)F(y,x).„„„„„„9分
(3)g(x)F(1,log2(x2ax2bx1)x3ax2bx1,
设曲线C2在x0(4x1)处有斜率为-8的切线, 又由题设log2(x3ax2bx1)0,g(x)3x22axb,
23x02ax0b8①②有解,„„„„11分 ∴存在实数b使得4x01 32③ x0ax0bx011
22
由①得b83x02ax0,代入③得2x0ax080,„„„„12分
2
2x0ax080
有解,得2(4)2a(4)80或2(1)2a(1)80, 由
4x080
a10或a10,a10.„„„„„„14分
山东省潍坊市2010届高三上学期期末考试(数学理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用铅笔涂写在答题卡上。 2.第小题选出答案后,用铅笔把题答卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,
再选涂其他答案标号。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的。 1.已知集合UR,集合A{x|y},则CUA=
A.{x|0x1} C.{x|x1}
1x
( )
B.{x|x0或x1} D.{x|x0}
D.3
( )
2.已知向量a(1,1),b(2,n),若|ab|ab,则n= A.-3 B.-1 3.有关命题的说法错误的是
C.1
( )
A.命题“若x23x20,则x1”的逆否命题为:“若x1,则x23x20” B.“x=1”是“x3x20”的充分不必要条件 C.若pq为假命题,则p、q均为假命题
D.对于命题p:xR使得xx10,则p:xR,均有x2x10
2
2
4.三视图如右图的几何体的全面积是
A.2
( )
2 B.12 D.1
C.2
5.已知函数f(x)2sinx(0)在区间[
,] 34
上的最大值是2,则的最小值等于( )
A.
2 3
B.
3 2
5
5
3
2
2
3
2
2
C.2 D.3
6.设a,b是两个实数,且a≠b,①ababab,②ab2(ab1),③
ab
2。上述三个式子恒成立的有 ba
( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
7.各项都是正数的等比数列{an}的公比q1,且a2, 为
A.
aa41
a3,a1成等差数列,则3的值 2a4a5
( )
1 2
B.
1
2
C.
1
2
D.
511
或 22
8.设f(x)是函数f(x)的导函数,将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是
( )
9.已知{(x,y)|xy6,x0,y0},A{(x,y)|x4,y0,x2y0},若向区 域上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为
A.
D.
( )
2 9
B.
2 3
C.
1 31 9
( )
10.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘法方法数为 A.40种 B.50种 C.60种 D.70种
2
x2y2
11.已知抛物线y2px(p0)221有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF⊥
ab
x轴,则双曲线的离心率为
A.
C.21
( ) D.
51
2
B.31
221
2
12.一次研究性课堂上,老师给出函数f(x)
给出命题:
x
(xR),甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别
1|x|
(1,1); 甲:函数f(x)的值域为
乙:若x1x2则一定有f(x1)f(x2);
丙:若规定f(x1)f(x),f(xn)f(fn1(x)),则fn(x)你认为上述三个命题中正确的个数有
A.3个 B.2个
C.1个
x
对任意nN*恒成立
1n|x|
D.0个
( )
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
注意事项:
1.用0.5mm的中性笔答在答题纸相应的位置内。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。
13.若tan2,tan()3,则tan(2)的值为 ;
x2y2x2y2
1的右焦点为圆心,且与双曲线14.以椭圆1的渐近线相切的圆的方程169144916
为 ;
15.已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,
其平面展开图如右图所示,则该凸多面体的体积 V= ; 16.已知(x
2
15x
5
1的展开式中的常数项为T,f(x)是以T为周期的偶函数,且当)3
x[0,1]时,f(x)x,若在区间[1,3]内,函数g(x)f(x)kxk有4个零点,则实数k的取值范
围是 。
三、解答题:本大题共6小题,满分74分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知A
△ABC的周长为y。
(1)求函数yf(x)的解析式和定义域; (2)求yf(x)的单调区间。
18.(本小题满分12分)甲、乙两人准备参加中央电视台组织的奥运志愿者选拔测试。已知在备选的10
道试题中,甲能答对其中的6道,乙能答对其中 的8道。规定每次考试都从备选题中随机抽出3道进行测试,至少答对2道才能入选。 (1)求甲答对试题数的概率分布及数学期望。 (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率。
19.(本小题满分12分)已知数列{an}是首项为a1
3
,a2。设B=x,
11
,公比q的等比数列,设44
bn23log1an(nN*),数列{cn}满足cnanbn。
4
(1)求证:{bn}是等差数列; (2)求数列{cn}的前n项和Sn; (3)若cn
