假设：1. 信息具有足够的吸引力，所有人都感兴趣，并传播。
2. 人们对信息在一定时间内会失去兴趣。
传染病问题中的SIR 模型
摘要：
2003年春来历不明的SARS 病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI 模型，SIS 模型，SIR 模型等。在这里我采用SIR （Susceptibles ，Infectives ，Recovered ）模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由Kermack 与McKendrick 在1927年采用动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据, 维护人类健康与社会经济发展。 关键字：传染病；动力学；SIR 模型。 一﹑模型假设
1. 在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N 。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t 时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t 时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。）占总人数的比例。 2. 病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。 二﹑模型构成
在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：
在假设1中显然有：
s(t) + i(t) + r(t) = 1 （1）
对于病愈免疫的移出者的数量应为
N
d r
=μNi （2） d t
不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为s 0（s 0＞0），i 0（i 0＞0），
r 0=0.
SIR 基础模型用微分方程组表示如下：
⎧di
⎪dt =λsi -μi ⎪⎪ds
⎨=-λsi （3） ⎪dt ⎪dr
⎪dt =μi ⎩
s(t) ， i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t) ， i(t)的一般变化规律。
三﹑数值计算
在方程（3）中设λ=1，μ=0.3，i （0）= 0.02，s （0）=0.98，用MATLAB 软件编程： function y=ill(t,x) a=1;b=0.3;
y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)]; ts=0:50;
x0=[0.02,0.98];
[t,x]=ode45('ill',ts,x0); plot(t,x(:,1),t,x(:,2)) pause
plot(x(:,2),x(:,1))
输出的简明计算结果列入表1。i(t) , s(t)的图形以下两个图形，i~s图形称为相轨线, 初值i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点, 随着t 的增,(s,i)沿轨线自右向左运动. 由表1、图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值, 然后减少,t →∞,i →0,s(t)则单调减少,t →∞,s →0.0398. 并分析i(t),s(t)的一般变化规律.
表1 i(t),s(t)的数值计算结果
四﹑相轨线分析
我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i （t ）,s （t ）的性质。 i ~ s平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域（s ，i ）∈D 为
D = ｛（s ，i ）| s ≥0，i ≥0 ， s + i ≤1｝ （4） 在方程（3）中消去d t 并注意到σ的定义，可得
d i ⎛1⎫
= -1⎪， i |s =s 0=i 0 （5） d s ⎝s σ⎭
⎛1⎫d =-1⎪d s （6） ⎰i 0i ⎰s 0 s σ⎝⎭
i
s
⎛1⎫
所以： d i = -1⎪d s ⇒
⎝s σ⎭
利用积分特性容易求出方程(5)的解为： i =(s 0+i 0) -s =
1
σ
ln
s
（7） s 0
在定义域D 内,(6)式表示的曲线即为相轨线, 如图3所示. 其中箭头表示了随着时间t 的增加s(t)和i(t)的变化趋向
.
i
D
P 2
i m
P 1
i ∞
o
s ∞
1/σ
s
下面根据(3),(17)式和图9分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t→∞时它们的极限值分别记作
s ∞, i ∞和r ∞) 。
1. 不论初始条件s0,i0如何, 病人消失将消失, 即： i 0=0 （8） 其证明如下：
首先, 由(3)
d s dr ≤0 而 s (t ) ≥0 故s ∞ 存在; 由(2) ≥0而 r (t ) ≤1 故r ∞ 存 d t d t
在; 再由(1)知i ∞存在。
dr ε
>μ , 这将导致r ∞=∞，与r ∞存在相d t 2
其次, 若i ∞=ε>0则由(1),对于充分大的t 有
矛盾. 从图形上看, 不论相轨线从P1或从P2点出发, 它终将与s 轴相交(t充分大).
2. 最终未被感染的健康者的比例是s ∞, 在(7)式中令i=0得到, s ∞是方程
1
s ∞
=0 （9） s 0
s 0+i 0-s ∞+
σ
ln
在(0,1/σ) 内的根. 在图形上s ∞是相轨线与s 轴在(0,1/σ) 内交点的横坐标.
3. 若s 0>1/σ, 则开始有
d i ⎛1d ⎛1⎫⎫= -1⎪>o ，i(t)先增加, 令i = -1⎪=0，可得当s=1/d s ⎝s σ⎭d s ⎝s σ⎭
σ时,i(t)达到最大值：
1+i 1+l n σs i m =s 000 ) （10）
σ
然后s
d i ⎛1⎫= -1⎪
由P1(s 0，i 0) 出发的轨线.