12
mm1对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围。 4
20.(本小题满分12分)如图,三棱锥P—ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且
CD⊥平面PAB。
(1)求证:AB⊥平面PCB;
(2)求异面直线AP与BC所成角的大小;
x2y223
21.(本小题满分12分)已知椭圆221(ab0)的两个焦点为F1,F2,椭圆上一点M(,)
33ab
满足MF1MF20. (1)求椭圆的方程;
(2)若直线L:y=kx2与椭圆恒有不同交点A、B,且OAOB1(O为坐标原点),求k的范围。
22.(本小题满分14分)定义F(x,y)(1x)y,x,y(0,),
(1)令函数f(x)F(1,log2(x24x9))的图象为曲线C1,曲线C1与y轴交于点A(0,m),过坐
标原点O作曲线C1的切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C1在点A、B之间的曲线段与线段OA、
OB所围成图形的面积为S,求S的值。
(2)当x,yN*且xy时,证明F(x,y)F(y,x);
(3)令函数g(x)F(1,log2(xaxbx1))的图象为曲线C2,若存在实数b使得曲线C2在
3
2
x0(4x01)处有斜率为-8的切线,求实数a的取值范围。
参考答案
一、选择题
ADCAC BCDAB CA 二、填空题 13.
112 14.(x5)2y216 15.1 16.(0,] 746
三、解答题 17.解(1):△ABC的内角为A+B+C=
由A=
3
,B0,C0得0B
2
.„„„„„„„„2分 3
由正弦定得知:
AC
BC2sinBsinx4sinx„„„„„„„„„„4分
sinA
sin
3BC2
sinC4sin(x).„„„„„„„„6分 sinA3
22
x)2(0x).„„„„„„„„7分 33
AB
因为y=AB+BC+AC 所以y4sinx4sin(
(2)因为y4(sinx
1
cosxsinx)2 22
43sin(x
而0x
6
)23„„„„„„„„9分
2
, 3
5x.„„„„„„„„„„11分 666
当
6
2352
,即x时,f(x)单调递减 当x
26633
x
6
,即0x
时,f(x)单调递增
2
yf(x)的单调递增区间为(0,],递减区间为[,).„„„„„„12分
333
18.解:(1)依题意,甲答对试题数的可能取值为0、1、2、3,则
123
C6C4C413
P(0)3,P(1), 3
10C1030C10
213
C6C4C611
P(2),P(3),„„„„„„„„„„4分
33
26C10C10
甲答对试题数的数学期望 E=0×
13119+1×+2×+3×=.„„„„„„„„„„6分
1026530
(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,则
213
C6C4C660202
P(A), 3
1203C10
13
C82C2C8565614
P(B)„„„„„„„„„„8分 3
12015C10
因为事件A、B相互独立,
∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P(AB)P(A)P(B)(1)(1∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P(AB)1答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
2
3141), 1545
144. 4545
44
.„„„„„„„„12分 45
另解:甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
2111421444. [1**********]
44. 答:甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为45
1n
19.解:(1)由题意知,an()(nN*)„„„„„„„„1分
4
bn3log1an2,b13log1a121
PP(AB)P{(AB)P(AB)
4
4
bn1bn3log1an13log1an3log1
4
4
4
an1
3log1q3 an
4
∴数列{bn}是首项b11,公差d3的等差数列„„„„„„„„4分 (2)由(1)知,an(),bn3n2(nN*)
14
n
1
cn(3n2)()n,(nN*)„„„„„„„„„„5分
4
11111
Sn14()27()3(3n5))n1(3n2)()n,
[1**********]41n1n1
于是Sn1()4()7()(3n5))(3n2)()
444444
3112131n1n1
两式相减得Sn3[()()()](3n2)()
444444
11
(3n2)()n1. 24
Sn
212n81n1()(nN*)„„„„„„„„8分 334
1n11n
(3)cn1cn(3n1)()(3n2)()
44
1
9(1n)()n1,(nN*)
4
1
∴当n=1时,c2c1
4
当n2时,cn1cn,即c1c2c3c4cn ∴当n=1时,cn取最大值是又cn
1 4
12
mm1对一切正整数n恒成立 411m2m1 44
即m4m50得m1或m5„„„„„„„„12分 20.解法一:(1)∵PC⊥平面ABC,AB平面ABC, ∴PC⊥AB。„„„„„„„„„„2分 ∵CD⊥平面PAB,AB平面PAB,
∴OC⊥AB。„„„„„„„„„„„„4分 又PCCD=C,
∴AB平面PCB。„„„„„„„„„„4分
(2)过点A作AF//BC,且AF=BC,连接PF,CF。
则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角。„„„„„„„„5分 由(1)可得AB⊥BC, ∴CF⊥AF.