4. 若s 0 ≤1/σ, 则恒有由P2(s0,i0)出发的轨线.
d i ⎛1⎫= -1⎪
可以看出, 如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延, 那么1/σ是一个阈值, 当s 0>1/σ(即σ>1/s0)时传染病就会蔓延. 而减小传染期接触数σ, 即提高阈值1/σ使得s 0≤1/σ(即σ ≤1/s 0), 传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值s 0是一定的, 通常可认为
s 0接近1) 。
并且, 即使s 0>1/σ, 从(19),(20)式可以看出, σ减小时, s ∞增加(通过作图分析), i m 降低, 也控制了蔓延的程度. 我们注意到在σ=λμ中, 人们的卫生水平越高, 日接触率λ越小; 医疗水平越高, 日治愈率μ越大, 于是σ越小, 所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.
从另一方面看, σs =λs ∙1/μ是传染期内一个病人传染的健康者的平均数, 称为交换数, 其含义是一病人被σs 个健康者交换. 所以当 s 0≤1/σ 即σs 0≤1时必有 . 既然交换数不超过1, 病人比例i(t)绝不会增加, 传染病不会蔓延。
五﹑群体免疫和预防
根据对SIR 模型的分析, 当s 0≤1/σ 时传染病不会蔓延. 所以为制止蔓延, 除了提高卫生和医疗水平, 使阈值1/σ变大以外, 另一个途径是降低s 0 ,这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到.
忽略病人比例的初始值i 0有s 0=1-r 0, 于是传染病不会蔓延的条件s 0≤1/σ 可以表为
r 0≥1-
1
σ
(11)
这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）满足（11）式，就可以制止传染病的蔓延。
这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。据估计当时印度等国天花传染病的接触数 σ=5，由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高r 0，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些传染病的σ更高，根除就更加困难。 六﹑模型验证
上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了据对SIR 模型作了验证。
首先，由方程（2），（3）可以得到
d s d
=-λsi =-σμsi =-σs r d t dt
d r
的实际数据，Kermack 等人用这组数d t
上式两边同时乘以d t 可⇒
s
1
d s =-σd r ，两边积分得 s
r 1s -σr s
=-σd ⇒=e ⇒ln s |=-σr s 0⎰s 0s s ⎰r 0=0r
s 0
所以： s (t ) =s 0e -σr (t ) (12)
d r
=μi =μ(1-r -s ) =μ(1-r -s 0e -σr ) (13) d t
再⇒
当 r ≤1/σ 时，取（13）式右端e -σr Taylor 展开式的前3项得：
s 0σ2r 2d r
=μ(1-r -s 0+σs 0r -) d t 2
在初始值r 0=0 下解高阶常微分方程得:
r (t ) =
1⎡αμt ⎤
(14) (s σ-1) +αth (-ϕ) 02⎢⎥s 0σ⎣2⎦
其中α2=(s 0σ-1) 2+2s 0i 0σ2，th ϕ=
s 0σ-1
α
从而容易由（14）式得出：
d r α2μ= （15） d t 2s σ2ch 2(-ϕ)
2
然后取定参数 s0, σ等，画出（15）式的图形，如图4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。
七﹑被传染比例的估计
在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值s 0与s ∞之差，记作x, 即 x =s s (16) 0-∞
当i0很小，s0接近于1时，由（9）式可得 x +
1l n (1x
s 0
) ≈ 0 (17)
σ
取对数函数Taylor 展开的前两项有 x (1-
1s 0σ
-
x
) ≈0 (18) 2s 02σ
记 s 0=
1
σ
+δ , δ 可视为该地区人口比例超过阈值
1
σ
的部分。当 δ≤
1
σ
时（18）式给出
1⎫⎛
x ≈2s 0σ s 0-⎪≈2δ （19）
σ⎭⎝
这个结果表明，被传染人数比例约为δ的2倍。对一种传染病，当该地区的卫生和医
1
疗水平不变，即δ不变时，这个比例就不会改变。而当阈值提高时，δ减小，于是这个
σ
比例就会降低。 八﹑评注
该模型采用了数值计算, 图形观察与理论分析相结合的方法, 先有感性认识(表1, 图1, 图2), 再用相轨线作理论分析, 最后进行数值验证和估算, 可以看作计算机技术与建模方法的巧妙配合。可取之处在于它们比较全面地达到了建模的目的, 即描述传播过程、分析感染人数的变化规律, 预测传染病高潮到来时刻, 度量传染病蔓延的程度并探索制止蔓延的手段和措施。
假设：1. 信息具有足够的吸引力，所有人都感兴趣，并传播。
2. 人们对信息在一定时间内会失去兴趣。
传染病问题中的SIR 模型
摘要：
2003年春来历不明的SARS 病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI 模型，SIS 模型，SIR 模型等。在这里我采用SIR （Susceptibles ，Infectives ，Recovered ）模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由Kermack 与McKendrick 在1927年采用动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据, 维护人类健康与社会经济发展。 关键字：传染病；动力学；SIR 模型。 一﹑模型假设
1. 在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N 。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t 时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t 时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。）占总人数的比例。 2. 病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。 二﹑模型构成
在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：
在假设1中显然有：
s(t) + i(t) + r(t) = 1 （1）
对于病愈免疫的移出者的数量应为
N
d r
=μNi （2） d t
不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为s 0（s 0＞0），i 0（i 0＞0），
r 0=0.
SIR 基础模型用微分方程组表示如下：
⎧di
⎪dt =λsi -μi ⎪⎪ds
⎨=-λsi （3） ⎪dt ⎪dr
⎪dt =μi ⎩
s(t) ， i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t) ， i(t)的一般变化规律。
三﹑数值计算
在方程（3）中设λ=1，μ=0.3，i （0）= 0.02，s （0）=0.98，用MATLAB 软件编程： function y=ill(t,x) a=1;b=0.3;
y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)]; ts=0:50;
x0=[0.02,0.98];
[t,x]=ode45('ill',ts,x0); plot(t,x(:,1),t,x(:,2)) pause
plot(x(:,2),x(:,1))
输出的简明计算结果列入表1。i(t) , s(t)的图形以下两个图形，i~s图形称为相轨线, 初值i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点, 随着t 的增,(s,i)沿轨线自右向左运动. 由表1、图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值, 然后减少,t →∞,i →0,s(t)则单调减少,t →∞,s →0.0398. 并分析i(t),s(t)的一般变化规律.
表1 i(t),s(t)的数值计算结果
四﹑相轨线分析
我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i （t ）,s （t ）的性质。 i ~ s平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域（s ，i ）∈D 为
D = ｛（s ，i ）| s ≥0，i ≥0 ， s + i ≤1｝ （4） 在方程（3）中消去d t 并注意到σ的定义，可得
d i ⎛1⎫
= -1⎪， i |s =s 0=i 0 （5） d s ⎝s σ⎭
⎛1⎫d =-1⎪d s （6） ⎰i 0i ⎰s 0 s σ⎝⎭
i
s
⎛1⎫
所以： d i = -1⎪d s ⇒
⎝s σ⎭
利用积分特性容易求出方程(5)的解为： i =(s 0+i 0) -s =
1
σ
ln
s
（7） s 0
在定义域D 内,(6)式表示的曲线即为相轨线, 如图3所示. 其中箭头表示了随着时间t 的增加s(t)和i(t)的变化趋向
.
i
D
P 2
i m
P 1
i ∞
o
s ∞
1/σ
s
下面根据(3),(17)式和图9分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t→∞时它们的极限值分别记作
s ∞, i ∞和r ∞) 。
1. 不论初始条件s0,i0如何, 病人消失将消失, 即： i 0=0 （8） 其证明如下：
首先, 由(3)
d s dr ≤0 而 s (t ) ≥0 故s ∞ 存在; 由(2) ≥0而 r (t ) ≤1 故r ∞ 存 d t d t
在; 再由(1)知i ∞存在。
dr ε
>μ , 这将导致r ∞=∞，与r ∞存在相d t 2
其次, 若i ∞=ε>0则由(1),对于充分大的t 有
矛盾. 从图形上看, 不论相轨线从P1或从P2点出发, 它终将与s 轴相交(t充分大).
2. 最终未被感染的健康者的比例是s ∞, 在(7)式中令i=0得到, s ∞是方程
1
s ∞
=0 （9） s 0
s 0+i 0-s ∞+
σ
ln
在(0,1/σ) 内的根. 在图形上s ∞是相轨线与s 轴在(0,1/σ) 内交点的横坐标.
3. 若s 0>1/σ, 则开始有
d i ⎛1d ⎛1⎫⎫= -1⎪>o ，i(t)先增加, 令i = -1⎪=0，可得当s=1/d s ⎝s σ⎭d s ⎝s σ⎭
σ时,i(t)达到最大值：
1+i 1+l n σs i m =s 000 ) （10）
σ
然后s
d i ⎛1⎫= -1⎪
由P1(s 0，i 0) 出发的轨线.