由三垂线定理,得PF⊥AF。 则AF=CF=2,PF
2
PC2CF26.
PF, AF2
在Rt△PFA中,tanPAF
∴异面直线PA与BC所成的角为
解法二:(1)同解法一。 (2)由(1)AB⊥平面PCB, ∵PC=AC=2,
又∵AB=BC,可求得BC=2.
„„„„„„„„12分 3
以B为原点,建立如图所示的坐标系。 则A(0,2,0),B(0,0,0),
C(2,0,0),P(2,0,2)。
AP(2,2,2),BC(2,0,0).
„„„„„„„„8分 则APBC
22002.
cos,
1
.
2222
2
∴异面直线AP与BC所成的角为
.„„„„„„„„„„„„12分 3
21.解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0)
MF1(c
26,) 33
MF2(c
26,) 33
MF1MF20
c2(
2623
)()20 33
c23„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 a2b23 ①
又点M在椭圆上
811 ② 3a23b2
由①代入②得
811 3a23(a23)
整理为:a6a80
4
2
a22或a24 a23
a24,b21„„„„„„„„„„4分
x2
y21„„„„„„„„„„5分 ∴椭圆方程为4
x22
1y1
,消去y解得(k2)x222kx10„„„„„„7分 (2)由4
4ykx2
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)
64k2
(1k)x1x22k(x1x2)21„„„„„„10分 2
14k
2
511
k2,又由k20得k2,
84415k2, 48
k(
11,)(,)„„„„„„„„12分 4224
22.解:(1)F(x,y)(1x)y
f(x)F(1,log2(x24x9)2log2(x
2
4x9)
x24x9,故A(0,9)„„1分
又过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),f(x)2x4.
tn24n9t,解得B(3,6)„„„„3分 2n4n
x3
S(x4x92x)dx(3x29x)|309.
3
30
2
„„„„„„5分
x
ln(1x)
ln(1x) (2)令h(x),„„„„6分 ,x1,由h(x)2
xx
又令p(x)
x11xln(1x),x0, p(x)0, 22
1x(1x)1x(1x)
p(x)在[0,)单调递减.„„„„„„„„7分
当x0时有p(x)p(0)0,当x1时有h(x)0,
h(x)在[1,)单调递减,„„„„„„8分
1xy时,有
ln(1x)ln(1y)
,yln(1x)xln(1y),(1x)y(1y)x, xy
当x,yN且xy时F(x,y)F(y,x).„„„„„„9分
(3)g(x)F(1,log2(x2ax2bx1)x3ax2bx1,
设曲线C2在x0(4x1)处有斜率为-8的切线, 又由题设log2(x3ax2bx1)0,g(x)3x22axb,
23x02ax0b8①②有解,„„„„11分 ∴存在实数b使得4x01 32③ x0ax0bx011
22
由①得b83x02ax0,代入③得2x0ax080,„„„„12分
2
2x0ax080
有解,得2(4)2a(4)80或2(1)2a(1)80, 由
4x080
a10或a10,a10.„„„„„„14分