4. 若s 0 ≤1/σ, 则恒有由P2(s0,i0)出发的轨线.
d i ⎛1⎫= -1⎪
可以看出, 如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延, 那么1/σ是一个阈值, 当s 0>1/σ(即σ>1/s0)时传染病就会蔓延. 而减小传染期接触数σ, 即提高阈值1/σ使得s 0≤1/σ(即σ ≤1/s 0), 传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值s 0是一定的, 通常可认为
s 0接近1) 。
并且, 即使s 0>1/σ, 从(19),(20)式可以看出, σ减小时, s ∞增加(通过作图分析), i m 降低, 也控制了蔓延的程度. 我们注意到在σ=λμ中, 人们的卫生水平越高, 日接触率λ越小; 医疗水平越高, 日治愈率μ越大, 于是σ越小, 所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.
从另一方面看, σs =λs ∙1/μ是传染期内一个病人传染的健康者的平均数, 称为交换数, 其含义是一病人被σs 个健康者交换. 所以当 s 0≤1/σ 即σs 0≤1时必有 . 既然交换数不超过1, 病人比例i(t)绝不会增加, 传染病不会蔓延。
五﹑群体免疫和预防
根据对SIR 模型的分析, 当s 0≤1/σ 时传染病不会蔓延. 所以为制止蔓延, 除了提高卫生和医疗水平, 使阈值1/σ变大以外, 另一个途径是降低s 0 ,这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到.
忽略病人比例的初始值i 0有s 0=1-r 0, 于是传染病不会蔓延的条件s 0≤1/σ 可以表为
r 0≥1-
1
σ
(11)
这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）满足（11）式，就可以制止传染病的蔓延。
这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。据估计当时印度等国天花传染病的接触数 σ=5，由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高r 0，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些传染病的σ更高，根除就更加困难。 六﹑模型验证
上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了据对SIR 模型作了验证。
首先，由方程（2），（3）可以得到
d s d
=-λsi =-σμsi =-σs r d t dt
d r
的实际数据，Kermack 等人用这组数d t
上式两边同时乘以d t 可⇒
s
1
d s =-σd r ，两边积分得 s
r 1s -σr s
=-σd ⇒=e ⇒ln s |=-σr s 0⎰s 0s s ⎰r 0=0r
s 0
所以： s (t ) =s 0e -σr (t ) (12)
d r
=μi =μ(1-r -s ) =μ(1-r -s 0e -σr ) (13) d t
再⇒
当 r ≤1/σ 时，取（13）式右端e -σr Taylor 展开式的前3项得：
s 0σ2r 2d r
=μ(1-r -s 0+σs 0r -) d t 2
在初始值r 0=0 下解高阶常微分方程得:
r (t ) =
1⎡αμt ⎤
(14) (s σ-1) +αth (-ϕ) 02⎢⎥s 0σ⎣2⎦
其中α2=(s 0σ-1) 2+2s 0i 0σ2，th ϕ=
s 0σ-1
α
从而容易由（14）式得出：
d r α2μ= （15） d t 2s σ2ch 2(-ϕ)
2
然后取定参数 s0, σ等，画出（15）式的图形，如图4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。
七﹑被传染比例的估计
在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值s 0与s ∞之差，记作x, 即 x =s s (16) 0-∞
当i0很小，s0接近于1时，由（9）式可得 x +
1l n (1x
s 0
) ≈ 0 (17)
σ
取对数函数Taylor 展开的前两项有 x (1-
1s 0σ
-
x
) ≈0 (18) 2s 02σ
记 s 0=
1
σ
+δ , δ 可视为该地区人口比例超过阈值
1
σ
的部分。当 δ≤
1
σ
时（18）式给出
1⎫⎛
x ≈2s 0σ s 0-⎪≈2δ （19）
σ⎭⎝
这个结果表明，被传染人数比例约为δ的2倍。对一种传染病，当该地区的卫生和医
1
疗水平不变，即δ不变时，这个比例就不会改变。而当阈值提高时，δ减小，于是这个
σ
比例就会降低。 八﹑评注
该模型采用了数值计算, 图形观察与理论分析相结合的方法, 先有感性认识(表1, 图1, 图2), 再用相轨线作理论分析, 最后进行数值验证和估算, 可以看作计算机技术与建模方法的巧妙配合。可取之处在于它们比较全面地达到了建模的目的, 即描述传播过程、分析感染人数的变化规律, 预测传染病高潮到来时刻, 度量传染病蔓延的程度并探索制止蔓延的手段和措施。